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1、Evaluation Warning:The document was created with Spire.Doc for.NET.专 题 1 2 多面体的外接球和内切球一、结论1.球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一 球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P-A B C。中，内切球为球0,求球半径八 方法如下：即：+,r+5spe r+r+,，可求出类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方体的
2、外接球的球心为其体对角线的中点2、补 形 法（补长方体或正方体）墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，己知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD,I；/,AD=BC,AC=BD）3、单面定球心法（定+算）步骤：定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥产一 A B C 中，选中底面A4BC,第1页/总17页确定其外接圆圆心。I （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r-）；sin A过外心。做（找）底面A 48c的垂线，如图中P Q，面ABC,则球心一定在直线（注意
3、不一定在线段POi上）P Q上；计 算 求 半 径R:在 直 线P Q上 任 取 一 点。如 图：则0P=。4=R,利用公式O A2=O.A2+O O；可计算出球半径R.4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥P ABC中：选定底面A A 8C,定AABC外接圆圆心。选定面A/VIB,定AR山外接圆圆心R分别过。做面ABC的垂线，和。2做面B钻 的 垂线，两垂线交点即为外接球球心0.二、典型例题1.（2022 山西吕梁一模（文）在 九章算术 商功中，将四个面都为直角三角形的四面体称为整揣，如图在鳖懦ABCD中，A 3,平面BCD,AB=BC =C D =,8CLCQ,则整蠕ABCQ内切
4、球的表面积为（）A.3万 B.（3-2夜加C.12MD.（3+2近）乃【答案】B【解析】解：因为四面体A8CC四个面都为直角三角形，A B m B C D,3 c le。，所以ABLE）,第2页/总17页AB1BC,BC1CD,AC CDf设四面体ABC。内切球的球心为O,则ABCD=O-ABC O-ABD+O-ACD+O-BCD=%(M B C +,ZUCD+ABCD)所以心=7，ABCD因为四面体 ABCD 的表面积为 SABCD=SAABC 4-M B D+SAACD+SW CD=1 +O，又因为四面体4 8 8的体积匕“co=，6所以%=*=与1,所以S球=4仃2=（3-2播 沈，故选
5、：B【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.2.（2021四川省南充高级中学高二期中（文）在三棱锥尸 一ABC中，PA,P B，垂直，PA=,PB=2,PC=3,则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.y乃 B.567r C./叵 万 D.14万4 3【答案】D【解析】将三棱锥P-A 8 c补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R,贝1）4/?2=（2尺）2 =上42+尸外+/。2=1 4,所以球的表面积为5=4万用=14万.故选：D.【反思】由题意PA,PB,P C两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用PCl两两长方体求外接球.3.（2021 全国高一课时练习）
6、已知三棱锥P-A 8 C,在底面AABC中，A=30,BC=,P A L面ABC,PA=2 6,则此三棱锥的外接球的表面积为（)167rA-B.4岳32%D.16 乃【答案】D【解析】设“ABC的外接圆半径为R,因为A=3。，8 C-由正弦定理得：2人黑=焉=2 所以AABC的外接圆半径为1,设AA8C的外接圆圆心为。，过点。做的平行线，则球心第3页/总17页一定在该直线上，设为0,因为9 _ 1 面人次7,F A =26,由于O P =Q 4 =R,故。=3尸 4 =6,由勾股定理得：OA=ylOD1+A D2=2 即此三棱锥的外接球的半径为2,故外接球表面积为4T C x 22=1 6 兀
