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1、第11章 简 单 几 何 体（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1.本试卷含三个大题，共21题.答 题 时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除 第 一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤.一、填空题1.若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍；【答案】3：分析】分别计算侧面积和底面枳后再比较.【详解】由题意/=3r,%产乃 =3+,s底=+，故答案为3.【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键.属于基础题.2.若将两个半径为1的铁球熔化后
2、铸成一个球，则 该 球 的 半 径 为.【答案】啦【分析】根据球的体积等于两个半径为1的球的体积之和即可求其半径.【详解】设大球的半径为广，4 4 4则根据体积相同，可 知 铲+丁 =铲 尸，则 尸=2,解得r=蚯.故答案为：也.3.已知一个正四棱柱的底面边长为1,其侧面的对角线长为2,则这个正四棱柱的侧面积为【答案】4也【详解】设正四棱柱的高（侧棱长）为h,因侧面为矩形，故2 +r=4,八=山，侧面积为4 x lx g =4 G 填4 G.327r4.若一个球的体积为 手，则 该 球 的 表 面 积 为.【答案】16 乃【详解】由题意，根据球的体积公式丫=g 乃 R、，则g 乃 炉=早，解得
3、R=2,又根据球的表面积公式5=4万代，所以该球的表面积为S=4%0=16万.5.直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形 成 的 几 何 体 是.【答案】圆 直【分析】直接由圆台的结构特征得答案.【详解】由圆台的结构特征，可知直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆台.故答案为圆台.【点睛】本题考查圆台的结构特征.6 .已知一个四棱锥的高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为_ _ _ _ _ _.【答案】2&【分析】先依据斜二测画法的规则求得四棱锥的底面积，再去求其体积即可.【详解】依 据 斜：测画法
4、的规则，四棱锥的底面是边长为1,高为2夜 的 平行四边形.则四棱锥的底面积为2近，此四棱锥的体积为g x 2陵x 3=2 0故答案为：2 07 .已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2,其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为.【答案】|.【分析】利用棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，即可求出.【详解】设正四棱台的高、斜高分别为力，X.所以4X!X(1+2)X X=F +22,解得X=.2 6再根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得2序+1一5IJ,解得=1.故答案为：I【点睛】本题主要考查正四棱台的结构特征的应用，属于基础题.8.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱
5、、球的表面积分别记为跖、邑，则有B ：$2 =【答案】3:2试题分析：设球的直径为2 R,则R：邑=（2左叱+2乃小2穴）:4万斤=3:2.考点：球的表面积9 .已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为_ _ _ _ _ _.【答案】近 乃【分析】由侧面展开图求出圆锥的底面半径和高，再由体积公式计算.3【详解】由题意圆锥的母线长为/=2,设圆锥底面半径为，则2 1=2犷，r=l.所以高为=yjl2-r2=V 22-l2=A/3，体积为 V =7rr2h=7rxX 必/.3 3 3故答案为：&.310.（2 02 2 全 国 高二单元测试）已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和
6、六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1,则 其 体 积 卜=.【分析】由展开图知该多面体是正六棱柱，由棱柱体积公式计算即得.【详解】该多面体是一个底面边长为1的正六边形，高为1的正六棱柱.则底面六边形的面积8 =12 0。，5A.r=i-A B BC sinl2 0o=,八/WL 2 4由余弦定理 A C2=A B2+BC2-2 A B BC cosUO0=3,所以 A C =豆，SA C D F=y/3,则丫=S =(2 x +6 “1 =地,4 2故 答 案 沏当【点睛】本题考查正六棱柱的表面展开图，考查楂柱的体枳.属于基础题.11.圆柱形容器内部盛有高度为2 c m的水，若
