(完整版)线性代数教案(正式打印版).pdf

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1、 1 第（1）次课 授课时间（）教学章节 第一章第一、二、三节 学时 2 学时 教材和 参考书 1.线性代数(第 4 版)同济大学编 1.教学目的：熟练掌握 2 阶,3 阶行列式的计算；掌握逆序数的定义,并会计算；掌握n阶行列式的定义；2.教学重点：逆序数的计算；3.教学难点：逆序数的计算.1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；n阶行列式的定义 2.时间安排：2 学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.2 基本内容 备注 第一节 二、三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。设二元线性方程组 2222

2、2211212111bxaxabxaxa 用消元法,当021122211aaaa 时,解得 211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax 令 2112221122211211aaaaaaaa,称为二阶行列式,则 如果将 D 中第一列的元素11a,21a 换成常数项1b,2b,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有 2221211ababD 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素 a 12,a 22 换成常数项 b1,b2,可得到另一个行列式,用字母2D

3、表示,于是有 2121112babaD 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba,这就是公式 3（2）中2x的表达式的分子。于是二元方程组的解的公式又可写为 DDxDDx2211 其中0D 例1.解线性方程组 .1212232121xxxx 同样,在解三元一次方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义 设三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa 用消元法解得 定义 设

4、有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 333231232221131211aaaaaaaaa 记 333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa,4 称为三阶行列式,则 三阶行列式所表示的 6 项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即 例 2.计算三阶行列式 243122421D.(-14)例 3.求解方程094321112xx（32xx或）例 4.解线性方程组 .55730422zyxzyxzyx 解 先计算

5、系数行列式 573411112D069556371210 5 再计算 321,DDD 515754101121D,315534011222D,55730112123D 得 23171DDx,69312DDy,6953DDz 第二节 全排列及其逆序数 引例：用 1、2、3 三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？一、全排列 把 n 个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列（简称排列）.可将n个不同元素按n1进行编号,则n个不同元素的全排列可看成这n个自然数的全排列.n个不同元素的全排列共有!n种.二、逆序及逆序数 逆序的定义：取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两

6、个元素的次序相反时,则称有一个逆序.通常取从小到大的排列为标准排列,即n1的全排列中取nn)1(123为标准排列.逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.6 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列.例 1:讨论3,2,1的全排列.全排列 123 231 312 132 213 321 逆序数 0 2 2 1 1 3 奇偶性 偶 奇 逆序数的计算：设nppp21为nn)1(123的一个全排列,则其逆序数为 niinttttt121.其中it为排在ip 前,且比ip大的数的个数.例 2：求排列54321的逆序数.解：niitttttt

7、t15432.10,4,3,2,1,0(对于逆序数的计算介绍另一种算法)第三节 n阶行列式的定义 下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式.二阶行列式 2112221122211211aaaaaaaa 21212112221122211211)1(pptaaaaaaaaaa.其中：21pp是2,1 的全排列,t是21pp的逆序数,是对所有2,1的全排列求和.三阶行列式 7 333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa 其中:321ppp是3,2,1的全排列,t是321ppp

8、的逆序数,是对所有3,2,1的全排列求和.)1(32133323123222113121121nppptaaaaaaaaaaaa 其中:nppp21是n,2,1的全排列,t是nppp21的逆序数,是对所有n,2,1的全排列求和.例 1.计算对角行列式:)24(0004003002001000 例 2.证明对角行列式（其对角线上的元素是i,未写出的元素都为 0）nn2121,nnnn2121211 证明:按定义式 nn32121nn21213 8 nnn3211211 nnn32111111 nnn21211 例 3.证明下三角行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD2211212221110.

9、证明:按定义式得 nnnnaaaaaaaD32333222110nnnnaaaaaaa43433322110nnaaa2211.以上,n阶行列式的定义式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式.9 10 回顾和小结 小结：1.二三阶行列式的定义；2.全排列及其逆序数；3.n阶行列式的定义。复习思考题或作业题 思考题：1.计算三阶行列式 654987321D 2.求排列54321的逆序数.作业题：习题一：第 1（1,3）、2（2,4,6）实施情况及分析 1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列及的定义概念,会计算二、三阶行列式；2.对其逆序数等方面

