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1、导数中八大切线问题题型总结【考点覆测】1.在点的切线方程切线方程y-fM=/（,）Q-x0）的计算:函数y=f（x）在点4（g,/（,）处的切线方程为y-/（x0）=f（g）（z&）,抓住关键也:的.I片 一J I如I2.过点的切线方程设切点为PE”物），则斜率卜=/（与）,过切点的切线方程为：沙 一 物=r（m）&-与），又因为切线方程过点A（m,n）,所以71涣=/（与）（m ,）然后解出叫的值.3。有几个值，就有几条切线）注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.【题型目录】题型一:导数与切线斜率的关系题型二:在点P处切线（此类题目点P即为切点）题型三:过点P的切线（此
2、类题目点P不一定为切点,需要设切点为（刻,涣）题型四：已知切线求参数问题题型五:切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）题型六:公切线问题题型七:切线平行、垂直、重合问题题型八:与切线相关的最值问题【典例例题】题型一:导数与切线斜率的关系1例11（2022全国商三专题练习（文）函数“=/（工）的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A.0 /（2）f（3）/（3）-/（2）扑B.0/（2）/（3）-/（2）f（3）TC.0/（3）/（3）-/（2）f（2）D.0/（3）-/（2）/（2）f（3）B/答案】c_J_7 2-i-M【解析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象
3、，即可求解.I-【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得/（2）表示切线6斜率瓦0,r（3）表示切线 斜率总0,【例2】函数y =/S）的图象如图所示，r（x）是函数/（立）的导函数，则下列大小关系正确的是（）A.2/,（4）/（4）-/（2）2,f（2）B.2 f（2）/（4）-/（2）2/f（4）C.2/（4）2/（2）/（4）-/（2）D.f -f 2?2【答案】B【解析】由导数的几何意义判断【详解】由图象可知/3）在（0,4-00）上单调递增，kkA Rk,故/,已）/（?一,2）但）,即 2（2）/（4）-/（2）2/（4）故选:B【题型专练】L（2021福建泉州城北大培文学校方三
4、期中）（多选慝）已知函数/（的图象如图所示，/是/（“;）的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A.r（3）f（2）B./V/一/C.f（2）/（3）-/（2）D./（3）-/（2）0【答案】4B【解析】根据导数的几何意义可得/（2）/（3）,记4（2,/（2）,8（3,*3）,作直线45,根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出f（3）/（2）/（3）.【详解】由函数的图象可知函数/（z）是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2 =2处的切线斜率阶大于在t =3处的切线斜率无，所以/（2）r；记A（2J（2）,B（3 J（3）,作直线AB
5、,则 直 线 的 斜 率 =弋 =/（3）/（2）,由函数图象，可知自 k 上（）,即尸（2）/（3）-/（2）f（3）0.故选：A B2.（2022黑龙江齐齐哈尔高二期末）函数“=/（.,）的图象如图所示，/（0是函数/（4的导函数，则下列数值排序正确的是（）A.2 f V/V 2 f /y=f（x）B.2/（3）2f（5）/（5）-f（3）./C./-/2*3）21f ：D.2/V 21f f（5）-/：【答案A _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _:【分析】由。=/（工）图象的变化趋势，结合导函数的定义有/（3）0 3 5 X,（5）,即可得答案.【详解
6、】由图知：f（3）幺 5匕，/，（5）,即 2*3）/（5）-/（3）-1,即 切 线 的 斜 率-1,进而得到ta n。一1,即可求解.【详解】由题意，函 数/=上?，-a:,可得/（工）=e2 1-1,因为e 0,所以e 2 -l-l,即切线的斜率卜一1,设切线的倾斜角为J,则ta n。-1又因为0 兀，所以04夕。或坐 0I 3 v i z,v i z g ,x 01V 0令6 V 0,则 一6 0.所以 f(x)=2x2+x.又函数/(力图像关于原点对称，即/(一二一/3).所以当V 0时，J(T)=-2x2 x.所以当1 V0时，/3)=4x 1.r(T)=4-1=3,/(-l)=-
