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1、(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第(1）次课授课时间（)教学章节第一章第一、二、三节学时2 学时教材和参考书1。线性代数(第 4 版)同济大学编1.教学目的：熟练掌握 2 阶,3 阶行列式的计算；掌握逆序数的定义,并会计算；掌握n阶行列式的定义；2.教学重点：逆序数的计算;3.教学难点：逆序数的计算。1.教学内容：二、三阶行列式的定义;全排列及其逆序数;n阶行列式的定义2。时间安排：2 学时；3。教学方法:讲授与讨论相结合;4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注1(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程
2、组的解的公式，引出二阶行列式的概念。设二元线性方程组a11x1a12x2 b1a21x2a22x2 b2用消元法，当a11a22 a12a21 0时,解得xa22b1 a12b21,xa11b2 a21b1a2a11a22 a12a2111a22 a12a21令a11a12a则21a a11a22a12a21，称为二阶行列式,22如果将 D 中第一列的元素a11，a21换成常数项b1,b2，则可得到另一个行列式，用字母D1表示，于是有D1a121bb2a22按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和:b1a22b2a21,这就是公式（2）中x1的表达式的分子。同理将D中第二列的元素 a12，a22
3、换成常数项 b1,b2，可得到另一个行列式，用字母D2表示,于是有Db12a11a21b2按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：a11b2 a21b1，这就是公式（2）中x2的表达式的分子。于是二元方程组的解的公式又可写为2(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)xD11D其中D 0 x D22D3x例1.解线性方程组1 2x212.2x1 x21a11x1 a12x2 a13x3 b1同样,在解三元一次方程组a21x1 a22x2 a23x3 b时,要用2a31x1 a32x2 a33x3 b3到“三阶行列式,这里可采用如下的定义。二、三阶行列式的定义设三元线性方程组a11x1 a
4、12x2 a13x3 b1a21x1 a22x2 a23x3 b2a31x1 a32x2 a33x3 b3用消元法解得定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表a11a12a13a21a22a23a31a32a33记a11a12a13D a21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12a21a33,称为a31a32a33三阶行列式，则3(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)三阶行列式所表示的 6 项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即124例 2.计
5、算三阶行列式D 221.（14）342111例 3。求解方程23x 0（x 2 或 x 3)49x2 2x y z 2例 4.解线性方程组x y 4z 0.3x 7y 5z 5解先计算系数行列式 211D 114 101273565 69 0375再计算D1,D2,D34(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)211 2 212D1 014 51，D2 104 31，21D3 110 5575355375得x D117D23，y D2D 31D69，z 3D 569第二节 全排列及其逆序数引例：用 1、2、3 三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？一、全排列把n个不同的元素排成一列
6、，叫做这n个元素的全排列(简称排列）.可将n个不同元素按1 n进行编号,则n个不同元素的全排列可看成这n个自然数的全排列.n个不同元素的全排列共有n!种.二、逆序及逆序数逆序的定义:取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称有一个逆序.通常取从小到大的排列为标准排列,即1 n的全排列中取123(n 1)n为标准排列.逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列，标准排列规定为偶排列.5(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)例 1：讨论1,2,3的全排列.全排列12
7、3231312132213321逆序数022113奇偶性偶奇逆序数的计算:设p1p2 pn为123(n 1)n的一个全排列，则其逆序数为nt t1t2tnti。i1其中ti为排在pi前,且比pi大的数的个数。例 2：求排列54321的逆序数。解：t 0,t21,t3 2,t4 3,t5 4,t nti10.i1(对于逆序数的计算介绍另一种算法）第三节n阶行列式的定义下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式。二阶行列式a11a12aa12a2121a a11a2222a11a12aa a11a22a12a21(1)ta1p1a2 p2.2122其中：p1p2是1,2的全排列,t是p1p2的逆序数