10、的应用有待加强.11 12 第（2）次课 授课时间（）教学章节 第一章第四、五节 学时 2 学时 教材和 参考书 线性代数(第 4 版)同济大学编 1.教学目的：掌握对换的概念；掌握n阶行列式的性质，会利用n阶行列式 的性质计算n阶行列式的值；2.教学重点：行列式的性质；3.教学难点：行列式的性质.1.教学内容：对换；行列式的性质；2.时间安排：2 学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.13 基本内容 备注 第四节 对换 对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换 例：bbbaaal

11、11 bbabaal11.定理 1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明：由定理 1 知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为 0),因此知推论成立 定理 2：n阶行列式为：.)1(2112123222113121121nppptnnnnaaaaaaaaaaaa 其中t为nppp21的逆序数.14（以 4 阶行列式为例,对证明过程作以说明）（补充）定理 3 n阶行列式也可定义为.)1(121211121232221131211nqpqpqptnnnnaaaaaaaaaaaa

12、其中nppp21和 nqqq21是两个n级排列,t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.练习：试判断655642312314aaaaaa和662551144332aaaaaa是否都是六阶行列式中的项.第五节 行列式的性质 转置行列式的定义 记 nnnnnnaaaaaaaaaD212222112111 TD=nnnnnnaaaaaaaaa212221212111 (D)行列式TD称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）一、n阶行列式的性质 性质 1：行列式与它的转置行列式相等.由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然.如:dcbaD dbcaDT 15 以ri表示第i

13、行，jc表示第j列.交换ji,两行记为ijrr,交换i,j两列记 作ijcc.性质 2：行列式互换两行（列），行列式变号.推论：行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.性质 3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k,等于用数k乘以该行列式.推论：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.性质 4：行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.性质 5：若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.即若 nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD2122222211111211)(则 nnninnniniaaaaaaaaaa

14、aaD21222221111211+nnninnniniaaaaaaaaaaaa21222221111211.性质 6：把行列式某一行（列）的元素乘以数k再加到另一行（列）上，则该行列式不变.二、n阶行列式的计算：16 例 1.计算2164729541732152D.解：2164729541732152D31cc 24617592437122511214132rrrrrr0210311061202251 42432rrrr021033006300225142rr 93000030002102251.例 2.abbbbabbbbabbbbaD 4321rrrrabbbbabbbbabbababa

15、ba3333 bar311abbbbabbbbabba1111314,3,2brriibabababa00000000011113)(3(baba.(推广至n阶，总结一般方法)例 3.证明：222222111111prrqqpprrqqpprrqqp2221112rqprqprqp.证明：左端22222111115prrqpprrqpprrqp第一列性质2222211111prrqqprrqqprrqq 22221111rrqprrqprrqp22221111prrqprrqprrq222111rqprqprqp222111prqprqprq 2221112rqprqprqp.17 例 4.计

16、算n2阶行列式.nbcaddcdcdcbababaD)(利用递推法计算)例 5.nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110，,)det(11111kkkkijaaaaaD.)det(11112nnnnijbbbbbD 证明：21DDD.18 回顾和小结 小结：对换和n阶行列式的性质与计算 1.对换的定义及两个定理;2.n阶行列式的性质与计算；复习思考题或作业题 思考题：1.把排列54132作一次对换变为24135,问相当于作几次相邻对换？把排列 12345 作偶数次对换后得到的新排列是奇排列还是偶排列？2.计算：0000abaaabbaaabaD.作业题：习题

17、一：第 3，4（2，4）,5(2,4,5)实施情况及分析 1.通过学习学员掌握了n阶行列式的定义和对换的概念；2.对利用n阶行列式的定义和对换等方面的应用有待加强.19 20 第（3）次课 授课时间（）教学章节 第一章第六节 学时 2 学时 教材和 参考书 1.线性代数(第 4 版)同济大学编；1.教学目的：了解余子式和代数余子式的概念；掌握行列式按行（列）展开；2.教学重点：行列式按行（列）展开；3.教学难点：行列式按行（列）展开.1.教学内容：行列式按行（列）展开；2.时间安排：2 学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.21 基本内容 备注 第六节 行列

18、式按行（列）展开 定义 在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1n阶行列式，称为ija的余子式，记为ijM；而ijjiijMA)1(称为ija的代数余子式.引理 如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD1111100.则：ijijAaD.证 先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD21222211100 再证一般情形：定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即 按行：jiAaAaAajninjiji02211 按列：jiAaAaAanjnijiji02211 22 证：（此定理

19、称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21112112121121121111211000000).,2,1(2211niAaAaAaininiiii 例 1：3351110243152113D.解:例 2:21122112nD 23 解:21122112nD211221100121nrr 1 nDn.从而解得 1 nDn.例 3证明范德蒙行列式 112112222121111nnnnnnnxxxxxxxxxD1ijn ijxx .其中，记号“”表示全体同

