《2021年数学高考真题卷--新高考II卷（含答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年数学高考真题卷--新高考II卷（含答案解析）.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考n卷数 学一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数考在复平面内对应的点所在的象限为1-31A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.若全集 U=1,2,3,4,5,6,集合 A=1,3,6,8=2,3,4,则 AA(C uB)=A.3 B.1,6 C.5,6 D.1,33.若抛物线V=2px(p0)的焦点到直线y=A+l 的距离为四，则p=A.l B.2 C.2V2 D.44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星
2、的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的最短距离)，把地球看成一个球 心 为 半 径 r 为 6400 km 的球,其上点A 的纬度是指0 4 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为a,该卫星信号覆盖的地球表面面积5=2兀/(1-cos a)(单位:kn?),则S占地球表面积的百分比约为A.26%B.34%C.42%D.50%5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为A.56 B.28V2C.v D.衅3 36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,f),则下列结论
3、中不正确的是A”越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9910.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等17.右 a=1og52力=log83,c=5,则A.cba B.bacC.acb D.ab 0)与圆C:%2+y 2=，点 A(a 力),则下列说法正确的是A.若点A在圆。上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆。内,则直线/与圆。相离C.若点A在圆C外,则直线/与圆。相离D.若点A在直线/上,则直线/与圆C相切1 2
4、.设正整数=(?2 +。2 1+.十 四 一 2 始+。2 人,其中白 0,1 (i=012 闺，记()=的+。1+四.则A.CD(2n)=co(n)B.co(2n+3)=co(n)+lC (8+5)=c o(4+3)D.(2 -1)=三、填空题沐题共4小题,每小题5 分 洪 2 0分.2 213.已知双曲线C:%=1 3 0/0)的离心率e=2,则双曲线C的 渐 近 线 方 程 为.14 .写出一个同时具有下列性质的函数j（x）=.勘的）=7 3 V（X 2）；当x e （0,+8）时/（X）0;金是奇函数.15.已知向量 a+b+c=0,a=1 ,b=c=2,a*b+b-c+cta=.16
5、 .已知函数人#二旧-1|凶 0,也 0,函数式力的图象在点4（山次内）和点5（双 十 工 2）处的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M,N 两点，则 黑 的 取 值 范 围 是.四、解答题:本题共6小题，共 7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .（10 分）记 S 是公差不为0 的等差数列 的前n项和，若&3=S 5,a2 a4=S 4.（1）求数列 斯 的通项公式；（2）求使5“斯成立的n的最小值.18 .（12 分）在4 A B C中，角 A,8,C所对的边分别为a,b,c,b=a+,c=a+2.（1）若 2 s i n C=3 s i n 4求 A B C的面积；（
6、2）是否存在正整数”,使得 A B C 为钝角三角形?若存在，求 a;若不存在，说明理由.19 .（12 分）如图，在四棱锥Q-A B C Z）中，底面A 8 C。是正方形工 =2,。=。4=遥,Q C=3.（1）证明:平面Q A D _ L 平面A 8 C D;（2）求二面角B-QD-A的余弦值.Q2 0.(12 分)己知椭圆。刍+m=1 3 0),右焦点为尸(心,0),且离心率为喉(1)求椭圆C的方程；设 是 椭 圆C上的两点，直线MN与曲线/+)2=/(x 0湘切.证明:M,N,尸三点共线的充要条件是|M N|=V I2 1.(12 分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个
