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1、2022-2023学年数学人教A 版 2019必修一单元卷第二章一元二次函数、方程和不等式基硼提升潮试本试卷共4页，2 2 小题，满分1 5 0 分，考试用时1 2 0 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2 B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角”条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 8 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
2、位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已 知 则 下 列 大 小 关 系 正 确 的 是()A.ab crh B.ah crhC.ab cfb 1 D.a2b ab【答案】C【解析】【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.【详解】“为正数，6为负数，所以a2b0,ab-crb=ab(-a)Q,abcrb,所以“b a2b 1.故选：C2.不等式(x
3、+l)(x+3)0 的解集是()A.R B.0 C.x l-3 x -l D.x lx -l【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由(x+l)(x+3)0,解得-3 x -l,即不等式的解集为 乂-3 x/3根据题意有-2,再 代 入X-；根据基本不等式求解最小值即可【详 解】根据题意有工=-丫-2,故=y y2=(!2?2卜y)?2=0,当且仅当 y=-l,x=-l时取等号.故选：A44.已知a 1,则。1-的 最 小 值 是（)A.5 B.6 C.30 D.2近【答 案】A【解 析】【分 析】山于a 1,4 4所 以a 1 0,贝!41-=(a-1)H-F
4、1,a 1 a i然后利用基本不等式可求出其最小值【详 解】由于a l,所 以“-1 04 4 I 4-所以 a+=a-l+l 2l(a-l)-+1 =5,a-l a-Y(tz-l)4当日.仅当 1=卬=3时 取 等，；.a-故选：A.5.设x a 0,则 下 列 不 等 式 一 定 成 立 的 是（）A.x2 ax ax a2 C.x2 a2 a2 ax【答 案】B【解 析】【分 析】由不等式的运算性质即可得到答案.【详 解】,c X a x 0 2 2由题意，-X -Q O =axa-.ax a 0故选：B.6 .已知正实数a,满足a +J =2,则2 必+，的最小值是()b aA.B.3
5、 C.D.2/2 4-1【答案】A【解析】【分析】I 1 h由已知得，。=2-：代入得2 +上=2(2 2 1)+令2 b l=t,根据基本不等式可求得答案.b a 2 b【详解】解：因为。+：=2,所以4 =2 ：0,所以0 /?2 ,b b所以 2 M +L 2(2 H +/7 =2(2 b T)+K 3，令 2 Z?-1 =,则 b =且一l f 3 ,1-i 1 3 2所以2-L2/+2=2，+L k 2、Q+L 9,当且仅当2 五，即=于b =y=*,取等号,a t 2 t 2 v 2/2 2所以2 必+1的最小值是a 2故选：A.7 .已知x eR,贝 ij xl且 y 2 4 是
6、x+y N 5 且 孙 2 4 成 立 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分不必要条件的定义和不等式的性质进行判断可得答案.【详解】因为x2 1 且 丁 24,所以x+y 5 且 冲 24；取x=0.5,y=1 6,则x+y 25且个24,但不满足x 2 1,所以前者是后者的充分不必要条件.故选：A.8 .已知函数/(x)=a r +2 ,若存在两相异实数九”使 f(m)=f()=c,且a+4+c =0,则的最小X值 为()A.B.3 C.72 D.732 2【答案】B【解析】【分析】由题设可得or?-”+6 =0
