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1、北京市丰台区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题一、单选题（共8题；共16分）1.（2 分）钢架雪车是2 0 2 2 年北京冬奥会的比赛项目之一.下面这些钢架雪车运动标志是轴对称图形的 是（）【答案】D【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可得：只有D选项符合题意，其余选项的均不符合题忌,故答案为：D.【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。2.（2 分）在物联网时代的所有芯片中，1 4 n m 芯片正在成为需求的焦点.已知m n 即纳米，是长度的度量单位，l n m=l X 1 0-97n.将1 4 m n 用科学记数法表示正确的是（）A.1.4 x1 0-87 n B.1.4
2、 x 1 0-9mC.1 4 x1 0-9m D.1.4 x 1 0-1 0m【答案】A【解析】【解答】解：1 4 nm-1 4 x 1 0-9m=1.4 x 1 0-8m故答案为：A【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。3.（2 分）下列图形中，内角和等于外角和的是（）【答案】B【解析】【解答】解：设n 边形的内角和等于外角和(n-2)X180=360解得：n=4故答案为：B【分析】设 n 边形的内角和等于外角和，根据题意列出方程(n-2)乂 180。=360。求解即可。4.(2 分)下列计算正确的是()A.a2+a3=as B.a2-a3=a6C.a9 a3=a3 D.(a2)3
3、=a6【答案】D【解析】【解答】A、a?与a?不是同类项，不能合并，故计算不符合题意；B、a2-a.3=as aG,故计算不符合题意；C、a9+a3=。6,故计算不符合题意；D、(-a2)3=(_ l)3x(a2)3=:_a6 故计算符合题意.故答案为：D【分析】利用合并同类项、同底数累的乘法、同底数幕的除法及哥的乘方逐项判断即可。5.(2 分)将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是()A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS【答案】A【解析】【解答】解：三根木条即为三角形的三边长，即为利用SSS确定三角形，故答案为：A.【分析】根据三角形的稳定
4、性及SSS的方法求解即可。6.(2 分)如图，四边形ABC。中，AD=CD,AB=C B,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形下列关于筝形的结论正确的是()DA.对角线AC,BD互相垂直平分B.对角线BD平分NABC,ZADCC.直线AC,BD是筝形的两条对称轴D.筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积【答案】B【解析】【解答】解：四边形4BCD中，AD=CD,AB=CB,BD是AC的垂直平分线，而4:不一定是BD的垂直平分线，故A 不符合题意；v AD=CD,AB=CB,BD=BD,ABD=C B D,Z-ADB=乙CDB,Z-ABD=乙CBD,对角线BD平分NABC,Z A D C,
5、故 B 符合题意；ABD=CBD,直线BD是筝形的两条对称轴，故C 不符合题意；如图，记对角线的交点为Q,S筝形ABCD=SAABD+S&BCD=yBD-AQ+yBD-CQ=-BD-AC,筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积的一半，故 D 不符合题意;故答案为：B【分析】由线段垂直平分线的判定可判断A 选项；通过证明/BO三 A C B D,得出乙4DB=乙C D B,乙ABD=M B D,可判断B 选项；根据轴对称性质可判断C 选项；利用三角形的面积可判断D 选项。7.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，DEF可以看作是 力 BC经过若干次图形的变化（平B.将A8C沿直线y=l 翻折，再
6、向下平移2个单位得到DEFC.将4 ABC向下平移2个单位，再沿直线y=1翻折得到小DEFD.将 ABC向下平移4个单位，再沿直线y=-2 翻折得到【答案】C【解析】【解答】解：A、根据图象可得：将 力 BC沿 x 轴翻折得到a D E F,作图符合题意;B、作图过程如图所示，作图符合题意;C、如下图所示为作图过程，作图不符合题意;D、如图所示为作图过程，作图符合题意;故答案为：C.【分析】根据翻折的性质逐一进行判断即可。8.（2 分）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用.用“杨辉三角 可以解释（a +b）n （n=l,2,3,4,5,6）的
