小学数学校本教材.pdf

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1、目 录第 一 讲 工 程 问 题.1第 二 讲 比 和 比 例.5第三讲 分 数、百 分 数 应 用 题（一）.9第四讲 分 数、百 分 数 应 用 题（二）.12第 五 讲 长 方 体 和 正 方 体.16第 六 讲 立 体 图 形 的 计 算.20第七讲 旋转体的计算.24第 八 讲 商 业 中 的 数 学.29第 九 讲 发 车 间 隔 问 题.32第 十 讲 用 割 补 法 求 面 积.33第 十 一 讲 行 程 问 题（一）.37第 十 二 讲 行 程 问 题（二）.39第 十 三 讲 数 学 思 考 一一不完全归纳法的应用.42第 十 四 讲 巧 算 2 4 点 游 戏.44第1页

2、第一讲工程问题工程问题是应用题中的一种类型.在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工 作 时 间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）.这三个量之间有下述一些关系式：工作效率X工作时间=工作总量，工作总量+工作时间=工作效率，工作总量+工作效率=工作时间.为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效.例 1 一项工程，甲乙两队合作需1 2 天完成，乙丙两队合作需1 5 天完成，甲丙两队合作需2 0 天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析：高这项工程为1 个单位，则甲、乙合作的工效为之，乙、丙合作的工效 为 士，甲、丙合作的工效为之，因此甲、乙、丙三队合作的工效的

3、两倍为W 4公，所以甲、乙、丙 三 队 合 作 的 工 效 为 噎 K）+2*,因此三队合作完成这项工和的时间为1+=1 0 （天）解：1 4-（：金 +1）4-2 i Z i o Z U=1 +3+2 =1 0 （天）5 1 0答：甲、乙、丙三队合作需1 0 天完成。说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位.这样，工效就用工时的倒数来表示，如 例 1 中甲乙两队合作的工时为1 2 天，那么工效就为言，它.L 乙表示甲乙两队一天完成全部工程的士 o第1页例2师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务.师傅先做5天后，因事7外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的而.如果每人单独做这批零件各需几

4、天？分析：高一批零件为单位“1”。其中6天完成任务，用:表示师徒的工效和.要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天。解：师傅工效：（yg g X 3）4-2=JQ徒弟工效：-T 7 7 =-TEb 1 0 1 5师傅单独做需几天：1弓二1 0 （天）徒弟单独做需几天：1 5=1 5 （天）1 5答：如果单独做，师傅需1 0天，徒弟需1 5天。例3 一项工程，甲单独完成需1 2天，乙单独完成需9天.若甲先做若干天后乙接着做，共 用1 0天完成，问甲做了几天？分析：解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据

5、题目的条件，找到等量关系，列方程解题。解：设甲做了 x天.那 么，甲完成工作量1x,乙做的天数1 0-x,乙完J L乙成工 作 量（1 0-x）X-，因 此=x+（1 0-x）X-=11 1 0-x x+-=11 2 9两边同乘3 6,得到：3 x+4 0 4 x=3 6,x=4.第 2 页答：甲做了 4天.例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做1 2小时可以完成.甲先做8小时,乙接着做6小时也可以完成.如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？分析 设一件工作为单位“1”.甲做6小时，乙再做1 2小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：乙d2时甲 能Q 3

6、刁、B寸；工 做22d 生11甲 2i、err;-,印件小时 乙 械8小 时由图不难看出甲2小时工作量=乙6小时工作量，甲1小时工作量=乙3小时工作量.可用代换方法求解问题.解：若由乙单独做共需几小时：6 X 3 +1 2 =3 0 （小时）.若由甲单独做需几小时：8+6 4-3=1 0 （小时）.甲先做3小时后乙接着做还需几小时：（1 0-3）X 3=2 1 （小时）.答：乙还需2 1小时完成.例5筑路队预计3 0天修一条公路.先由1 8人 修1 2天只完成全部工程的（o如果想提前6天完工，还需增加多少人？分析：由1 8人 修1 2天完成了全部工程的，可通过1 8 X 1 2求出用一天完成：

