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1、大学物理(一)练习册 参考解答第1章质点运动学一、选择题1(D),2(D),3(B),4(D),5(D),6(D),7(D),8(D),9(B),10(B),二、填空题(1).A a r s i n cot(2n+)n/a(=0,l,.),(2).8 m,10 m.(3).23 m/s.(4).16R t2 4 r ad /s2(5).4户-3产(r ad/s),12-6/(m/s2).(6).-Ct3,2 ct,3(7).2.24 m/s2,104(8).50(-s i n 5?z +co s 5/J)m/s,0,圆.(9).h x v Kh y-h i)(10).认+5 2 +2 =0三、
2、计算题1.有一质点沿x轴作直线运动，时刻的坐标为x =4.5产-2户(S I).试求:(1)第2秒内的平均速度；(2)第2秒末的瞬时速度；(3)第2秒内的路程.解：V -x/M 0.5 m/s(2)v =d x/d t=9t-6产，v(2)=_6 m/s.(3)5=|x(1.5)-x(1 )1+W 2)-x(1.5)|=2.25 m.2.一质点沿x轴运动，其加速度为“=4f(S I),已知t =0时，质点位于x o=1 0 m处，初速度Vo=O.试求其位置和时间的关系式.解:a=d v/d r=4r ,f d i?=14fd rJo Jov=d x/d f=2 3dv =4 tdtv =2 t
3、2dx=12产 drJA0 JOx=2 r3/3+x o (S I)3.质点沿x轴运动，其加速度与位置坐标九的关系为。=2+6幺(S I),如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度.解：设质点在X处的速度为L Ad va-drVJ u d u 二0=也.必=2+6-d x d tXj（2+6x2）dx0v-2（x +%3 Y24.一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为。=-b，式中k 为常量，y 是以平衡位置为原点所测得的坐标.假定振动的物体在坐标兜处的速度为列，试求速度。与坐标y 的函数关系式.解：dv d v d y d va=-=v dr d y dr d y又 a=ky-
4、k y=v dv/dy-j kyd y=v d v ,=-v2+C已知 y-1 9 1 9=yo,则 C=-万外；i,5.一质点沿半径为R 的圆周运动.质点所经过的弧长与时间的关系为S=4+上c产 其中2氏 c 是大于零的常量，求从r=0 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间.解：根据题意:即解得v =d S/d t=b+ctat=d v/d t=can=0 +ct）2/Ra产anc=（Z?+ct）2/R6.如图所示，质点P 在水平面内沿一半径为R=2m 的圆轨道转动.转动的角速度。与时间，的函数关系为幻=左/为 常 量).已 知/=2 s 时，质点尸的速度值为3 2 m/s.试
5、求/=I s 时，质点P 的速度与加速度的大小.解：根据已知条件确定常量Ak=3 1 f =v/(/?r2)=4 ra d/52t=Is 时,g =4，v=Reo=4Rt2v=4R尸=8 m/sat=dv I dt-8Rt-16/77/s2an=v2/R =32m/s2=35.8 m/s27.（1）对于在孙平面内，以原点。为圆心作匀速圆周运动的质点，试用半径八角速度g 和单位矢量f、J表示其，时刻的位置矢量.已知 Z；I K（x,y）在，=0时，y =O,x=r,角速度3 如图所示；一k-（2）由（1）导 出 速 度。与加速度行的矢量表示式；0 y（3）试证加速度指向圆心.解：（1）r=x i
6、+y j =rcoscot i+r s i ncot jrasin cot i+rcocoscot ja=dr=-rco2 coscot i-rco2 s i n y r ja=-co(rcoscot i+rsmeot j)=-co2 r这说明不与干方向相反，即a指向圆心8.一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 k m/h的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为18 0 k m/h,试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明.解：设下标A指飞机，/指空气，E指地面，由题可知：VFF.=6 0 k m/h 正西方向i/4 F=18 0k m/h 方向