20、类因子的乘积.证 用归纳法 因为 1221211xxxxD21ijijxx 所以，当2nn=2 时，（4）式成立.现设（4）式对1n时成立，要证对n时也成立.为此，设法把nD降阶；从第n行开始，后行减去前行的1x倍，有 213112213311222221331111110000nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx（按第一列展开，并提出因子1xxi）24 223223211312111nnnnnnxxxxxxxxxxxx1n阶范德蒙行列式 由假设 213112nijn ijxxxxxxxx =1ijn ijxx 定理的推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）

21、对应各 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 为 零，即 jiAaAaAajninjiji02211 按列：jiAaAaAanjnijiji02211 结合定理及推论，得 ,1ijnkjkkiDAa,1ijnkkjkiDAa，其中.)(0)(,1jijiij 例 4.计算行列式0532004140013202527102135D的值。25 回顾和小结 小结：行列式按行（列）展开。1.余子式和代数余子式的概念;2.行列式按行（列）展开;复习思考题或作业题 思考题：设:,00103010021321nnDn 求第一行各元素的代数余子式之和 作业题：习题一:第 7（2，3，5，6）实施情况

22、及分析 1.通过学习学员理解了余子式和代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开；2.对利用行列式按行（列）展开的方法计算行列式等方面的应用有待加强.26 第（4）次课 授课时间（）教学章节 第一章第七节 学时 2 学时 教材和 参考书 线性代数(第 4 版)同济大学编 1.教学目的：了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利用克拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的解；2.教学重点：克拉默法则的应用；3.教学难点：克拉默法则的应用.1.教学内容：克拉默法则；2.时间安排：2 学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.27 基本内容 备注 第七节

23、 克拉默法则 含有n个未知数nxxx,.,21的n个方程的线性方程组 nnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222212111212111 （1）与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用n阶行列式表示.定理 1（Cramer 法则）如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即 nnnnaaaaD11110,则方程组(1)有且仅有一组解：DDx11,DDx22,DDxnn (2)其中njDj,.,2,1是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数列代替,而其余列不变所得到的n阶行列式 nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,1

24、21,221,22111,111,111.(证明在第二章)当nbbb,.,21全为零时,即 0002211222221211212111nnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 28 称之为齐次线性方程组.显然,齐次线性方程组必定有解(0,.,0,021nxxx）.根据克拉默法则,有 1 齐次线性方程组的系数行列式0D时,则它只有零解（没有非零解）2反之,齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式0D.例 1求解线性方程组 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 解:系数行列式 0102212060311512D0272733 同样可以计算

25、 8167402125603915181D,10867012150609115822D,2760412520693118123D,2707415120903185124D 所以 311DDx,422DDx,133DDx,144DDx.注意：1.克莱姆法则的条件：n个未知数,n个方程,且0D 2.用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程 29 组。3.克莱姆法则具有重要的理论意义。4.克莱姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之间的依存关系.例 2.用克拉默法则解方程组.6523,611,443,325343214321424321xxxxxxxxxxxxxx 例 3.已知齐次线性

26、方程组 0)4(2 0 )6(2 022 )5(zxyxzyx 有非零解,问应取何值？解 系数行列式)8)(2)(5(D 由：0D,得.852、30 回顾和小结 小结：克拉默法则.1.内容;2.应用.复习思考题或作业题 思考题：当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?作业题：习题一第 8（2）、9（2,4）实施情况及分析 1.通过学习学员理解了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利用克拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的解；2.对利用克拉默法则等方面的应用有待加强.31 32 第（5）次课 授课时间（）教学章节 第二章第一、二节

27、 学时 2 学时 教材 和参考书 1.线性代数(第四版)同济大学编；2.同济大学 胡一鸣编线性代数辅导及习题精解;3.孙建东等编线性代数知识点与典型例题解析。1.教学目的：了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算；2.教学重点：矩阵的概念和矩阵的运算；3.教学难点：矩阵的概念和矩阵的运算。1.教学内容：矩阵；矩阵的运算；2.时间安排：2 学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。33 基本内容 备注 第一节 矩阵 一、矩阵的定义 称m行、n列的数表 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 为nm矩阵，或简称为矩阵；表示为 mnmmnnaaaaaaaaaA2