7、OO工作量共需要的总人数，也可通过1 8 X 1 2求出用一人完成:工作量共需要的总天数，所以由（+（1 8 X 1 2）求 出1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）。解：1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：第 3 页1 、1（1 8 X 1 2）剩余工作量若要提前6 天完成共需多少人：（1 5）TTQ X（30 1 2 6）3 64 8_ 2 .1 2=3 64 8=36（人）.需增加几人：36-1 8 =1 8 （人）.答：还要增加1 8 人.习题一1.一项工程，甲单独做1 2 天可以完成.如果甲单独做3 天，余下工作由乙去做，乙再用6 天可以做完.问若甲单独做6 天，

8、余下工作乙要做几天？2.一条水渠，甲乙两队合挖30 天完工.现在合挖1 2 天后，剩下的由乙队挖，又用2 4 天挖完.这条水渠由乙单独挖，需要多少天？3.客 车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时2 4 分钟相遇，相遇时客车比货车多行9.6 千米.已知客车从甲站到乙站行4小时30 分钟，求客车与货车的速度各是多少？习题一解答1 .乙工效：（1-1 2 X 3）4-6=3O余下工作乙几天完成？（1 1 2 X 6）=4（天）O答：余下工作乙要4天完成.2 .乙 工 效:（1/义1 2）+2 4/乙队单独挖需几天：=4 0 （天）答：乙队单独挖需4 0 天完成.第 4 页2 13.2小时2 4

9、 分=2、小时，4小时30 分=伤 小时。U 乙客车速度：9.6 噂 一（4：2|）=32 （千米/小时）。1 9货车速度：32 X 4-4-2-32=2 8 （千米/小时）。答：客车与货车的速度分别为每小时32 千米和2 8 千米.第二讲比和比例在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关.在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断.成正比或反比的量中都有两种相关联的量.一 种 量（记作x）变化时另一种 量（记作y）也随着变化.与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）.在判断变量x与 y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k.如果不变量k是变

10、量y与 x的商，即在x变化时y与 x的商不变：-=k,那么y与 x 成正比例；如果k是Xy与 x的积，即在x变化时，y与 x的积不变：x y =k,那么y与 x成反比例.如果这两个关系式都不成立，那么y与 x不 成（正和反）比例.下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始.例 1下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？速度一定，路程与时间.路程一定，速度与时间.路程一定，已走的路程与未走的路程.总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间.总产量一定，亩产量和播种面积.整除情况下被除数一定，除数和商.同时同地，竿高和影长.半径一定，圆心角的度数和扇形面积.两个齿轮啮合转动时转速

11、和齿数.圆的半径和面积.（1 1）长方体体积一定，底面积和高.第 5 页(12)正方形的边长和它的面积.(13)乘公共汽车的站数和票价.(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数.(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量.分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化,那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个相关的变量x,y 用(=k 或用*丫=卜 来 表 示,其 中 k 是定量,如果不能写出这两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例.例如萼=速 度，速度一定，路程与时间成正比例。制造每个零件用的时间X 零时间件数

12、=总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例.路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例。解：成正比例的有：、(15)成反比例的有：、(11)、(14)不成比例的有:、(、(13).例 2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3,某人走各段路程所用时间之比依次是4：5：6,已知他上坡的速度是每小时3 千米，问此人走完全程用了多少时间？分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度(题中每小时行3 千米)和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路

13、程比是1 ：2：3,就可以求出上坡路的路程.解：上坡路的路程：11 +2+360 x=10（千米）走上坡路用的时间：10+3=31(小时)34 4上坡路所用时间与全程所用时间比：=4+5+6 15走完全程所用时间：+3 =(小时)3 15 3 4 2 2答：此人走完全程共用1 2 1 小时。2例 3 一块合金内铜和锌的比是2：3,现在再加入6 克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？分析要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重第6页量.应该注意到铜和锌的比是2 ：3时，合金的重量不是3 6克，而 是（3 66）克.铜的重量始终没有变.解：铜和锌的比是2：3时，合金重量：