7、展开式的系数规律.例如，在“杨辉三角中第3 行的3 个数1,2,1,恰好对应着9+6）2 展开式。2 +2 必+8 2 中各项的系数；第4 行的4 个数1,3,3,1,恰好对应着（a +b/展开式。3 +3。2 b+3 防2 +庐 中各项的系数，等等.当 n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么（。-9 展开式中 17 的系数是（）A.9 B.-9 C.3 6 D.-3 6【答案】B 9 一【解析】【解答】解：结合“杨辉三角”可得缶的各项系数（不考虑符号）为：I,9,3 6,8 4,1 2 6,1 2 6,8 4,3 6,9,I,a 7 由。8.（可得，符号为负号，系数为倒数第二个系数9,
8、.a 7 的系数为一 9,故答案为：B.9【分析】结合“杨辉三角可得（a的各项系数（不考虑符号）为：I,9,3 6,8 4,1 2 6,1 2 6,8 4,3 6,9,I,由&8.（一可得，符号为负号，系数为倒数第二个系数9,即可得出答案。二、填空题（共 8 题；共 9 分）9.（1 分）分式工有意义，则m的取值范围是m-Z-【答案】m 2【解析】【解答】解：.分式上有意义，771ZJ m 2 W 0.m。2故答案为：m=2【分析】利用分式有意义的条件列出不等式租-2力0 求解即可。1 0.（1 分）如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则N 1 的度数为50a.1 00b【答案】
9、70【解析】【解答】解：如图，由三角形的内角和定理得：42=180。一 50。-60。=70。,图中的两个三角形是全等三角形，在它们中，边长为b和c的两边的夹角分别为42和N1,z l=Z.2=70,故答案为：70.【分析】根据全等三角形的性质求解即可。11.（1 分）分解因式：3%2 3y2=.【答案】3（x+y）（x-y）【解析】【解答】解：3/一 3y2=3（/一 y2）=3（%+y）Q _ y）,故答案为：3（x+y）（x-y）.【分析】先提取公因式3,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.12.（1 分）如图，在4A B C 和ADBC,BA=BD中，请你添加一个条件使得 ABC
10、g D B C,这个条件可以是（写出一个即可）.【答案】CA=CD（答案不唯一）【解析】【解答】添加CA=CD,则由边边边的判定定理即可得小ABC ADBC故答案为：CA=CD（答案不唯一）【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可。13.（1 分）等腰三角形的两边长分别是4和9,则它的周长为【答案】22【解析】【解答】解：等腰三角形的两边长分别是4和9,当腰长为4时，此时4+4 9,符合题意，所以三角形的周长为：4+9+9=22,故答案为：22 分析根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。14.（1 分）如图，在等边三角形4BC中，AB=2,B0是4C边的高线，延 长 至 点 E,使C
11、E=CD,则BE的长为.【答案】3【解析】【解答】解：三角形力BC是等边三角形，.BC=AC=2,又,:B0是4 c边的高线，1 1.D C=yc=/x 2 =1,CE=CD=1,BE=BC+CE=2+1=3,故答案为：3.【分析】根据等边三角形的性质可得CD=/AC=1,所以CE=CD=1,再利用BE=BC+CE计算即可。15.（1 分）当工=；时，式子（赞 一 2b）的值为.【答案】-1【解析】【解答】解：(小 直a a2-b2=。2 _ 2 尤+/7 2 a+b 层 了2_(a-b)a+a(a+b)(a 6)j-ba.a 1b =2A-=2，原式=1-2=-1故答案为：【分析 1 先利用
12、分式的混合运算化简，再将髀拊入计算即可。1 6.（2 分）在平面直角坐标系x O y 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图，点4 的坐标为（2,4）,点B 的坐标为（1,1）,点C 为第一象限内的整点，不共线的A,B,C 三点构成轴对称图形，则点C 的坐标可以是（写出一个即可），满足题意的点。的个数为.【答案】（3,1）（答案不唯一）；7【解析】【解答】建立如下坐标系，如图，则点C（3,1）如图，根据题意不共线的4 B,C三点构成轴对称图形，则 ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得这样的C点有7个，分别为：(1,7),(3,1),(3,2),(4,2),(5,3),(5,5),(6
