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1、第7节 二项分布、超几何分布与正态分布课程标准要求1.通过具体实例，了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系，并能解决简单的实际问题.3 .通过误差模型，了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质，会用正态分布解决实际问题.必备知识课前回顾 馆 激 材夯实四基脸 知识梳理1.两点分布对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”，彳表示“失败”,定义巾答如果P(A)=p,则P(1)=l-p,那么X的分布列如表所示.我们称X服从两点分布或0 1分布.X01P1-pP一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p
2、,D(X)=p(l-p).2 .二项分布(l)n重伯努利试验我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验.显然,n 重伯努利试验具有如下共同特征：同一个伯努利试验重复做n 次;各次试验的结果相互独立.二项分布一般地,在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0 p 0 为参数.对任意的X R,f (x)0,它的图象在x轴的上方.我们称f (x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为f (x),则称随机变量X服从正态分布,记为X N(u ,。9.特别
3、地，当口=0,。=1时,称随机变量X服从标准正态分布.若XN(u ,。9,则如图所示,X取值不超过x的概率P (XW x)为图中区域&的面积，而P(aW XW b)为区域里的面积.正态曲线的特点曲线是单峰的,它关于直线x=u对称；曲线在x=u处达到峰值表；当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；当。取固定值时,正态曲线的位置由P确定,且随着U的变化而沿x轴平移,如图所示.曲线与x轴围成的面积总为1.因 此 当。较小时,峰值高，曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当。较大时,峰值低，曲线“矮胜”，表示随机变量X的分布比较分散,如图所示.(4)正态分布的均值与方差若 X N(u,。2),贝j
4、jE(x)吗 D(X)=i正态分布在三个特殊区间内的概率P(R-oW X W u+。)0.682 7,P(U -2 o WXW P+2。)().954 5,P(U -3。WX u+3。)口0.997 3.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N (P,。9的随机变量X只取R-3。，P+3。中的值，这在统计学中称为3。原则.匡 重 要 结 论对于XN(u,。2),由X=R是正态曲线的对称轴知对任意的 a 有 P(X n+a);(2)P(XXo)=l-P(Xxo);(3)P(aXb)=P(X 4)=0.2,所以 P(&0)=0.2,所以所求概率P (0&2)=P=0.3.故选A.3 .箱中有标号为1
5、,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出2个球,记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.若有4人参与摸奖,恰好有3人 获 奖 的 概 率 是.解析：由题意知，获奖的概率p=4 4,记获奖的人数为&,则目5B(4,|),所 以4人中恰好有3人获奖的概率为p=c e)3 x 三丝.4 5 5 625答案:未6254.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是.解析:设所选女生人数为X,则X服从超几何分布,其中N=6,M=2,n=3,一我以第鬣_ 4一 Cf C P （X=l）%42，421；p（X=T）P（x=-3）=等 q,J o
6、 5o 21p （Y=-5）=C9 b）442.因 此X的分布列为X31-1-3-5P1425211021521142求超几何分而辞题策略1亍的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的 值；第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时 的 概率；第三步,用表格的形式列出分布列.啜 考点三正态分布口 角 度-正态分布的计算（2021 安 徽 合 肥高三二检）为 了 解A市高三学生的数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.频率/组距（1）根据频率分布直方图,试估计该市参加此次
7、检测考试的学生的数学平均成绩U。；（精确到个位）研究发现,本次检测考试的数学成绩X近似服从正态分布N（L X,。2）,其中 u=Uo,0=19.3.按以往的统计数据,数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占46%,据此估计在本次检测考试中达到升一本的数学成绩是多少分？（精确到个位）已知A市高三学生约有10 000名，某学生在此次检测考试中数学成绩为107分,则该学生在全市的排名大约是多少？说明:P（x 2 x J=l-（卫）表示xN xi的概率，（卫）用来将非标准a a正态分布化为标准正态分布，即XN（0,1）,从而利用标准正态分布表（X o）,求XX1时的概率P（x 2 x J,这里Xo=（也
8、2）.相应于Xo的值a（X。）是指总体取值小于X。的概率，即中（x0）=P（xx。）.参考数据:（0.705 4）=0.54,O（0.677 2）=0.4 6,中（0.21）=0.5832解：（1）由题意估计该市参加此次检测考试的学生的数学平均成绩为o=65XO.05+75X0.08+85X0.12+95X0.15+105X0.24+115X0.18+125X0.1+135X0.05+145X0.03=103.2103（分）.记在本次检测考试中达到升一本的数学成绩为XI分,根据题意,P(x 2x)=1-(2-0)=1-0(122)=0.4 6,即中(-)=0.54.。19.3 19 3由(0.