14、3 6-6=3 0 （克）。铜的重量：3 0 x上=1 2 （克）2 +3新合金中锌的重量：3 61 2=2 4（克）.新合金内铜和锌的比：1 2 ：2 4=1 ：2.答：新合金内铜和锌的比是1 ：2.例4师徒两人共加工零件1 68个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？分析：师傅加工一个零件用5分钟，每分钟可加工:个零件，徒弟加工一个零件用9分钟，每分钟可加工零件1个，师 徒 两 人 效 率 的 比 是1,由于9 5 9两人的工作时间是一定的，根 据于 上 工=工作时间（一定），工作量与工作工作效率效率成正比例。解 法1：设师傅加工x个，徒

15、弟 加 工（1 68-x）个。1*=51 68-x T9x =91 68-%55 x =1 68 X 9-9 x,1 4x =1 68 X 9,x =1 0 8.1 68-x =1 68-1 0 8 =60 （个）.答：师傅加工1 0 8个，徒弟加工60个.解法2：由于师、徒两人工作效率的比是L：1,那么他们工作量的比也是L5 9 51,因 此 师 傅 工 作 量 是 徒 弟 工 作 量 的（倍），徒弟的工作量为1倍量。9 5 9 51 68+（1 1+1）5 94=1 68+25第 7 页=60 （个），（徒弟）。60 x （l-e-l）=1 0 8 （个）（师傅）5 9解 法3：师傅每分钟

16、加工1,徒弟每分钟加工L个，用相遇问题思考方法可求5 9出两人各用了多少分钟。然后用师、徒每分钟各自的效率，分别乘以5 40就是各自加工零件的个数。1 1 141 68+（+）=1 68+=5 40 （分钟）5 9 451 x 5 40=1 0 8 （个），（师傅）51 x 5 40 =60 （个），（徒弟）9解法4：按比例分配做：Q/.1 68 x=1 0 8 （个）（师傅）9 +591 68 x _ _=60 （个）（徒弟）9 +5习题二1 .一块长方形的地，长和宽的比是3：2,长比宽多2 4米，这块地的面积是多少平方米？2 .一块长方形的地，长和宽的比是3：2,长方形的周长是1 2 0米

17、，求这块地的面积？3 .水果店运来橘子、苹果共9 6筐，橘子和苹果筐数的比是5：3,求橘子、苹果各是多少筐？4.化肥厂计划生产化肥1 40 0吨，由于改进技术5天就完成了计划的2 5%,照这样计算，剩下的任务还需多少天完成？习题二解答31.2 4-（_7）=1 2 0（米）3+2 3+21 2 0 x 2=72（米）52120 x1=48（米）572x48=3456（平方米）第 8 页2 .1 2 04-2=60（米）60 x _ l _=3 6（米）3 +260 x，_=2 4 （米）3 +23 6X 2 4=8 64 （平方米）.3 .5+3=89 6x 5=60（筐）（橘子）89 6x

18、i =3 6（筐）（苹果）84 .设剩下的任务还需x天完成。2 5%=1-2 5%5 x2 5%x=75%X 5,x=1 5.第三讲 分数、百分数应用题(一)分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一.一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律.因此，在这类问题中，数量之间以及“量：“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难.为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作.具备整数应用题的解题能力.解答整数应用题的基础知识，如概念、性质、法则、公式等仍广泛用于分数、百分

19、数应用题.在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用.学会画线段示意图.线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件.它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理.学会多角度、多侧面思考问题的方法.分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法.因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路.例1 (1)本月用水量比上月节约7%,可以联想到哪些关系？上月用水量与单位“1”的关系.第 9 页本月节约用水量与上月用水量的7