7、2 +1 =-1;所以/(1)在 =一1处的切线方程为：g+1 =3(x +1)=3力-g+2 =0.故选：A.【题型专练】1.2018年新课标1卷理科】设函数/）=/+（a -1）42 +（以 若/（力）为奇函数，则 曲 线g=/（力）在点（0,0）处的切线方程为（）A.g=-2 6 B.7/=-X C.y =2x T）.y =x【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得Q=1,进 而 得 到/3）的解析式，再对/（，）求导得出切线的斜率队进而求得切线方程.详解：因 为 函 数/3）是奇函数，所以a 1 =0,解得a =l,所以 f3）=，f （a）=3x2+1,所以/（0）=1
8、J（o）=o,所以曲线y=/（）在点（0,0）处的切线方程为T/-/（O）=r（o）z,化简可得g=%,故选D.点睛：该题考查的是有关曲线g=/（N）在某个点（的,/（血）处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得r（，借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果.2.12021年甲叁科】曲线沙=答，在 点（一1,一3）处的切线方程为一【答案】5r r -？+2 =0 解析 先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.【详解】由题，当工=-1时，y=-3,故
9、点在曲线上.求导得：式_ 2(x +2)-(2 x-l)二(x +2)2位+2/,所以 y x=-i=5.5故切线方程为5 x-y +2=0.故答案为：一y +2 =0.3.【2019年新课标1卷理科】曲线y =3（+力在 点（0,0）处的切线方程为.【答案】3 4y =0.【解析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解:=3(2 r r +l)eJ+3(x2+x)ex=3(x2+3 x +l)ex,所以，k =|i=3所以，曲线y =3(/+z)e 在点(0,0)处的切线方程为y =3x,即3。-y =0.【点睛】准确求导数是进一
10、步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误.求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求.4.【2018年新课标2 卷理科】曲线g=2 1 n(a;+1)在 点(0,0)处的切线方程为.【答案】y =2 4【解析】先求导数,再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.5.12018年普课标3 卷,科】曲 线 =(a z +l)e 工在点(0,1)处的切线的斜率为一2,则 a
11、=.【答案】-3【解析】求导，利用导数的几何意义计算即可.【详解】解：式=a eJ+(a x+l)er则/(0)a+l 2所以a =-3故答案为一3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题题型三:过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为(厮如)【例1】【2022年新高寿2 卷】曲线9=I n 过坐标原点的两条切线的方程为,【答案】y x y-x【解析】分工0和R0时设切点为(幽1,1 1 1 网)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出与，即可求出切线方程，当V0时同理可得；【详解】解：因为y =l n|z|,当0时y
12、 =l n E,设切点为(a jn,l n x0),由式=工，所以式|工一=-,所以切线方程为,一 I n 幽尸o c x()=(力 X o),i i 1又切线过坐标原点，所以一I n 的=丁(一 g),解得的=e，所以切线方程为沙一 1 =一(一e),即 沙=-x 3 7()6 e当 V0时g=l n(-2),设切点为(加,I n(%),由”=工 所 以|工=由=-,所以切线方程为g-l n(-N)X X 又切线过坐标原点，所以一l n(一为)=(-X i),解得i=-e,所以切线方程为 一1 =一(n +e),即沙=X-G故答案为：夕=一;y=x【例2】（2022四川广安二中二模（文）函数