7、这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表 示1个微生物个体繁殖下一代的个数，尸(X=i)=p，G=0,l,2,3).(1)已知 po=0.4,pi=0.3,p2=0.2,p3=0,求 E(X);(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程P(+piX+p2X2+piX3=X 的一个最小正实根，求证:当(X)1时,0 1;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.2 2.（1 2 分）己 知 函 数=o iA（i）讨论儿。的单调性；（2）从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：
8、/u）有一个零点.（I2a-,（X）a,lj0）的焦点坐标为（右 0）,直线y=x+l的一般方程为x-y+l=0,则由点到直线的距离公式得/=冒,解得p=2,故选B.4.C【考查目标】本题主要考查圆的切线的性质及球的表面积公式，考查的学科素养是理性思维和数学应用.【解析】如图所示，圆0的半径为6 4 0 0 km,点 P是卫星所在位置，由题意可知O P=3 60 0 0+6 4 0 0=4 2 4 0 0（km）,P A 与圆 O 相切,切点为 A,则 N P Q/=a，所以 c os a=缪所以0P 42 400 53卫星信号覆盖的地球表面面积5=2 兀/（1-5）=|户,则s 占地球表面积
9、的百分比为90 nr24星 rX 1 0 0%=4 2%,故选 C.15.D【考查目标】本题主要考查正四棱台的体积，考查的学科素养是理性思维.【解析】如图所示，在正四棱台ABC。-4 8 1 G d中，点0 i,0分别为上、下底面的中心，连接0 A,0 A,0 0 i,则由题意可知0。，底面ABC,0A=2或,。出=我.过点4作4 E0 0 i,交AO于点E,则A iE L底面A8CQ,四边形0EA。为矩形,0 =0|4=鱼,所以AE=2夜-&=夜,因为AAi=2,所以A iE=0 i0=J Z X =&,即正四棱台的高为&,所以正四棱台的体积V=1X(42+22+V42 x 22)xV 2=
10、.i*&ii D.6.D【考查目标】本题主要考查正态分布及正态曲线的对称性，考查的学科素养是理性思维、数学应用.【解析】设该物理量一次测量结果为X,对A c越小，说明数据越集中在10附近，所以X落在(9.9,10.1)内的概率越大，所以选项A正确;对B,根据正态曲线的对称性可得,P(X10)=0.5,所以选项B正确;对C,根据正态曲线的对称性可得,P(X10.01)=尸(X9.99),所以选项C正确;对D,根据正态曲线的对称性可得,P(9.9X 10.2)-尸(10X 10.3)=P(9.9X 10)-P(10.2X10.3),又 P(9.9XP(10.2X10.3),所以 P(9.9XP(1
11、0X 10.3),所以选项D错误.故选D.7.C【考查目标】必备知识:本题主要考查利用对数函数的性质比较大小.关键能力:逻辑思维能力、数学建模能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】a=k)g52=log5y10g8我=：=C,所以“C:+2)=/),则兀v+4)=；/(x+2)=-(次)=於)，所以函数/(x)是以4为周期的周期函数,所以式1)守0+4)可=0,又函数式x)的图象关于直线x=2对称，所以4 5)=/(4-5)/-1)=0,故选 B.【拓展提升】若 於)+4 2/)=2 则 r)的 图 象 关 于 点 他 力)对 称;若 火 则 於)的 图象关于直线产等对称;若./U)的图
12、象关于点3,0)对称且关于直线x=b对称，则火X)的周期T=4a-b.9.A C【考查目标】必备知识:本题主要考查样本的数字特征.学科素养:理性思维和数学应用.【解析】平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势,一般地，对数值型数据集中趋势的描述，可以用平均数和中位数，对分类型数据集中趋势的描述，可以用众数方差、标准差和极差均是度量样本数据离散程度的.故选A C.10.BC【考查目标】必备知识:本题主要考查线线垂直.关键能力:通过向量法确定线线垂直,考查运算求解能力、数学建模能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解析】对选项A,B,C,D中的正方体建立如图所示的空间直角坐标系，设各正方体的