20、%的关系.本月用水量与上月用水量的（1-7%）的关系.（2）蓝墨水比红墨水多2 0%,可以联想到哪些关系？红墨水与单位“1”的关系.蓝墨水比红墨水多出的量与红墨水的2 0%的关系.蓝墨水与红墨水的（1+2 0%）的关系.（3）已看的页数比未看的页数多1 5%,可以联想哪些关系？未看的页数与单位“1”的关系.已看的与未看的页数的差与未看页数的1 5%的关系.己看的页数与未看的页数的（1 +1 5%）的关系。例2小华看一本书，每天看1 5页，4天后还剩全书的q没看，这本故事书是多少页？分 析 每 天 看1 5页，4天看了 1 5X 4=6 0页.解题的关键是要找出这6 0页相当于全书页数的几分之几

21、，还剩下全书的没看，已经看了的是全书的3 9 91-=-,6 0页与全书的士直接对应，全书的页数就可以顺利求出。5 5 5解：看了多少页？1 5X 4=6 0 （页）.看了全书的几分之几？1 9=I这本书有多少页？26 0、=1 50 （页）5综合算式：1 5x 4+（1-1）2=6 0+=1 50 （页）5答：这本故事书是1 50页.习题三71.水果店运来一批橘子和苹果，其中橘子重量占总重量的二，橘子比苹果2 0少1 440千克，运来橘子多少千克？2.有两袋米，甲袋比乙袋少1 8千克.如果再从甲袋倒入乙袋6千克，这时甲袋的米相当于乙袋的。两袋米原来各有多少千克？8第10页3.一本书，已看了

22、130页，剩下的准备8天看 完.如果每天看的页数相等，3天看的页数恰好是全书的5,这本书共有多少页？225.妈妈买了一些苹果，第一天吃 去!又1个，第二天吃去剩下的!又个，3 3 4 4第三天吃去再剩下的1又1个，这 时 剩 下3个苹果，问妈妈买了多少苹3 3果？每天各吃了几个苹果？习题三解答1.苹果重量占总重量的几分之几？1 7 1320 20橘子比苹果少总重量的几分之几？13 _ 7=320 20-W总重量是多少千克？1440+=480010运来橘子多少千克？74800 x=1680（千克）202.倒米后甲袋比乙袋少多少千克？18+6X2=30（千克）.倒米后甲袋比乙袋少几分之几？1 5

23、3i=8 8倒米后乙袋有米多少千克？30-=80（千克）8原来乙袋有米多少千克？80-6=74（千克）.原来甲袋有米多少千克？74-18=56（千克）3.130-（1 一 上+3x8）=330（页）22第11页4.共买苹果：（3+!）+（1 1）+2.+（l 1）+1 ）+（1 1）=1 1 （个）3 3 4 4 3 3第一天吃：l l x 1+1=4（个）3 3第二天吃：（1 1 4）x l +l=2（个）4 4第三天吃：（1 1 42）x l +l =2（个）3 3第四讲分数、百分数应用题(二)在解题过程中，除了要利用上一讲中所说的一些技巧和方法(如画线段示意图等)之外，还要注意在解题过程

24、中量的转化.例如，在解题过程的不同阶段，有时需把不同的量看成单位1,即要把单位1进 行“转化”；有时，在解题过程中需把相等的量看成完全一样，即其中之一可“转化”为另一.通过这样的转化，往往能使解题思路清晰，计算简便。例1某车间男工人数比女工人数多女工人数比男工人数少几分之几？分析与解答：条件中男工比女工多士，是把女工人数看作单位“1”。而问5题“女工人数比男工人数少几分之几”是把男工人数看作单位 1。解答这题必须转化单位“1”。题意表明，女工人是“1”，男工人数是1 +=1+。求女工比男工少几5 5分之几，应该用男工与女工的为数差除以男工人数，即此时把男工人数1*看5成 单 位“1”，即2(1