9、705 4)=0.54 得，且%二0.705 4 n x 1 116.6七 117,19.3所以在本次检测考试中达到升一本的数学成绩约为117分.P(x 2107)=l-(17一1。3)-(0.21)=1-0.583 2=0.4 16 8,19.3所以 10 000X0.4 16 8=4 168,所以数学成绩为107分的该学生在全市的排名大约是第4 168名.解题策略 利 用3。原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量 的u,o进行对比联系,确定它们属于 以-。，u +O ,U-2O,u+2 o ,u -3 o ,u +3 o 中的哪一个.利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，
10、涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=P对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用：正态曲线关于直线x=u对称,从而在关于x=P对称的区间上概率相同.P (X 0,977 25,所以A农场送来的这批棉花为合格的优质棉花.解 题 策 略I事件在P-3。，u+3。之外的为小概率事件,一旦发生,则说明生产存在问题,则要调整生产.针对训练(2021 山东潍坊模拟)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程,某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件,并测量其内径(单位:cm).根据长期生产经验,认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(u,。9.如果加工的零件内径小于P-
11、3。或大于P+3。均为不合格品，其余为合格品.(1)假设生产状态正常,请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数；(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利;若生产的某件产品为不合格品，则该件产品亏损.已知每件产品的利润L (单位:元)与零件的内径X 有如下关系:L=-5,X 3。，4,X 6,。X /J.+3 c,林 +3 c r.求该企业一天从生产线上随机抽取1 0 0 0 0 个零件的平均利润.附:若随机变量X 服从正态分布N(u,。2),有 P(L。w x w u +。)能0.6 8 2 7,P (P -2。W X W U +2。)-0.9 5 4 5,P (P -3。W
12、X W P +3。)心0.9 9 7 3.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在 P-3。，口+3。之内的概率为0.9 9 7 3,从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.0 0 2 7,因此一天内抽取的1 0 0 0 0 个零件中不合格品的个数约为1 0 0 0 0 X 0.0 0 2 7=27.结合正态分布曲线和题意可知，P(X u-3 o )0.0 0 1 3 5,P (U -3 o X u -o )|x (0.9 9 7 3-0.6 8 2 7)=0.1 5 7 3,P(u-o W X u+3 o )0.0 0 1 3 5,故随机抽取1 0 0 0 0 个零件的平均利润为1 0 0 0 0 L
13、=1 0 0 0 0 X (-5 X 0.0 0 1 3 5+4 X 0.1 5 7 3+6 X 0.8 4 0 0-5 X 0.0 0 13 5)=5 6 5 5 7(元).昌 备选例题CBD为了拓展网络市场，某公司为手机客户端用户推出了多款应用，如“农场”“音乐”“读书”等.市场调查表明，手机用户在选择以上三种应用时，选 择“农场”“音乐”“读书”的 概 率 分 别 为 现2 3 6有甲、乙、丙三名手机客户端用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加.求三人所选择的应用互不相同的概率;(2)记 为三人中选择的应用是“农场”与“音乐”的人数,求己的分布列.解:记“第 i 名用户选择的应用是
14、 农 场 音 乐 读 书”分别为事件为B”为 i=l,2,3.由题意知A A 2,A3相互独立,B为 B3相互独立，Ci,C2,C3相互独立，A“B”Ck(i,j,k=l,2,3 且 i,j,k 互不相同)相互独立,且 P(A)=；,P(B,)4 P(C)4-2 3 6他们选择的应用互不相同的概率为P=3!P(ABC3)=6P(AJ P(B2)P(C3)=6-.设 3 名用户选择的应用是“读书”的人数是n,由已知得nB；),6且 =3-n,P(=2)=P(n=l)=C jx|xP(C=3)=P(r=0)=C?X(-)所以 P(&=0)=P(n=3)=禺 X C)J 上,6 216P(g)=P(