13、,1)故答案为：(3,1)；7【分析】由不共线的4,B,。三点构成轴对称图形，则 ABC是等腰三角形，根据两圆一中垂即可得出结论。三、解答题(共12题；共77分)17.(5 分)计算：(%+2)(%-3).【答案】解：(久+2)(%3)=%?-3x+2,x-6=%2 一 x 6.【解析】【分析】利用多项式乘多项式的计算法则求解即可。18.(5 分)计算：6+2 2(2 兀)【答案】解：原式=2+J 1_54-【解析】【分析】先利用二次根式、负指数基和0 指数塞的性质化简，再计算即可。19.(5 分)计算：鼻 一 击.【答案】解：原式=?一 冷1 1 a b a+b_ a+b a b一(a b)
14、(a +b)(a b)(a +b)a +b a +6一(a b)(a +b)2ba2 b2【解析】【分析】先通分，再计算即可。20.(5 分)先化简，再求值：(2X+1)2-(2X+1)(2X-1),其中 =一【答案】解：原式=4/+4%+1-(4/一 1)=4 x2+4%+1 4%2 4-1=4%+2.当 =一凯寸，原式=-1+2=1.【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将x 的值代入计算即可。21.(5 分)如图，点 D 在上，点E 在A C上，AB=AC,乙B=乙(：，求证：AD=AE.【答案】证明：在4A B E与AACD中，(Z.A=Z.AAB=AC,LF=zcACDAABE
15、(ASA),.AD=AE(全等三角形的对应边相等).【解析】【分析】易证4A C D 2 4 A B E,由全等三角形的对应边相等可得结论.22.(5分)解方程：磊+1=.【答案】解：方程两边同乘3(x+l)得：2x+3(x+1)=3x,解得：x=-1.5,经检验x=-1.5是分式方程的解.【解析】【分析】解分式方程：先在方程左右两边同时乘最简公分母3(x+1),约去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解即为分式方程的解，反之，分式方程无解.23.(5 分)如图，在中，ZACB=90,ZA=30,COJ_AB 于点 D
16、,DE|交 AC 于点E,如果8。=2,求OE的长.B =60,AB=2BC,VC D上AB于点D,C D B =乙 CDA=90,：2BCD=30,：.BC=2BD,：BD=2,ABC=4,：.AB=2BC=8,：.AD=AB-BD=6,*：DE|FC,：.DEA=Z.ACB=90,;在R t/M D E中，乙4=30。,iDE AD=3.【解析】【分析】根据三角形的内角和得出乙B=60。，根据含30度角的直角三角形的性质解答即可。2 4.（1 0 分）下面是小东设计的尺规作图过程.已知：如图，在 R S A B C 中，ABC=9 0 .求作：点。，使得点。在B C 边上，且 到 和 4
17、c 的距离相等.作法：如图，以点4 为圆心，任意长为半径画弧，分别交A B,4 C 于点M,N；分别以点M,N 为圆心，大于*MN为半径画弧，两弧交于点P;画射线4 P,交BC于点D.所以点。即为所求.根据小东设计的尺规作图过程，（1）（5 分）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）（5 分）完成下面的证明.证明：过点。作。E 1 A C 于点E,连接M P,NP.在 A M P 和 力 N P 中，：A M =AN,MP=NP,AP=AP,：.AAM PANP（S S S）.Z=Z.:ZABC=90,：.DB LAB.:DE 1 AC,：.DB=DE（）.【答案】（1）解：补全的图
18、形如下:（2）解：过点。作。E 14C 于点E,连接MP,NP.在和中，：A M =AN,M P =NP,AP=AP,.AMP咨A A N P（SSS）.，ZPAM=ZPAN.：.AABC=90,：.DB 1 AB.：DE 1 AC,：.DB=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）.故答案为：ZPAM,Z P A N,角的平分线上的点到角的两边的距离相等【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明。25.（5 分）北京市以2022年冬奥会和冬残奥会为契机，大力提升城市服务保障能力，在永定河沿岸，紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成