7、未知VAE大小未知，正北方向由相对速度关系有：VA E=VA F+UFE I心E、%F、0E E构成直角三角形，可得 西 _ X%|九|=呢 J-（）2=17 0 k m/h T/e =tg-/L）=i 9.4 0 仅/“（飞机应取向北偏东19.4。的航向）.1/四研讨题1.在下列各图中质点M作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？参考解答：、(3)、(4)是不可能的.(1)曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；(3)曲线运动法向加速度要指向曲率圆心；(4)曲线运动法向加速度不可能为零.2.a=0 v设质点的运动方程为x =x(t)，y =y 在计算质点的速度和加速度时:第一种方法是，先求出r=
8、&7 7，然后根据p =及 a 而求得结果;第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即v =和7 享)(务2 你认为两种方法中哪种方法正确？参考解答:第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义,_ d r d /丁 -；、d r v d y 口=丁=丁(方+)=丁？+一d r dr dr d r_ dv d zd r -d y 小 d2x v d2y -a=(l -1)=l H-y Jd r d r d r d r d 产 d 产，所以八懵+第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性。=包=9(八 产)=尹+%(尹 为 r 方向的单位矢量)，dt
9、d r d r d r一 dv d2r ,0 d r0 d2r a=-r +2-+r .dt dt2 d r dt dt问题的关键：=?d r在第二种方法中，包=0,如果在第一种方法的讨论中，仁=0,那么d rdt0=延=色(r./。)=上 严+=上/。，则 广 生 也 成 立！d r d r d r dt dt d r注意：若 亭=0,则严必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据d r质点的运动方程为x =x(r),y =y(t),质点作平面曲线运动，如图所示，产大小不变，但方向改变！所 以d于/#0,即第一种方法是错误的！只有在直线运动中,r 0=F(显然；是大小与方向均不随时间改变的
10、常矢量)dr0 d7dr dr=0,.对加速度的大小a x 笃也可以用同样方法加以讨论.d产速度的大小才等于上dt第2章质点力学的运动定律 守恒定律一、选择题1(C),2(E),3(D),4(C),5(C),6(B),7(C),8(C),9(B),1 0(C),1 1(B),1 2(A),1 3(D)二、填空题(1).(D 2=1 2 r a d/s,A=0.0 2 7 J(2).2 9 0 J(3).3 J(4).1 8 N s(5).炉+2 f (S I)(6).1 6 N-s,1 7 6 J(7).I 6 N s ,1 7 6 J(8).lJ k/M ,Ml。M+nm v Mk(9).6
11、3.2 N(1 0).(2 m,6 m)；(-4 m,2 m)和(6 m,8 m)；2 m 和 6 m.三、计算题1.已知一质量为，的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即/=-%/，A是比例常数.设质点在kA时的速度为零，求质点在方5/4处的速度的大小.解：根据牛顿第二定律 k dv dv dx dvf=-=m =m-mvx1 dt dx d r dxj v A/4 t,j dx c.r k.vdv=-k vdv=-dxmx-*mx1 2 攵,4 1、3 72 m A A mAv y6k/(mA)2.质量为m的子弹以速度v o水平射入沙
12、土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比 例 系 数 为 忽 略 子 弹 的 重 力，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2)子弹进入沙土的最大深度.解：(1)子弹进入沙土后受力为一K 0由牛顿定律-Ki包d/m vv =v Kth n(2)求最大深度解法一：解法二:d rd x =voe Kl/m dtX tj d x =Jv0Km d t0 0 x =(z/K)%(l /a x =m u。/K d u /d u、/d X dvK v =m=)()=m vdt d x dt dxdx -dvKXm ax=m%/K3.如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高=0.