28、12222111211 或简记为nmijaA)(,或)(ijaA 或nmA；其中ija表示A中第i行，第j列的元素。其中行列式mnmmnnaaaaaaaaa212222111211D 为按行列式的运算规则所得到的一个数；而nm矩阵是 nm个数的整体,不对这些数作运算。例如，公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。设nmijaA)(，nmijbB)(都是nm 矩阵，当 则称矩阵A与B相等,记成BA。二、特殊形式 34 n阶方阵：nn 矩阵 行矩阵：n1矩阵（以后又可叫做行向量），记为),(,21naaaA 列矩阵：1m矩阵（以后又可叫做列向量），记为 mbbbB21 零矩阵：所有元

29、素为0的矩阵,记为O 对角阵：对角线元素为n,.,21,其余元素为D的方阵，记为 单位阵：对角线元素为 1，其余元素为 0 的方阵，记为 111E 三、线性变换的系数矩阵 线性变换的定义：设变量myyy,.,21能用变量nxxx,.,21线性表示，即 nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111 这里ijanjmi,2,1;,2,1为常数。这种从变量nxxx,.,21到 35 变量myyy,.,21的变换称为线性变换。线性变换由m个n元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。上式的系数可构成一个nm矩阵 ijnmijmn

30、mmnnaaaaaaaaaaaA212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称之为线性变换的系数矩阵。线性变换和系数矩阵是一一对应的。如,直角坐标系的旋转变换（变量),(yx到变量),(yx的变换）yxyyxxcossinsincos 的系数矩阵为 cossinsincosA.恒等变换 36 mmxyxyxy2211 的系数矩阵为 例.111E 同样，齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 与系数矩阵 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，也是一一对应的.非齐次线

31、性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 与增广矩阵 mmnmmnnbbbaaaaaaaaaA21212222111211也是一一对应的。第二节 矩阵的运算 一、加法 设nmijaA)(，nmijbB)(,都是nm矩阵,则加法定义为 37 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111 显然,ABBA，)()(ABACBA 二、数乘 设是数,nmijaA)(是nm矩阵,则数乘定义为 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 显然 AA，AAA，

32、BABA 三、乘法 乘法运算比较复杂,首先看一个例子 设变量 2,tt到变量32,1,xxx的线性变换为 232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx 变量 321,xxx到变量21,yy的线性变换为32322212123132121111xaxaxayxaxaxay 那么,变量 2,1tt到变量2,1yy的线性变换应为 23213123222121222121112112321311322212112212111111tbtbatbtbatbtbaytbtbatbtbatbtbay 即 38 232232222122113123212211211232132212

33、121113113211211111tbababatbababaytbababatbababay 定义矩阵 232221131211aaaaaa和323122211211bbbbbb 的乘积为 322322221221312321221121321322121211311321121111323122211211232221131211bababababababababababababbbbbbaaaaaa 按以上方式定义的乘法具有实际意义.由此推广得到一般定义 设 smijaA)(，nsijbB)(,则乘法定义为 CAB 其中nmijcC)(skkjiksjisjijiijbabababac

34、12211 njmi,2,1,2,1 注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数,列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行元素对应相乘再相加。例：设 20121301A,431102311014B，则 43110231101420121301AB 39 421031023200111212201142411330013103101111231041 1199129 例:设2142A，6-3-42B，求AB及BA。解：168321663422142AB，000021426342BA 由此发现：

35、（1）ABBA，（不满足交换律）（2）OA，OB，但却有OBA。一个必须注意的问题：1若smA，nsB,则nssmBA 成立,当nm 时,smnsAB不成立；2即使nmA，mnB,则mnnmBA 是m阶方阵,而nmmnAB是n阶方阵；3.如果 A,B 都是n阶方阵,例如2142A，6342B，则1683216AB，而0000BA 综上所述,一般 BAAB（即矩阵乘法不满足交换率）。下列性质显然成立：BCACAB，BABAAB，ACABCBA,CABAACB 几个运算结果：40 1.nnnnbabababbbaaa22112121,；2.nnnnnnnnbababababababababaaaa

36、bbb2122212121112121,；3.若A为nm矩阵,E是m阶单位阵,则AEA;若E是n阶单位阵,则AAE；4.线性变换的矩阵表示：设 nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111,mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211,nxxxx21,myyyy21,则 Axy 5线性方程组的矩阵表示：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211,nxxxx21,mbbbb21 则 bAx 41 矩阵的幂:12