8、,是对所有1,2的全排列求和。三阶行列式a11a12a13D a21a22a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32a31a32a33a13a22a31a11a23a32a12a21a336(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)其中：p1p2p3是1,2,3的全排列，t是p1p2p3的逆序数，是对所有1,2,3的全排列求和.a11a12a13a21a22a23(1)ta1p1a2 p2a3pn.a31a32a33其中:p1p2 pn是1,2,n的全排列，t是p1p2 pn的逆序数,是对所有1,2,n的全排列求和。0001例 1。计算对角行列式：00200300
9、(24)4000例 2.证明对角行列式（其对角线上的元素是i,未写出的元素都为 0）11212n，21nn1212nnn证明:按定义式1223311212nnnn122n331n1n11111 112nnn1nn1212n例 3。证明下三角行列式7(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)a110D a21a22 a11a22ann.an1an2ann证明：按定义式得a220a330D aa32a3311 aa4311a22 a11a22ann。an2an3annan3an4ann以上，n阶行列式的定义式，是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式
10、.8(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)小结小结：回顾和小结1。二三阶行列式的定义;2.全排列及其逆序数;3。n阶行列式的定义.思考题思考题：1 231.计算三阶行列式D 789复习思考题或作业456题2。求排列54321的逆序数.作业题作业题：习题一：第 1（1,3）、2（2,4，6）1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列及的定义概念，会计算二、三阶行列式；实施情况及分析2。对其逆序数等方面的应用有待加强。9(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第（2）次课授课时间（）10(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)教学章节第一章第四、五节学时2 学时教材和参
11、考书线性代数(第 4 版）同济大学编1.1.教学目的：掌握对换的概念；掌握n阶行列式的性质,会利用n阶行列式的性质计算n阶行列式的值；2.教学重点：行列式的性质；3.教学难点：行列式的性质。1.教学内容：对换;行列式的性质；2.时间安排：2 学时;3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段:黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注11(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第四节对换对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换例:a1ala b b1b-a1alb a b1b。定理 1一个排列中的任意两个元素对换,排列
12、改变奇偶性。推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明：由定理 1 知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列（逆序数为 0）,因此知推论成立定理 2：n阶行列式为：a11a12a13a21a22a23(1)tap11ap22apnn.an1an2an1其中t为p1p2 pn的逆序数。12(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)（以 4 阶行列式为例,对证明过程作以说明）（补充）定理 3n阶行列式也可定义为a11a12a13a21a22a23(1)tap1q1ap2q12apnq1n.an1an2an1其中p1p2 pn和q1q2qn
13、是两个n级排列,t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.练习：试判断a14a23a31a42a56a65和a32a43a14a51a25a66是否都是六阶行列式中的项。第五节行列式的性质转置行列式的定义a11a21a1naa21an1记D aa112122a2nDT=a12a22an2 (D）an1an2anna1na2nann行列式D T称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）一、n阶行列式的性质性质 1：行列式与它的转置行列式相等.由此知，行与列具有同等地位。关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然。如:D abcdDTacbd13(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)以ri表示
14、第i行,cj表示第j列。交换i,j两行记为ri rj，交换i,j两列记作ci cj.性质 2：行列式互换两行(列），行列式变号.推论：行列式有两行(列）相同，则此行列式为零。性质 3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。推论:行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外。性质 4：行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零。性质 5:若行列式中某一行(列）的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和.a11a12(a1i a1i)a1n即若D a21a22a2i a2ia2nan1an2ani anianna11a12 a1i a1na11