13、/（力）=炉 过 点（0,0）的切线方程为（）A.g=0 B.ex+y=0 C.y=0或+eg=0 D.g=0或c%+0=0【答案】C【解析】设切点（7n,772%m）,利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过（0,0）代入求参数小，即可得切线方程.【详解】由题设/（c）=（2i+x2）eT,若切点为（m,m2em）,则 f（m）=（2m+m2）em,所以切线方程为y m2ern=（2m+m2）em（x m）,又切线过（0,0）,则 mem=（2-I-m）rri2em，可得 m=0 或 7/i=-1,当771=0时，切线为g=0;当m=-1时，切线为e y-1 =Q +1）,整理得力
14、+ey=0.故选:C【例3】（2022四川盾成春市郭春区第一中学高三阶段练习（文）若 过 点（y,0）的直线与函数/（%）=加，的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（）A.e+1 B.C.1 D./【答案】D【解析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点（。,0）代入方程，解出切点坐标即可完成求解.【详解】因为函数/（=xex,所以/=（x+l）eT,设切点为（x0,小e），则切线方程为：v （）=（g+l）e:r（x 常,将 点（.。）代入得一左“1=3）+1）.（.一例），即一的=+D（方 一的）,解得5=-y或而=1,所以切点横坐标之和为一+1=y故选：D.【例4】（2022广东佛
15、山市南海区九江中学高二阶段练习）直线 二/出 一5与曲线g=-j-x +Inx相切，则b的值为（）A.2 B.-2 C.-1 D.1【答案】D【分析】求出d=y +，设切点（的，物），由（的）=皆 求 出（厮物），代入夕=枭-b可得答案.【详解】y，=一。+占,设切点（期）,%）,由式（四）=y +4 =，所 以 曲=1,如=代入?/=1工-b,得6=1.故选：D.【题型专练】1.（2022陕西安康高三期末（文）曲线y=2xnx+3过 点（一卷,0）的切线方程是（）A.2 x +y+1 =0 B.2.r-y+l =0 C.2 x +4 y+1 =0 D.2 x-4 y+1 =0【答案】B【解析
16、】设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.【详解】由题意可得点（一/,（）不在曲线j/=2 0 n:c +3上,设切点为（如加），因为d=2l nx+2,所以所求切线的斜率k=2 1 n a;o+2 =如 厂=-z2厅,的+十”0 十1所以驮）=2 1 r o i n e o +2 g +l u g +1.因为点（g,加）是切点，所 以）=2 g l n g +3,所以 2 Z f）l n c o +2 r e0+l n x（）+1 =2 i（）l n g +3,即 2 四）+I n 的-2 =0.设/（2）=2%+h?力-2,明显/（力）在（0,+8）上
17、单调递增，且/（1）=0,所以2x（）+I n g 2 =0有唯一解的）=1,则所求切线的斜率k =2,故所求切线方程为y=2（x +J）=2 x +1.故选：B.2.（2022广东茂名二）过坐标原点作曲线g =的切线，则切点的纵坐标为（）【答案】B 解析】设出切点P（o n 网）（的 0）,利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可.【详解】解：设切点尸（o ng）（%0）,由y=l n z,得式=1，所以引=*，曲 线 在 点 尸 处 的 切 线/方 程 为 l n a；o=（a;x0）,又/过（0,0）,一 l n 费=-（一g）,解得:r o=e,诙）/.切
18、点P（c,l）,纵坐标为1.故选：B.3.过点（0,1）作曲线/（C）=MIIN的切线，则切线方程为（）A.c +g+l =0 B.x y 1 =0 C.r c +2 g +2 =0 D.2%g1 =0【答案】B【解析】设切点为（如物），再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.【详解】fr（x）=I n 1 +1,设切点为（布,他），工坊=xol n a?o,.防+1=刈）+1,z（）T（）ln+1 =x（）l n x（+x（）,x（）=1,/.级）=0,所以/c=r 3 o）=i,切线方程为y=H 1,即/一y 1=（）,故选：B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,考查曲线