13、5 m处，煤粉自料斗口自由落在A 上.设料斗口连续卸煤的流量为 q,”=4 0 kg/s,A以 v=2.0 m/s 的水平速度匀速向右移动.求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向.(不计相对传送带静止的煤粉质重)解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度%=2 g h设煤粉与A相互作用的4 时间内，落于传送带上的煤粉质量为m-q”4 t设 A对煤粉的平均作用力为，由动量定理写分量式：fx t=A m v -0/VA?=O-(-A/n vo)将 A m =qmM 代入得 fx=qmv ,fy=qmV0f=1 4 9 N了与x轴正向夹角为a=a r c t g 6/人)=5 7.4
14、 由牛顿第三定律煤粉对4的作用力/=/=1 4 9 N,方向与图中了相反.4 .有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率水平地运动.忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：(1)若每秒有质量为q,“=d M/d f 的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率U 运动，需要多大的功率？(2)若”=2 0 kg/s,p=1.5 m/s,水平牵引力多大？所需功率多大？解：(1)设，时刻落到皮带上的砂子质量为M,速率为u,什也时刻，皮带上的砂子质量为M+dM,速率也是小根据动量定理，皮带作用在砂子上的力尸的冲量为：F d t -(M +(i M
15、)v-(M v +(M-G)-(M-vF =vdM/d z -v-qm由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F l即 由 于 皮 带 匀 速运动，动力源对皮带的牵引力F=F,因而，F =F,/啊 口 同 向，动力源所供给的功率为：P=F v =v vd M /dt=v2qm(2)当 4,=d M/d f=20 k g/s,v=1.5 m/s 时，水平牵引力“=W，“=30 N所需功率 p=/%“=45 W5 .一 链 条 总 长 为 质 量 为 如 放 在 桌 面 上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a.设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为.令链条由静止开始运动，则(1)到链条刚离开桌面的过程中，
16、摩擦力对链条作了多少功？(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？解：(1)建立如图坐标.某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为/=叫 g摩擦力的功 W f =f y=P 一g W yJ Jl-a Jl-a Im 2ioM g2 1(I-a)2(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 Y.W=-m v2-m v l2 2其中Y,W=W p+W f,4=0r d mg ,me (I2-a2)WP=P dx =x d x =-L Ja/2/由上问知w mg(l-a)2f 2 1所以醒(f )_ 比 JQ2 1 2 1 2得1 2=新7俨 鸟 ”)平6.小球A,自地球的北极点以速度分在质量为M、半径为R
17、的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考系中轴。0与狐平行，小球A的运动轨道与轴0。相交于距。为 3 R 的 C点.不考虑空气阻力，求小球A在 C点的速度D与八之间的夹角&解：由机械能守恒:；mv -G M m/R =m v2-GMm/(3R)根据小球绕。角动量守恒：Rmu =s i n 6、式联立可解出.s i n。=%19 琢-1 2 G M/R7.质量为mA的粒子4 受到另一重粒子B的万有引力作用，B保持在原点不动.起初，当A离 8 很远(r =8)时，A具有速度方。，方向沿图中所示直线A m B与这直线的垂直距离为.粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动.
18、已知这轨道与8 之间的最短距离为d,求 8 的质量机从解：A对 8 所在点的角动量守恒.设粒子A到达距8 最短距离为d时的速度为D mAv()=mAv d,v =D vn IdA、8 系统机械能守恒(A 在很远处时，引力势能为零)解得G mAmB/dv2-VQ=2 G mB IdmK=(D2-d2)v l/(2 Gd)8 .一个具有单位质量的质点在随时间r 变化的力户=(3 产 4f +(12f 6)了 (SI)作用下运动.设该质点在f=0 时位于原点，且速度为零.求 r=2 秒时，该质点受到对原点的力矩和该质点对原点的角动量.解：以下各式均为SI 式 m=1,F =m a ,F=(3 f2-
19、4f)f+(12r-6)j,a=(3/-4r)f+(12/6)；2=d t)/d r,r=0 时，v =0V t tJ d D =j d r=J(3/2-4/)F +(12r-6)j d r0 0 0力=(-2产)i+(6 d-6 f)1D =d/d f =0 时，=0=gdr =%一十3 +3-3 z2)；当 r=2s 时 r=-4Z/3+4J,v =12J,F =4?+18；力矩 Mo=r x F =（-1 r +47）x（4F +18；）=-40-4-一角动量 Lo=F x m v -（-z +4j）x 12）=-16%四研讨题1.汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力
20、能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？参考解答：汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时.，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动