15、a12a1ia1n则Da21a22 a2i a2na22a2ia2n+a21.an1an2 ani annan1an2aniann性质 6：把行列式某一行（列）的元素乘以数k再加到另一行(列)上，则该行列式不变.二、n阶行列式的计算：14(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)2512例 1。计算D371 45927。4612251215221522解：cD 37141c3734r2r10216592712957rr32rr14101134612164201201522522r22r4036r2r140120r3r4000330030 9。01200003abbba3b a3b a3b
16、 a3br1r2r。3r例 24D babbbabbbbabbbabbbbabbbar11111r11111a3ba 3bbabbibr1a 3b0a b00bbabi2,3,400a b0bbba000a b(a 3b)(a b)。(推广至n阶，总结一般方法)p qq rr ppqr例 3.证明:p1 q1q1 r1r1 p1 2 p1q1r1.p2 q2q2 r2r2 p2p2q2r2第一列pq rr pqq rr p证明：左端性质5p1q1 r1r1 p1 q1q1 r1r1 p1p2q2 r2r2 p2q2q2 r2r2 p2pq rrqrr ppqrqrp p1q1 r1r1 q1r
17、1r1 p1 p1q1r1 q1r1p1p2q2 r2r2q2r2r2 p2p2q2r2q2r2p215(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)pqr 2 p1q1r1.p2q2r2例 4.计算2n阶行列式.ababD abcd(ad bc)ncdcd(利用递推法计算）a11a1k0例 5。D aack111ckk1kb11b,1ncn1cnkbn1bnna11a1kb11b1nD1 det(aij),D2 det(bij).ak1akkbn1bnn证明：D D1D2。16(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)小结小结:回顾和小结对换和n阶行列式的性质与计算1。对换的定义及两
18、个定理；2。n阶行列式的性质与计算；思考题：思考题：1.把排列 54132 作一次对换变为 24135，问相当于作几次相邻对换?把排列 12345 作偶复习思考题或作业数次对换后得到的新排列是奇排列还是偶排题列？2.计算：0abaDa0ab.ba0aaba0作业题：作业题：习题一：第 3，4（2，4）,5（2，4，5）17(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)1.通过学习学员掌握了n阶行列式的定义和对换的概念;实施情况及分析2。对利用n阶行列式的定义和对换等方面的应用有待加强.18(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第（3）次课授课时间（）教学章节第一章第六节学时2 学时
19、教材和参考书1.线性代数（第 4 版)同济大学编；1.教学目的:了解余子式和代数余子式的概念;掌握行列式按行（列）展开；2.教学重点：行列式按行（列）展开；3.教学难点：行列式按行（列）展开.19(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)1.教学内容:行列式按行（列）展开；2.时间安排：2 学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合;4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。基本内容备注20(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第六节行列式按行(列）展开定义在n阶行列式中，把元素aij所处的第i行、第j列划去,剩下的元素按原排列构成的n1阶行列式，称为aij的余子式，记为Mij；而Aij(
20、1)i jMij称为aij的代数余子式。引理如果n阶行列式中的第i行除aij外其余元素均为零，a11a1 ja1n即：D 0aij0。an1anjann则：D aijAij。a1100证先证简单情形：D a21a22a2nan1an2ann再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和,即按行：ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0i j按列:a1iA1j a2iA2 j aniAnj 0i j证：21(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)（此定理称为行列式按行（列）展开定理)a11a12a1nDai100 0ai20 00ainan1an2a
21、nna11a12 a1na11a12 a1na11a12 a1n ai10 0 0ai2 0 00 ain an1an2 annan1an2 annan1an2 ann ai1Ai1ai2Ai2ainAin(i 1,2,n).3112例 1：D 513 4。20111533解:2112例 2：Dn211222(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)211001122解：D1r2r1nn 21211212Dn n 1。从而解得Dn n1。例 3证明范德蒙行列式111x1x2xnDn x21x22x2nxi xj.ni j1xn1xn112xn1n其中，记号“表示全体同类因子的乘积。证用归