25、+?)=25 5 7答：女工人数比男工人数少士2。7所求的量也可以表示为“1”减去女工的“1”除以男工的1*之商，即：52 21-U(1 +2)=5 7说明：“1”倍量的转换引起了“百分率”的转化，其规律是，甲数是乙数的2,则乙数就是甲数的勺，甲数比乙数多色，则乙数就比甲数少_ 乙；甲b a b b a第12页数比乙数少9,则乙数就比甲数多二。掌握了这些规律，在进行百分率转b h a化时就可以做到快而准。例2第三修路队修一条路，第一天修了全长的工，第二天与第一天所修4路程的比是4：3,还 剩50 0米没修，这条路全长多少米？分析此题条件中既有百分率又有比，可以把比转化成百分率，按分数应用题解答

26、.第二天与第一天所修路程的比是4:3.即第二天修的占4份，第一天修4 4的占3份，4+3=3,第二天修的占第一天的2,也就是第二天修的占全长的3 31,知道了已修的占全长的几分之几，就可以找到未修的5 00米相对4 3 3应的百分率，进而求出全长有多少米。1 1 4解：5 o o-i-l-(l x l)=5 00-r 1-l =1200(米)答：全长是1200米。例3有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的1与二班分到的1相3 2等，求两个班各分到多少皮球？1/3一班 i 1 I|、1/2.2 0个二班 iJ_ I J分析 上图中L是以一班为 单 位“1”，1是以二班为 单 位“1”单 位“

27、1”3 2不一致，因此一班与二班分到的皮球之间缺乏统一的倍数关系，也就是说!、3J.的单位“1”不统一，不能直接相加、减，必须进行“百分率”转化，才能2做此题。第13页解 法1:用百分率转化法统一单位“1”，题目中告诉我们“一班的J与二3班 的1相等”，即一班的1与二班的1相对应，可以用I*1，得到二班的球数2 3 2 3 2相当于一班的几分之几.总球数120就和两个班的百分率之和相对应，求出一班分到多少皮球。1 1 2二班分到的球占一班的几分之几：-=3 2 37一班分到多少皮球：120+（1 +Z）=7 2（个）3二班分到多少皮球：120 7 2=4 8 （个）。答：一班分到7 2个皮球，

28、二班分到4 8个皮球。根据上面解题思路，也可以用1 ,请试着做一做。2 3解 法2：用倍比转化法统一单位“1”，看一班的“1”中有几个1,即有3几个二班的!，找到一班分到的球数占二班的几分之几，转化成和倍题，就可2求出二班分到多少球。1 1 3一班分到的占二班几分之几：lx（1-1）=i2 3 2二班分到多少球：120+（1 +2）=4 8 （个），2一班分到多少球：120-4 8=7 2（个）。解法3：转化成按比例分配的题目，通过一班分到的1与二班分到的相3 2等，可以找到一班与二班分到的皮球数的比。一班与二班分到皮球数的比：一班xl=二班X _ L （根据比例性质）3 2一班：二班=1：1

29、=3：22 3一班分到多少皮球：120 x上=7 2（个）3+2二班分到多少皮球：120 x，_=48（个）3+2第14页习题四1.甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的1等于乙班种的棵数4的 又 知 乙 班 比 甲 班 多 种24棵，甲、乙两班各种多少棵？52.修路队 修 一 条18 00米的路，前5天完成了全长的2 5%,照这样计算，把这条水渠还要多少天？2.甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经4小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过3小时，甲车到达B地，乙车离A地还有7 0千米，求A、B两地相距多少千米？4 .哥哥和弟弟共有人民币10.8元，哥哥用去自己钱数的7 5%,弟弟用去