19、的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知/（=/,则过点尸（一1,0）且与曲线=/（%）相切的直线方程为（）A.y=0 B.4a;+y+4=0C.?=0 或 41+夕 +4=0 D.y=0 或 4a:y+4=0【答案】C【解析】设切点为（向,纵）则切线方程为y s（）=2x（）（a;-的），将点P（1,0）代入解xt）,即可求切线方程.【详解】设切点为（%加），则纵产球，切线斜率为后=/（）=2x 所以切线方程为 一就=2而（一4）,因为过点P（1,0）则X o =2xo（.X n）解得;E o=O或&=2,所以切线方程为y=0或4a;+y+4=0故选:C题型四:已知切
20、线求弁数问题【例1】（2022湖南模拟演测）己知P是曲线C-.y =nx+/+（V3-a）z上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为仇若与则实数a的取值范围是（）A.2V3,0）B.2V2,0）C.（-8,2-D.（-co,2V2【答案】D【解析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.【详解】因为 y=Inx+/+（V3 a）a?,所以式=1+2H+V3 a,因为曲线在“处的切线的倾斜角 6得 奇），所以式，tan。*=遍对于任意的方0恒成立，即 +21+%对任意2 0恒成立，即a&2;r+-!-,又2：+工 2，,当且仅当2立=工，X X X
21、即z=苧 时，等号成立，故a 4 2 2,所以a的取值范围是（-8,2/.故选：D.【例2】（2022广东石门高叙,中学方二阶段练习）若直线y=fcr+1-ln2是 曲 线=1ns:+2的切线，则k=_【答案】2【分析】设切点K（x,，幼），根据导数的几何意义列式求解即可.【详解】对函数y=Inz+2求导得式=1，设直线y=心7+1 ln2与曲线？/=Inz+2相切于点舄团,？1）,则“=卜1的+2,由点冗（如小）在切线上得y （lnrE|+2）=（x x j,即y=-rr+In +I,所以x=k，解 得 电=于1，k=2.J +In =1 ln2故答案为：2【例3】(2022陕西千国县中学商
22、三阶段练习(文)已知曲线y=ae+xlnx在 点(l,a e)处的切线方程为y =2/+b,则 b=【答案】T【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出a=e-1 再由切点坐标，即可求出结果.【详解】因为夕=ae，+rrlnrr的导数为y =a eT+Inz+1,又函数U=ae*+;rlnH在点(l,a e)处的切线方程为y 2x +b,可得 ae+0+l=2,解得 a=eT,又切点为(1,1),可得1=2+6,即b=-l.故答案为：一L【例4】(2022江苏苏州模拟演测)已知奇函数/(*=(/2通(阳+6)5 片0)在点(a,/(a)处的切线方程为y=/(
23、a),则 6=()A.1或 1 B.竽或竿 C.2 或 2 D.一早或竽【答案】D【解析】由函数为奇函数可得b=2a,根据切线的斜率为0 建立方程求出a 即可得解.【详解】由/(土)=(一 2 i)(a r+b)(a W 0)可得/(。)=Q/+(b-2a)/一2b。，因为 f(x)=/(力)，所以 b 2Q=0,解得 b=2a.所以g=/(a)=a4 4a2,故切线斜率k=/(a)=0,又/(re)=Q(3/4),所以Q)=a(3 a?-4)=0,解得a=2f 或a=-2 乌，oo所2以bj =_ -4-A/3 或+4/3.故选:D【题型专练】1.(2022云南 丽江市栽立科学研究所高二期末
24、)已知曲线/=体+a)e 在点(一1 J(T)处的切线与直线26+g l=0 垂直，则实数a的值为.【答 案 吟【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可.【详解】因为/(N)=(归+a+l)e工，所以切线的斜率为k=/(-1)=ae 1,而切线与直线2%+g 1=()垂直，所以加一匚(一2)=-1,解得。=与，故答案为：y.2.(2022云南冕明模拟预测(文)若函数/=+nx的图象在力=4 处的切线方程为9=N+b,则()A.a=3,b=2+ln4 B.a=3,b=2+ln4C.a=?,b=-1 +hi4 D.a=-1-,b =l +ln4【答案】A 解析 利用导数的几何意