22、纳法因为D112xx x2 x1xi xj122i j1所以，当n 2n=2 时，(4）式成立.现设(4)式对n 1时成立,要证对n时也成立。为此，设法把Dn降阶；从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有11110 x2 x1x3 x1xn x1Dn 0 x2x2 x1x3x3 x1xnxn x100 xn22x2 x1xn23x3 xxn21nxn x1（按第一列展开，并提出因子xi x1）23(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)111xx3xn2 x1x3 x1xn x1x2n1阶范德蒙行列式xn22xn2n23xn由假设x2 x1x3 x1 xn x1xi xj=xi xjni
23、 j2ni j1定理的推论行列式一行(列）的各元素与另一行（列)对 应 各 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 为 零，即ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0i j按列：a1iA1j a2iA2 j aniAnj 0i j结合定理及推论,得nnaDD1,(i j)ikAjkij,akiAkjij,，其中ijk1k10(i j).5 53 3 1 12 20 01 17 72 25 52 2例 4。计算行列式D D 0 0 2 23 31 10 0的值。0 0 4 4 1 14 40 00 02 23 35 50 024(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)小结小结
24、:行列式按行（列）展开。回顾和小结1.余子式和代数余子式的概念；2.行列式按行（列）展开；123n思考题思考题:设：1200Dn1030,复习思考题或作业题100n求第一行各元素的代数余子式之和作业题：作业题：习题一：第 7(2，3,5,6）1。通过学习学员理解了余子式和代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开；实施情况及分析2。对利用行列式按行（列）展开的方法计算行列式等方面的应用有待加强.25(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第(4）次课授课时间（）教学章节第一章第七节学时2 学时教材和参考书线性代数（第 4 版）同济大学编1.教学目的：了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则
25、的证明,会利用克拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的解；2.2.教学重点:克拉默法则的应用；3.3.教学难点：克拉默法则的应用。1.教学内容：克拉默法则；2.时间安排:2 学时;3.教学方法：讲授与讨论相结合；4。教学手段：黑板讲解与多媒体演示。基本内容备注26(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第七节克拉默法则含有n个未知数x1,x2,.,xn的n个方程的线性方程组a11x1 a12x2a1nxn b1a21x1 a22x2a2nx2 b2 (1）an1x1 an2x2annxn bn与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用n阶行列式表示。定理 1（Cramer 法则
26、）如果线性方程组（1)的系数行列式不等于零,即a11a1nD 0,an1ann则方程组(1）有且仅有一组解：xD2n1D1D,x2D,xnDD (2)其中Djj 1,2,.,n是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数列代替,而其余列不变所得到的n阶行列式a11 a1,j1b1a1,j1 a1nDa21 a2,j1b2a2,j1 a2n。j an1 an,j1bnan,j1 ann(证明在第二章)当b1,b2,.,bn全为零时，即a11x1a12x2a1nxn 0a21x1a22x2a2nx2 0 an1x1an2x2annxn 0称之为齐次线性方程组。显然,齐次线性方程组必定有解（x
27、1 0,x2 0,.,xn 0）.27(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)根据克拉默法则，有1齐次线性方程组的系数行列式D 0时,则它只有零解（没有非零解）2反之，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D 0。例 1求解线性方程组2x1x25x3x84x13x26x492x2x32x4 5x14x27x36x40解:系数行列式215133D 130 6021272 27 02010同样可以计算81 51D 9 30 6，2851 521281190 6,1D20512 10804 7610 76218121 58D1 39 6,3302 52 27D0941021 5 27,14
28、0614 70所以x21D1D 3，xD2D 4，x3D3D 1,x44DD1.注意:1。克莱姆法则的条件：n个未知数，n个方程,且D 02.用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程组。3。克莱姆法则具有重要的理论意义。28(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)4.克莱姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之间的依存关系。例 2。用克拉默法则解方程组3x15x2 2x3 x4 3,3x2 4x4 4,x1 x2 x3 x411 6,x1 x23x3 2x4 5 6.例 3。已知齐次线性方程组(5)x 2y 2z 02x (6)y 02x (4)z 0有非零解，问应取何值