7、(XH0)，乂/3)=/()=c 即机为方程两个不等的实根，即有m +n=,mn=,结合|加-”|=J(加+)2-4m、a+A h+c=Otn-n=J16-()2+4-+1 ,即可求其a a a a最小值.【详解】由题意知：当/。)=+2=。有 or2-c r+Z?=0(x 0),x.f(m)=/()=c 知：机，是o?一 c%+=0(x w 0,a w 0/0 0)两个不等的实根.m +n=,mn=,而|=y(m+n)2 4 mn=JC*a+4 b+c=0,即 c=-4/?a,.116 b2+4 +/I b 2 Tb 人弋 J|/n-w|=-=.16-()+4 Fl 令f=一,V a2 a
8、a a则m-n=716/2+4r+l=4(2/+-)2+1,当r=J时，1一川的最小值为史.8 2故选：B【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为机”，结合韦达定理以及m n-yl(m+n)2 4 mn)应用二次函数的性质求最值即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.若一 1 6 2 ab B.2 fab D.a+-b +-a b a b【答案】AD【解析】【分析】应用作差法判断B、D,根据重要不等式判断A,由不等式性质判断C.【详解】A：山.重：要不等
9、式知：a2+b2 2 a b 而一1 a 6 2ab,正确；B：由一 l a 0,故错误;a b ab a bC：山一IvtzvbvO,a+b00,故Q+h+一,止确.a b a h ah ab a b故选：AD1 0.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在 砺智石一书中首先把“二”作为等号使用，后来英国数学家哈利 奥 特 首 次 使 用 和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若。0,b 0,则下面结论正确的有()1 4 9A.若一 +=4,则。+a b 4B.Viz2+b2 0,b0,若_ 一1 +工4=,4,则n,a+5,=z1(,a+b)|一 +工5+b +H4a
10、A R 1i fc5 +J2小b一 4下al卜 彳9，当、且，仅当一。二丁4 且n 一1 +14=4“,a即na b 4 a bj a b J a b)4 a b a b3 3a=-,b=$时取等号，A 正确；因为即2与(a+b),当且仅当a=6 时取等号,所以“+万巫,B 错误；a+b 2若a+6=2,则而管J=,当且仅当。=人=1时取等号，C 正确；若 22,则 叫 。，解得。b a，所 以 一 等 0,D 错误.故选：AC.1 1.如图，二次函数=渥+法+。(*0)的图像与*轴交于A B两点，与)轴交于C 点，且对称轴为x=l,点B坐标为(-1,0),则下面结论中正确的是()A.2 a+
11、b=0 B.4 a-2 b+c0 D.当 时，x 4【答案】ABC【解析】【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.【详解】因为二次函数 =d+“r+c(aH0)的图象的对称轴为x=l,所以X=-=l得2+b=0,故 A 正确：2 a当x=-2 时，y=4 a-2 b+c 0，故 C 正确；因为二次函数尸 一+加+4 0)的图象的对称轴为片 1,点B坐标为(-1,0),所以点A 的坐标为(3,0),所以当)，V0时，x 3,故 D 错误.故选：ABC.1 2.已知x0,y X),且 x+2产3,则下列正确的是()A.嚏+1 的最小值为3 B.4+
12、后 的 最 大 值 为 69C.孙的最大值为三 D.2X+I+4V8O【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式求解判断.【详解】因为 xO,y 0,x+2y=3,-+-=-(x+2 y)(l+-)=-(5+)-(5 +2 P)=3,当且仅 当 生=，即 x=y =l 时等号成x y 3 x y 3 y x 3 y y x y x立，A 正确；山 得(五+五 )2 K2(x+2y)=6,所以66，B 错；3=x+2”2历，x y 2 l2x+-22V=2后时=8，当且仅当 2向=22 即 x=1,y=1 时等号成立，D 正确.故选：A CD.三.填空题 本题共4 小题，每小题5 分，共 2