30、自己钱数的8 0%,两人所剩的钱正好相等，哥哥原来有多少钱？习题四解答1.乙班：24-(l-1-r l)=120(棵)5 4甲班：120 24=9 6 (棵)2.解法 1：18 00X (1-25%)4-(18 00X 25%4-5)=15 (天).解法 2：18 004-(18 00X 25%4-5)-5 =15 (天).解法 3：14-(25%+5)-5=15 (天).解法 4：5 X (1-25%)+25%=15 (天).1 1 32.4+3=7 (小时)，=-4 7 2 837 0+(1-一x 7)=28 0(千米)2 85.解法 1：(1-7 5%)-(1-8 0%)=35(2)10

31、.8-r (1+J)=4.8 (元)解法 2：1 7 5%=25%,18 0%=20%,(1-25%):(14-20%)=4 ：5,10.8 4-(4+5)X 4=4.8 (元).第15页第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形.如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形）八个顶点，十二条棱.在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形.两个全等图形的面积相等，对应边也相等）.长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体=2（a b +b c+a c）；长方体的体积：V长方体=a b

32、c.正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形.如果它的棱长为a,那么：S正方体=6 a 2,V正方体=a 3.例1有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是1 90平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积.解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2a 2平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：1 90 +2a 2=240,可知，a 2=25,故 a=5 （厘米）.1 Q n 2

33、x2 5又因为 2a 2+4a h =1 9 0,解得：h=一 =7 （厘米）4x 5所以，原来长方体的体积为：V=a 2h=25 X 7 =1 7 5 （立方厘米）.例2如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）.如果这个镂空的物体的表面积为25 92平方厘米，试求正方形截口的边长.第16页解：原来正方体的表面积为：6X3aX3a=6X9a2（平方厘米）.六个边长为a的小正方形的面积为：6XaXa=6a2（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞的侧面积为：3aXaX4=12a2（平方厘米）；三个长方体空洞重

34、叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：aXaX4=4a2（平方厘米）.根据题意：6X9a2-6a2+3（12a24a2）=2592,化简得：54a2 6a2+24a2=2592,解得a2=36（平方厘米），故a=6厘米.即正方形截口的边长为6厘米.例3有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字.但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍.解：把每一块积木锯三次，锯 成8块小立方体（如下图）.这 样，每锯一次便得到两个大截面，使表面积增加!倍，锯三次使截面积增加3x1=1（倍），3 3因此全部小积

35、木的表面总面积就比原积木表面总面积增加了一倍。例4有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？解：水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积.沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：3X3X0.04=0.36 立方米,2X2X0.11=0.44 立方米.它们的和是：0.36+0.44=0.8 立方米.把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是0.8立方米,而大池的底面面积是4义4=16平方米，所以，大水池的水面升高：第17页

36、0 Q0.8 4 6=竺 米=5厘米1 5习题五一、填空题：1 .一块矩形纸板，长 8 厘米，宽 6厘米，把它折成底面为正方形的长方体的侧面，则这个长方体的底面面积为 平方厘米.2.有一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长是2 厘米的正方体若干块，表面积增加了_ _ _ _ _平方厘米.3.把一根2 米长的方木锯成两段，表面积增加288平方厘米，原来这根方木的体积是 立方厘米.4.把棱长为a厘米的两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是原来两个正方体表面积和I I o二、选择题：1.一个正方体的体积是343立方厘米，它的全面积是一平方厘米.A.42 B.1 96 C.294 D.39

37、22.把棱长为3 分米的正方体锯成两个长方体，这两个长方体表面积的和是 平方分米.A.5 4 B.7 2 C.1 0 8 D.以上都不对3.如下图，一个木制的正方体的棱长为2 分米，每个面的正中有一个正方形的孔通到对边，边长为1 分米，孔的各棱平行于正方体相对的棱，那么这个镂空几何体的总表面积的平方分米数是0A.24 B.30 C.36 D.424.如下页图立方体的每个角都被切下去（图中仅画了两个）.问所得到的几何体有条棱？A.24 B.30 C.36 D.425 .立方体各面上的数字是连续的整数（如图）.如果每对对面上的两个数的和相等，那么，这三对数的和是。第18页A.7 5 B.7 6 C