25、义可求出结果.【详解】/（工）的定义域为（0,4-o o）,小）=泰+5由 题 意 可 得 那 二 ,即 册+=，解 得 忆;+i 1，1/（4）-4 +f e （o.V 4 +ln 4 =4 +6 U 2 +ln 4故选:A3.（2022河前方城第一寄统中学模拟颈测）已知直线I的斜率为2,/与曲线G：y =劣（1+I n r z;）和圆C,：/+-6土 +汴=0均相切，则 九=（）A.-4 B.-1 C.1 D.4【答案】D【解析】设曲线G的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径即可求得n值.【详解】设直线，：2 H-y +m=0与曲线G相切，
26、切点为（sn,x（）（l+I n g）,因为y =c（l+I n ）的导数为y 2+I n o;,由2 +ln a：o=2,解 得 新=1,所以切点为（1,1）,代入2 a;y +馆=0得m,=-1,所以切线方程为2x y 1 =0.将?+J/?-6 r r +n =0化为标准方程为（方 一 3尸+才=9 -n（n 9），因为，与圆G相切，所以7?-=A/9 TI,解得n =4.V22+l故选:D题型五:切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）【例1】（2022河南洛阳三模（文）若过点。（1,0）作曲线y =d的切线，则这样的切线共有（）A.0条 B.1条 C.2条 D.3条【答案】
27、C【解析】设切点为（网,身），求出函数的导函数，即可求出切线方程,再根据点P在切线上，即可代入切线方程，解 得”即可得解；【详解】解：设切点为（x（）,碇），由y =/,所以式=3x2,所以y x=X l=3式,所以切线方程为y x=3x（x x）,即y =Sx x 2x n,因为切线过点P（L0）,所以0 =3就 2x il,解得;Eo=O 或）=?,所以过点P（LO）作曲线=的切线可以作2条，故选:C【例2】（2022全国高三专题练习）若过点（a,b）可以作曲线y=I n x的两条切线，则（）A.a Vln b B.d ln a C.ln f e a D.ln a&【答案】D【解析】设切点
28、坐标为3）,）,由切点坐标求出切线方程，代入坐标（a,b）,关于；r ()恒成立，/(工)在定义域内单调递增，不合题意；当a0时，0 窜a时,r(a:)a 时，/(r c)0,/(f)单调递增，所以 )1 n t o=/(a)=ln a +l,结合图像知 6 +1 I n a +1,即 b I n a.故选：D.【例3】【2021年新商考1卷】若过点(a,6)可以作曲线“=3的两条切线，则(A.eh aB.ea bC.0ae6 D.0b 0,此 时 函 数 单 调 递 增，当ta时J()0,此时函数/(t)单调递减，所以，/(t)m a x=/(a)=e,由题意可知，直线y =b与曲线y=J(
29、)的图象有两个交点，则b/(t)1 1 1 ax =eu,当t 0,当a+l时，/(。V O,作出函数/(t)的图象如下图所示：由图可知，当O V b V e 时，直 线 与 曲 线y=/()的图象有两个交点.故选：D解法二：画出函数曲线？=e，的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和a;轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0 bVe.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.【例4】（2022河南洛用三模（现）若过点P（l.
30、i）可作出曲线沙=炉 的三条切线,则实数 的取值范围是（）A.（-o o.i）B.（0,+o o）C.（0,1）D.0,1【答案】C【解析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把 点P带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，y =，与9（）=3；1：2 2 4 3,借助导数研究函数9（；1;）的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解.【详解】I L由已知，曲线 y =/,即 令/3）=x ,则=3 a?,I设切点为（砺 瑞，切线方程的斜率为/（3）=3得，所以切线方程为：0加=3媪 工 一 词，将点P（l,t）代入方程 .,2.3程:晨二 3.7；,-（1-
31、T o），整理得 力 =3.7：（；-2 4，设函数g（z）=3x2 2）,过点 P（1,，）可作 出曲线g =的三条-x-切线，_可知两个函数图像。=%与g（i）=3/一 2/有三个不同的交点，一 又因为g，=6出-6 x2,由g （c）=0,可得7=0或=1,所以函数g（.z）在（-8,0）,（1,+8）上单调递减，在（0,1）上单调 递增，所以函数g（x）的极大值为g =3 2 =1,函数g（i）的极小值为g（0）=0 0 =0,如图所示，当（0,1）时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.【例5】（2022河北高三阶段练习）若过点P（l,m）可以作三条直线与曲线C-.y=*相 切，
