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1、深圳市第二高级中学2022学年高一年级入学考试一.选 择 题（本大题共10个小题，每题4分，共40分；在每个小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的）1.对于任何有理数。，下列各式中一定为负数的是（）A.一（3 +a）B.-a C.-|a+1|D.-|-1【答案】D【解析】【分析】A B C选项取特殊值判断，D由绝对值的意义判断.【详解】解：当。=3时，一（-3 +。）=0,故A错误；当。=一3时，一。=3 0,故B错误；当a=l时，一|。+1|=0,故C错误；易得时2 0,-|0,则 同 一1 0）的图象过点（一 1,0）,则不等式Z（x-l）+匕 0的 解 是（）A.x -2 B.x-l
2、C.x 0 D.x 1【答案】C【解析】【分析】由一次函数过点（一 1,（）可得人=左，再根据一元一次不等式的解法即可得解.【详解】解：因为一次函数丁 =+。（4。）的图象过点（1,0）,所以 k+b=0,即 =Z ,则不等式%（%1）+b 0,即为左（x 1）+Z 0,又女0,所以（x 1）+1 0,所以1 0.故选：C.4 .如图，函数y =o?2 x +i和y =。（。是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是【解析】【分析】根据参数对于二次函数与一次函数图象的影响，逐个选项检验，可得答案.【详解】对于A,由抛物线图象中开口向上可知a 0,由解析式可知，对称轴 =-二=0,2a a直线。
3、的图象应该是斜向上，且与y 轴相交于负半轴，故 A 错误；-2 1对 于 B,由抛物线图象中开口向上可知。0,由解析式可知，对称轴x=-0,2a a直线y=a 的图象应该是斜向上，且与y 轴相交于负半轴，故 B 正确；对于C,由抛物线图象中开口向上可知a 0,由解析式可知，对称轴=一 二=，0,2a a故 C 错误；-2 I对于D,由抛物线图象中开口向上可知。0,由解析式可知，对称轴X=-=-0,2a a故 D 错误；故选：B.5.实数。在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数b满足-a a，则 b 的值可以是（）a1 I I 1.1 I .-3-2-1 0 1 2 3A.2 B.-1 C.-2
4、 D,-3【答案】B【解析】【分析】根据实数a 在数轴上的对应点的位置可确定一。的位置，结合选项，可得答案.【详解】由实数“在数轴上的对应点的位置可知1。2,即“位 于 1和 2 之间，故-a位于 2和 一 1之间,故实数人满足-a Z?=A 8,连接 A。，得/。=22.5。,设 AC=CB=a,则由勾股定理可知：ABy/AC2+CB2 yjcr+a2=V 2 a-因此缶，因此在直角三角形A C O 中，tan)=tan22.5=/2-1,CD a+la故选：B7.若加 b,且。2一4 +1=0,8 2 _ 4 人+1=0,则:；_的 值 为（）1 I I I I*”【答案】B【解析】【分析
5、】由题意，可 得 为 方 程 f 4 x+l =0的两个不相等的根，结合韦达定理和降基代还，可得答案.【详解】由 一 4。+1=0，/_ 4。+1=0，可 得 匕为 方 程/一 4+1 =0的两个不相等的根，则。+力=4,ah=,/+=4 a，b2+1=4 b1 1 1 1 a+h 4 ,1 +a2 l +b2 4 a 4 b 4 ab 4 x 1故选：B8.如图，点A,8 的坐标分别为A（2,0）,8（0,2）,点 C 为坐标平面内一点，B C=1,点 M为线段A C 的中点，连接O M,则 O M的最大值为（）A.y/2+1 B.V2+-C.2 V 2 +1 D.2 /2 【答案】B【解析
6、】【分析】连接A B，取 A B 的中点N,连接O N,M N ,则O M W O N +M N ,分别求出。N,MN,即可得解.【详解】解：连接A B，取 A 3的中点N,连接O N,M N ,则 O M W O N +M N ,当O,M,N三点共线时取等号，因为 A（2,0）,3（0,2）,所以AAOB为等腰直角三角形，所以 A8=+4=20，因为N为A 3的中点，所以0N=，AB=J 5,2因为B C=1,点M为线段4 c的中点，所以MN=28C=1,2 2所以 OM WON+MN=y/+L,2所以0M的最大值为J 5 +.29.如图，抛物线丁 =0?+必+。的对称轴是直线 =1,下列结
7、论:abc 0；b2-4ac 0；8a+c 0 ；5a+b+2cQ,正确 的 有（）【答案】BC.2个D.1个【解析】【分析】根据抛物线开口方向、对称轴以及与x轴的交点情况求解.【详解】解：因为抛物线开口向下,所以“0,因为抛物线与y轴正半轴相交,所以 c 0,则 abc 0因为对称轴为x =-=1,则Z?=2 a,2 a所以 y =ax2-2 ax+c，当x =-2时，y =8a+c,因为x =2时，J 0,所以 8a+c 0,当x =l l时，y=a-b+c 0,两式相加得5 a+/?+2 c 0,故选：B1 0.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCQ的顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上
8、，点。（一2,3）,AD =5,若反比例函数y =：（左 0,x 0）的图象经过点8,则无的值为（）A.B.8 C.1 0 D.3 3【答案】D【解析】【分析】设与y轴交于点E，作轴，垂足点，作轴，垂足点N,利用勾股定理求出A点的坐标，再根据OED M,求得O E,A E,再利用AOE ACDE,求得CD,A B,再根据A M D fB N A,求得AN,BN,即可得8点的坐标，从而可得出答案.【详解】解：设A(a,0),a 0,因为。(2,3),AD=5,所以 AD=J(a+2)2+(O 3)2=5,解得a=2,即 A(2,0),设AO与y轴交于点E，作。M_Lx轴，垂足点M,作&V_Lx轴