21、轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。2.冲量的方向是否与冲力的方向相同？参考解答：冲量是力对时间的积累，由动量定理：I Fdt=P2-Pt=A P所以，冲量的方向和动量增量好的方向相同，不一定与冲力户的方向相同。3 .一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只有动量而无机械能？试举例说明。参考解答：机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言的。若取保守力系统,物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物体可
22、以有机械能而无动量。例如：一质量为m的物 体（例如一气球）静止在相对于地面为人的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，其 值 为Hig h.由于此时物体静止，故其动量为零。在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为力处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初始时刻系统的机械能瓦=0,下落至地面时，物体具有速度的大小为V,动能为mv /2,动量的大小为mv,系统的机械能为E =m/2-mg h
23、-）=0.4.在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例说明.参考解答：不一定满足守恒条件.例如在水平面上以速度为 匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一小球.以车厢为参考系，小球摆动过程中绳子张力对小球不作功，则小球+地系统机械能守 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _恒.若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为则小球-对地速度D=DO+D，9与绳张力了不垂直，故小球摆动过程中绳;X.张力对小球要作功，这时小球+地系统不满足机械能守恒条件.但在上述两个参考系(惯
24、性系)中，动能定理和功能原理仍是成立的.5.在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？参考解答：在空气中释放一氢气球，它将受浮力的作用上升。这浮力的根源是大气在重力场中的压强上小下大，因而对氢气上下表面的压力不同，上小下大，而使浮力与重力的方向相反。在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左侧的法向加速度。因而汽车是一非惯性系。在汽车内观察，即以汽车为参考系，其中空气将受到指 土 浮力”_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _向右侧的惯性离心力。汽车内的空气就好象处在一水平 小向右的“重力场”中一样。根据Fi=m这“重力场
25、”左弱右强。和在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运动类似，在汽车内空气中的氢气球将受到水平向左(与“J 氏水 平“重力”方向相反)的“浮力”的作用而向左运动。(忽略由于氢气球质量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动)第 2 章刚体定轴转动一、选择题1(B),2(B),3(A),4(D),5(C),6(C),7(C),8(C),9(D),10(C)二、填空题(1).v 15.2 m/s,722500 rev/min(2).62.5 1.67 s.g/l g/Ql)(4).5.0 N m(5).4.0 rad/s(6).0.25 kg m21 (7).-M a2JdMrdr=/jmglJ+mR
26、2(10).a =J3 g sin。/三、计算题1.有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度。0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量/=m H）,其中m为圆形平板的质量）2解：在r处的宽度为d,的环带面积上摩擦力矩为总摩擦力矩故平板角加速度设停止前转数为n由可得dA f =-2itr-rdrTIR2rK 2M=J。d M =/.ongR0=M/J，则转角，=2兀=rnval由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能(加 冰=1 ,代入J=ML,由上述两式可得3(2)由机械能守恒式gmu；=m g
27、l 及=g M g/(l-c o s 8)并利用(1)中所求得的关系可得0=a r c c o s -3四研讨题1 .计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。参考解答：不能.因为刚体的转动惯量Z7Am,与各质量元和它们对转轴的距离有关.如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为，加火2,若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴2的转动惯量为零.2 .刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？参考解答：根据动能定理可知，质点系的动能增