13、0 分1 3 .若关于x的 方 程 义 当=-1 的解是正数，则。的取值范围是_ _ _ _.x-2【答案】2且 7【解析】【分析】直接求解分式方程，然后由解为正数和分母不为零可求出。的取值范围【详解】方程2x+ax 2=-1 解得x =?依题意 得 宁 0 且 多 工 2,解得2且”-4,故答案为：2 且a x-41 4 .若不等式丘2+2 丘+2 0两种情况讨论，当k 0 时需满足(),即可得到不等式，解得即可；【详解】解：当4 =0 时，2 0 时.，A =4 A:2-8 A：0.解得0 p +l)3 =40 3 ,当且仅当2(+1)=0+1),即 =&一 1，6 =2 垃-1 时取等号
14、.故答案为：4 夜-31 6 .已知函数/(x)=f,g(x)=2 a k l|,a 为常数.若对于任意为，x2G 0,2 ,且都有/(x,)-/(x2)g(x,)-(x2)，则实数a的取值范围是.【答案】0,1#|0 1)【解析】【分析】可根据已知条件，构造函数F(x)=/(x)-g(x),通过分类讨论得到尸(x)的解析式，然后利用二次函数的对称轴确定其单调性，列式求解即可.【详解】对于任意打,X 2 0 O,2 J,且丁 V X 2,都有 f(X)-/(X 2)l 时，尸(尤)=x2-lax+la；当 时，F(x)=x2+2 ax-2 a；要使尸(x)在区间 0,2 上单调递增，则当1 V
15、 X 4 2 时，尸。)=/-2 以+2”的对称轴x=a,即a 41 ；当0 4 x l 时，F(x)=/+2 ar-2 a 的*j 称轴x =-a 4 0,即a 4 0；且 l +2 ax l-2 a41 -2 ax i+2 a,综上04 a q故答案为：0,1 .四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 7.(1)若不等式5/-加+0 0 的解集为 目一1 3 ,求/7+c 的值.(2)不 等 式 在 9 2 0的解集为A,求集合A.【答案】(1)-5；(2)X|XN|或x T .【解析】【分析】(1)根据二次不等式的解法即
16、可求解；(2)根据分式不等式的解法求解即可.【详解】(1)由题意得：一1,3就是方程5/6x+c =0 的两根，(5+c=0 (b=10二3-3cW 则|C=_ 1 5.3-5；(2)将不等式转化 为 产 一 9，+：,，x _ 4 或汨，x+4/O 24=卜 W,或x l,求4XH-的最小值.x-i(2)求关于x的不等式的解集：2+(2 -l)x-2 0 时，解集为2，)；a=-g时，解集为 x|x w-2 ；a -g时，解集为(-8,-2)U(：,+8)：-g a 0 时，解集为-l,所以x-l 0,f i/rl U 4x+=4(x-l)+4 2 J 4(X-1)-+4=8,x 1 x-v
17、 x 11 3当且仅当4(x-l)=-即x =时等号成立，x-l 2所以4x H-的最小值为8.X-1(2)0?+(2。-1 口一2 0,当。=0 时，不等式为-%-2 0,解集为(-2,+o o),Q H 0 时，不等式分解因式可得3=1)(工+2)0 时，故 x-：)(x +2)0,此时解集为,2,|.当a=-g时，卜x+2)0,故此时解集为 x|x*-2 ,当时，(o x-l)(x+2)0,X-2 ,2 a)a解集为(0，2)U(/+8).当一g 0 时，(火-1)(工+2)(),又：0 时,解集为-吗，时，解集为WX H-2,a 时，解集为(-,-2)U,+J ,g a 0 且加工0
18、,解得：加且相w O.4(2)关于x的一元二次方程如2+(2 帆+1)%+m+2 =0 有两个不相等的实数根4，X”m+2%=-,mV%i x2=0,m解得：机=一 2,经检验：机=-2 是分式方程的解,当机=一2 时，方程为：-2x2-3 x =0 ,3解 得:X|=0,x2=-i2 0.冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物,若记仓库到车站的距离为x(单位：k m),经过市场调查了解到：每月土地占地费%(单位：万元)与(x+1)成反比，每月库存货物费为(单位：万 元)与(4x+l)成正比；若在距离车站5km处建仓库，则,与分别为12.5万元
