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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数 学参考公式：若事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)若事件A,8相互独立，则P(4 B)=P(A P(B)若事件A在一次试验中发生的概率为p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P“伏)=C枭/(1-P)*位:=0,1,2,台体的体积公式+V +S 2)6其中S,S 2分别表示台体的上、下底面积表示台体的高柱体的体积公式V=S/7其中S表示柱体的底面积,7 1表示柱体的高锥体的体积公式*其中S表示锥体的底面积,/1表示锥体的高球的表面积公式S=4 兀 F球的体积公式V=%R 3其中R表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题
2、:本大题共1 0小题,每小题4分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 4 =|应1 ,3=无|-1 工-1 C.x|-l x l D.x|lx22.已知 a6R,（l+ai）i=3+i（i 为虚数单位），贝 lj a=A.-l B.lC.-3 D.33.已知非零向量a也c,则“ac=c是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的体积（单位:cn?）是俯视图（第 4 题图）A.|B.3 C 等 D.3V2%+1 3 05.若实数x j 满足约束条件x-y 0，则 z
3、=x-%的最小值是.2%+3y-l 0,函数兀小混+如弋田.若式s-r)而，)麻+/)成等比数列，则平面上点(s j)的轨迹是A.直线和圆 B.直线和椭圆C.直线和双曲线 D.直线和抛物线1 0.已知数列 斯 满足“1=1必+产 各(e N*),记数列 的 的前n项和为S”,则1十，斯3A.-S i oo 3 B.3 S i oo 4Q QC.4 5i oo-D.-S i oo 5非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共3 6分.I L我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形
4、(如图所示).若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的面积为Si,小正方形的面积为S2,则(第11题图)1 2.已知“6R,函数兀0=玲：；：/?0)樵 点FI(-C,0),F2(C,0)(C0).若过F i 的直线和圆氐尸+尸,相切，与椭圆在第一象限交于点P,且轴，则该直线的斜率是 椭 圆 的 离 心 率 是.1 7 .已知平面向量a,6,以存0)满足=1,|勿=2,”乃=O,(aSc=O.记平面向量d 在 a力方向上的投影分别为x,y,d-a在 c方向上的投影为Z,则*+/+Z2的最小值是.三、解答题:本大题共5 小题，共 7 4分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 8
5、.(本题满分1 4分)设函数 fix)-sin x+cos x(x G R).(/)求函数产麻+今 2的最小正周期；()求函数=於贸X-在 吗 上的最大值.1 9.(本题满分1 5 分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A BC。是平行四边形,N A 8 C=1 20。力B=1,BC=4,PA=V 1 豆M,N 分别为BC,PC的中点,P O L DC,P M A.MD.(/)证明:()求直线4N 与平面P D M所成角的正弦值.20.(本题满分15分)已知数列%的前n项和为且4S+l=3S-9(eN*).(/)求数列 斯 的通项公式；()设数列出 满足34,+(-4)4“=0(#),记出 的
6、 前 项 和 为 若 7；q对任意 GN*恒成立，求实数2 的取值范围.21.(本题满分15分)如图，已知尸是抛物线丁=22小。0)的焦点,M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF|=2.(/)求抛物线的方程；()设过点F的直线交抛物线于A,B两点，若斜率为2 的直线/与直线MA,MB,A B,x轴依次交于点PQR,N,且满足|RN|2=|PN|-|QN|,求直线/在x 轴上截距的取值范围.(第21题图)22.(本题满分15分)设a,h为实数，且 心1,函数4 x)=-fe+e2(xGR).(/)求函数./(x)的单调区间；()若对任意/2e2,函数段)有两个不同的零点，求a的取值范围；(也