28、量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零,所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零,故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。3 .乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？参考解答：分析：乒乓球(设乒乓球为均质球壳)的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动.乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力.若乒乓球平动的初始速度2的方向如图，则摩擦力
29、a的方向一定向后.摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度”逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度。逐渐变小.V当质心平动的速度以=o而 角 速 度 时，乒乓 1 尸球将返回.因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度以二夕.和初始角速度四的大小应满足一定的关系.解题：由质心运动定理:-工=z*乙 d r因工=4根g,得U c=V c o f g 由对通过质心的轴(垂直于屏面)的转动定律-RFr=(得 co=coQ-j u g t(2)3 dt 2 R由(1),(2)两式可得 y=02 R可得 4 主 2 R这说明当山=0和回的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回.第3章狭义相
30、对论一、选择题1(B),2(C),3(C),4(C),5(B),6(D),7(C),8(D),9(D),1 0(C)二、填空题(1).c(2).4.3 3 X 1 0 8$(3).Sx/v,(AX/v)y l-(v/c)2(4).c(5).0.9 9 c(6).0.9 9 c(7).8.8 9 X 1 0 8s(8).y/3c2(9).v =-J?c/2 ,v=V 3 c/2(1 0).9 X 1 01 6 J,1.5 X 1 0l 7J三、计算题1.在K惯性系中观测到相距=9 X 1 0 8 m的两地点相隔 仁5 s发生两事件，而在相对于K系沿x方向以匀速度运动的K系中发现此两事件恰好发生在
31、同一地点.试求在K系中此两事件的时间间隔.解：设两系的相对速度为V，根据洛仑兹变换，对于两事件，有A X +VMA X =J l-Q/C)2由题意：可得及由上两式可得W +(v/c-=一 AX=0A X =1 2 A Zt=11 /=“1-/c)2 =(3)2-(A X/c)2)，/2=4 S2.在 K惯性系中，相距A x =5 X 1 0 6 m的两个地方发生两事件，时间间隔%=1 0 =$；而在相对于K系沿正x方向匀速运动的K系中观测到这两事件却是同时发生的.试计算在K系中发生这两事件的地点间的距离A x 是多少？解：设两系的相对速度为“根据洛仑兹变换，对于两事件，有A X +的A X 力
32、-/靖At+(l#C2)Sx W c 产由题意：可得A/=0M-(V/C2)AX及由上两式可得x=Xyjl-(v/c)2A X，=3)2 -(c2A r/c)2l/2=6X2-C2A Z2l/2=4X 1 06m3.一艘宇宙飞船的船身固有长度为%=90 m,相对于地面以=0.8 c (c 为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过.(1)观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？(2)宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？解：(1)观测站测得飞船船身的长度为L=L。-1 (v/c)2=54 m则 A f i=2.2 5X 1 0 s(2)宇航员测得飞船船身的长度为口,则加2 =L
33、叔=3.75*1 0%4.一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c 和 0.8c 速度相向运动，在地面上观察，5s 后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？解：两者相撞的时间间隔加=5s 是运动着的对象一飞船和慧星一发生碰撞的时间间隔，因此是运动时.在飞船上观察的碰撞时间间隔加、是以速度u =0.6c 运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式加Z 71-(v/c)2可得时间间隔为=(u/c)2 =4(s).5.在惯性系中，有两个静止质量都是恤的粒子4 和 8,它们以相同的速率u 相向运动，碰撞后合成为一个粒子，求这个粒子的静止质量减.解：设粒子A的速度为力八，粒子B的 速 度 为
34、合 成 粒 子 的 运 动 速 度 为。.由动量守恒得mnvA!_ M()VJ r：I c1 r j I c1 A/1-V2/C2因以t =必，且。.=-vB，所以 V =0.即合成粒子是静止的.由能量守恒得=%。2解出%2 m oyll-v2/c26.两个质点A和 B,静止质量均为w o.质点A静止，质点B的动能为6恤。2.设 4、台两质点相撞并结合成为一个复合质点.求复合质点的静止质量.解：设复合质点静止质量为M o,运动时质量为M.由能量守恒定律可得1,2、9Me=-vmc其中，为相撞前质点B的能量.me2=/MOC2+6moc2=lm)c2故M 8/M0设质点B的动量为PB，复合质点的