15、n=2)=底 x G)x|=装 得/5x 2_ 75 _256 216 723.1 2 5216,故 的分布列为自0123P12165722572125216C D (2 02 1 江苏徐州一模)近日，某调查小组在一家大型超市进行了一项关于顾客使用移动支付情况的调查,调查人员从年龄在2 0岁到 6 0岁的顾客中随机抽取了 2 00人,得到如表统计数据：年龄段个数类型 2 0,3 0)3 0,4 0)4 0,5 0)5 0,6 0使用移动支付4 54 02 51 5不使用移动支付01 02 04 5现从这2 00人中随机依次抽取2 人，在第1 次抽到的人使用移动支付的条件下,求第2 次抽到的人不
16、使用移动支付的概率；现采用分层随机抽样的方法从使用移动支付的人中抽取2 5 人做进一步的问卷调查.再从这2 5 人中随机选出3 人颁发参与奖,设这3人中年龄在 4 0,5 0)中的人数为X,求X的分布列.解：(1)由题意可知，使用移动支付的人数为1 2 5,不使用移动支付的人数为7 5.记事件A为“第 1 次抽到的人使用移动支付，事件B 为“第2 次抽到的人不使用移动支付”，所以P(B|A)当焉.n A)125x199 199(2)在年龄段 4 0,5 0)中抽取的人数为六X 2 5=5,则X的所有可能取值为 0,1,2,3,所以P(X=0)=,P(x=l)=i=,P(X=2)=i=,P(X=
17、3)=,5 115 C15 46%23 禺 5 230则 X的分布列为X0123P5711519462231230C 从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件,测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图.求 这1 000件产品质量指标的样本平均数%和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(u,。9,其中u近似为样本平均数五。,近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(175.6WZW224.4);已知每件该产品的生产成本为10元,每件合格品(质量指标值Ze175.6,224.4)的定价为16元;
18、若为次品(质量指标值Z阵175.6,224.4),除了全额退款外,每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品,用Y表示这100件产品的利润，求E(Y).附:2.若 ZN(u,o 2),贝！J p(u-。WZW u+o)0.6827,P(u-2 o WZW P+2。)0.954 5.解：(1)由题意得x=170 X 0.02+180 X 0.09+190 X 0.22+200 X 0.33+210 X 0.24+220 X 0.08+230X0.02=200,所以s2=(170-200)2 xo.02+(180-200)2 xo,09+(190-200)2 XO.22+(200-2
19、00)2X0.33+(210-200)2X0.24+(220-200)2XO.08+(230-200)2XO.02=150,即样本平均数为200,样本方差为150.(2)由(1)可知，LI=200,o=V15012.2,所以 ZN(200,12.22),所以 P(175.6WZW224.4)=P(u-2。W Z W R+2。)心0.954 5.设X表示100件产品的正品数，由题意得XB(100,0.954 5),所以 E(X)=100X0.954 5P 95,所以 E(Y)=16E(X)-48X5-100X 10=280.A级基础巩固练课时作业G选题明细表灵活方强方致提必知识点、方法基础巩固练
20、综合运用练应用创新练二项分布1,2,4,6,1012超几何分布3,5,1114,15正态分布7,8,913概率分布模型的综合应用16,17181.设袋中有两个红球，一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取,每次抽取一个,记下颜色后放回袋中，连续抽三次,X表示三次中红球被抽中的次数,每个小球被抽取的概率相同，每次抽取相对独立,则方差D(X)等于(C )2 3A.2 B.1 C.-D.-3 4解析：每次取球时，取到红球的概率为|,取到黑球的概率为:所以取出红球的概率服从二项分布，即XB(3,|),所以D(x)=3 x|x (1-|)=|.故选C.2.抛掷一枚质地均匀的硬币，规定正面向上得1
21、分,反面向上得-1分，则得分X的均值与方差分别为(A )A.E(X)=O,D(X)=1B.E(X)=-D(X)=-2 2C.E(X)=O,D(X)=|D.E(X)=1,D(X)=1解析：由题意知，随机变量X的分布列为X-11P1212所以 E(X)=(-1)X-+1X-=O,2 2D(X)=-X(-1-0)2+-X(1-OF.故选 A.2 23.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球，以X表示取出球的最小号码，则E(X)等于(B)A.0.4 5 B.0.5 C.0.5 5 D.0.6解析：易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,由古典概型的概率计算
