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1、2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：圆（10题）一.选 择 题（共10小题）I.（2 0 2 1 黔西南州）图 1 是一把扇形书法纸扇，图 2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条 O A 和 08的夹角为1 5 0 ,O A 的长为3 0 c 7”，贴纸部分的宽A C 为 1 8 c 7力，则而的长为（）图1图2A.5ncm B.0nctn C.20ncm D.2 5 1 1 c m2.（2 0 2 1 镇江）设圆锥的底面圆半径为r,圆锥的母线长为/,满 足 2 H/=6,这样的圆锥的侧面积（）A.有最大值B.有最小值口4 4C.有最大值2n D.有最小值2 23.（2 0 2
2、1 秋吉林期末）如图，四边形A B C 3 内接于O。，A B 为直径，B C=C D,连接A C.若ND4 B=4 0 ,则N O 的度数为（）A.70 B.1 2 0 C.1 4 0 D.1 1 0 4.（2 0 2 1 毕节市）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，源,而所在圆的圆心为。，点 C,。分别在O A,。8上.已知消防车道半径O C=1 2 机，消防车道宽AC=4 m,Z A O B=2 0Q,则弯道外边缘AB的 长 为（)c-fT O nD.争5.（2021 沈阳）如图，AABC是。的内接三角形，A B=?M，ZACB=60,连接OA,O B,则 靠 的
3、 长 是（）3336.（2021 巴中）如图，AB是O O 的弦，且 A B=6,点 C 是弧A 8 中点，点。是优弧AB上的一点，/ADC=30,则圆心。到弦AB的距离等于（）7.（2021 湘潭）如图，BC为。的直径，弦 AOLBC于点E,直线/切。于点C,延长O D 交 I于点、F,若 AE=2,/ABC=22.5,则 CF的长度为（）BC.D.48.（2021梧州模拟）如图，。是以A B为直径的。上的一点，PC是O。的切线，PC/ABE为OA的中点,连 接CE并延长交。于点。，若A 8=4,则O E的长度为（）9.（2021遵义）如图,C.等D.2A B是。0的弦，等边三角形OCO的边
4、CO与。0相切于点P,且CD/AB,连 接OA,OH,OP,A D.若NCOO+180,A B=6,则 AO 的长是（）3 yC.2后D.V l310.（2021宁夏）如图，已 知 的 半 径 为1,A B是直径，分别以点A、8为圆心，以AB的长为半径画弧.两弧相交于C、。两点，则图中阴影部分的面积是（)AA-等-2 B-等 飞C号 飞D.8兀2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：圆（10题）参考答案与试题解析选 择 题（共10小题）1.（2 0 2 1 黔西南州）图 1 是一把扇形书法纸扇，图 2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条O A和O B的夹角为1 5 0 ,O A的长为
5、3 0 c m 贴纸部分的宽A C为 1 8 的，则庙的长为（）图1 图2A.5ncm B.Wncm C.20TTC7?I D.25T C C T T?【考点】弧长的计算.【专题】与圆有关的计算；运算能力.【分析】先求出O C,再根据弧长公式计算即可.【解答】解：的长为3 0 c M7,贴纸部分的宽4c为18CTH,：.O C=O A-AC=2cm,又。4 和。B 的夹角为1 5 0 ,而 的 长 为：,KO兀X 12=i0Tt（5 1）.180故选：B.【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：/=工二旦（弧长为/,圆心角度数为,180圆的半径为R）是解题的关键.2.（2 0 2 1 镇江
6、）设圆锥的底面圆半径为r,圆锥的母线长为/,满 足 2 日/=6,这样的圆锥的侧面积（）A.有最大值包T T4B.有最小值皿4C.有最大值2D.有 最 小 值%2【考点】圆锥的计算.【专题】与圆有关的计算；应用意识.【分析】由 2 汁/=6,得 出/=6-2 r,代入圆锥的侧面积公式：S恻=n ，利用配方法整理得出，S 0 尸-如(r-3)2+%,再根据二次函数的性质即可求解.2 2【解答】解：.,2 什/=6,：.l=6-2 r,，圆锥的侧面积 S 恻=n=7 T r (6 -2 r)=-2 n(r2-3 r)=-2 n (r -)2-=-2 n2 4(r-)2+n,2 2.当r=旦时，S则
7、有最大值9 n.2 2故选：C.【点评】本题考查了圆锥的计算，二次函数的最值，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积：5M=2 T t/-/=ir r/是解题的关键.23.(2 0 2 1 秋吉林期末)如图，四边形A 8 C D 内接于O。，AB为直径，B C=C D,连接A C.若N D 4 B=4 0 ,则NO 的度数为()A.7 0 B.1 2 0 C.1 4 0 D.1 1 0【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质.【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.【分析】根据圆周角定理求出N B A C,根据
8、圆内接四边形的性质计算即可.【解答】W：BC=CD,.B C=C D，V Z D A B=4 0 ,A Z B A C=AZD A B=2 0 ,2为直径，A Z A C B=9 0 ,：.ZB=90-NBAC=70,/四边形A B C D内接于（D O,A Z D=1 8 0 -Z B=1 1 0 ,故选：D.【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.4.（2 0 2 1 毕节市）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，A B，C D所在圆的圆心为。，点c,。分别在O A,。8上.已知消防车道半径O C=1 2 3消防车道
9、宽A C=4?,N A O B=1 2 0 ,则弯道外边缘A B的 长 为（）A.8T T/H B.4wn C.-mn D.3 3【考点】圆周角定理；弧长的计算.【专题】与圆有关的计算；运算能力；应用意识.【分析】根据线段的和差得到OA=OC+A C,然后根据弧长公式即可得到结论.【解答】解：OC=1 2机，AC=4m,：.OA-OC+AC=1 2+4=1 6 （加），V ZAOB=20Q,.弯道外边缘源的长为：120兀x 16=丝 兀180 3故选：C.【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式/=上，是解题的关键.1805.（2 0 2 1 沈阳）如图，z M B C是。的内接三角形，