7、.故选：D【反思】此题典型的单面定球心求外接球的问题，先确定AABC的外接圆圆心 ,再过。做 P A的平行线，则可确定球心。在该直线上，进而通过计算求出外接球半径R.4.三棱锥尸 ABC中，平面P A B J 平面A B C ,和A 4 B C 均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为.P【解析】：由于A A B C 是正三角形，并且边长为2,所以A A B C 的外接圆圆心为。1,则HO,=,OtC =空洞理可得A R A B 的外接圆圆心为。2，可得 I 。叵，o,p=2叵,分别过。做面A B C的垂线，过。,做面P A B的3 3垂线交于。，因为平面P 4 5 _ L平面
8、ABC,所 以 四 边 形 为 正 方 形，且OC=R,利用勾股定理：0。2 =0 0：+0C2=R2=（正）2 +（迪）2 =*,所以R=巫-)=一，/71 次/V =-3 3 3【反思】此题典型的双面定球心，由于选定的面A A B C,A/%3 都是正三角形，故其外心都是中心，如果是普通三角形，可以采用正弦定理定外心.三、针对训练举一反三一、单选题1.（2 0 2 1 湖北黄冈高一期末）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1,当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）第4 页/总1 7 页A.2 B.4 C.D.2G【答案】B如下图组合体的轴截面，设圆锥半径为小 圆锥
9、高为人 则C F =r,A O =h-,A C=7 ,OR C F由s i n Z OA E=s i n Z C A F得=，代入得配户一 2 h户一 配=0，OA C A由“该圆锥体积是球体积两倍 可知V =(7 产./z =2 x(x I3),即产=8，联立两式得h=4.故选:B2.(2 0 2 1 青海海南藏族自治州高级中学高三开学考试(理)如图正四棱柱ABC-ABCQI中，底面面积为3 6,V A B C,的面积为6 廊，则三棱锥8-AMG的外接球的表面积为()【答案】CC.1 7 2 万D.1 0 几万【详解】设正四棱柱A B C Z)-A B 。的高为,因为正方形A B C D 的
10、面积为3 6,所以4片=耳。1=6,第5 页/总1 7 页在R t&8 6 中，由勾股定理得AG=6 夜，在RSBCG中，由勾股定理得8 盘=+3 6,A B =B G,因为 A f G 的面积为6 底，所以（6 夜 1 3 6+/-（3 应了=6 屈,解得/z =1 0,依题意，三棱锥B-AG的外接球即为正四棱柱ABCD-AAGR的外接球，其半径为R =L而 二 贰 而 二 闻，2所以三棱锥B-ABG的外接球的表面积为4%（而=1 7 2 万.故选：C.3.（2 0 2 2 唉 国 高三专题练习）已知四面体P-A B C 中，H _ L 平面A B C,PA =A B =2,B C =岳,3
11、且ta n/A 3 c =,则四面体P-A B C 的外接球的表面积为（）A.1 5%B.7冗 C.1 8 4 D.2 0 乃【答案】B解：如图所示：3，,在 z k A B C 中，ta n Z.A B C =,又.s i n2 Z A B C+c o s?Z A B C=1 且乙 。G(0,乃),故解得：c o s ZA B C =3叵,s i n ZA B C =,1 3 1 3由余弦定理得：A C2=A B2+B C2-2 A B B C-cos Z A B C,即 A C2=22+(V l 3)2-2 x 2 x V 1 3 x p=9.故 A C =3,设 A B C 的外接圆半径
12、为，第6 页/总1 7 页_ A C _ 3 _ 叵则 飞 皿 幺 灰 二 3 而 一 方 ，2 x-1 3设AABC的外接圆圆心为a,四面体P-A 8 C 的外接球球心为0.则 O A 2=o Q：+a A 2=（g p A）+/=1 2+（乎）=J 2,1 7，四面体尸-A B C 的外接球的表面积为：4 -x =1 7 -.4故选：B.4.（2 0 2 1 江苏金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛,大家的作品在展览中获得了一致好评.其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。面上，若圆锥的侧
13、面展开图的圆心角为胃，面积为3 I，则球。的表面积等于（）,8 1 乃 n 8 1 4 _ 1 2 1 1 n 1 2 1 1A.B.C.D.8 2 8 2【答案】A【详解】圆锥的顶点和底面圆周都在球。面 上，圆锥的侧面展开图的圆心角为士2万，面积为沏,31 2设母线为/,则5*“/2=3 万，可得：1 =3,2由扇形的弧长公式可得：2 仃=铲/,所以r=l,圆锥的高O Q =存 二 7=2 夜,第7 页/总1 7 页/L 2 9由，+（20-R）=R 2,解得：尺=市，Q 1 Q 1所以球。的表面积等于4 加 4=4三=高，32 o故选：A5.（2 0 2 1 云南弥勒市一中高二阶段练习）设