38、.7 8 D.81三、解答题：1.一个木盒从外面量长1 0厘米，宽8厘米，高5厘米，木板厚1厘米.问做这个木盒最少需要1厘米厚的木板多少平方厘米？这个木盒的容积是多少立方厘米？2.将一个长9厘米，宽8厘米，高3厘米的长方体木块锯成若干个小正方 体（锯痕宽度忽略不计），然后再拼成一个大正方体，求这个大正方体的表面积.3.一个边长为6厘米的正方体铁盒装满了水，将水倒入一个长9厘米，宽8厘米的长方形水槽内，若铁皮厚度不计，求水深.习题五解答一、填空题：1.4或9平方厘米，应注意到有两种折法。42.4 3 2平方厘米.3.2 8 8 0 0立方厘米.4.262 5 6平方厘米;1 4 4立方厘米.2.

39、2 1 6平方厘米3.3厘米.第19页第六讲立体图形的计算在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形,如长方体、正 方 体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下.见下图.V=sh在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来.例 1 下图是由18个边长为1 厘米的小正方体拼成的，求它的表面积.分析与解答求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁.如果仔细观察，会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等.因此列式为：（9+8+

40、7）X2=48（平方厘米）.答：它的表面积是48平方厘米.例 2 一个圆柱体底面周长和高相等.如果高缩短了 2 厘米，表面积就减少 12.56平方厘米.求这个圆柱体的表面积.分析一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形.解题的关键在于求出底周长.根据条件：高 缩 短 2 厘米，表面积就减少第2 0页1 2.5 6平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值 是1 2.5 6平方厘米，所以底面周长C=1 2.5 6 +2 =6.2 8 （厘米）.这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了.解：底 面 周 长（也是圆柱体的高）：1 2.5 6 4-2=6.

41、2 8 （厘米）.侧面积：6.2 8 X 6.2 8 =3 9.4 3 8 4 （平方厘米）两个底面积（取冗=3.1 4）：3.1 4 x （.6,2 S.）2X2=6.2 8 （平方厘米）2 3.1 4表面积：3 9.4 3 8 4+6.2 8=4 5.7 1 8 4 （平方厘米）答：这个圆柱体的表面积是4 5.7 1 8 4平方厘米.例3 一个正方体形状的木块，棱 长 为1米.若沿正方体的三个方向分别锯 成3份、4份 和5份，如下图，共得到大大小小的长方体6 0块，这6 0块长方体的表面积的和是多少平方米？分 析 如 果 将6 0个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况锯成的小木块长

42、、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事.如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面，这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加1 +1 =2平方米，这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决.解：原正方体表面积：I X 1X 6 =6 （平方米），一共锯了多少次：（次数比分的段数少1）（3-1）+（4-1）+（5-1）=9 （次），表面积：6 +2 X 9 =2 4（平方米）.答：6 0块长方体表面积的和是2 4平方米.例4 一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）.圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米.求这个粮囤的体

43、积是多少立方米？第 21页分析按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积.但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆柱体，这时圆柱的高等于xO.6=0.2（米），那么原来两个形体变成一个圆柱体，高 是（2+0.2）3米。这样求出变化后直圆柱的体积就可以了。解：圆锥体化为圆柱体的高：0.6x1=0.2（米）3底面积：3.14x（.-9-4 2.）2=7.065（平方米）2x3.14体 积:7.065 X（2+0.2）=15.543（立方米）.答:粮囤的体积是15.543立方米.例5皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中.皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为60厘 米

44、.皮 球 有2/3的体积浸在水中（下图）.问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？-6。匣米-V分析皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高.这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度.,4 3 4 12 3解：球的体积：V球=可n R =耳n x（_）=288况（立方厘米）.水桶的底面积：X302=900 Ji（平方厘米）水面升高的高度：-x-=（厘米）3 900n 75第22页答：水 面 升 醺 厘 米。习题六1.一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图.已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是301