29、？解系数行列式D (5)(2)(8)由:D 0，得 2、5、8.29(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)小结：小结：克拉默法则。回顾和小结1。内容;2.应用。思考题：思考题：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组?为什么？此时方复习思考题或作业题程组的解为何?作业题作业题:习题一第 8（2）、9（2，4）1.通过学习学员理解了解克拉默法则的内容，了解克拉默法则的证明,会利用克拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程实施情况及分析组的解；2。对利用克拉默法则等方面的应用有待加强。30(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第（5）次课授课时间(31）(完
30、整 word 版)线性代数教案(正式打印版)2 学教学章节第二章第一、二节学时时1。线性代数(第四版）同济大学编；2.同济大学 胡一鸣教材编线性代数辅导及习题精解；3。孙建东等编线性代数和参考书知识点与典型例题解析。1.教学目的：了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算；2。教学重点：矩阵的概念和矩阵的运算；3.教学难点：矩阵的概念和矩阵的运算。1。教学内容：矩阵;矩阵的运算；2.时间安排:2 学时；3。教学方法：讲授与讨论相结合；4。教学手段：黑板讲解与多媒体演示。32(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表a11a12a1na21a22a
31、2nam1am2amn为m n矩阵,或简称为矩阵;表示为a11a12a1nA aa2122a2nam1am2amn或简记为A (aij)mn,或A (aij)或Amn；其中aij表示A中第i行，第j列的元素。a11a12a1n其中行列式D a21a22a2n为按行列式的运算规则所am1am2amn得到的一个数；而m n矩阵是m n个数的整体,不对这些数作运算。例如,公司的统计报表,学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。设A (aij)mn，B (bij)mn都是mn矩阵，当则称矩阵A与B相等,记成A B.33(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)二、特殊形式n阶方阵：nn矩阵行矩阵：
32、1n矩阵（以后又可叫做行向量），记为A (a1,a2,an)列矩阵:m1矩阵（以后又可叫做列向量），记为b1B b2bm零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O对角阵:对角线元素为1,2,.,n，其余元素为D的方阵,记为单位阵：对角线元素为 1,其余元素为 0 的方阵，记为1E 11三、线性变换的系数矩阵线性变换的定义：设变量y1,y2,.,ym能用变量x1,x2,.,xn线性表示，即34(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)y1 a11x1a12x2a1nxny2 a21x1a22x2a2nxnym am1x1am2x2amnxn这里aiji 1,2,m;j 1,2,n为常数。这种从变量
33、x1,x2,.,xn到变量y1,y2,.,ym的变换称为线性变换。线性变换由m个n元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。上式的系数可构成一个mn矩阵a11a12a1nA aa2122a2naijmnaijam1am2amna11a12a1nA aaa21222n称之为线性变换的系数矩阵。am1am2amn线性变换和系数矩阵是一一对应的。如,直角坐标系的旋转变换(变量(x,y)到变量(x,y)的变换）x cosx sinyy sinx cosy35(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)的系数矩阵为Acossinsincos。恒等变换y1 x1y2 x2ym xm的系
34、数矩阵为1例。E 11a11x1 a12x2a1nxn 0同样，齐次线性方程组a21x1 a22x2a2nxn 0am1x1 am2x2amnxn 0a11a12a1n与系数矩阵A aa2122a2n，也是一一对应的.am1am2amna11x1 a12x2a1nxn b1非齐次线性方程组a21x1 a22x2a2nxn b2am1x1 am2x2amnxn bma11a12a1nb1与增广矩阵Aaa2122a2nb2 也是一一对应的。am1am2amnbm第二节矩阵的运算36(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)一、加法设A (aij)mn,B (bij)mn，都是m n矩阵，则加
35、法定义为a11 b11a12 b12a1n b1nA B aa21 b2122 b22a2n b2nam1 bm1am2 bm2amn bmn显然，A B B A,(A B)C A(B A)二、数乘设是数,A (aij)mn是m n矩阵,则数乘定义为a11a12a1nAaa2122a2nam1am2amn显然A A,A A A，A BA B三、乘法乘法运算比较复杂，首先看一个例子设变量t,t2到变量x1,x2,x3的线性变换为x1 b11t1b12t2x2 b21t1b22t2x3 b31t1b32t2变量xx y1 a11x1 a12x2 a13x31,2,x3到变量y1,y2的线性变换为y