14、直三棱柱A BC-A qa 的所有顶点都在一个球面上，且 球 的 体积是型叵，A B =A C =A Alf N3 AC =1 2 0。，则此直三棱柱的高是（）3A.1 B.2 C.2&D.4【答案】B【详解】设 A B =A C =A A =2/n,三角形A B C 外接圆。的半径为r,直三棱柱A B C-A B|G 外接球。的半径为R.因为N8 AC =1 2 0。，所以NAC 8 =3 0 ,A R于是 2 r=-=4/2/,r=2 m,OC =2 m.si n 3 0 又球心。到平面A B C 的距离等于侧棱长A A 的一半，所以。日=机.在心OC 中，由 0 0 2 =0 0；+得店
15、=+4 落 R=所以球的体积丫=（1（石?）3=3 磬，解得，”=1.于是直三棱柱的高是AA=2?=2.故选：B.6.（2 0 2 1 重庆西南大学附中高一期末）己知正方形A8 C 中，A B =2,E是C D 边的中点，现以A E 为折 痕 将 折 起，当三 棱 锥 A B E 的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（）【答案】C【详解】解：过作O F J.A E 于F,设点为八针七的外心，G为A E 的中点，连接因为正方形AB C。中，A B =2,E是C D 边的中点，所以O E =1,则 AE =8 E =7i=6，E G=好,。尸=2 =半，2 A E yJ5 5第8 页/总1 7
16、页所以EF=JDEZ-DF?MG=EG=旦,EM=三,V 5 5 2 4 4所以9G=E G-E F =无 一 且=拽，2 5 10所以 FM=VA/G2+F G2=J +=追 叵,V16 100 20设棱锥O-A B E的外接球球心为。，半径为R,则O M L平面B C E F,设O M=x,因为ABE的面积为定值，所当高最大时，三棱锥 -ABE的体积最大，此时平面ADEL平面BCEF,因为 O F L A E,平面 ADEf平面3CEF=AE,所以OF J_平面BCEF,所以（D F-O M +FM?=7?2,0加2 +皿2 =R2,所以+=OA/2+E M2 ,所以 D F2-2DF O
17、 M +F M2=E M2,所以 _ 2 x*.0用+旦=生，解得O M=0,5 5 80 16所以A A B E的外心为三棱锥D-A B E外接球的球心，所以R=W=-4万 二=也16 4所以三棱锥外接球的表面积为4万N =7.（2021 广 西 柳铁一中高三阶段 练 习（理）在三棱锥A-B C O中，A B=A D=B C =3,8 =5,BD =4,A C =3及，则三棱锥外接球的表面积为（）第9页/总17页【答案】DB -由 AB =B C =3,A C =3金，得 AB。+=AC?,A B 1 B C,由 B C =3,8 0 =4,C D =5,得8 C 2+5 2 =C 2,:.
18、B C L B D,又4 8 0 8 0 =8,.I B C J _ 平面4,设4 B。的外心为G,过 G 作底面的垂线G。,使G 0 =；BC,则。为三棱锥外接球的球心，在A3。中，由 A3 =A O =3,8 0 =4,得co s/8 Ao =2 x 3 x 3 9si n Z B AD =，设A3。的外接圆的半径为八4 9 方y=-=,3则 c 4 6 2 0，0 G =,2 x-231 2 6玉F二三棱锥外接球的表面积为4 兀店=4 兀乂艺=于九故选：I）.8.（2 0 2 1 江西省南丰县第二中学高一学业考试）已知四棱锥S-A 3 C D,S 4,平面4 3 C Q,A B 1 B
19、C,NBCD+NDAB=T,SA =2,B C =-,二面角 S-B C-A 的大小为土.若四面体3 3S-4 c o 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）B.4 岳C.1 0 1第1 0页/总1 7 页【答案】A【详解】7 T 4因为4B_LBC,NBCD+NDAB=乃,所以NCD4=2zr zr=,所以CD_LAO,所以ACO外接圆的圆心为AC的中点，记为O,过O 作直线/使得/J平面ABCO,取SA中点M,过 M 作/。！/垂足为。，则。4=OS=OC=O,所以。为四面体S-A C O 外接球的球心，因为 SA_L8C,A8J.8C,S4nA3=A,所以 BC_L 平面 SAB,