45、4.4立方厘米.求原来钢材的体积和侧面积.2.在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中.取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高.3.在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞.洞口是边长为1厘米的正方形，洞 深1厘 米（如下图）.求挖洞后木块的表面积和体积.I-U、1 厘米习题六解答1.3014.4X2=6028.8（立方厘米）,960X Ji=3014.4（平方厘米）.答：原钢材体积是6028.8立方厘米，侧面积是3014.4平方厘米.2.下降部分水的体积：3.14x（竺）2x0.5=628（立方厘米）2铸件的高：

46、628x3-3.14x（1）丐=24（厘米）答：铸件的高是24厘米.3.提示：大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞第2 3页内”的4个侧面积.解：6个小洞内新增加面积的总和：1X1X4X6=24（平方厘米），原正方体表面积：42X6=96（平方厘米），挖洞后木块表面积：96+24=120（平方厘米），体积：43-13X6=58（立方厘米）.答：挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米.第七讲旋转体的计算分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其

47、余各边旋转而成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆 台（下图）.旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母线.圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆柱的母线，长是圆柱底面的周长.由此可得S圆柱侧=2兀rl,其 中1是圆柱侧面的母线长，r是底面半径（下左图）.圆锥的侧面展开图是一个扇形，如上页下角图这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，于是可得S圆 露ic i=u rl其 中1是圆锥侧面的母线，C是圆锥底面的周长，r是圆锥底面的半径.圆台是用

48、一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的侧面展第 24页开图是两个扇形的差，常叫扇环形.这个扇环形的宽是圆台侧面的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长，于是可得S圆 台 侧=1（C i,+C卜-）1=（r上+r卜.）n l其 中1是圆台侧面母线长，C上、C下分别是圆台上底和下底周长，r上、r下分别是圆台上底和下底的半径（如下图）.圆柱的体积等于它的底面积S与高h的乘积，即V圆柱=S h=n r2 h,其中r为圆柱底面的半径.圆锥的体积等于它的底面积S与高h的积的三分之一，即V同 徘=lsh=1因 谁 3 3n r h,其中r为圆锥底面半径。圆台的体积是：V同 公=l兀

49、h（产+/+r卜r下）出 口 o I -r r.r其中，r上、r下分别是上底和下底的半径。例1甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙桶的L5倍，乙桶比甲桶高25厘米，求甲、乙两桶的高度。分析与解答如下图：由题意，设乙桶半径为r,则甲桶半径为1.5口甲桶高度为h,则乙桶高度为 h+2 5,贝ijn（1.5r）2h=nr2（h+25）2.25r2h=r2（h+25）,2.25h=h+25,h=20（厘米）h+25=45（厘米）.答:甲桶高度为20厘米，乙桶高度为45厘米。例2 一块正方形薄铁板的边长是22厘米，以它的一个顶点为圆心，边长第 25页为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形

50、铁板围成一个圆锥筒，求它的容积（结果取整数部分）。解：如下图，扇 形 弧 长=I x2 n x2 2=1 1 3 T （厘米），因此所作的圆锥筒底的4周长=2兀r=l l”，解得r=5.5厘米。因为母线长是2 2厘米，所以圆锥的高h=2 22_ 5.52 2 1.3 （厘米）V 圆露 1 n x5.5 2 x2 1.3 6 7 4 （立方厘米）答：所求圆锥筒的容积约为6 7 4立方厘米。例3在仓库一角有一堆谷，呈!圆锥形（如下图），量得底面弧长为2米,4圆锥的高为1米，这堆谷重约多少公斤（谷的比重是每立方米重7 2 0公斤，结果取整数部分）？1 4解：因为底面弧长为2米，所以l x2 jrr=