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1、 专题 12 多面体的外接球和内切球 一、结论 1球与多面体的接、切 定义 1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。定义 2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一 球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥PABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下：P ABCDO ABCDO PBCO PCDO PADO PABVVVVVV 即：1111133333P ABCDABCDPBCPCDPADPABVSrSrSrSrSr ，可求出r.类型二 球的外接问题 1、公式法 正
2、方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2、补形法（补长方体或正方体）墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CDAB，BCAD，BDAC）3、单面定球心法（定+算）步骤：定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥PABC中，选中底面ABC，确定其外接圆圆心1O（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sinarA）；cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPA 过外心1O做（找）底面ABC的垂线，如图中1PO 面ABC,则
3、球心一定在直线（注意不一定在线段1PO上）1PO上；计算求半径R:在直线1PO上任取一点O如图：则OPOAR，利用公式22211OAO AOO可计算出球半径R.4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥PABC中：选定底面ABC，定ABC外接圆圆心1O 选定面PAB，定PAB外接圆圆心2O 分别过1O做面ABC的垂线，和2O做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题 1（2022山西吕梁一模（文）在九章算术商功中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD中，AB 平面BCD，1ABBCCD，BCCD，则鳖臑ABCD内切球的表面积为（）A3 B(32 2)
4、C12 D(32 2)【答案】B【解析】解：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB 平面BCD，BCCD，所以ABBD，ABBC，BCCD，ACCD，设四面体ABCD内切球的球心为O，则13ABCDO ABCO ABDO ACDO BCDABCABDACDBCDVVVVVrSSSS内，所以3ABCDVrS内，因为四面体ABCD的表面积为12ABCDABCABDACDBCDSSSSS，OHBACPO2O1 又因为四面体ABCD的体积16ABCDV，所以3212VrS内，所以24(32 2)Sr球，故选：B【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.2（2021四川省南充高级中学高二期
5、中（文）在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC两两垂直，1PA，2PB，3PC，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A494 B56 C56 143 D14【答案】D【解析】将三棱锥 PABC补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为 R，则222224214RRPAPBPC，所以球的表面积为2414SR 故选：D【反思】由题意PA，PB，PC两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球.3（2021全国高一课时练习）已知三棱锥PABC，在底面ABC中，30A，1BC，PA 面ABC，2 3PA，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A163 B4 3 C323 D16【答
6、案】D【解析】设ABC的外接圆半径为 R，因为30A，1BC，由正弦定理得：122sinsin30BCRA，所以ABC的外接圆半径为 1，设ABC的外接圆圆心为D，过点D做PA的平行线，则球心一定在该直线上，设为O，因为PA 面ABC，2 3PA，由于OPOAR，故132ODPA，由勾股定理得：222OAODAD，即此三棱锥的外接球的半径为 2，故外接球表面积为24216.故选：D【反思】此题典型的单面定球心求外接球的问题，先确定ABC的外接圆圆心D，再过D做PA的平行线，则可确定球心O在该直线上，进而通过计算求出外接球半径R.4.三棱锥ABCP中，平面PAB 平面ABC，PAB和ABC均为边
7、长为2的正三角形，则三棱锥ABCP外接球的半径为 .【解析】:由于ABC是正三角形，并且边长为 2，所以ABC的外接圆圆心为1O,则133HO,12 33OC,同理可得PAB的外接圆圆心为2O，可得到233HO，22 33O P,分别过1O做面ABC的垂线，过2O做面PAB的垂线交于O，因为平面PAB 平面ABC，所以四边形12HO OO为正方形，且OCR,利用勾股定理：2222221132 35()()333OCOOOCR，所以153R.【反思】此题典型的双面定球心，由于选定的面ABC，PAB都是正三角形，故其外心都是中心，如果是普通三角形，可以采用正弦定理定外心.三、针对训练 举一反三 一
8、、单选题 1（2021湖北黄冈高一期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）A2 B4 C3 D2 3 2（2021 青海 海南藏族自治州高级中学高三开学考试（理）如图正四棱柱1111ABCDABC D中，底面面积为 36，11ABC的面积为6 59，则三棱锥111BABC的外接球的表面积为（）OHBACPO2O1 A68 B100 3 C172 D10 6 3（2022全国高三专题练习）已知四面体PABC中，PA 平面ABC，2PAAB，13BC，且3tan2ABC，则四面体PABC的外接球的表面积为（）A15 B17 C1
9、8 D20 4（2021江苏金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评 其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为23，面积为3，则球O的表面积等于（）A818 B812 C1218 D1212 5（2021云南弥勒市一中高二阶段练习）设直三棱柱111ABCABC的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是20 53，1ABACAA，120BAC，则此直三棱柱的高是（）A1 B2 C2 2 D4 6（2021重庆西南大学附中高一期末）已知正
10、方形ABCD中，2AB，E是CD边的中点，现以AE为折痕将ADE折起，当三棱锥DABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（）A52548 B54 C254 D25 7（2021 广西 柳铁一中高三阶段练习（理）在三棱锥ABCD中，3ABADBC，5CD，4BD，3 2AC，则三棱锥外接球的表面积为（）A6310 B645 C1285 D1265 8（2021 江西省南丰县第二中学高一学业考试）已知四棱锥SABCD，SA平面ABCD，ABBC，BCDDAB，2SA，2 63BC，二面角SBCA的大小为3.若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A8 23 B4 3 C10
11、 D323 二、填空题 9（2022河南焦作一模（理）已知三棱锥PABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且ABC是底边长为3 2，面积为3 412的等腰三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_.10（2022河南驻马店高三期末（文）在三棱锥PABC中，底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，4AB，13PAPBPC，则三棱锥PABC外接球的表面积为_ 11（2022全国模拟预测（理）已知A、B、C、D为空间不共面的四个点，且22 2BCBDAB，则当三棱锥ABCD体积最大时，其外接球的表面积为_ 12（2022安徽马鞍山一模（理）三棱锥-P ABC中，PAC是边长为2 3的等边三角形，2ABBC，平面PAC 平面ABC，则该三棱锥的外接球的体积为_ 13（2021湖北荆州高一期中）如图，在一个底面边长为 2，侧棱长为10的正四棱锥PABCD中，大球1O内切于该四棱锥，小球2O与大球1O及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O的表面积为_