10、A B=2 ,ZACB=60,连接。4,O B,则AB的 长 是（)【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算.【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；推理能力.【分析】过点。作 OOLAB于。，根据垂径定理求出A Q,根据圆周角定理求出NAOB,根据正弦的定义求出0 A,根据弧长公式计算，得到答案.【解答】解：过点。作。O于。，则 AD=DB=LAB=M，2由圆周角定理得：NAOB=2NACB=120,/.ZAOD=60 ,却2源的长=舞产等故选：D.【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键.6.（2021 巴中）如图，AB是 的 弦，且 A
11、 B=6,点 C 是弧AB中点，点。是优弧AB上的一点，NAOC=30,则圆心。到弦A 8的距离等于（)D7-BCA.3 J3 B.2 C.V3 D.返2 2【考点】垂径定理；圆周角定理.【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.【分析】根据题意连接。4、OC,0 c 交 A 8于点E,根据垂径定理推出。C L A B,且 AE=B E=3,再由圆周角定理推出/A O C=2N 49C=60,从而根据直角三角形的性质进行求解即可.【解答】解：如图，C连接0 4、0C,0C交AB于点E,点C 是弧A 8中点，AB=6,A OCLAB,S.AE=BE=3,V ZAC=30,A ZAOC=2ZADC=6
12、0,:.OE=-LAE=43,V3故圆心0 到弦AB的距离为故选：C.【点评】本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键是根据题意作出辅助线0 4 0C,从而根据垂径定理和圆周角定理进行求解，注意数形结合思想方法的运用.7.（2021 湘潭）如图，3 c 为。0 的直径，弦3 c 于点E,直 线/切 于 点 C,延长0。交/于 点 F,若 AE=2,/A8C=22.5,则 C尸的长度为（BA.2 B.2A/2 C.273 D.4【考点】勾股定理；垂径定理；切线的性质.【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力.【分析】根据垂径定理求得窟=而，A E=D E=2,即可得到NCOO=2
13、NA2C=45,则OE。是等腰直角三角形，得出0 0=6 2+2 2=2加,根据切线的性质得到BCA.CF,得到OCF是等腰直角三角形，进而即可求得C F=0 C=0 D=2近.【解答】解：为。的直径，弦 A_LBC于点E,*AC=CD,A E=D E=2./COO=2NABC=45,.OED是等腰直角三角形，：.OE=ED=2,O D=N 22+2 2=2V,.直线/切（DO于点C,：.BCA.CF,.OCF是等腰直角三角形，：.CF=OC,：OC=OD=2f2,:.CF=2五故选：B.【点评】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=O
14、Q是解题的关键.8.（2021梧州模拟）如图，C 是以AB为直径的。上的一点，PC是 的 切 线，PC/ABE为0A的中点，连接CE并延长交。于点O,若4 8=4,则OE的长度为（)A.逅 B.V5 C.D.23 5【考点】圆周角定理；切线的性质.【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.【分析】连接C。并延长交。于F,连接。F,如图，先根据切线的性质得到CFLPC,再证明A8_LC凡 则可利用勾股定理计算出CE=旄，接着证明 COES/OCF,利用相似比求出C D,然后计算C D -C E即可.【解答】解：连接CO并延长交。于凡 连接。凡 如图，是。的切线，：.CFLPC,JPC/AB,J.AB
15、LCF,为0A的中点，AB=4,：.OE=l,0C=2,在 RtZOCE 中，C E=心 +2 2=爬,为直径，A ZCDF=90,/Z C O E=A CDF,N O C E=A DCF,:.COESADCF,oc-CE 即 2 五 一 京 、丽 一 丁:.CD=5 _ _：.D E=C D -C E=Z I-泥5 5故选：C.【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质.9.(2021 遵义)如图，AB是O。的弦，等边三角形OC。的边C 3 与O O 相切于点P,且C D/A B,连接 OA,OB,OP,A D.若NCOC+/AOB
16、=180,A B=6,则 AQ 的长是()A.6我B.3yC.2713D.713【考点】等边三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力.【分析】延长P。交 4 8 于，连接4P,B P,过点A 作 A E LC O,交。C 的延长线于E,由切线的性质可得OPJ_C,由等边三角形的性质可得NCO=60=ZOCD,CP=PD,由垂径定理可得A 4=B H=3,通过证明aAPB是等边三角形，可求=6,N A P 4=3 0 ,由锐角三角函数可求AE,E P,在 RtAEO中，由勾股定理可求A。
17、的长.【解答】解：如图，延长PO交 AB于 H,连接AP,B P,过点A 作 AE LC Z),交。C 的延长线于E,：OPLCD,又:XCOD是等边三角形，A ZCOD=60=NOCD,CP=PD,*：CDAB,：.OHAB,:.AH=BH=3,NCOO+NAOB=180,NAO8=120,：OA=OB,N0A3=NOA4=3O,：.A0=20H,A H=6（）H=3,：.O H=M，A0=2如=OB=OP,.sinNOCO=W=OC 2 OC=4,:.CP=PD=2,:AH=BH,PHLAB,:.AP=BP,*/ZAOB=2ZAPB9：.ZAPB=60,二APB是等边三角形，：.AP=BP
18、=6,ZAPH=30,NAPE=60,ZEAP=30,：.EP=AP=3,A E=V P=3 f，:ED=EP+PD=5,*,AO=/AE2+DE2=427+25=2,/13故选：c.【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理,锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求线段的长是解题的关键.10.（2021宁夏）如图，已知。的半径为1,AB是直径，分别以点A、B 为圆心，以AB的长为半径画弧.两弧相交于C、。两点，则图中阴影部分的面积是（）A-B.C,器/D.*-2爪6 0 o o【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算；作图一复杂作图.【专题】与圆有关的计算；推理能