37、32nnAAAAAAAAA，.例.证明nnnnncossinsincoscossinsincos 证明 用归纳法：1n时,显然成立,假定kn 时成立,则1 kn时 kkcossinsincoscossinsincoscossinsincos1 kkkkcossinsincoscossinsincos kkkkkkkkcoscossinsinsincoscossincossinsincossinsincoscos )1cos()1sin()1sin()1cos(kkkk 从而结论成立.由于 cossinsincos是直角坐标旋转角度变换的系数矩阵,故而ncossinsincos是旋转了n角度变换

38、的系数矩阵.四、转置 设 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211，记nnnnnTaanaaaaaaaA212221212111 则称TA是A的转置矩阵。显然，AATT，TTTBABA，TTAA，TTTABAB。对称矩阵的定义:若矩阵A满足AAT（即jiijaa）,则称A是对称阵 42 例.设A是nm矩阵,证明AAT是n阶对称阵,TAA是m阶对称阵.例.设Tnxxxx,21,且1xxT,E为n阶单位阵,TxxEH2,证明:H是对称阵，EH2.证明 HxxExxExxEHTTTTTTT222，故H是对称阵。TTTTTTTxxxxxxExxxxxxExxEH4444222 Exxx

39、xETT44 五、方阵的行列式 A为n阶方阵，其元素构成的n阶行列式称为方阵的行列式,记为A或Adet。显然，AAT，AAnT，BAAB。例.设 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 记 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*，其中ijA是ija的代数余子式,*A称为A的伴随阵.证明：EAAAAA*.证明 设)(*ijCCAA 43 ijnkjkikjninjijiijAAabaAaAac12211 EAAAcCAAijijij*设)(*ijdDAA nkjikikjnkkjkinjnijijliijAAaaAbAaAaAd11221 EAAAdDAAi

40、jijij*例.设 A为)2(nn阶实方阵,且ijijAaOA,求A.解：注意到 TnnnnnnnnnnnnAaaaaaaaaaAAAAAAAAAA212221212111212221212111*AAAT*由 EAAA*，得01222nnTAAAAEAAA，由于 0121nkiknkjkikaAaA,故112AAn.六、共轭矩阵 )(ijaA 为复矩阵,ija 为ija 的共轭复数,则称)(ijaA 为A 的共轭矩阵.显然,BABA,AA,BAAB 44 回顾和小结 小 结：矩阵的概念和矩阵的运算：1.矩阵的概念;2.矩阵的运算;复习思考题或作业题 思考题：1.矩阵与行列式的有何区别?2.设

41、A与B为n阶方阵，问等式 BABABA22 成立的充要条件是什么?作业题：习题二第 2、3、4（2，3，5）、7 实施情况及分析 1.通过学习使学员理解矩阵的概念,掌握了矩阵的运算；2.对利用矩阵的运算法则的应用有待加强.45 第（6）次课 授课时间（）46 教学章节 第二章第三节 学时 2 学时 教材 和参考书 1.线性代数(第四版)同济大学编；2.同济大学 胡一鸣编线性代数辅导及习题精解；3.孙建东等编线性代数知识点与典型例题解析。1.教学目的：理解逆矩阵的概念；掌握逆矩阵的性质和计算方法；2.教学重点：逆矩阵概念和计算；3.教学难点：逆矩阵概念和计算。1.教学内容：逆矩阵；2.时间安排：

42、2 学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。基本内容 备注 47 第三节 逆矩阵 一、逆阵的定义 引入：设给定一个线性变换 nnnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay221122221212112121111 可表示为矩阵方程 AXY （1）其中 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211，nxxxX21，nyyyY21,由克莱姆法则知,若0A,则(1)有唯一解。如果存在n阶方阵C,使得ECA,则(1)的解可用矩阵乘积表出：CBX （2）称为矩阵方程(2)的解。定义 设A为n阶方阵,若存在一个n阶方阵B，使得 EBAAB,则

43、称方阵A可逆,并称方阵B为A的逆矩阵,记作BA1，若EACCA,则1 AC 性质 1 若1A存在,则1A必唯一.证明 设B、C都是A的逆阵，则有 CECCBAACBBEB（唯一）.48 性质 2 若A可逆，则1A也可逆，且 AA11 证明 A可逆,EAAAA11,从而1A也可逆,且 AA11。性质 3 若A可逆,则A可逆,且 11AA 证明 EAAAAEAAAA)()(,1111 从而 EAAAA)()(11，于是)()(11AA 性质 4 若同阶方阵A、B都可逆，则AB也可逆，且 111ABAB 证明 EAAAEAABBAABAB111111 EBBEBBBAABABAB111111 所以A