20、BC 工 SB,IT又A B 1.B C,所以一面角S-8 C-4 的平面角为N S 8A,所以NSBA=,SA _ 2/3 _ fT因为 S4=2,所以 A=F =.所以 A C =B 2+B C2 户+3=2,tan-3V3 3所以 AO=MO=，AC=1,2又因为AM=SM=OO，=gAS=l,所以 A。=1 4。+=近，所以四而体S-A C D 外接球的体积 为 子（可=答二、填空题9.（2022 河南焦作一模（理）已知三棱锥P-A B C 的每条侧棱与它所对的底面边长相等,第11页/总17页且 研 C是底边长为3 亚，面积为当的等腰三角形，则该三棱锥的夕卜接球的表面积为【答案】3 4
21、 万【详解】三棱锥P-A B C 可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，如图，设P A=B C =3叵，PB =A C=P C =A B =x,长方体交于一个顶点的三条棱长为。，b,c,则=x 3xx 2_ 2 =,解得x =5,由题得4 2+6 2=上 4 2=9 忘 7=1 8,a2+c2=A C2=25,b2+c2=PC2=2 5解之得 =3,。=3,c =4.所以该三棱锥的外接球的半径为R=如+*=仃土32+4,=叵,2 2 2所以该三棱锥的外接球的表面积为S=4油 2 =4 i x（半）=3 4 万.故答案为：3 4%1 0.（2022 河南驻马店高三期末（文）
22、在三棱锥P-A B C 中，底面是以A B 为斜边的等腰直角三角形，4 8 =4,PA =PB =PC =y/l3,则三棱锥P-A 8 C 外 接 球 的 表 面 积 为.【答案】等#萼 兀【详解】如图，取A 8 的中点。，连接P O,CD.由题意可得A =B =C D =2,因为 P 4 =PB,所以因为P 4 =A，所以尸0 =3,所以刊 +c 02=p c 2,所以N P O C =9 0，即 P O _ L C O.因为 A B n C D =O,所以 P O 1,平面 A B C,第1 2页/总1 7 页设三.棱锥P-A B C外接球的球心为0,由题意易得三棱锥尸-A B C 外接球
23、的球心0 在线段P D 上，如下图则三棱锥P-A B C外接球的半径R 满足收=（PD-=O D2+A D2,解得0 0 =3,所以R =3-，=1,居=萼；6 6 6 3 6若三棱锥P-A B C外接球的球心。在线段P D 的延长线上，如下图，则三棱锥尸-A B C 外接球的半径R 满足R 2=（尸 +0 ）2 =0 0 2+4y,（3+0 0）2=0 0 2+2 2,无解；所以，IAOTT三棱锥P-4 8 c 外接球的表面积5 =4nR2=.91 6 9 兀故答案为:9第1 3 页/总1 7 页1 1 .（2022嚏:国模拟预测（理）已知4、8、（7、为空间不共而的四个点，且 B C =B
24、 =2A 8 =27 2，则当三棱锥A-B C D 体积最大时，其 外 接 球 的 表 面 积 为.【答案】1 8 7 r【详解】当初、B C、和两两垂直时;如图三棱锥A-B C O 的底面 8 C O 的面积和高同时取得最大值，则三棱锥的体积最大，此时将三棱锥补形为一个长宽高分别为2啦，2夜，血的长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，球的半径r =g J（2夜 1+（应+0 夜）2 =半，表面积为4 兀 r=1 8 兀.故答案为：1 8 兀.1 2.（2022 安徽马鞍山一模（理）三棱锥P-4 3 C 中，P A C 是边长为2 G的等边三角形,A B =B C =2,平面P A C J
25、 平面ABC,则该三棱锥的外接球的体积为【答案】a叵3【详解】等边三角形P A C的高为s i n 工X2/5=2c 3 ,3 2等边三角形_2_=2P 4 C 的外接圆半径为。.冗一Z s i n 一6三角形A B C 的 外 接 圆 半 径 为=2,2s i n 一3设。，。2分别是等边三角形P A C、等边三角形A B C 的中心，设。是三棱锥P-A B C 的外接球的球心，R 是外接球的半径，第1 4 页/总1 7 页则 R 2=OA?=22+/=5 =R =石，所以外接球的体积为皿=型 叵3 3故答案为：3逼31 3.（2021吊胡北荆州府一期中）如图，在一个底面边长为2,侧棱长为加
26、的正四棱锥P-A 2 C。中，大球。内切于该四棱锥，小球。2与大球。及四棱锥的四个侧面相切，则小球。2的表面积为_ _ _ _ _ _.第15页/总17页【解析】【详解】设。为正方形4题 的 中 心，脑的中点为M,连 接/物 O M,P 0,则。历=1PM=IP-A M2=V1O-1=3 PO=/1=2应，如图，在截面制/中，设 V,为球a 与平面上出的切点，则*在 网 上，且Q N 1 P M,设球。的半径为此 则O|N=R,V sinZMPO=-,.经=!，则 Pq=3R,PO=PO.+OO,=4/PM 3 P。、3设球O1与球。2相切于点0,则PQ=PO-2/?=2R,设球。，的半径为r,同理可得尸Q=4r,.=也，2 4jr故小球。2的表面积4=.7 1故答案为：y=2 0,:.R=显,2第16页/总17页第17页/总17页