13、棱长均为2.对于人,加(2,0,2)囚(0,2,2),0(1,1,0)1(0,2,1),则丽=(-2,2,0),而=(-1,1,1),而 丽=4 r 0,所以“代与 OP 不垂直，所以选项 A 错误;对于 B,有 M(0,0,2),N(2,0,0),0(1,1,0),P(2,0,1),则 丽=(2,0,-2),而=(1,-1,1),而 加=0,所以MMLOP,所以选项B正确;对于C,有M(2,2,2),N(0,2,0),0(1,0),(0,0,1),则 丽=(2 0,-2),诃=(-=0,所以 MNL O P,所以选项 C 正确;对于 D,有 M(0,2,2),N(0,0,0),0(1,1,0
14、),R 2,1,2),则 丽=(0,-2,-2),加=(1,0,2),而 丽=-4知，所以MN与O尸不垂直，所以选项D错误.故选B C./7.H.A B D【考查目标】必备知识:本题主要考查直线与圆的位置关系.关键能力:通过点到直线的距离公式考查了逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】对于A,若点4(“力)在圆C 上，则。2+=/，所以圆心C(0,0)到直线/的距离2介 母 5=，所以直线/与圆C 相切，故 A 正确;对于B,若点A3,6)在 圆 C 内,则2+从/,所以圆心C(O,O)到直线/的距离介萼行。,所以直线/与圆C 相交，故 C 不正确;对于D,因为点A在直线/上
15、，所以6/2+=/圆心到直线/的 距 离 仁 萼 =所y/a2+bz以直线/与圆C相切,D 正确.故选ABD.12.A C D【考查目标】必备知识:本题主要考查新定义问题.关键能力:逻辑思维能力.学科素养:理性思维.【解析】因为=。0 2+。21+3 +伙-2+。K2、所以 2n=OQ-2 1+ar22+.+ak-2k+ak2k+2n-3=2+(a()-)-2+a-21+.+ak-2k+ak-2k+i,4n=ao22+a-23+.-a k-r2+l+6Z X-2+2,4/?+3=2()+2I+tzo,22+6Zr2+.+上 2，2+。&.22,8=0,23+。24+.+上12*2+以2人 3即
16、+5=2+22+的 23+0 24+.+的,2什 2+服 23,所以(2)=0+。0+。1 +.+血=60(),必(2+3)=69()+2,69(8+5)=G(4+3),故 A,C 正确,B 错误;对于 D,因 为 1+2+.+2-|=二=2-1,所以以2-1)=,故D 正确.综上所述，选 ACD.1213.y=5后x【考查目标】必备知识:本题主要考查双曲线的几何性质.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】e=/J 1 +(=2,得:域，所以双曲线C 的渐近线方程为y=x=3x.144(答 案 不 唯 一)【考查目标】必备知识:本题主要考查函数的奇偶性与单调性.关键
17、能力:逻辑思维能力.学科素养:理性思维.【解析】由题意，可考虑二次函数,如函数形)=/,则危武2)=好 底 心 1)=好 曲 2)=以，所以J(xX2)刁3 次切；因为f x)=2x/-x)=-2x=-f 3,所以f 3为奇函数，且当x0时/3 0.故函数 符 合 题 意.1 5.-|【考查目标】必备知识:本题主要考查向量的数量积、余弦定理的应用.关键能力：逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】在 ABC中，设荏力=近,c=g?,因为=1,|加=|c|=2,所以C 4=C B=2,A 8=1,所1 7以 c o s A=c o s B=-,c o s 所以 a-b+b-c+c
18、-a=a-bcos(n-B)+b-ccos(n-C)+c-acos(n-481 7 1 gA)=2 x(-i)+4x(-i)+2 x(-i)=.Z16 .(0,l)【考查目标】必备知识:本题主要考查导数的几何意义.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】Xx)=|ev-l|=f 1-3 n，则当x 0时/)=6 (尤2)=*；当x 0时八尤)=七(Xi)=-e R因为函数火x)的图象在点处的两条切线互相垂直，所以七4铲 一1,即e A+x z =l,所以M+X2=O.因为4。|,1-0),8 3,四一1),所以函数段)的图象在点4,8处的切线方程分别为y-(