22、公式得P(X=0)=萼=/=0.6,P(X=l)=0.3,P(X=2)=M().1,所以C5 C5 L5E(X)=0X0.6+1 X 0.3+2 X 0.1=0.5.故选 B.4.已知随机变量X,Y满足XB(2,p),Y=2X+1,且P(X 21)=|,则D(Y)等于(C)A4 门 7 厂 16 n l 7A.-B,-C.D.9 3 9 9解析：因为XB(2,p),所以 P(X 2l)=l P(X=0)=(l-p)2V，解得P三,所以D (Y)=4D(X)=4义2义 工 义 卫 王.3 3 9故选c.5.（多选题）（2021 山东烟台质检）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5
23、道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规 定 至 少 答 对2题才算合格，则下列选项正确的是（CD）A.答对0题和答对3题的概率相同，都为；8B.答对1题的概率为：C.答对2题的概率为总D,合格的概率为：解析:设此人答对题目的个数为&,则&的所有可能取值为0,1,2,3,P(之=0)=孥=三,P(&=1)=三,P(&=2)=挚=工 P(&=3)=卑=三412 412 412 112则答对0题和答对3题的概率相同，都为之,故A错误;答对1题的概率 为*故B错误;答对2题的概率为*故C正确;合格的概率为P=P(g=2)+P(g=3)*+昼 故 D 正确.故选 CD.6.(多选题)袋子中有
24、2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分，记4次取球的总分数为X,则(ACD)A.XB(4,|)B.P(X=2)=-81C.X的数学期望E(X)1D.X的方差D(X)解析:从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球记1分，取4次球的总分数,即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布XB(4,|),故A正确；X=2,记其概率为P(X=2)=第X(|)之 义(1)2=|1,故B错误；因为XB(4,|),所以X的数学期望为E(X)=4 X|=*故C正确；因为XB(4,3，所以X的方差为D(X)=4 X：X 故D正
25、确.故选ACD.7.如图是当。取三个不同值。I,。2,。3时的三种正态曲线,那么。I,。2,。3的大小关系是(D)A.o i o 3 o 2 0 B.0 o i o 3 o 2 o 3 0 D.0 o i o 2 o 3解析：由题图可知,三种正态曲线的U都等于0.当U 一定时，。越小,曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散,则0 o ,o 2 o 3.故选D.8 .(多选题)某农户承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(R ,3 0 9和N(2 8 0,40,则下列选项正确的是(附:若
26、随机变量X服从正态分布 N(u,小)，则 p(u oxi x +o)0.6 8 2 6)(A B D )A.若红玫瑰日销售量范围在(U-3 0,2 8 0)的概率是0.6 8 2 6,则红玫瑰日销售量的平均数约为2 5 0B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在(2 8 0,3 2 0)的概率约为0.3 4 1 3解析:对于选项A 口+3 0=2 8 0,口 =2 5 0,A正确;对于选项B,C,利用。越小越集中，3 0 4 0,B正确，C不正确;对于选项D,P(2 8 0 X 3 2 0)=P(u X u +o )0.6 8 2
27、 6 X|=O.3 4 1 3,D 正确.故选 A B D.9 .对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均数作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差0N(0,与，为 使 误 差 .在n（-0.5,0.5）的概率不小于0.9 5 4 5,至少要测量_ 次（若 X-N（u,。2）,则p（|x-1l|2 o）0.9 5 4 5）.解析:根据正态曲线的对称性知,要使误差 ”在（-0.5,0.5）的概率不小于 0.9 5 4 5,贝!）（口 一 2。，口+2。）彳（一 0.5,0.5）且 口=0,。=R 所以7 n0.5 2 2 Rnn232,所以至少要测量3 2 次.7 n答案：3 21 0.（2
28、 0 2 1 重庆模拟）中国某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成.已知元件1 或元件2 正常工作,且元件3 正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示，三个电子元件的使用寿命（单位:h）均服从正态分布 N（1 0 0 0 0,1 0%且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1 0 0 0 台,检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1 0 0 0 台仪器中该部件的使用寿命超过1 0 0 0 0 h的台 数 的 均 值 为.解析：由正态分布可知,每个元件的使用寿命超过1 0 0 0 0 h 的概率为去则