7、 当“=e时,证明:对任意函数段)有两个不同的零点x g,满足及瞿Xl+R(注:e=2.718 28是自然对数的底数)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17DCBABADCCA 25 2 5 213 1 越 江 10 13 9 S 5 51.D【考查目标】本题主要考查集合的交运算，考查运算求解能力.【解析】因为集合4=川启1,8=*|-1尢 2,所以4仆8=川1夕2.故选口.2.C【考查目标】本题主要考查复数代数形式的四则运算及复数相等,考查运算求解能力.【解题思路】利用复数代数形式的四则运算化简复数，再利用复数相等，建立等式,即可求得实数4的值.【
8、解析】解法一 因为(1+“i)i=-+i=3+i,所以-。=3,解得=-3.故选C.解法二 因为(1+i)i=3+i,所以 1+ai=F=l-3i,所以=-3.故选 C.3.B【考查目标】本题主要考查充分条件、必要条件及平面向量，考查同学们的逻辑思维能力，考查数学探索、理性思维学科素养.【解题思路】由4(二。,得到(。-份_1 _。或4=/?,即可得 =/?七 与4=/?”的关系.【解析】由可得(Q-)c=0,所以(a/)_Lc或所以a,c=c”是=的必要不充分条件.故选B.4.A【考查目标】本题主要考查空间几何体的三视图及几何体的体积，考查空间想象能力，考查理性思维学科素养.【解析】解法一由
9、三视图可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，其中底面等腰梯形的底边长分别为企,2鱼，高为今该四棱柱的高为1,所以该几何体的体积*x(夜+2烟 乂枭1=|.故选A.解法二由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为2)的直三棱柱截去一个底面为等腰直角三角形(腰长为1)的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积丫=畀221/i上，且因为A B L平面所以所以平面A B,所以A Q与BD异面且垂直.在 A BD中，由中位线定理可得MVAB,所以MV平面ABCD易知直线AB与平面成45。角，所 以 与 平 面BBDD不垂直.所以选项A正确.故选A.解法二 以点。为坐标原点,D4QCQ。所
10、在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设AB=2,则4(2,0,2),。(0,0,0)4(0,0,2),8(2,2,0),所以 M(1,0,1),。(1,1,D,所 以 砧=(-2,0,-2),万工=(2,2,-2),而=(0,1,0),所以初 布=-4+0+4=0,所以AQ J_AB.又 由 图 易 知 直 线 与8功 是异面直线，所以A。与 异 面 且 垂 直.因为平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),所 以 而.=(),所 以 平 面4BCD设 直 线 与 平 面BBDD所成的角为。，因为平面B D D B的一个法向量为a=(-l,1,0),所以sin州|cos 而 匚 翳
11、卜 身 苧，所以直线M N与平面88。不垂直.故选A.【解后反思】本题可以借助直线与平面平行、垂直的相关定理进行推理判断,也可以建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量法进行判断.7 .D【考查目标】本题考查函数的图象与性质，考查逻辑思维能力，考查理性思维学科素养.【解题思路】根据函数的性质及函数图象的特征，利用排除法可以确定符合要求的选项.【解析】易知函数+；是偶函数,g(x)=sin x是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数.选项A j R W+g a A A f+s i n x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A;选项B,yyx)-g(x)-=-sin x也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B