7、放入一个球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没球（如图所示），则球的半径是cm【答案】3【分析】根据水的体积与球的体积之和为一 个高为2 R 的圆柱的体积即可求解.【详解】设球的半径为R，根据题意，水的体积与球的体积之和等于高为2 R 的圆柱的体积，4所以乃晓-2/?=1片2+1 万内，解得R =3.故答案为：31 2.设A、B、C、。是半径为1的球面上的四个不同点，且 满 足 福./=0,北.而=0,而.=(),用 5、S?、S 3 分别表示 A BC、A C。、题 的 面 积，则岳+S 2+S 3 的最大值是【答案】2【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线A B,A C A。
8、两两垂直，可以扩展为长方体,对角线为球的直径，设出三边长度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值.【详解】解：设 A B=a,A C=A O =c,因为A B,A C,AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以黯+/+。2=4*=4,Af lc +S.ACD+=-(1 az h,+ac+h,c)_-1 (,a2+b2 +a2+c2+b2+c2).=-(1 a/2+,b-2+,c 2)=2o,Z.乙 2.乙 2.乙即最大值为：2.故答案为：2.【点睛】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题
9、的关键.二、单选题1 3.直角三角形的三边满足 的 分别以。，b,。三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为匕、匕、匕，则（）A.匕 匕 B.K K K c.匕%D.%匕（匕【答案】A【解析】求出匕必，=a x：如r,Vc=abn,推导 出 纳“b,从而得到3 3 c 3 c匕匕.【详解】直角三角形的三边满足4 6 C,分别以。、b、C三边为轴将三角形旋转周所得旋转体的体积记为%、匕、匕，V =-x -x Z?2x a =-乃 ab2=bx-abn,V.=-xxa2 xb=-兀 a2 b=ax-abTt,“3 3 3 8 3 3 3该直角三角形斜边上的高A满足M,可得人=无，2 2 c.1
10、 （。力 丫 1 crb1 ab 1 .Vc=-X -X XC=-7T-=x-abTV,3 c）3 c c 3,/-a-b-a=-a-b-a-c 0 ,-a-b-h.=-a-b-b-e 0,J.ab a b.,.,.%I7n，所以。为AABQ的外心;三棱锥A-B C Q 如下图所示：记 4 在面BCQ上的射影点为。一 连 接 B a，CQ,（q,且四边形4O RA是菱形，所以A DtL AtD,所以BG_LAQ,又因为 a。J.平面 B Q D,所以 4 Q，BG,A。n AQ=A,所以8 G L 平面A。，又因为CQu 平面A。，所以O Q LB G，同理可知：B O I D G，Cd D
11、B,所以O1为ABCQ的垂心，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.1 5.如图，正四面体P-ABC的体积为V,底面积为S,。是高产”的中点，过。的平面a 与棱 B4、PB、PC分别交于。、E、F ,设三棱锥P-F的体积为匕，截面三角形DE尸的面积为工，则（）DA.4 8%,S M 4 s o B.v 4 50C.V 8V；f S V 4 s o D.V 8,5 4 50【答案】A【分析】设 A B=2,取 E F与BC重合时的情况，计算出S。以及V。的值，利用排除法可得出正确选项.【详解
12、】如图所示，利用排除法，取 EF H BC重合时的情况.不妨设A8=2,延长MD到 N,使得PN/AW.PF)1：P O =O H ,:.PN=M H ,.AH=2MH,A M =3 M H =3 P N,则一 =：；,由余弦定理得AD 3BD2=AB2+A D2-2AB-ADcos-=22-2 x 2 x-x l=,3 2)2 2 4D M =B D2-B M2=-,S0=x2x =,2 0 2 2 2乂5=4*6=当平面EF 平面ABC时，S=4S0,.-.S 1,A D 3 4 V当平面。以7/平面ABC时，8l/)=V,.-.8 V,排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查平行线分线段成
13、比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题.1 6.已知半球。与 圆 台 有 公 共 的 底 面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1,则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A.立 B.3 C.3 D.B9 27 6 3【答案】D【分析】根据题意画出图形，设3 C =x,C 0 =r，作于点F,延 长 交 球 面 于 点E,则由圆的相交弦定理可得官=（1+/2 _（1 _）.（1 _也2 _（1 _ 4卜 从而可求得r =进而可表示出圆台的侧面积，求出其最大值，从而可得X 的值，然后在2 CM求出圆台母线