35、动量为p.由动量守恒定律P=PB利用动量与能量关系，对于质点B可得对于复合质点可得由此可求得2 2 2 4 2 4 A 2 4p%c+mc=mc=4qmcP2c2+Mc4=M2CA=64m j c4MQ=-48加;=1 6m(；=4 四研讨题1.相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？参考解答：牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动(或说与参考系)无关；而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速(即运动速度远远小于光速)时的近似。牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯
36、性系的运动量间的关系是伽利略变换xr=x vt,V=y,z =z,f =t.狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换,y=y,z=z,比较上述两个变换式可知，在低速时，即时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略变换式。2.同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性？参考解答：同时性的相对性的意思是：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。这个结论与光速不变原理紧密相联。s y sy设相对运动的惯性系是5(“小)和 S(x O y),坐标系和相
37、对运动如图所示，坐标原点。和0 重合时设为，=，=0。由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为)A/-A xt=,c2如果在S 系中两事件同时发生，即 加=0,那么在S 系中两事件的时间间隔与两事件在S 系中发生的空间间隔A c有关。当心。0时，r /O。即两事件在S 系中不同时发生。如果光速是无限大，也就是研究的对象均属于低速情况，那必然是牛顿力学的情况。即洛仑兹变换中的则 Af =Z V,就不再有同时的相对性。3 .在某一参考系中同一地点、同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测都将是同时发生的，对吗？这里的参考系均指惯性系。参考解答:对的。如果S 系和S 系是相对于运动的两个惯性系
38、。设在S 系中同一地点、同一时刻发生了两个事件，即M =t 2-t=Q.将上述已知条件代入下面的洛仑兹坐标变换式中AZ =Z2 t=+(月X)C则可得。=.2 4=0,说明在S系中也是同时发生的。这就是说，在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测也必然是同时发生。4.静长L o 的火车以匀速M亍驶时，甲是地面上的观测者，相对于地面静止;乙是火车上的观测者，相对于火车静止.甲观测到的长度乙=%/一/。2 乙 0 ,即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩.试从另一个角度来看长度收缩问题,即被测量者如何看待别人的测量,并讨论产生不同看法的原因.参考解答：当火车以匀速u
39、 行驶时，甲是地面上的观测者，相对于地面静止，乙是火车上的观测者，相对于火车静止.以地面为S 系，沿火车速度方向取x 轴，以火车为 B As，系,沿火车速度方向取p 轴.甲是这样测量运动中的火车长度 io.的：在S 系 的 同-时 刻 5=t O，在地面划下火车前端A 的 位 置。然x及和后端B 的位置x i （如图1 所示），然后测量及和之间的距离，一L-这 就 是 甲 测 出 的 运 动 中 的 火 车 长 度，即 图1甲测量运动中的火车长度A=2 -（1）对乙来说,火车是静止的，火车前端A 的位置通和后端B 的位置/之间的距离就是火车的静长L o,即 X；-（2）且八 一%-因,故由式（
40、3）得出乙 ）,即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩。乙是如何看待上述甲的测量呢？乙观测到，甲在f 2 时刻在地面上划下火车前端A 的位置X 2 ,在外时刻在地面上划下火车后端B 的位置由洛伦兹变换、小2厂nV苫。2-X1）有/=平7/色）一%r=_ _7 L=-（3）yl-V/c2 c这个结果表明：，2 在先，外在后.也就是说，在乙看来，甲并不是同时划下火车前后端的位置的,而是先（2 时刻）划下火车前端A 的位置X 2,后（八时刻）划下火车后端B 的位置为，如图2 所示.所以，乙认为，甲少测了一段长度，这段长度为AL =u Q；)-(4)将式(3)代入式(4)得V2A =4)-(
41、5)c先划下火车前端A的位置巧后划下火车后端B的位置与图2乙观测到的甲的测量因此，乙认为，甲所测量的不是火车的长度，而是比火车短AA的某一长度：L LQ-AL-(6)将式(5)代入式(6)得八j 唱卜乙还观测到，地面上沿火车进行方向的尺缩短了，缩 短 的 因 子 为 二U777,于是乙推知,甲所观测到的火车长度应为这正是甲测得的结果.由以上的分析可见,在S 系看来，甲的观测是正确的，火车的长度收缩是真实的.在卜系看来，火车的长度是口,并没有收缩，而是甲的观测方法有问题(先测前端，后测后端)，甲少测了一段长度AL ,加上甲的尺缩短了，两种因素合在一起，使甲得出火车长度收缩的结论.第4章 振 动一
42、、选择题1(C),2(B),3(B),4(C),5(C),6(D),7(B),8(D),9(B),1 0(C)二、填空题(1).兀、-K /2 分、n/3.2兀 J2 z/k、2nylm/2k.(3).x=0.0 4 c os(兀r +*兀)(4).0.0 4 c os(4 7 r r 4兀)(5).x=2 x1(尸 c os 2 -4兀)(6).0.0 5 m,-0.2 0 5K(或-3 6.9 )(7).3/4,2 兀 j A/g(8).2 9 1 H z 或 3 0 9 H z(9).l X 1 0-2m,n/61 、3(1 0).0.0 6 c os7 i r,0.0 3 c os(K