12、;因为当x e(0,+8)时危)单调递增，且大x)0,当x G(O,时,g(x)单调递增，且g(x)0,所以=A x)g(x)在(0,会上单调递增，由图象可知所求函数在(0,会上不单调，排除C.故选D.8 .C【考查目标】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力、运算求解能力、综合应用能力，考查理性思维、数学应用学科素养.【解析】因 为 是 互 不 相 同 的 锐 角，所以sin a,co s y?,sin y?,co s y,sin%co s a均为正数,由基本不等式可知sin a co s 0对 八 a;c o s。口 co s 父血 6；cos 公山 y;cos 2.三式相力口可得 a
13、 c o s 夕+sin /co s y+sin yco sa g|,当且仅当sin a=co s4，sin 4=co s%sin kco s%即仁=戒=?=：时取等号，因 为 是 互 不 相 同 的 锐 角，所以sina co s夕+sin Q co s y+sin yco s a v：所 以 这 三 个 值 不 会 都 大 于;.若 取 则226 3 4si喙o s W x滑 物 味 ：=如 件(定=1*，畔所以这三个值中大于:的个数的最大值为2.6 32242 3 42 2 442 4 62 2 42 2故选C.【解题关键】解决本题的关键在于利用基本不等式得到这三个值不会都大于看再利用赋
14、值法确定这三个值中可能存在两个值大于由此确定结论.9 .C【考查目标】本题考查函数、数列与圆锥曲线的综合问题，考查逻辑思维能力、运算求解能力，考查的学科素养是理性思维、数学探索.【解析】因为函数段)=五+6,所以./(s-r)=a(s-r)2+Z?而)=#+仇大s+f)=a(s+f)2+8.因为危-。加入小+。成等比数列,所以产(s)=/S M s+f),即32+份2=口(5 0 2+处，心+炉+句,化简得-2 a 2 s2户+“2/+2 4/=0,得或2 a?-“产=2 易知点(s,f)的轨迹为一条直线和一个双曲线.故选C.【能力提升】利用等比数列的定义构建方程，通过化简，提炼出直线方程及双
15、曲线方程，由此确定动点的轨迹.1 0.A【考查目标】本题考查数列的综合应用,考查运算求解能力、综合应用能力，考查了理性思维、数学应用学科素养.【解析】因为4 1 =1,%+产:帚，所以斯 0,污 所 以$0 0|.含=噜 三;+*=(高:所以两边同 时 开 方 可 得 =+：,则 ：+：,由 累加法 可 W 1 2 v i 2 7 n+i vai 2 2所以7 袭+手 等，所 以 再 潟，所 以 斯+尸 赢 三 篇=*瓯 艮 喈 瑞，则 矢 表巧,由累乘法可得4当n2时,如=*合%71+271*1 n-2.3 2 6X-X X.x-x-=-n+1 n 5 4(n+2)(n+l)=一京)，所以$
16、oo 1 +6(三+9+.+公 击)=1 +6(3工)=2 5,S 2=2 5-4 x；x 3 x 4=l,所以2=2 5.2O212.2【考查目标】本题主要考查分段函数的求值，考查运算求解能力，考查理性思维学科素养.【解析】因为e 2,所以火遍)=6-4=2,所 以 欢 遍)=4 2)=1 +a=3,解得a=2.【解题关键】求分段函数的函数值时，关键是判断出自变量的取值所处的区间，再代入相应的函数解析式.1 3.5 1 0【考查目标】必备知识:本题主要考查二项式定理.关键能力:运算求解能力.学科素养:理性思维.【解析】(尤-I/展开式的通项T V+iX jP y-DN x+l)“展开式的通项
17、。+|=以/弋则0=砥+禺=1+4=5；4 2=玛(-1)1+第=3；&3=髭(-1)2+盘=7；4 4=玛(-1)3 +酸=0.所以 2 +3 +4 =3+7+0=1 0.【技巧点拨】本题可以根据多项式的特点，利用二项式定理分别求得相应项的系数，然后计算即可;也可以利用项数不多的特征，通过展开多项式计算即可.14.2g 誉【考查目标】必备知识:本题主要考查解三角形知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解析】解法一 由N B=6(r,A B=2,A M=2 V 5,及余弦定理可得8 M=4,因为M 为 BC的中点，所以B C=8.在 AB C 中，由余弦定