29、该部件的使用寿命超过1 0 0 0 0 h的概率为x1=1.由题意知1 0 0 0 台仪器中该部件的使用寿命超过1 0 0 0 0 h的台数服从二项分布，所以台数的均值为1 0 0 0 xf=3 7 5.答案：3 7 51 1 .(2 0 2 1 天津武清区高三模拟)已知一个袋子中装有1 个红球,3 个绿球，1 个黄球.从袋中随机取球,每次取3 个,则取出的3 个球颜色各不相同的概率为;记取出的球颜色种数为 ,则E()=.解析：由题意,共有5 个球,从中取出3 个球,则有髭=1 0 种不同的取法.取出的3 个球颜色各不相同，则红球、绿球、黄球各取1 个，有的=3种不同的取法，所以取出的3 个球
30、颜色各不相同的概率为奈取出的球颜色种数的可能取值为1,2,3,P(3)P(1)味p /=2)-c，c：+c 1 c 6 310 10 5所以己的分布列为123P11035310所以 E(g)=l X-+2 X-+3 X =.10 5 10 5容案.3 11口耒工0 5B级综合运用练1 2 .(多选题)为弘扬我国古代“六艺”文化,某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程,若甲、乙、丙三名同学每人只能体验其中一门课程，则(B C D )A.甲、乙、丙三人选择课程方法有1 2 0 种B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为高C.已知甲不选择课程“御”的条件下，乙
31、、丙也不选择课程“御”的概率为I I36D.设三名同学选择课程“礼”的人数为 ,则E（）=|解析：甲、乙、丙三名同学每人只能体验其中一门课程,则选择方法有6:i=2 1 6种，故 A 错误;恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三名同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为岁咨，故B正确；o-5 216 9已知甲不选择课程“御”的概率为I甲、乙、丙都不选择课程“御”63125的 概 率 为 黑 黑,所 以 条 件 概 率 为 故 C正确;三名同学选择课程60 216-366“礼”的人数为，则之服从二项分布B（3,9，则 E（之）=3 义衿，故 D6 6 2正确.故选B C D.1 3.（多选题
32、）（2 0 2 1江苏徐州高三模拟）已知某校有1 2 0 0 名同学参加某次模拟考试,其中数学考试成绩X 近似服从正态分布N （1 0 0,2 2 5）,则下列说法正确的有（B D ）（参考数据:P。W XWR+Q）-0.682 7;P 2。P+2。）0.95 4 5;P （口 -3。W X W u+3 o ）0.997 3）A.这次考试成绩超过1 0 0 分的约有5 0 0 人B.这次考试分数低于70 分的约有2 7人C.P（1 1 5 1 0 0)=T，则成绩超过1 0 0 分的约有1 2 0 0 X|=60 0 (人)，所以选项A 错误；对于选项 B,P (X 2 70)=P (70 W
33、X W1 0 0)+P (X 1 0 0)=1 p (1 0 0-2 X 1 5 W X W1 0 0+2 X 1 5)+0.5 X 0.95 4 5+0.5=0.977 2 5,所以 P(X 70)=l-P(X 270)=l-0.977 2 5=0.0 2 2 75,所以分数低于7 0分的人数约为0.0 2 2 75 X 1 2 0 0=2 7.3,即约为2 7人，所以选项B正确;对于选项 C,P(X 1 1 5)=P (X 1 0 0)+|P (1 0 0-1 5 X 1 0 0+1 5)0.5+-X 0.682 7=0.84 1 3 5,P (X 1 3 0)=P (X 1 0 0)g,
34、且至少有2 人的分数超过1 0 0 分的情况如下:恰好有2 人时概率为髭X 3 人均超过1 0 0 分时的2 2 8概率为9%则至少有2 人的分数超过1 0 0 分的概率为|+导所以选项 D正确.故选B D.1 4.某商场迎新游园摸彩球赢积分活动规则如下：已知箱子中装有1个红球,3 个黄球,每位顾客有放回地依次取出3 个球,则摸到1 个红球,2 个 黄 球 的 概 率 为,若摸到1 个红球得2 积分,则顾客获得 积 分 的 数 学 期 望 为.解析:根据题意,一次摸到红球的概率为摸到黄球的概率为:，4 4所以每位顾客有放回地依次取出3 个球，则摸到1个红球,2 个黄球的概率为P=CJ X l
35、x4 4 64设每位顾客有放回地依次取出3个球,摸到红球的个数为X,则X4设该顾客获得积分为Y,则Y=2X,所以 E(Y)=E(2X)=2E(X)=2X 3X号所以顾客获得积分的数学期望为|.答 案 噌64 215.(2021 天津南开区高三模拟)一个袋中共有1 0个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是|；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是3则白球的个数为；从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为&,则随机变量&的数学期望E()=.解析:设白球的个数为y,又从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是3则曳用三,解得y=5.L1O 9由题设知己的
