《2022高考数学真题分类汇编07三角函数与解三角形.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022高考数学真题分类汇编07三角函数与解三角形.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022高考数学真题分类汇编五、三角函数与解三角形一、单选题1.（2 0 2 2全国甲（文）T 5）将函数/（x）=si n 8 +弓）（0 0）的图像向左平移四个单位 3）2长度后得到曲线。，若。关于歹轴对称，则。的 最 小 值 是（）1A.-61B.-4clD-i【答案】C【解析】TT 7T【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得+-=-+k 7 T,k e Z,即可2 3 2求出的最小值.【详解】由题意知:曲线（？为丁=5皿 啰+71+3=si n（w x+等+。），又。关于 y轴对称，则 竺+生=色+版Me Z,2 3 2解得。=+2 Z,Z e Z,又（y（）,故当我=0时
2、，0的最小值为3 3故选：C.（兀、一2.（2 0 2 2全国甲（理）T 1 1）设函数J（x）=si n a）x+在区间（0,兀）恰有三个极值点、两 3）个零点，则0的取值范围是（）5日A.3 6 JB.1 91 3 8*6 5 3D.53 61 3 1 9【答案】C【解析】TT【分析】由X的取值范围得到。T+1的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组,解得即可.【详解】解：依题意可得6 9 0,因为X(0,)，所 以 X +5|w，6 9 +可,J J 3)(加 要使函数在区间(),)恰有三个极值点、两个零点，又丁=1 1%,XG5,3万 的图象如下1 3 7所示：3.(2 0 2 2
3、全国乙(文)T 1 1)函数/(x)=co sx+(x+l)si n x+l在区间(),2兀 的最小值、最大值分别为()7 1 7 1 3兀兀 兀兀 一A.一一B.-C.一一,+2 D.2 2 2 2 2 2用 一+22 2【答案】D【解析】分析利用导数求得/(x)的单调区间，从而判断出了(力 在区间 0,2兀 上的最小值和最大值.【详解】/r(x)=si n x+si n x+(x+l)co sx=(x+l)co sx,所以/(X)在 区 间 里)和 党,2兀)上r(x)0,即“X)单调递增；在区间（展 万）上/（x）0,即/（%）单调递减，又“。）可=2,佃1+2”（孙一传+1卜1 =有所
4、以/（x）在区间 0,2兀 上的最小值为一言，最大值为+2.故选：DJT 14.（2 0 2 2新高考I卷T 6）记函数/（x）=si n cox+-+仇口0）的最小正周期为7.若I 4；4丁乃，且y=/（x）的图象关于 点 愕,2中心对称，则/3=（）3 2 7 2 y3 5A.1 B.-C.-D.32 2【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.2 4 24 24【详解】由函数的最小正周期7满足 T n,得一 乃，解得2。3,3 3 a,2对称，所 以 三 啰+二=攵4,左2,且b =2,2 ）2 4所以 0 =+2 4,k e Z ,所
5、以 3 =9,/(x)=si n|-x+2 ,6 3 2 1(2 4)所以/1 =si n j +?+2 =l.故选：A5.（2 0 2 2北京卷T 5）已知函数/（x）=c s。s i Y x,则（）（兀 71、（冗 兀、A.X）在 一 式，一二上单调递减 B./（%）在 一:，上单调递增I 2 6）I 4 1 2；C.f a）在（0,制上单调递减D.A x）在 71历 7 7 JI上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出/（X）=co s2 x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为/（x）=co s2 x-si n?x =co s2 x.对于A选项，当 x-时，
6、万2 x ，则/（x）在1 ,上单调递增，2 6 3 12 6）A错；对 于B选项，当 x 时，-2 x,则/（x）在 ,上不单调，B错；4 1 2 2 6 v 7 I 4 1 2 J对于C选项，当0 x三时，0 2 x ,则“X）在 上 单 调 递 减，C对；对 于D选项，当一 x 时，一 2 x 4 1 2 J故选：C.6.（2 0 2 2北京卷 T 1 0）在AABC中，A C =3,8 C =4,N C =9 0.为AABC所在平面内的动点，且PC=I,则 可 丽 的取值范围是（）A.-5,3 B.-3,5 C.-6,4 D.6【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设尸（