32、则 a的取值范围为（）A.（-8,今）B.（0,t）C.（-o o.O）D.C【答案】D【解析】本题为过点P的切线，切点为（厮%），可得切线方程y-左=三 兽3一3），代入点P坐标整理为rn=+L，即y =rn与f（x）科工有三个交点.eRe【详解】由a=%,则 =与 产 设切点为（电 ，号）则切线斜率左=1则在点（皿,琶）的切线方程为？一 琶=1（Z-&），代入点P坐标得m 一 华 =1 尸（1 判）e斯 c痢整理为m=至亨也，即这个方程有三个不等式实根，令/（I）=+1,则 f（x）=+y-2,e e令f（%）（）则 1V/V 2函数（在（-8,1）上单调递减，在（L 2）上单调递增，在（
33、2,+8）上单调递减，故 得/馆/(2),即m d)故选：D.【例6】(2022黑龙江哈尔滨市第六中学校方二期末)过直线y =x-1上一点P可以作曲线/)=工一 In”的两条切线，则点P横 坐 标 力 的 取 值 范 围 为()A.0 i!l B.1 fe C.0 t e D.t 0,=l-,/，(T)=1 -十=1,则过点P的切线方程为g -g+-(?;:%)，整理得y =-x 1H.T0+1,g x()由点P在切线上,则 1 =T ln+()+1,即=2%一g lng,1。因为过直线V =N 1上一点尸可以作曲线/3)=一1 1 1 2两条切线，,所以关于：斯的-2 r z;(l-网In。
34、有两个不等的实教机.卜.即函数g =与函数g(%)=2：r -x l nx的图象有两个支点、I：-0 e x 3)=2 Ine 1 =1 In%,d(c)。n 0 V e Ve，d(i)0 n ze,，=g(x)则函数g(i)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，且g(e)=e,c-0 时，g x)-0;x-H-oo时，g x)-8,则函数g =与函数g(i)=-x lnx +2 x的图象如下图所示：由图可知，0 V I V e,【题型专练】1.(2022内蒙古呼和港郴二*()若过点P(-l,m)可以作三条直线与曲线C：y =砍，相切，则 小 的取值范围是()【答案】D【解析】求出
35、导函数，利用导数的几何意义列出方程，即可求解.【详解】设切点为山 汨,过点尸的切线方程为y=(而+l)e R(i%)+雹汜二代入点P坐标，化简为m=(一而一死一1)-，即这个方程有三个不等根即可.令/()=(/1 i)e o 求导得:f(x)=(X 1)(x 4-2)er.令/0,解得：一2出一1,所以/(%)在(一2,1)上递增；令/(V 0,解得：力 一1,所以/()在(-0 0,-2)和(-1,4-0 0)上递增.要使方程m=(一就一电)-1)e办有三个不等根即可.只需/(2)V mV/(1),即 一V 2 V .e e故选:D2.(2022广东深坍二)已知a 0,若过点(a,b)可以作
36、曲线y =的三条切线，则(A.b 0 B.06 a3 D.b(b-a3)0【答案】B【解析】设切点为(四)，身)，切线方程为y =k(一 Q)+b,求出函数的导函数，即可得到+匕=3，整理得2就3a x o+6 =0,令g(%)=2x:i 3a x2+b,利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值,依题意g()有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；【详解】解：设切点为()，就)，切线方程为g =k(。一。)+b9由沙=炉，所 以 式=：2,所以=3唠，则鼠艺，所以2唠-3*+6 =0,令 g(x)=2x:i 3。/2 +b,则 g(c)=6 x2 6 a x =6 x(x a),因为 Q
37、0,所以当 c V O 或 2。时 g(%)0,当 OVIVQ 时 g(0)()且g(%)极 小 依=g(a)=b a 3 V o，即0 b0)可以作曲线0=x eJ的三条切线，则(A.0 a b eh B.a ea b 0 C.0 a e2fe-|-4 D.(a +4)fee2 0,所以当V 2时，/(%)0,f(x)单调递增,当一2 Vn VQ时，f()a时,f(x)0,/(.T)单调递增，当 0 T o o 时/(%)-0,当工-+8时，/(3；)1+8,且/(一2)=：,/(&)=e-a ea0,函 数 的 大 致 图 像 如 图 所 示，因为/(刀)的图像与直线y =一匕有三个交点，