14、与底面所成角的余弦值即可【详解】如图1所示，设BC=x,C（y =r,作于点F,延长O O 交球面于点E,则BF =-r,OO=CF =BC2-BF2=-（l-r）2,由圆的相交弦定理及图2得 C。：OE OfH =(+0(7)(-OCT),即r=(1+次-()2)(_,解得E*则圆台侧面积5 =兀11+1-、卜*（x 忘），则 S =2-x2,令 S =0，则 x =2f 或x =（公去-）,当0 x 0.当 竿 x 应 时，S 0,所以函数S=TT11+1-在所以当x =M时，S取得最大值.3当 x=BC=辿 时，r =l-=1,则 BF=l-r =，3 2 3 3在轴截面中，NO 8 C
15、为圆台母线与底面所成的角，在Rt CFB中可得c os NO BC=g =E,BC 3故 选:D.【点睛】方法点睛:本题是立体几何中最值的综合性问题.旋转体的问题常需正确做出轴截面图进行分析，最值问题要注意“选元 列 式”“讨论最值”三个环节，考查线面角的余弦值，属于较难题三、解答题217.如图，已知圆柱底面圆的半径为一，高为2,AB、缪分别是两底面的直径，A D,比是母7 1线，若一只小虫从4点出发，从侧面爬行到。点，求小虫爬行的最短长度.【答案】2&【分析】小虫爬行的最短长度，是半个圆柱的侧面展开矩形的对角线.通过勾股定理求得这个对角线的长.【详解】解：如图，招圆柱的侧面展开，其中AB为底
16、面圆周的一半,即AB=n r-n x-=2,AD=2it则小虫爬行的最短路线为线段AC,在矩形AC中，KCAB2+BC2=722+22=22所以小虫爬行的最短路线长度为2夜.【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面展开图，考查两点间的距离公式以及分析和思考能力,属于基础题.18.一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为那J内接圆柱.(1)用承示圆柱的轴截面面积s；(2)当小何值时，S最大？2【答案】(1)S=-y A 2+4%(0 X 6).(2)当x=3时，S最大，最大值为6.【分析】分析：(1)画出圆锥的轴截面，将空间问题转化为平面问题，然后根据相似三角形的性质和比例的性质，得出内接圆柱底
17、面半径r与x关系式即可(2)根据二次函数的性质易得到其最大值，及对应的x的值.详解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为r,则由三角形相似可得合?，解得2一?(D圆柱的轴截面面积r 2S=2 r-x=2 (2-y)-嵬+4x(0 x,且 N8AP=NCrP=90,所以 A8_L AP 且 45_L OP.又A P c D P =P,AP,OPu平面/%),所以直线 钻 _ 1 _ 平面处(2)解：在平面必。内 作 垂 足 为 点 反由(1)知 ABJ_平面为，故M_LP；.又4 S c 4)=A，A&AO u平面ABC。，所以PE_L平面4%.设AB=x，则4。=缶，PE=x.
18、故四棱锥P-ABCD的体积2ABI /nc-uo=3-A B A D pE=-3x3.1o由题设得故x=2.PA=P D =AB=D C =2,A D=B C =2-J1，P B=P C =2y/2.所以四棱锥P-A B C D的侧面积为20.如图，在正三棱柱ABC-A 4 G 中，43=2,e=3,D E 分别为AQ和网的中点.(1)求证：E平面ABC；(2)若尸为AB中点，求三棱锥尸-G O E 的体积.试题分析：(1)取 AC中点G,利用平面儿何知识可得BEDG是平行四边形，即得D E/B G、再根据线面平行判定定理得D E/平面A8C；(2)利用等体积性质进行转化:Vp-GDE=Vf-
19、A GE=B-A CtE=A-BECX,最后根据锥体体积公式求体积试题解析：（I）取A C中点G,连接B G和。G,因为。和G分别为A G和A C的中点，所以D G C G，fi.DG=BE,则B E D G是平行四边形，D E/B G,又。E不在平面A B C内，8 G在平面A 8 C内，所以D E平面A B C.解：（H ）因为力为AG的中点，所以又尸为A B中点，所 以%.AC,L：%T G，则三棱锥尸-C Q E的体积：点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（D证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转
20、化为证明线面垂直.T T12 1.如图 1,在直角梯形A B C O中，A D/BC,ZBA D=-,A B=B C=-A D =a,E是A。的中点，。是0 C与B E的交点，将A 4 B E沿跳折起到图2中的位置，得到四棱锥A-B C D E.（I ）证明：8_ 1 _平面4。；（I I）当平面A 8E _ L平面8C O E时，四棱锥a-8 8 E的体积为36夜，求“的值.【答案】（I）证明见解析，详见解析：（1 1）。=6.试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解.试题解析：（1）在图1 中，易得BE，AOC;OE/CT.CO，AO,CD_LOC所以，在图2中，。，。（?,。，4。;.8，平面4 口7（2）由己知，平面A B E,平面BCE,CD14,0所以A Q L平面BCDEA。，SBCDE=3672-a2 a=36 V2,a=63 3 2 考点:空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用.