7、co s0,si n。），表示出 丽，PB,根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C（0,0）,A（3,0）,3（0,4）,因为PC=1,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设尸(co ssin。),660,2,所以 PA=(3-cos。,一sin。),PB=(-c o s 4 s i n,所以 PAPB=(-cos6)x(3-cos6)+(4-sin6)x(-sin 6)=cos2。-3cos9-4sine+sin2 0=1-3cos 夕 一 4sin6=1 5sin(6+*),其中 sin*=g,cos(i9 =,因为一
8、lsin(e+0)l,所以 T =2sin3x的图象，只要把函数y=2sin 3尤图v 5)象上所有的点()T T 7 TA.向左平移1个单位长度 B.向右平移已个单位长度T T T TC向左平移上个单位长度 D.向右平移2个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出./兀、兀/兀【详解】因为=2sin3x=2sin 3 x-+-,所以把函数y=2sin 3 x+-图象上7T的所有点向右平移百个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象.故选：D.百 _1#+百二、填空题1.(2022全国甲(文)T16).已知AABC中，点。在边BC上，ArNADB=120。,AD=
9、2,CD=2BD.当，取得最小值时，BD=AB-【答案】【解析】【分析】解.【详解】则在 ZXABD 中，AB2 B lf+AD2-2BD-ADcosZADB=毋 +4+2加，A r2设8=28。=2 利 用 余 弦 定 理 表 示 出 行 后 结合基本不等式即可得设 8=25。=210,在ACO 中，AC2CD2+A lf-2CD-ADcosZADC4nr+4-4m，AC2 _ 4/+4 4，_ 4（加，+4+2加）12（l+m）/12=4-3-i 7 m+1所 以 益7 加2+4+2/一m2+4+2m 4-122.（m+1）-V m+3当且仅当加+1=即相=6 1时，等号成立,加+1所 以
10、 当 吐 取 最 小 值 时，机=百-1.AB故答案为：V3-1.A-3 1#1+人 2设8=26。=2，利用余弦定理表示出正后 结合基本不等式即可得设 CO=28O=2 m 0,3m+l)+2.(2022全国甲(理)T 16)已知AABC中，点。在边8 c上，A TZADB=20,AD=2,CD=2 B D.当空取得最小值时，BD=AB【答案】【解析】【分析】解.【详解】则在ABO 中，A B B lf+AD2-2BD-AD cos ZADB=M +4+2加，在ACO中，AC2CD2+A lf-2C D-ADcosZADC=4m2+4-4m，AC2 _ 4，+4-4加 _ 4 +4 +2,)
11、12(l+m)_ _ 12所以 AB2 m2+4+2m m2+4+2m 4 12=4-2 7 32.+V m+3当且仅当机+1=即加=6 1时，等号成立，m+1AC1所以当取最小值时，m=6 l.ABm+1故答案为：V3-1.A3 .（2 0 2 2全国乙（理）T 1 5）记函数/（x）=co s（5 +0）（0,0 0 兀）的最小正周期为T，若于=B，=/为 *）的零点，则0的最小值为.【答案】3【解析】【分析】首先表示出T，根据/（T）=也 求 出 夕，再根据x =仁为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为x）=c o s 3 x+9）,（0,0夕兀）所以最小正周期T =,
12、因为/（T）=co s（w +0 =co s（2 7 i +o）=co s=,兀又0。兀，所以8 =6即/(x)=co s COX+又彳=三为/（x）的零点，所以+B =5 +解得0 =3+9 k左e Z,9 9 6 2因为（）,所以当左=0时吗加=3；故答案为：34 .（2 0 2 2新高考n卷T 6）角 a,。满足5苗（。+）+:0 5（+/?）=2夜:0 5（。+（吊/?,贝 I J （）A.t a n(a +0=1B.t a n(a+/?)=-1C.t a n(a-4)=1D.t a n(a _)=-l【答案】D【解析】【分析】由两角和差正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得
13、解.【详解】由已知得：s i n a c os (3+c os a s i n 4+c os a c os 尸 一 s i n a s i n/7 =2 (c os c r-s i n a)s i n,B|J：s i n a c os 4一c os a s i n 万+c os a c os/?+s i n a s i n /?=0,即：s i n(-)+c os(a-/7)=0,所以 t a n(_)=-1,故选：I)(2兀、5.(2 0 2 2 新高考n卷T 9)函数/(X)=s i n(2 x+9)(0 v o 7 T)的图象以 一,0中心对称,I 3 7则()A.3?=/。)在(。,1
14、)单调递减(J I 1 1兀、B.y =/(外 在 一二,K有2个极值点I 1 2 1 2 J7兀C.直线x =是一条对称轴6D.直线y =3 -x是一条切线2【答案】A D【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.【详解】由题意得：/I y l=s i n l y +1=0,所以？-+0 =E,k e Z,4兀即夕=Fkn、k w Z ,2兀又0 0 兀，2兀 (2兀、所以左二2时，(p=,故/(x)=s i n 2元+-.33v 3 J,(c 5兀对A,当0,一 时,I 1 2 j由正弦函数y =s i n w图象知y =/(x)在0,j上是单调递减;(T T 1 1 J