38、所以 0 4，即 一(a +4)1 时，g (x)0,当一3 0,所以g(H)在(oo,-3)和(1,4-0)上递减，在(3,1)上递增，所以g(；r)的极小值为g(3)=(3 9)e ,!=牛,极大e值为 g(l)2e,当 r e V 3 时，g(x)0,所以g(r c)的图象如图所示，因为过点M(l,t)可作3条与曲线?/=f(z)相切的直线，所以y =g(z)的图象与直线“=有三个不同的交点，所以由图象可得一与 t v o,e故选:D5.(2022山东漳步三模)过 点。(1,馆)(m W R)有r i条直线与函数/=加 的图像相切，当n取最大值时,m的取值范围为()5 5 IA.-T V
39、 T n V e B.-T V mV 0 C.-T n 0 D.n i Vee2 e2 e【答案】B【解析】求导分析/(*)=加”的图象可得n=3,再设切点坐标为(如他)，由题可得m=(一就+)+1)-eJ;1有三根，再构造函数g(i)=(-a;2+x+1)求导分析图象单调性与最值即可【详解】由/(x)=xex,f x)=(工 +l)e,故当工-1 时,1f 1时，f(c)0 J 0)单调递增，结合图象易得，过点P(l,m)(m W R)至多有3条直线与函数/(C)=加，的图像相切，故72=3.此时，设切点坐标为(电),训)，则切线斜率卜=(工。+1)记,所以切线方程为y rroer=(血+1
40、)小(7一g),将P(l,m)代入得m=(-xj;+rr0+1)e,存在三条切线即函数m =(/+;r+l)有三个不同的根，又g(c)=一 (4一1)(1+2)e,易得在(-2,1)上,0,g 单调递增;在(-,-2)和(1,+8)上,gx)0,g(x)单调递减，画出图象可得当g(-2)rnV 0,即?71 0),/&)=,切线的斜率为二，则切线方程为 y Ini=(x r r j,即 y =x +l nxx 1X X 设公切线与函数g(力)=*2+力+Q切 于 点 忌+g+a)(g V 0),夕 3)=26+1,切线的斜率为2电+1,则切线方程为 y (x j +x +Q)=(2g+1)(x
41、 x2)，即 g=(2g+l)c 谴+a=2x y+1所以有 nx 1=X 2+a因为为0,所以 2a；2+l 0,可得一V N 2 0,0 V 2 g+1 V I,即 0 V-V l,2X 由 卷=2 g+l可得：电=泰 一 十，所以 Q=ln1i+6：l=ln/i+-1=-+1)1,令 =-，则 土 G(0,1),Q 4(t 一1 InZ=rt Int,X 1 4 4 2 4.凡 人(4-I/O 1 J.1 J.3/c,4 7 1、1nl,r/j._ 1.1 1 _ t2-t -2 _ (2)4/八设h t)=4 t -t-Ini (0 t l),则 h (t)五t -彳=-9-=-2t-
42、h(l)=:一 看 一 六=一1,所以 a -l,4 z 4所以实数a的取值范围是(-1,+8),故选：B.【点睛】方法点睛：求曲线过点A(a,6)的切线的方程的一般步躲是：设 切 点P(g J(g)(2)求出y-f(x)在a:=g处的导数/(3),即y-f(x)在点P(g J(g)处的切线斜率；(3)构建关系/(3)=)一解得3;6g-a(4)由点斜式求得切线方程y_b=/(%)Q -Q).【例31(2022河北石家庄方二期末)若两曲线沙二1与g=alm r1存在公切线，则正实数a的取值可能是()A.1.2 B.4 C.5.6 D.2e【答案】ABD【分析】分别设切点分别为A(xbt/|),
43、3(如 仅)，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出Q=-4冠(In g 1),设g(u)=4T2 4x2ln x由导数求出其值域即可.【详解】由y=a?-1,则/=2力，由g=alnz 1,则/=?设切线与曲线g=-1相切于点4(力1,幼)，则斜率为2xl 9所以切线方程为y (4-1)=2T(X-Ti),即y =2x ix 1 一犹 设切线与曲线g =a hi。-1相切于点夙如例)，则斜率为：,则切线方程为 y (a l n x)1)=(x x),即 y =-x +a l nx2 a 1,根据题意方程，表示同一条直线，则为一五、a l n g a =一若所以 a
44、=-4滋(I n g 1),令 g(M =4/4x2nx(x 0),则/()=4x(1 21 n/),所以g()在(0,V e)上单调递增，在(V e,-f-o o)上单调递减，9(初 的=9(0 =2e,由题意Q (0,2e .故答案为：A B O【例4】(2022全国高三专题练习)已知曲线G：/(N)=e-。和曲线G：g(i)=l n(r r +b)+a2(a,b G R)，若存在斜率为1的直线与G，G同时相切，则b的取值范围是()A.-,+8)B.0,+8)C.(-8,1 D.(-8,【答案】D【解析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分