19、冬奥公园.冬奥公园最大的亮点是拥有一条长42km全封闭的马拉松跑道.马拉松线路设计很有创意，分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑.小明先进行了2Mn智慧跑，接 着 进 行 了 堤 上 跑，共用时40分钟.已知小明在堤上跑路段的平均速度是他在智慧跑路段的平均速度的1.5倍，求小明在进行智慧跑和堤上跑时的平均速度.【答案】解：设小明进行智慧跑的平均速度为x k m/h,则小明进行堤上跑的平均速度为1.5 x k m/h.根据题意，列出方程：|+七=嘉解方程，得x =7.经检验，x =7 是原方程的解且符合实际意义.1.5 x =1 0.5.答：小明进行智慧跑的平均速度为7 k m/h,进行堤上跑的平
20、均速度为1 0.5 k m/h.【解析】【分析】设小明进行智慧跑的平均速度为%k m/h,则小明进行堤上跑的平均速度为1.5 x k m/h,再根据题意列出方程+熹=黑 求 解 即可。人 J L.D 人 UU2 6.(6 分)在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明.例如，利用图1 中边长分别为a,b的正方形，以及长为a,宽为b的长方形卡片若干张拼成图2 (卡片间不重叠、无缝隙)，可以用来解释完全平方公式：(a +b)2 =a 2+2 a b +b1 2.(1)(1 分)利用图1 中的三种卡片若干张拼成图3,可以解释等式：;(2)(5 分)
21、利用图1 中三种卡片若干张拼出一个面积为2 a 2 +5 a b +2 b 2 的长方形A B C D,请你分析这个长方形的长和宽.【答案】(1)(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2(2)解：2 a 2 +5 ab 4-2b2=(2 a +b)(a+2 b)请你解答下面的问题:答：由图形可知，长为2a+b,宽为a+2b.【解析】【解答】（1）解：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2【分析】（1）根据长方形的面积公式进行计算即可解答；（2）利用因式分解-十字相乘分解即可作答。27.（10分）在AABC中，AB=AC,Z/BC=a，点。是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点
22、E.作直线BE交射线于点尸，连接CF.（1）（5分）如图1,点。在线段BC上，补全图形，求心AFB的大小（用含a的代数式表示）；（2）（5 分）如果/a =60.如图2,当点D在线段BC上时，用等式表示线段4F,CF,BF之间的数量关系，并证明；如图3,当点。在线段CB的延长线上（不与点C重合）时，直接写出线段2尸，CF,BF之间的数量关系.【答案】（1）解：补全图形；连接AE,.点E为点。关 于 的 对 称 点,：.AE=AC,Z.EAD=/.CAD设乙E4D=乙CAD=x/.Z.CAE=2x9：AB=AC/.Z.ACB Z.ABC a乙BAE=180。-2%2a/.Z-ABE+Z-AEB=
23、2%+2a9：AE=AB,*.Z.ABE Z.AEB=x+aZ-AFB=Z.AEB Z-EAD=a(2)解：AF=BF+CF证明：延长FB至点G,使尸G=F A,连接AG9：AB=ACC.Z.ABC=a=60。.ABC为等边三形，BAC=60由(1)知乙4FB=a=604FG为等边三角形：.AG=AF,Z.GAF=60：.z.GAB=4 FAC在 ABG与A 4 6中，AG=AF乙GAB=4 FACAB=AC/.A ABG AAC F CSAS)：.BG=CF：.CF+BF=BG+BF=GF9：GF=AF：.AF=BF+CF结论为：CF=AF+BF.连接AE,点E为点C关于力。的对称点，：.A
24、E=AC,EF=FC,Z.EAD=Z.CAD设 NE4。=4 CAD=x/.Z.CAE=2x9：AB=AC=AE：.ACB=/.ABC=BAC=60：.DAB=%-60 Z-EAB=%4-x 60=2%609：AE=AB,A nr-A r-n 180 2%460 d nno/.ABE=Z.AEB=-=12 一%Z.AFE=4DAB+ABE=%-60+120-%=60。在 BE上取点G,使得FG=FA,连接AG AFG为等边三角形：.AG=AF,.GAF=60：.GAE=FAB=x-60在 AGEL AFBp,AG=AFGAE=Z-FAB.AE=AB：.A G E A A F B(S 4S)二
25、BF=EG：.EF=EG+FG=BF+AF：.CF=EF=BF+AF【解析】【分析】(1)由题意画出图形，由轴对称的性质得出/E=4C,EAD AC A D,设NE/D=乙 C A D=x,则/SE =2 K，由等腰三角形的性质即可得出结论；(2)04 F =BF+C F,延长FB 至点G,使FG=尸 4 连接AG,证出 Z B C 为等边三形，乙 BAC=6 0,由等边三角形性质得出力G=A F,Z.GAF=6 0,证明 A B G Z a A C F (S A S),由全等三角形的性质得出B G=C F,即可得出结论；结论为：C F=A F+B F.连接A E,证明(S A S),由全等三