19、1 -e A )=-铲(x-x i ),y-(龈-1)=e*(彳.),分别令 x=0,得 M(0囚 e%+1-铲)映0,国 井 +e*一 1),所以I A M F鬲+(讨)2,|刎2=以+(小*)2,所 以 黑=舞 舄;奈 焉 鼻=喘.令g(x尸 基(x 0,所以函数8 6)在G 8,0)上单调递增，所以g(x)-8时,1 +e -1,1+e-2 j+8,所以当 X -0 0时,g(x)0,所以 g(x)G (0,1),所 以 的取值范围是(0,1).17.【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式及前”项和公式,考查的学科素养是理性思维.【解题思路】(1)设等差数列 斯 的公差为d(存0),
20、然后根据题意建立处,的方程组，求得 i d的值，进而求出 为 的通项公式;(2)求出S“,然后解不等式，结合“W N*求得结果.解：(1)设等差数列 斯 的公差为或分0),则 由 题 意 噬 式 需 需f+6出得 建2T所以 an-a+(n-1 )d=2n-6.(2)s(_n(j)=n(2 0)=r t 2_5 n i则由“2-5 2-6,整理得 2-7 +6 0,解得 n6.因为GN*,所以使S.4“成立的n的最小值为7.1 8.【考查目标】必备知识:本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等.关键能力:运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】(1)首先由正弦定理化题设
21、条件中的角为边，然后结合已知条件求出 力 C 再由余弦定理求出cos A,从而求出sin A,利用三角形面积公式求得结果;(2)由题意知要使 ABC为钝角三角形，需 cos Cba,要使 ABC为钝角三角形，需 cos2ab 2xax(a+l)2a得 0 3.因为a为正整数，所以a=或a=2.当a=l时力=2,c=3,此时不能构成三角形；当 a=2时力=3,c=4,满足题意.综上，存在正整数=2,使得 4BC为钝角三角形.19.【考查目标】本题主要考查空间平面与平面间的垂直关系、二面角，考查的学科素养是理性思维.【解题思路】(1)首先由勾股定理的逆定理证得CD_L。,然后由正方形的性质得从 而
22、 证 得 平 面 QAD进而由面面垂直的判定定理可得证;(2)分别取ADBC的中点0,连接OEQO,以。为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标，从而分别求出平面 8 0。与 平 面 的 一 个 法 向 量，进而利用空间向量的夹角公式求得结果.解:(1)在4 QOC 中，因为 Q D2+C)2=QC2,所以 C D 1QD.又 CO_LAQ,QQnAO=),QDAQu平面 QAQ,所以 CO_L平面 QAD因为CDu平面ABCD,所以平面QA)J_平面A B C D.(2)分别取ARBC的中点0,连接OE,。，因为，所以QOJ_AD,又平面QAZ)_L平面ABCC,平面QAOC1平面
23、A B C D=A D,所以QO_L平面A8CD,所以QO_LOE.易知 OE_L4D,所以直线。旦。),。两两垂直，故以。为坐标原点,0旦。,0。所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 8(2,-1,0),D(0,l,0),丽=(-2,2,0).易知 0Q=jQ A 2/02=2,所以 0(002),所以丽=(-2,1,2).设平面BQ D的法向量为=(x,y,z),则 蜉;二*信32 令E则 收易知机=(1,0,0)为平面AQ D的一个法向量，所以 cos=mn17nH 川JF+F+筋23易知二面角8-QD-A为锐二面角,所以二面角B-QD-A的余弦值为|.20.【考查
24、目标】必备知识:本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】(1)由已知可求出c,a,从而由。力,c 的关系求出加进而求得C 的方程.(2)由(1)得出曲线的方程，证必要性,由直线MN过点F 设出直线MN的方程，由 直 线 与 曲 线 相 切并利用点到直线的距离公式求得直线MN的斜率，得到直线MN的方程，最后与C 的方程联立,利用根与系数的关系及弦长公式证得|M N|=b；证充分性，设出直线MN的方程，与 C 的方程联立,利用点到直线的距离公式、根与系数的关系及弦长公式得到|MN|的