36、2 a21x1 a22x2 a23x3那么，变量t1,t2到变量y1,y2的线性变换应为y1 a11b11t1b12t2 a12b21t1b22t2 a13b31t1b32t2y1 a21b11t1b12t2 a22b21t1b22t2 a23b31t1b32t237(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)即y1a11b11 a12b21 a13b31t1a11b12 a12b22 a13b32t2y1a21b11 a22b21 a23b31t1a21b12 a22b22 a23b32t2定义矩阵b12aaab11111213ab2221a22a和23b21b31b32的乘积为aaab
37、11b12111213b a11b11 a12b21 a13b31a11b12 a12b22 a13b32a22 21a22a23b21ba23b3231ba21b11 a22b a ba b2112 a22b2232212331按以上方式定义的乘法具有实际意义。由此推广得到一般定义设A (aij)ms，B (bij)sn，则乘法定义为AB C其中C (cij)m nscij aiaai 1,2,m1b1j ai2b2 jisbsjikbkjj 1,2,nk1注:两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第i行,第
38、j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行元素对应相乘再相加。410例：设A1031132102,B 1201，则13410AB 10314131210220113438(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)14013211 11013013 100331142411022121110023201301249219911例：设A 2412，B 24-3-6,求AB及BA。解:AB241224 16 323 6816，BA 24 24 003612 00由此发现：（1）ABBA,(不满足交换律）（2）A O，B O，但却有BA O。一个必须注意的问题：1若Ams，Bsn，,则
39、AmsBsn成立，当m n时，BsnAms不成立;2即使Amn，Bnm,则AmnBnm是m阶方阵，而BnmAmn是n阶方阵；3.如果A,B都是n阶方阵，例如A 24 412,B 236，则AB 1632816,而BA 0000综上所述，一般AB BA（即矩阵乘法不满足交换率)。下列性质显然成立：ABC ABC，ABAB AB，AB C AB AC，B CA BACA几个运算结果：39(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)b11.a,ab21,a2,n a1b1 a2b2 anbn；bnb1a1b1a1b2a1bn2.ba2b1a22b2a2bna1,a2,an;bnanb1anb2a
40、nbn3.若A为m n矩阵,E是m阶单位阵,则EA A；若E是n阶单位阵，则AE A；4.线性变换的矩阵表示：y1 a11x1a12x2a1nxn设y2 a21x1a22x2a2nxn，ym am1x1am2x2amnxna11a12a1nA aaax1y121222n,x x2，y y2,am1am2amnxnym则y Ax 5线性方程组的矩阵表示:a11x1 a12x2a1nxn b1a21x1 a22x2a2nxn b2，am1x1 am2x2amnxn bma11a12a1n x1A aa2122ab12nx2,x b，b 2am1am2amnxnbm则Ax b矩阵的幂：A2 AA，A
41、3 AA2，An AAn1.40(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)n例。证明cossinsinn cossincos nsinncosn证明用归纳法:n 1时,显然成立,假定n k时成立，则n k 1时k1cossinsinsinksincoscossincos cossincos cossinsinksincoscosksinkcosk coscosksinsinkcossinksincosksincoskcossinksinsinkcoscosk cos(k 1)sin(k 1)sin(k 1)cos(k 1)从而结论成立。由于sin cossincos是直角坐标旋转角度变换
42、的系数矩阵,n故而cossinsincos是旋转了n角度变换的系数矩阵。四、转置a11a12a1nan1设A a21aa11a21a22a2nn2，记ATa12a22an1an2anna1na2nann则称AT是A的转置矩阵。显然，ATT A，A BT AT BT，ATAT,ABT BTAT。对称矩阵的定义：若矩阵A满足AT A(即aij aji)，则称A是对称阵例.设A是mn矩阵，证明ATA是n阶对称阵，AAT是m阶对称41(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)阵。例。设x x1,x2,xnT，且xTx 1,E为n阶单位阵,H E 2xxT,证明:H是对称阵，H2 E.证明HTE
43、2xxTT ET2xxTT E 2xxT H，故H是对称阵。H2E 2xxT2 E 4xxT 4xxTxxT E 4xxT 4xxTxxT E 4xxT 4xxT E五、方阵的行列式A为n阶方阵，其元素构成的n阶行列式称为方阵的行列式,记为A或det A。显然，AT A，ATnA，AB A B。例。设a11a12a1nA aa2122a2nan1aan2nn记A11A21An1A*AA1222An2，A1nA2nAnn其中A*ij是aij的代数余子式,A称为A的伴随阵。证明：AA*A*A AE.证明设AA*C (Cij)42(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)ncij ai1Aj1