18、理可得 AC 2=AB 2+B C 2-2 8 C Aa c o s N B=4+6 4-2 x 8 x 2 x 2=5 2,所以 A C=2 g,所以在 A M C中,由余弦定理得c o s Z MAC=4c2+4M2-MC22ACAM_ 52+12-162x2/13x2/32739F解法二 由23=60。,43=2,4知=2百,及余弦定理可得8加=4,因为为BC的中点，所以8 c=8.过点C 作C D L B A交B A的延长线于点。，则 8。=4=2,。=4次.所以在RtA AOC中工C2=CZ)2+4)=48+4=52,得心2 m.在 A M C中,由余弦定理得cos”心与粽乜悬|焉=
19、誉15.1|【考查目标】必备知识:本题主要考查随机变量的概率、数学期望.关键能力:运算求解能力、数据处理能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解析】由题意可得(片2)=；4-7；-含-；=；,化简得(，+”)2+7(/+)-60=0,得 机+=5,取出的两14+771+71(4+771+71)(3+771+71)6个球一红一黄的概率尸=/2=罢=3 解得尸3,故=2.所以廿=1,易知的所有可能取值为0,1,2,且4+m+n 36 3%=2)=/(3 1)=譬三,尸(看0)=鲁 磊 所 以(C)=0X+1X|+2XH【方法技巧】先确定袋中各类球的个数,然后确定 的所有可能取值及其取值对应的概率，
20、利用数学期望公式求解.16.当 9 【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的几何性质及直线与椭圆、圆的位置关系.关键能力:运算求解能力、逻辑思维能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】设过Q 的直线与圆的切点为M 圆心4 氐,0),则|AM=c,|AQ|=|c,所以阳川=务所以该直线的斜率 上 摆 上。=亭因为PF2_Lx轴，所以|PF2|=,又尸iB|=2c,所 以 =当=+*=-得 e邛.*c 5 a 5 2c 2ac 2e 517.|【考查目标】必备知识:本题主要考查平面向量数量积的应用、向量投影.关键能力:运算求解能力、逻辑思维能力、综合应用能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解
21、析】由=1,依=2,。=0,不妨设=(1,0)力=(0,2),所以a-b=(l,-2).因为(a-b)c=0,所以可取c=(2加,团).因为向量d 在。力方向上的投影分别为x,y,所以可得d=(x,y),所以4a=(x-l,y)则 z=,解法一 所以2x+y-A疗Z=2,由柯西不等式可得21+y-VZ=2gj22+1+(遥)2.J%2+y2+z2,化简得/+卢 2 2*=|，当且仅当:三二手，即户|,产核=-?时取等号，故 f+V+Z?的最小值为|.解 法 二 故 f+V+z?2,2工(2计大2)2=XZ+/-H=16,2-(4-4x)y+9x2-8+4本 6(号)2(44r)9+9P8x+4
22、(解题关键:二次函数在其图象的对称轴处取得最小值)5%2-4X+234当且仅当x=|,y W，z=4时取等号，故记+产+3的最小值为|.【方法技巧】设定向量坐标后利用垂直关系及向量投影建立关系式，然后根据柯西不等式计算求解.柯西不等式:x i X 2+y i y 2+z m A/*+犬+z/J 名+片+z；,当且仅当日=义=包时取等号.本题也可以将z=笔詈代入x2 yz z2 V5/+V+z 2,然后利用二次函数在其图象的对称轴处取得最小值求解.1 8 .【考查 目标】本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等基础知识，同时考查数学运算素养.满分1 4 分.解:（/）由已知得 y=X
23、x+/）F=（c o s x-sin x）2=l-sin 2 x,故所求的最小正周期7=院(/I)y=J(x)fix-)=V2(sin x+c o s x)sin x=sin(2 x-)+,4 4 2因为xG。?，故当尸萼时，函 数 双 臼 取 得 最 大 值 1+v.8 4 21 9 .【考查目标】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想象和数学运算等素养.满分1 5 分.解:（/）在4 C O/W 中,D C=1,M C=2,N O C M=6 0。狈D M=所以 C D _ LD W.又因为 C D，PD,PDCDM=D,PD,DMu平面 P Q