36、所有可能取值是0,1,2,3,小2)=等杂3)号*则随机变量&的分布列为0123P112512512112答案：5|16.（2021 河北唐山模拟）由商务部和北京市人民政府共同主办的2020年中国国际服务贸易交易会（简称服贸会）于9月4 日开幕,主题为“全球服务,互惠共享”.某高校为了调查学生对服贸会的了解情况,决定随机抽取100名学生进行采访.根据统计结果,采访的学生中男女比例为3:2,已知抽取的男生中有10名不了解服贸会,抽取的女生中有25名了解服贸会,请解答下面所提出的相关问题.完成2 X 2 列联表,并回答“是否有9 9%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.性别了解情况合计了
37、解不了解男生女生合计100若从被采访的学生中利用分层随机抽样的方法抽取5 人,再从这5人中随机抽取3 人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为，求出&的分布列及数学期望.2附鬻喘为 n=a+b+c+d.a0.150.100.050.0250.0100.0050.001Xa2.0722.7063.8 415.0246.6357.8 7910.8 28解：2 X 2 列联表如表:性别了解情况合计22 100X(50X 15-25X 10)L ro rx=-5.556870,所以该商家应选择A型节能灯.C级应用创新练18.（2021 山西太原高三三模）2021年是中国共产党百年华
38、诞.中国站 在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月2 3日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容,其中第一项是结合巩固深化“不忘初心、牢记使命”主题教育成果,在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，教育引导党员干部学党史、悟思想、办实事、开新局.为了配合这次学党史活动,某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛,现从参加人员中随机抽取100人,并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.现 从 这100人中随机抽取2人,记其中得分不低于80分的人数为,试
39、求随机变量的分布列及数学期望；由频率分布直方图,可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布N（U,。）其 中R近似为样本平均数，。2近似为样本方差s2,经计算S2=192.44.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人,且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立,试问这500名参赛者的分数高于82.3 的人数最有可能是多少？参考数据：，192.44 公 13.9,P（n-o WXW u+。）0.682 7,P（u-2o WXW 口+2。）0.954 5,P（厂 3。WXW u+3。）仁0.997 3.解：（1）100人中得分不低于8 0 分的人数为（0.014+0.006）X 1
40、0X100=20,随机变量的可能取值为0,1,2.P(=0)=C jp_316篇oo 495,P(=1)=禺0 禺 o_32C?oo 99P(&=2)=则&的分布列为Cio _ 19C?oo 495012P316495329919495E()=0X+1X-+2X 495 99 495 495 5(2)u=35X0.04+45X0.06+55X0.11+65X0.36+75X0.23+85 X0.14+95X0.06=68.4.o=V192.4413.9,P(X82.3)=P(X R+。)1。黑2 7=0.158 65,每位参赛者分数高于82.3 的概率为0.158 65,记 500位参赛者中分
41、数高于82.3 的人数为随机变量n,则 nB(500,p),其中p=0.于86 5,所以恰好有k 个参赛者的分数高于82.3 的概率为P(n=k)=Coopk(l-p)500A k=0,1,2,500.由 P (片k)_ C轨o/(l-p)5 0 *_(5 0 1-k)p)巾 P(=k T)C 与 o 2 pk T(l-p)s L k f c(l-p)，得 k 5 0 1 p=7 9.4 8 3 6 5,所以当 1 W k W 7 9 时,P (n =k)P (n =k-1),当 8 0 W k W 5 0 0 时,P (n =k)P (n =k-l).由此可知,在这5 0 0 名参赛者中分数高于8 2.3 的人数最有可能是7 9.