44、 ai2Aj2ainbjnaikAjk Aijk1AA*C cijAij Aij AE设A*A D (dij)nndij Alia1j A2ia2 jAnibnjAkiakjakjAki Ajik1k1A*A D dijAij Aij AE例.设A为n(n 2)阶实方阵，且A O,aij Aij,求A。解：注意到A11A21An1a21an1A*AAa11aa1222An2a22n2T12 AA1nA2nAnna1na2nann A*AT A由AA*AE,得AAT AE A2 An A2An21 0,由于nnA an2ikAjk1 A 1.k1a2ik 0,故Ak1六、共轭矩阵A (aij)为
45、复矩阵，aij为aij的共轭复数，则称A (aij)为A的共轭矩阵.显然,A B A B，A A，AB AB43(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)小小 结：结：矩阵的概念和矩阵的运算:回顾和小结 1.矩阵的概念;2。矩阵的运算；思考题：思考题：1.矩阵与行列式的有何区别？2。设A与B为n阶方阵，问等式复习思考题或作业题A2 B2A BA B成立的充要条件是什么?作业题：作业题：习题二第 2、3、4（2,3，5）、7 1.通过学习使学员理解矩阵的概念,掌握实施情况及分析了矩阵的运算；2.对利用矩阵的运算法则的应用有待加强.44(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第（6)
46、次课(45授课时间）(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)2 学教学章节第二章第三节学时时1.线性代数(第四版)同济大学编；2。同济大学 胡一鸣教材编线性代数辅导及习题精解；3。孙建东等编线性代数和参考书知识点与典型例题解析。1.教学目的：理解逆矩阵的概念；掌握逆矩阵的性质和计算方法；2.教学重点：逆矩阵概念和计算；3.教学难点:逆矩阵概念和计算。1.教学内容:逆矩阵；2.时间安排：2 学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合;4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。基本内容备注46(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)第三节 逆矩阵一、逆阵的定义引入:设给定一个线性变换y1 a1
47、1x1 a12x2 a1nxn1y2 a21x1 a22x2 a2nxn yn an1x1 an2x2 annxnn可表示为矩阵方程Y AX（1）a11a12a1n其中A aaax1y121222 n，X x2，Y y2an1an 2a,nnxnyn由克莱姆法则知，若A 0,则（1）有唯一解。如果存在n阶方阵C，使得CA E,则（1）的解可用矩阵乘积表出：X CB（2）称为矩阵方程(2）的解.定义 设A为n阶方阵,若存在一个n阶方阵B，使得AB BA E,则称方阵A可逆,并称方阵B为A的逆矩阵,记作A1 B，若CA AC E,则C A1性质 1 若A1存在，则A1必唯一.证明设B、C都是A的逆
48、阵，则有B BE BACBAC EC C（唯一）。47(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)性质 2 若A可逆,则A1也可逆，且A11 A证明A可逆，AA1 A1A E，从而A1也可逆，且A11 A。性质 3 若A可逆,则A可逆,且A1A1证明A1A AA1 E,(A1A)(AA1)E从而A(A1)(A1)A E,于是(A)1(A1)性质 4 若同阶方阵A、B都可逆,则AB也可逆，且AB1 B1A1证明ABB1A1 ABB1A1 AEA1 AA1 EB1A1AB B1A1AB B1EB B1B E所以AB可逆，且AB1 B1A1二、逆阵存在的条件及逆阵的求法定义 3.由A aijnn
49、的行列式a11a12a1nA a21a22a2nan1an2ann中元素aij的代数余子式Aij(i,j 1,2,n)构成的n阶方阵,记作A*，A11A21An1即A*AAA1222n2称为A的伴随矩阵。A1nAA2nnn3例 1.设A 21122,求A*343解:因为A11 2，A12 3，A13 2，A21 2，A22 6，A23 6，48(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)A31 2,A32 5，A33 4 2所以A*22 365 264定理方阵A a 0且A1A*ijnn可逆AA证明必要性：A可逆，即有A1存在，使得AA1 E，两边取行列式得A A1 E 1 0故A 0充分
50、性:由行列式的性质 7 和 Laplace 定理知nnak1a A,i jikAjkkiAkjk10,i jA00 于是AA*A*A 0A0 AE00A因为A 0，故有AA*A*AA A E从而A1A*A推论 设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得AB E，(或BA E)，则B A1。证明:AB A B E 1，A 0，故A1存在。于是B EB A1AB A1AB A1E A1注：求A1时，只需要验算AB E，计算量减半。49(完整 word 版)线性代数教案(正式打印版)321例 2.判断下列方阵A132 122，B11 151343是否可331逆？若可逆,求其逆阵.解：A 20，B 0，所