26、角形的性质得出B F=E G,即可得出结论。2 8.(1 1 分)在平面直角坐标系x O y 中，作直线1 垂直x 轴于点P (a,0),已知点4(1,1),点B(1,5),以A B 为斜边作等腰直角三角形4 B C,点C 在第一象 限.A B C 关于直线1 的对称图形是A B C.给出如下定义：如果点M在 A B C 上或内部，那么称点M是 A B C 关于直线1 的“称心点”.2 3 4 5 6*(1)(1 分)当a =0 时，在点D(一|,3),E(-2,2),F(-3,4)中，U BC关于直线 1 的“称心点”是;(2)(5 分)当 4B C 上只有1 个点是 Z B C 关于直线1
27、 的“称心点”时，直接写出a 的值；(3)(5 分)点 H 是A B C 关于直线I 的“称心点”，且总有 HB C 的面积大于A B C 的面积，求a的取值范围.【答案】(I)点。，点E(2)解：当A A B C 上只有1 个点是A BC关于直线I的“称心点”时，点C 在直线1上，所以a =3故答案为：a =3(3)解：过点A作直线m BC,延长AC 至点M,使 C M=A C,过点M作 n BC.当点B，在直线m上时，SA BBC=SA ABC.如图，此时BB=A B=4,.点B，的坐标为 一3,5?.*.a =1.V SA H BCSA ABC，A a SA ABC.A a 5.综上所述
28、，aV1或a 5.【解析】【解答(1)解：(1)由题意可确定C(3,3)当a =0 时，71(-1,1),B(-l,5),C(-3,3)A BC关于直线1 的“称心点”是点。，点E；故答案为：点。，点E【分析】(1)做出三角形A B C 关于y 轴的对称图形描出点D、E、F 观察可得出答案；(2)做出图形直接观察即可得出结果；(3)过点A作直线m BC,延长AC 至点M,使 C M=A C,过点M作 n BC.当点B在直线m上时，SAB,BC=SAABC.当点C 在直线n 上时，SAC”BC=SAABC.分类讨论即可。试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：102分分值分布客观题（占比）16.0
29、(15.7%)主观题（占比）86,0(84.3%)题量分布客观题（占比）8(28.6%)主观题（占比）20(71.4%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题8(28.6%)9.0(8.8%)解答题12(42.9%)77.0(75.5%)单选题8(28.6%)16.0(15.7%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(60.7%)2容易(28.6%)3困难(10.7%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1分式有意义的条件1.0(1.0%)92实数的运算5.0(4.9%)183三角形全等的判定1.0(1.0%)124含30角的直角三角形5.
30、0(4.9%)235分式的加减法5.0(4.9%)196轴对称图形4.0(3.9%)177列式表示数量关系6.0(5.9%)268图形的平移2.0(2.0%)79等腰三角形的性质1.0(1.0%)1310多边形内角与外角2.0(2.0%)311等腰直角三角形11.0(10.8%)2812定义新运算11.0(10.8%)2813解分式方程5.0(4.9%)2214科学记数法一表示绝对值较小的数2.0(2.0%)215三角形的稳定性2.0(2.0%)516多项式乘多项式11.0(10.8%)17,2617角平分线的性质10.0(9.8%)2418探索数与式的规律2.0(2.0%)819同底数基的除
31、法2.0(2.0%)420合并同类项法则及应用2.0(2.0%)421同底数尿的乘法2.0(2.0%)422利用整式的混合运算化简求值5.0(4.9%)2023等边三角形的性质1.0(1.0%)1424三角形全等的判定（SSS）12.0(11.8%)5,2425线段垂直平分线的性质2.0(2.0%)626分式方程的实际应用5.0(4.9%)2527利用分式运算化简求值1.0(1.0%)1528三角形的综合21.0(20.6%)27,2829三角形全等的判定（SAS）10.0(9.8%)2730提公因式法与公式法的综合运用1.0(1.0%)1131等腰三角形的判定2.0(2.0%)1632线段垂直平分线的判定2.0(2.0%)633三角形全等的判定（ASA）5.0(4.9%)2134三角形三边关系1.0(1.0%)1335尺规作图的定义10.0(9.8%)2436幕的乘方2.0(2.0%)437三角形全等及其性质3.0(2.9%)6,10