25、表达式，结合|MN 匚代求得直线M N的方程，即可证得直线M N 过点、E 问题得证.解:由题意，得c=yj2,又 e=g 所以a 3所以 Z?=Va2-c2=l,所以C 的方程为+)?=1.(2)由(1)知+y2=(x 0)即 f+y 2 =l(x 0).证 必 要 性:若 三 点 共 线,由 题 意 知 直 线 M V的斜率存在且不为0,由对称性不妨设直线M N的方程为y=k(x一鱼)(&0时故必要性得证.证充分性:若|MN|二 V 5,由题意可知直线M N的斜率存在且不为0,由对称性不妨设直线M N 的方程为y=kx+in(k0),则 鼎 二 1,得加二y/k2+ly=kx-mx2 2
26、_ 消去 y,得(3 F+l)f+6 的优+3/-3=0,3 y -得(3 d+1*+6 叔 1 +k 2 x+3 F=0.设 M(X1 J 1),N(X2J2),则 x+及=6：；：餐 M =建匚，u/v+1.oK r l所以眼川=5/1 +/.仇|一X 2|=W +k 2.J&+X 2)2-4 X/2=V 1 +(.黑+k 2.g g =g,整理，得 出 2 储+1 =0,得k=-l,所以m=2,所以直线M N的方程为y=-x+夜.令y=0,得 户近,即直线M N过点F,所以M,N,尸三点共线.由对称性知当k0时,M M尸三点共线,充分性得证.综上,M N尸三点共线的充要条件为|MN|=K
27、.2 1.【考查 目标】必备知识:本题主要考查随机变量的分布列、期望等.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用、数学探索.解:由题意,P(X=0)=0.4,P(X=1 )=0.3,P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.1,.：X的分布列为X 0 I (2 3P 0.4 0.3 0.2 0.1E(X)=0 x0.4+l x0.3+2 xO.2+3 xO.1 =1.记)x+p o,由题知,p为/(x)=0的实根，由 PO=-P-P2-P3,得危)=P3(P 1)+P2(P 1)+P1(X-1)-(%-1)=(X-1)7?3/+仍3+P2)X+P3+P2+0 -1.记
28、g(X)=P3X2+(P3+p2)X+py+p2+pi-,则 g(l)=3 p 3+2 p 2+p Ll=E(X)-l,g(0)=P3+P2+Pl =-p o O.当 E(X)1时,g(l)0,又g(0)1 时,p 1,表 示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数，种群数量可以正向增长,所以面临灭绝的可能性小于1.2 2.【考查目标】必备知识:本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【思维导图】分。4 0、0 1 弓、十讨论(1 )/,(%)*/,(%)-/(x)的单调性一点存在定理，(2)选 择 条 件 波
29、)的 单 调 性 心。,当Q 0时用)o -产)0贝 工)存在唯一零点由 1(1(?n-n 等点存在定理一选择条件 邺4 x)的单调性当 0时次乃o x)存在唯一零点解:(1)由题意，得/(x)=e*+(x-l )e*-2 o r=x(e*-2 a).a 0时广(x)0,当x 0时/(x)0,所以函数1x)在(0,+8)上单调递增，在(,0)上单调递减；(2)0 2 al,即 0 0 和 x 0,当 l n(2 a)x 0 时/(x)1,即4甘时，由尸(x)=0,得x=0或x=l n(2 a),所以当 x l n(2 a)时J(x)0,当 0 x l n(2 a)时J(x)0,所以函数1x)在
30、(l n(2 a),+o o),(-8,0)上单调递增，在(0,l n(2 a)上单调递减.综上所述，当 fl2由(1)知，当*时,函数外)在(皿24),+8),(-8,0)上单调递增,在(0,皿2“)上单调递减.因为 y(0)=-l+b-l+2a-l+l=0,/(ln(2a)=22aln(2a)-l-aln(2a)2+2a=aln(2a)2-ln(2a)aln(2)2-ln(2.y)=0,所以当x0时直x)0.又於导(冉)然女由+J(6+现 一所以函数4x)在(-J|,0)上存在唯一零点.综上所述,函数兀v)存在唯一零点.选择条件0。=aln(2a)2-ln(2a)J+b-2a0,所以川n(2a)0,所以当x0时 x)(1+|切)(2+网)也(2+|加)2-|切=(1七)|加 2+(2一 4初6|+2-4|M20,所以函数_/W在(0,2+依)上存在唯一零点.综上所述,函数人x)存在唯一零点.