15、 T I 2兀 (7 1 5 7 r 1对B,当 一 行,而 时，2A-+e ,由正弦函数y =s i n图象知y =/(x)只有1个极值点，由2 x +与=/，解得x =工，即 =碧 为函数的唯一极值点;7兀对C,当尤=时,62 7 12 x +=3兀3/(7兀 )=0,直线x =7兀不是对称轴:6 6对 D,由 V =2 c os 2 x H-=-1 得：c os 2 x H-,2JT 9 2 7 r 4 7 r解得2 x+=+2 或2无+=一 +2比,2 2,3 3 3 3兀从而得：x=kii 或 x=+lat,kZ,3所以函数y=/(x)在点(0,亭)处的切线斜率为4=切40=25=一
16、1,切线方程为：y _曰=(%0)即=等 一%.故选：A D.7 16.(2 0 2 2北京卷T 1 3)若函数/(*)=A s m x G c o s x的一个零点为3，则A=；膈卜.【答案】.1 (2).-V 2【解析】兀7 T【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为/(幻=2 s i n(x -),代入自变量尤=在,计算即可.【详解】/(1)=曰A乎=0，=1f(x)=sin x-6 cos x=2 sin(x-/(马=2疝(三 二)=2族=-夜12 12 3 4故答案为：1,-7 27.(2022浙江卷T i l)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种
17、方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S=-,其中“，6,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边a=0,O =6,C=2,则该三角形的面积S=.【答案】叵.4【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出.【详解】因为S=-c2c r-C+trh，所以V L I 2 4 x 2-m2故答案为:4S=8.（2022浙江卷 T13）若3sina-sin，=,则sin a=COS2y5=.【答案】.到 叵 .i10 5【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可 求 出 接 下 来 再 求月.【
18、详解】a+=T，sin=cos(z,即3sina cosa=丽，艮阿噜sina一辱4麻,令sg噜,一噜,则 何sin（a。）=河，.&一。=5 +2，k e Z,即a=8+1 +2Z，sin a=sin 6+2左 乃I 2101 9 4则 cos2/?=2 cos2 0-1=2sirr cr-1=.故答案为：之 叵；10 5三、解答题1.(2022全国乙(文)T17)记AABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin B sin(C A).(1)若 A=2 6,求 C；(2)证明：2/=从+，5兀【答案】(1)O(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据
19、题意可得，sinC=sin(C-A),再结合三角形内角和定理即可解出；(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得sin C(sin A cos B-cos A sin B)=sin B(sin C cos A-cos Csin A),再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出.【小 问1详解】由 A=2B，sinCsin(A-B)=sin8sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),而 0 B 0,而。兀,OvCA兀，显然C w C 4,所以，C+C A =兀，而 A =2 3,A +B +C =7 t,5 7 1所以。=3.8【小问2详解】由 s in C s in (A -B)
20、=s in B s in (C -A)可得，s in C(s in A c o s B -c o s A s in B)=s in B(s in C c o s A -c o s C s in A),再由正弦定理可得,acc o sB-b cc o s A =hcc o s A-a h c o s C 然后根据余弦定理可知，(a2+c2-b2)-(b2+c2-a2)=(b2+c2-a2)-a2+b2-c2),化简得：2 a 2=廿+,2,故原等式成立.2.(2 0 2 2全国乙(理)T 1 7)记AABC的内角A,8,c的 对 边 分 别 为 仇C,已知s in C s in(A-B)=s i