24、M,所以 C O _ L平面 PDM.因此CDLPM.又因为A B C D,所以4 B _ L P M.（）方法一 连接AC 交 D M 于点E,过E作EF/A N交 P C 于点尸，过点F作FH/CD交 P D 于点、”,连接HE.由（/）知 C Q_ L平面PCM所以F 4 _ L平面PDM.故/庄 H是直线AN与平面PDW 所成的角.由（/）知 P 历_ LC Z）,又己知 P M _ LA/）,且 C Z）n M r=C,C C,M u 平面所以P M J _ 平面A BCD.连接A M,在平行四边形A B C D中,A M=V 7/C=V H.（第在直角 P M A中，由 PA=EW
25、 W=夕 得PM=2 y2.在直角 P M C 中，由 P M=2 a,M C=2 得 PC=2 回在4 P A C 中，由 P 4=V I ,P C=2 V A C=V n得 4 7=皮.在平行四边形A B C D中笔斗所以喘=?W，AC 3 AN NC 3故 EF=,HF.3 6在直角 FHE 中,sinN F E H=*=W.因此，直线AN与平面P)M所成角的正弦值为李.6方法二如 凰 以。为原点，分别以射线OMQ C为X,)轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-xyz,则 A(2 8,2 0),C(0/,0),M(V5,0,0),设 P(V3,O,zo),z o O.因为P A=V 1 5
26、所以z o=2&,故P(b,0,2或),M曰g,a),所以而=(-竽,|,物,而=(V3,0,2 V2),D M=(遮,0,0).设平面P D M的法向量n=(x,y,z),由n四=0(V3 x +2V2Z=0,取取,。),设直线AN与平面P D例所成角为a,所以而。=如(-3)x沁2)x(*.+(-4)x(,孤=(一 3)x(y+(一 2)x(1+(一 4)x(叫两式相减，得 筋=(-3厉+($2+3+产(小4)x+)所以 7,=-4nx(+1.由题意得-4”x0)+(一 4)*)恒成立，所以(2+3)”-4念0,4 4记1A)=(4+3)-42(G N*),所以；;)：昌 ,解得-3qWl
27、.21.【考查目标】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、数学运算与逻辑推理等素养.满分15分.解:(/)由题意知p=2,所以抛物线的方程是V=4x.()由题意可设直线AB的方程为x=ty+1 (#6,A(xi J I),8(X2J2),将直线A B的方程代入)2=4元得广4y4=0,所 以y +丁 2=4/田 丁 2=4.直线M A的方程为)=2 匕(%+1),设直线/的方程为x=3+s.记 P(xP,yp),Q(XQ,yo),y=-(x+1)x=iy +s -DiI 2同 理 得)衍 给fx=ty+1“0 1、记刈次词,由x=ly +s，得由题意
28、知|)惚1 2=lyp I|y I,化简得(鼠?/易 知 用，所 以 尊=舞 因 为 筹=(全+/+言(当 仁 制 等 号 成 立)，(第21题图)所 以 席 丹(S-1)2 4得 6三7-4 8 或 sN-7+4遮 且#1.因此直线I在 x 轴上截距的取值范围是G8,-7-4V5 U-7+4V3,1)U(1,+O O).22.【考查 目标】本题主要考查函数的单调性、零点、导数的运算及其应用，同时考查数学抽象、数学运算与逻辑推理等素养.满分15分.解:(/)因为/U)=a5+e2,所 以/3=优 如 a-b.当b0恒成立，所以/(x)的单调递增区间是(-00,+00).鸡b0时，当xl。喂 时
29、/(x)log喘 时 尸(x)0.所以危)的单调递减区间是(-8,log,涓),单调递增区间是(log“总+8).()因为b2e2,函数段)有两个零点，所以由(/)知网og“白)0,即出-白n片+e2 时,g)=-lny 0,所以 g(f)在(1,+s)上单调递减.当 当(0,1时,g=lln r)+e2O,X g(e2)=0,因 此 当 且 仅 当 时,g0.(*)式即为g忘)2e2必须有含 次 2,即 Ze2ln a,得 a00.故实数。的取值范围为(1/.(仍 由于b et由()知,当a=e时，函数段)有两个零点为应设记 四 为 磐+1的整数部分，则 磐 1,2e“2e 2e由题意只需证明人加必 +)1时犷=相从5严兴.)0,所以函数 加 在 1,+8)上单调递增.因为(l)e-(e2+l)0,空 贮 零(鹫+1)bnb,空 2、/-1 叫 八(p(e b)e e b k2e2 -京T(e b+c2)/?(eb)0.注意到g*i+=p S x i-e2),因此只要证明8(加王2)0,即只需验证bx-e2 0以 及/管）=表 卢-e等0,2 2 2e2 2 e2即得v 故 lbxi-e2e丁得证.b b所以原命题得证.