43、 t 兀)或 0.0 3 c os(n /+n)2 2三、计算题1 .在一轻弹簧下端悬挂，0=1 0 0 g祛码时，弹簧伸长8 c m.现在这根弹簧下端悬挂，=2 5 0g的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4 c m,并给以向上的2 1 c m/s的初速度(令 这 时 f =0).选 x 轴向下，求振动方程的数值式.()ixos解：k=mog/A/=-.N/m =1 2.2 5 N/m0.0 8tg。=v0/(XQC O)=(21)/(4 x 7)=3/4 ,(/=0.64 radx =0.05cos(7/+0.64)(SI)2.一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm,在距平衡
44、位置6cm 处速率是24cm/s.如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动频率不变),当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数为多少？解：若从正最大位移处开始振动，则振动方程为x -Acos t),x-Acosin co t在W=6cm 处，忖=2 4 cm/s6=12|cos6ur|,24=|-12 6?sin a)t,解以上二式得=4/V3 rad/sx-A co2 cosco t,木板在最大位移处国最大，为 ji=Aco1 若 mA疗稍稍大于 7%g,则机开始在木板上滑动，取/Limg=mAco =Aco21 g
45、x 0.0653 3.在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长/。=1.2 cm 而平衡.再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A=2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式.解：设小球的质量为力，则弹簧的劲度系数k=mg 11。.选平衡位置为原点，向下为正方向.小 球在x 处时,mg-k(l。+x)=m d2x/d r2将k=mg 11。代入整理后得d2x/d r2+g x/0=0 此振动为简谐振动，其角频率为.co=g/1。=28.58=9.1T C设振动表达式为 x=Acos t+。)由题意：，=0 时，xo=A=2x 10 2m,吐)=
46、0,解得。=0/.x=2x 10 2cos(9.17ur)根据牛顿第二定律得4.一质量机二0.25 kg的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点.弹簧的劲度系数攵=25 Nm L(1)求振动的周期7 和角频率(2)如果振幅A=15 c m,，=0 时物体位于犬=7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速物及初相小(3)写出振动的数值表达式.解：C D-y jk/m=10 s-1T=2TT/G=0.63 S(2)A=15 c m,在 f=0 时，xo=7.5 cm,vo O,(b 7 T3A 9 I(3)x=15 x 10-2 cos Q 0/+1 兀)(SI)5.质量?=5.
47、00 kg的物体挂在弹簧上，让它在竖直方向作自由振动.在无阻尼情况下，其振动周期To=0.2ns,放在阻力与物体的运动速率成正比的某介质中，它的振动周期7=0.4兀s.求当速度为1.0 cm/s时物体在该阻尼介质中所受的阻力.解：T=2兀”就 “2,，2=（U）2（空）2：.夕=8.66 siy=2pm=86.6 kg,s 1F=y u =0.866 N6.质量为/n=0.1 kg的物体和劲度系数为k=10 N/m的轻弹簧构成弹簧振子.物体在弹性力和外加强迫力尸=cosftX（其中0=10 s-，）和阻力/=-w 的共同作用下作受迫振动.若阻力系数7增加为原来的2 倍，其它条件不变，物体的振幅
48、将变为原来的多少倍？解：稳态受迫振动的振幅为“H imA=.=r,7（y j-y2）2+4；?2y2其 中 P YU m.g =J 攵/z=1 0 s T,题 给。=例）,则这时A=（H /m）/2/3co x：1/尸 oc l/y.若y变为原来的2 倍，A 将变为原来的1/2.四研讨题1.简谐振动的初相是不是一定指它开始振动时刻的位相？参考解答：对于一个振幅和周期已定的简谐振动，用数学公式表示时，由于选作原点的时刻不同，夕值就不同。例如，选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，则值等于零；如果选物体到达负向极大位移的时刻为时间原点，则。等 于,。由于8是由对时间原点的选择所决定的,所以把它叫
49、做振动的初相。简谐振动的初相不是一定指它开始振动时刻的位相。思考题：任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？2.任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的周期肯定会变大。若 振 子 的 质 量 为 弹 簧 的 质 量 为机，弹簧的劲度系数为匕 可以计算出，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为丁 :2兀Q比产例：劲度系数为人 质量为?的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物
50、体，在光滑水平面内作直线运动。求解弹簧振子的振动周期（?(2)以距A点 5 m处 的 8点为坐标原点，写出波的表达式.B A X解：(1)坐标为x点的振动相位为碗+。=4 巾+(%/)=4 n f+(%/)=4 兀任+(x/2 0)波的表达式为 y =3 x l 0-2 c o s 4 4 r +(x/2 0)(S I)(2)以 8点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为x 5 +“=4 兀 1 +20 (S I)y波的表达式为 y =3 x l 0 _2c o s 4 n(/+)-K (S I)2 .如图所示，一平面简谐波沿O x轴的负方向传播，波速大小为“，若尸处介质质点的振动方程为 yP=