19、和7 万元.记两项费用之和为。.(1)求。关于x 的解析式;(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值.75 1【答案】。=77T+产+1)(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元【解析】【分析】(1)依 题 意 设 出 含，%=右(4犬+1),然后根据已知求出人,，然后可得;(2)通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.(1).每月土地占地费%(单位：万 元)与(x+1)成反比,二可设F 每月库存货物费力(单位：万 元)与(4 x+l)成正比，可设必=2(4x4-1),又 ,在距离车站5km处建仓库
20、时，,与 乂分别为12.5万元和7 万元，7 1.仁=6x12.5=75,k2=-=-.2 4x5+1 375 1*-X=rO;2=-(4x+l)x+l 3.75 1,A 八 G=y+%=-+-(4x+l).x+1 3(2)75 1 z.i、75 4 z 1、i、c l 75 4 _0 =%+必=-+-(4x+l)=-+-(x+l)-l 2 -x-(x+l)-l=：19x+l 3 x+l 3 Y x+l 3当且仅 当7弋5 =?4(X+1),即X=6.5时等号成立，x+l 3这家公司应该把仓库建在距离车站6.5 米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元.2 1.已知函数 x)=2x2+/
21、nr+的图象过点(0,-1),且满足/(-1)=/.求函数/(x)的解析式；（2）求函数x）在 a,a+2 上的最小值;【答案】X）=2X2-2X-1、32。+6。+3,6?W -Q,(叽n=，3 3 1,.【解析】【分析】（D根据函数力图象过点（0,T）,得至再根据/（-1）=/（2）求解;(2)由/(x)=2 X?-2 x-l =2 1 x-g)x e.a,a+2,分 a+2 4；,a a +2 ,a w g 求解.(1)解:因 为 函数函x)=2/+皿+的图象过点(0,-1),所以 =一1又，解得机=-2,所以/(X)=2X2 _2X-1；(2)/(x)=2 x 2-2 x-l =2(x
22、-g)-1,x&a,a+2,1 3当。+2 4万时，即“4-/时，函数/(x)在5,a+2 上单调递减,所以 京=f(a+2)=2(2 +6 +3 ,1 3 1 1当 一。+2 时，即一 一 。一时，函数/（X）在 a9-2 2 2 L 2.在1,a+2单调递增，所以（用口”=/（；）=-|；当“之；时，函数F（x）在 a,。+2 上单调递增，上单调递减,所以（诩 1 nM =/（。）=2笳-2。-1.综上：(X)m i n =32 a +6 a+3,3 3 1,a 92 2 2012 矿-2 a-l,.2 2.已矢口函数/(x)=o r2-(2 a+3)x+6(ae R).若 力 0 的解集
23、是(Y，2)3,+8),求实数。的值.(2)若/(x)+2 0 恒成立，求实数。的取值范围；当 a=l 时，函数/(x)V (m+5)x+3+机在-2,2 有解，求+3的取值范围.【答案】(1)1j _ 92,2 7,+8)【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式的解集的端点值为一元二次方程的根，由此求解出a 的值；(2)要使 x)+2 0 恒成立，即 加-(2 a+3)x+8 (),根据。的取值进行分类讨论，由此求解出不等式解集；(3)将问题转化为“V+皿+3-帆4 0 在0 2,2 有解”，然后分析二次函数y =d+/n r+3-机在-2,2 的最小值小于等于0,由此求解出机的取值范围，即
24、可求出加+3 的取值范围.(1)由题意可知：4#0且，4 a-2（2 a+3）+6 =093（2 a+3）+6 =0 解得a(2)若 x)+2 0 恒成立，则 x)+2 0 n ar 2 _(2 a+3)x+8 0当a=0 时，加一(2。+3)%+8 0 不恒成立；a 0 1 a当a*0 时，2 解得：-.(2 a+3)-3 2 0 2 2实数a 的取值范围为：(3)。=1 时，/(同 4-(加+5)工+3 +加在-2,2 有解,即 X?+3 一 7 0在-2,2 有解，2因为y=/+/nr+3-根 的开口向上，对称轴工=一万，ni 7 一4 一 2 即m2 4,%=-2时，函数取得最小值4 一 2m+3 m W0即?之I,一2V 2 即一 4 机 4 时，当工=取得最小值，此时一+3 W0,解得2 s m 4.2 2 4m当一5 2 2 即 2 W -4 时，当x=2时取得最小值，此时4+2 m+3-m 0,解得m W-7 ,综上，机之2或机4 一 7.所以：+3的范围为：7,+oo).