45、别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得b与a的关系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围.【详解】f(x)=ex,g(2)=#；匕，设斜率为1的切线在G,G上的切点横坐标分别为:E i,股，由题知 e =v-r =1,电=0,2=1 b,X2 r O两点处的切线方程分别为y (l +a)=z和9一/=；(1 6),故&+1 =/1(=2 e,a 6(0,2 e.故选：A.【例6】(2022重庆市育才中学高三阶段练习)若直线h y=f a r+b(k 1)为曲线/=e ；与曲线g(i)=e nx的公切线，则Z的纵截距b =()A.0 B.1 C.e D.-e【答案】D【解析】
46、设切点分别为，幼)，(物,助)，分别求出切线方程，再令切线方程相等；【详解】设，与/的切点为(孙)，则由r(N)=e”T,有 l:y =x eX ll+(1 -x je3 7-1.同理，设Z与/的切点为(畋演)，由g(z)=，有l：y =-x-e(l nx2-1).X 1 2故卜 出2,解得卜 或 卜，?则=c或y =C 6 e(1-电*=e(lnx2-l),包=已 包=1 因k l,所以Z为g =c时不成立.故6=-e,故选：D.【例7】(2022河南南阳中学商三阶段练习(理)若 直 线 夕=如&+1)-1与 曲 线g =e,相 切，直 线 沙=k)x+1)1与曲线沙=I ni相切，则 心他
47、的值为()A.B.1 C.e D.e2【答案】B【解析】设出切点，求出K=ex,是=工，根据斜率列出方程，得到工1 =1,z 2 1 nz 2=1,构造/(/)-x x x,X-)利用函数单调性和图象特征，求出出=e 2从而求出答案.【详解】设直线/=3(7+1)-1与曲线g =e，相切于点(如e叫，直线y =居(。+1)1与曲线U=I nz相切于点(/ng),则鬲=e*1,且乳=，C：；,所以x =1,十1鼠=，且鼠=,所以 x nx2=1,x-2 g+1令/=x nxyfr(x)=1 +I nx,当(0,十)时V O J(力单调递减，当%w (卷+8)时,r(i)o,/(x)单调递增,且/
48、(1)=0,li m/(x)=0,所以当 (0,1)时 J()0,所以gC(1,+8),6乃 (1,+0,函数y=6 的导数为式=3=，则直线，的斜率k=c L 27 o c 2、设直线，的方程为g y f x 万篇(X o)，即z 2而 通+3=0,由于直线Z与圆田+才=4 相切，则=七，两边平方并整理得5就一4 g-1=0,解得x()=l,x0=-：(舍),则直线，的方程为。-2g+1=0,即g=-yx+-y.故选：D【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3.(2022河北宿唐县第一中学方三阶段练习)已知函数/(力)=Qlno,g(i)=儿，,若直
49、线沙=k 1(k 0)与函数/(),g(6的图象都相切,则a+1的最小值为()A.2 B.2e C.e2 D.Ve【答案】B【解析】利用导数的几何意义分别得到a =e k、b=国，再运用基本不等式即可求解.e【详解】设直线沙=处 与函数/()，。(名)的图象相切的切点分别为A(m,km),Z?(n,fcn).km=alnma,，解得7n=e,Q=e/c.mrC又由gGc)=b e 有(kn=b en b en=k，解得九=1,b=,可得a+=e k+2A/?=2e,当且仅当a =e,b =工时取“=.e故选:B4.（2022全国商三专题练习）若两曲线n=In a：-1 与沙=a/存在公切线,则
50、正实数a的取值范围是（）A.（0,2 c B.8 一+8）C.（0,ge D.2 e,4-o）【答案】BI解析】设公切线与曲线的切点为（6 i n N i-1）,（如。曷），利用导数的几何意义分别求V =En 1 和 g =ad上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线沙=1 1 。1 和 g =炉的交点分别为（叫 1】1 为一1）,（g,a 忌），其中0,对于 U =In x -1 有式=2，则 y =In x 1 上的切线方程为 y（in x j-1）=（x a；i）,?/=4-X X（1 1 1 3?!-