44、B可逆,且111ABAB 二、逆阵存在的条件及逆阵的求法 定义 3.由 nnijaA的行列式 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 中元素ija的代数余子式),2,1,(njiAij构成的n阶方阵,记作*A,即nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*称为A的伴随矩阵.例 1.设 343221123A,求*A 解:因为 211A，312A，213A,221A，622A，623A,231A，532A，433A 49 所以 462563222*A 定理 方阵 nnijaA可逆0A 且 AAA*1 证明 必要性：A可逆,即有1A存在,使得EAA1，两边取行列式得0

45、11EAA 故 0A 充分性：由行列式的性质 7 和 Laplace 定理知 nknkkjkijkikjijiAAaAa11,0,于是 EAAAAAAAA000000*因为 0A，故有 EAAAAAA*从而 AAA*1 推论 设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得EAB，(或EBA)，则1 AB。证明：1EBAAB，0 A，故1A存在。于是 1111AEAABABAAEBB 注：求1A时，只需要验算EAB，计算量减半。50 例 2.判断下列方阵343221123A,13311511231B是否可逆?若可逆，求其逆阵。解：02A，0B，所以B不可逆，A可逆，并且 46256322221*1AAA

46、 三、用逆矩阵法解线性方程组 在第一节中，线性方程组)1(可表示为矩阵方程BAX)2(，若0A，则BAX1)3(，得到)1(的解。例3 解线性方程组 3343222123321321321xxxxxxxxx 解：其矩阵式为 321343221123321xxx 因 2343221123,所以100321462563222213213432211231321xxx 所以其解为 1,0,0321xxx 例4 求解矩阵方程CAXB，其中 51 343221123A，2513B，230241C.解：易知231253231111A，35121B，则 123561035122302412312532311

47、111CBAX 52 回顾和小结 小结：1 1逆矩阵的概念 2 2矩阵可逆的充分必要条件 3利用伴随矩阵求逆矩阵 复习思考题或作业题 思考题：试分析以下给出的解答的错误,并给出正确的解答.已知5321A，求1A 错误解法:由于011A,所以1A存在 123522211211AAAA，故有1235111*1AAA 作业题：习题 11-1 第 3（1,3）、4（2,4）53 实施情况及分析 1.通过学习学员理解逆矩阵的概念和矩阵可逆的充分必要条件,会利用伴随矩阵求逆矩阵；2.对利用伴随矩阵求逆矩阵等方面的应用有待加强。54 第（7）次课 授课时间（）教学章节 第二章第四节 学时 2 学时 教材 和

48、参考书 1.线性代数(第四版)同济大学编；2.同济大学 胡一鸣编线性代数辅导及习题精解；3.孙建东等编线性代数知识点与典型例题解析。1.教学目的：掌握矩阵分块法的运算性质和方法；2.教学重点：矩阵分块；3.教学难点：矩阵分块的方法。55 5.教学内容：矩阵分块法；6.时间安排：2 学时；7.教学方法：讲授与讨论相结合；3.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。基本内容 备注 56 第四节 矩阵分块法 引例：设 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA 可按以下方式分块，每块均为小矩阵：2221121111aaaaA，2423141312aaaaA，)(323121a

49、aA，)(343322aaA,则22211211AAAAA。矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。矩阵分块法的运算性质：1加法：设1111111111ssrssrBBBBBAAAAA，则1111111111.ssssrrBABABABABA.2数乘：设 11111ssrAAAAA，是数，则11111ssrAAAAA.3乘法：设 ststlmAAAAA1111，trtrmlBBBBB1111，则nmnllmCBA 57 其中ssCCCCC1111，rjsiBACtkkjikij,2,1,2,1,1 4转置：设srsrAAAAA1111，则srTrTsrTTTAAAAA111

50、 5对角分块的性质：设 sAAAA21，其中sAAA,1均为方阵，则sAAAA,21。若A可逆，则sAAAA121111 例:120130005A，求1A。解：设51A，12132A，则21AAA。5111A，321112A，则320110005112111AAA 例 设CBOAX，CA,为可逆方阵,求1X。解 设222112111XXXXX，则由EXX1得 58 2122211211EOOEXXXXCBOA，其中21EOOEE,按乘法规则，得 ECXBXOCXBXOAXEAX221221111211 解得：111 AX，OX12，1121BACX,122 CX 故 11111CBACOAX。