21、n B s in(C-A).(1)证明：2 a 2 =Z 2+c2s25(2)若a =5,c o s A =，求AABC的周长.31【答案】(1)见解析(2)1 4【解析】【分析】(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；(2)根 据(1)的结论结合余弦定理求出c,从而可求得b +c,即可得解.【小 问1详解】证明：因为s in C s in(A-B)=s in 8 s in(C A),所以 s in C s in A c o s B-s in C s in B c o s A =s in 8 s in C c o s A -s in 5 s in A c
22、 o s C ,所以a c T+d-2bc-=-ab-2ac2bclab即a2+c2-b22/j 2 2 2 Q_+/?_ _ 0 2飞+c -a )=-所以2/=加+H；【小问2详解】25解：因为 a=5,cos A=，31由 得 从+C2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2-2/?ccos A，则 50-竺。c=25,3131所以。c=，2故（+。）2=6+。2+2匕。=50+31=81,所以b+c=9,所以AA B C的周长为a+/?+c=14.3.（2022新高考I卷T18）记AA B C的内角4 B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A _ sin 23l+sin A 1+co
23、s 2327r（1）若C=，求B；32 2（2）求竺:二的最小值.c71【答案】（1）-；6 4V2-5.【解析】cow A sin 2 R【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将一 =化成1 +smA l+cos2Bcos（A+B）=sin B,再结合0 8 ,即可求出；（2）由（1）知，C =-+B,A=P-2 B,再利用正弦定理以及二倍角公式将心*二化2 2 c22成4 c o s 2 8 +3 5,然后利用基本不等式即可解出.c o s2S【小 问1详解】因为c o s A1 +s in As in 2 5 2 s in BcosB1 +c o s2B 2 c o s2 B
24、一即c o s 8s in B=c o s A c o s 8 -s in A s in B=c o s (A +8)=-c o s C =2而00,所以5。兀,08(),2ac又s in B =，,31 =372c o s 3 4则 S A/fAio cr =2 ac sin B-g；【小问2详解】由正弦定理得:b a c b?c i-=-=-,贝 U -=-s in B s in A s in C s in-B s in Acs in C3 V 2ac _ 4 _ 9s in A s in C 及 4r I b则-s in Bb=-sin B=322 235.(2 0 2 2北京卷 T 1
25、 6)在 AA B C 中，s in 2 C =V 3 s in C（1）求 N C；（2）若b=6,且AA B C 的面积为6百，求AA B C 的周长.T T【答案】(1)76(2)6+6百【解析】【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得c o s C的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；(2)利用三角形的面积公式可求得。的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得AABC的周长.【小 问1详解】解:因 为C e(O,)，则s in C0,由已知可得 G s i n C =2 s in C c o s C，可得c o s C =正，因此，C =j26【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得凡
26、居=3。匕5足。=。=6百，解得Q=4#.由 余 弦 定 理 可 得=/+0 2 2 0 5 0 =48 +36 2 x 4 6x 6x =12，:.c=2 8所以，48。的周长为+人+。=66+6 .6.(20 22浙江卷T 1 8)在a A B C中，角4B,C所对的边分别为m b,c.已知34Q =V c,c o sC=g.(1)求si n A的值；(2)若b=l l,求ABC的面积.【答案】(1):5(2)22.【解析】【分析】(1)先由平方关系求出si n C,再根据正弦定理即可解出；2 2 2(2)根据余弦定理的推论c o sC=-c以及4a =氐可解出明即可由三角形面2ab积公式浴sinC求出面积.2【小问1详解】3 4 r-由于cosC=0 C 7i,则sinC=.因为4a=&c，5 5由正弦定理知4sin A=逐sin C，则sin A=sin C=好.4 5【小问2详解】2 16 2 11 a因为4a=&，由余弦定理，得 r_ a1+h2-c1 _a+X2X a _H-y _3,cos c-=-=-=-1 1 4所以 ABC 的面积 S=absinC=x5xllx =22.2 2 52ab 22a 2a 54即Q2+6 55=0,解得。=5,而sinC=1，b=U,