19、力.【分析】连接AC、B C,如图，先判断AACB为等边三角形，则N84C=60,由于S，；形BC=S KBAC-SAABC，所以图中阴影部分的面积=4S S JBC+2SAASC-SQ O,然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算.【解答】解：连接B C,如图，由作法可知AC=BC=A8=2,为等边三角形，./BAC=60,5 弓 形 BC=S 南 形 BAC-SAABC，二图中阴影部分的面积=4S弓 形 BC+2sAABC-Soo=4（5 msAC-SAABC）+2SAABC-Soo=4S 扇 形 a4C-2SAABC-SQO=4 X6022_2!,-2X返X22-n
20、X I2360 4【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了扇形的面积公式.考点卡片1.等边三角形的性质(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于
21、6 0 .等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴.2.勾股定理(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+/=0 2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式次+廿二。？的变形有：“=42 _匕2,b=N。2_22及c=d a 2+b 2(4)由于a2+b2=ci a2,所 以c a,同 理c b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.3.垂径定理(1)垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平
22、分弦所对的两条弧.(2)垂径定理的推论推 论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.4.圆心角、弧、弦的关系(1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧.（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：
23、在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三 项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.5.圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上.角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，9 0 的圆周角所对的弦是直径.（3）在解圆的有关问题时，常常需
24、要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.（4）注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化.定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.6 .圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来.在应
25、用时要注意是对角，而不是邻角互补.7 .三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.（3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部.找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.8.切线的性质（1）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经过
26、切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直.（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.9.正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.（2）正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.中心角
27、：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.10.弧长的计算（1）圆周长公式：C=2TIR（2）弧长公式：/=史 里（弧长为/,圆心角度数为，圆的半径为R）180在弧长的计算公式中，是表示1 的圆心角的倍数，”和1 8 0都不要带单位.若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.题设未标明精确度的，可以将弧长用7 T表示.正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.11.扇形面积的计算(1)圆面积公式：S=TTJ(2)扇形：由
28、组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.(3)扇形面积计算公式：设 圆 心 角 是,圆的半径为R的扇形面积为5,则S扇 形=-2-TTR2或$扇形(其中/为扇形的弧长)3 6 0 2(4)求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法.(5)求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.12.圆锥的计算(1)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高.(2)圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.(3)圆锥的侧面积：S i)9:=A 2i T/-/=n r/.2(4)圆锥的全面积：S金=5底+S傅=口尸+加7(5)圆 锥 的 体 积 底 面 积X高3注意：圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等.圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等.13.作图一复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.