9、，垂足点N,MM(-2,0),AM=4,因为所 以 匹=丝=1DM AE 23 1 5所以E为AO的中点，所以OE=2,AE=DE=-A D =-,2 2 2在 ZViOE 和CDE 中，因 ZAOE=ZCDE=90,ZAEO=ZCED,所以 NDC=NOA,所以 AAOEACDE,cri,CD DE所以=，OA OE5 o2x 2 10所以CD=七 一=可，2所以A5=W,3在 AMD和ABNA中因为 ZAMD=ZANB=90,ZDAM+ZBAN=90,所以 ZDAM=ZABN,ZADM=ZBAN,所以 AAMD-ABNA,c r i,AM DM AD 3所以=一，BN AN AB 2Q所以
10、 BN=-,A N =2,3所以点B的坐标为（4,1）,k又因为反比例函数丁 =嚏（左0,0）的图象经过点8,k Q D所以一=一，所以攵=.4 3 3故选：D.二.填空题（本大题共5个小题，每个小题4分，共20分）x+8 3,那么团的取值范围是x m【答案】m3【详解】由x+8 3,所以由 的解集为x 3可知加4 3,x m故答案为：m 2+O A2=2 A 2=8 =A C2,故AC=2 0，所以AB=2 0，故DB=2叵-2,则在RtABCD中，tanZfiCD=2-2=V2-l.CD 2故答案为：A/2 1 -13.已知x、y为正偶数，且 犬,+孙2=9 6,求f +2=【答案】40【
11、解析】【分析】因式分解可得初(x+y)=9 6,由于x、y为正偶数，分 个(x+y)=4x24,初(x+y)=6 x l6,孙(x+y)=8xl2三种情况讨论，从而可求得x,y,即可得出答案.【详解】解：因为/丫+到2=96,所以孙(x+y)=96,因为x、y为正偶数，所 以 砂24,x+y 24,当 初(x+y)=4x24时，无解；当 冲(x+y)=6xl6时，无解；当 孙(x+y)=8*12 时，x=6y=2xy=12。或 x+y=8孙=8x+y=12,则xy=12.。，解得x+y=8x=2,或 y=6当当孙=8x+y=12无解,x=2综上1 Ny=6x=6y=2或 所以 f +y =4+
12、36=40.故答案为：40.k14.如图所示，矩形A8CO的顶点。在反比例函数y=（x=AB=。，k=a b,根据ABCE的面积可求得B C xO E,再根据A B/O E,可 得 笑=缘，从而可求得答案.OC OE【详解】解：设。（力），则OC=a.CD=A3=,L因为矩形ABC。的顶点。在反比例函数y=7（XV 0）的图象上,所以 =则 攵=,a因为ABCE的面积是6,所以一x8CxOE=6,B P BCxOE=12,2因为ABOE,AD所以二；=k，即 3cOE=AB-OC,OC OE所以 12=bx(a),即。匕=一12,所以=1 2.故答案为：-1 2.1 5 .如图所示，ABCO是
13、一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则 四 边 形 的 面 积 为D C【答案】2 4【解析】【分析】根据正方形的性质，结合图形面积之间的关系进行求解即可.【详解】由正方形性质可知：S M=SMN=hA B C D,所以 S B M 0 Y =S,U IC。(S/ZW+S*C D M S S S=S-S，必 -S 8M+P Q H O A P H aG V =51 15 12=24,故答案为：2 4【点睛】关键点睛：利用图形面积之间和差关系是解题的关键.三.解 答 题(16题6分，17题6分，1821题每题12分)1 6.(1)计算：(-2)2+(-n)+1 1 -2s i n 60
14、0|；(2)化简：且二1+(。_2二1).a a【答案】(1)4 +6 ；(2).【解析】【分析】(1)根据哥的定义、零次哥的性质、特殊角的正弦值、绝对值的性质进行求解即可；(2)运用因式分解法和分式的运算法则进行求解即可.【详解】(1)(-2)2+(V3 -7 T)0+1 1 -2s i n 60|=4 +1+l-2x 2=5+|l-闽=5+7 3-1=4 +6;2Q 1 (Q+1)(Q 1)(a 1)2(Q+1)(Q-1)a Q+(2)C i)=：=,z-二a a a a a(Q-I)Q-I1 7.观察以下等式：121第1个等式：X(1 +-)=2-,3113第2个等式：-x(1+-)=2
15、422第3个等式：-x(1 +-)=2-15337第4个等式：一x6(1+-)4=249第5个等式：x(1+-)=2-755按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第个等式：(用含的等式表示)，并证明._.z x 1 1 1 2、_ 1【答案】(1)X(I d )=2-;8 6 6(2)!-(1 +-)=2-(正整数)，证明过程见解析.n+2 n n【解析】【分析】(1)(2)根据等式中每个分数中分子和分母的特征进行求解即可.【小 问1详解】根据等式中每个分数中分子和分母的特征可知：第6个等式为：x (1H)2；8 6 6【小问2详解】根据等式中每个分数中分子和分
16、母的特征可知：第个等式：一 匚-(1 +)=2-(为正整数)，证明过程如下：+2 n n2n-l+2_2-1 _2 1 +2 n +2 n n n1 8.接下列关于x的不等式：(1)(1 4-X)(l-|x|)0；(2)CLX +(2 a l)x 2Vo【答案】(f(2)见解析【解析】【分析】(1)分x 0和尤0，a=-,-2,1 2五种情况讨论，结合一元二次不等式的2 a a解法即可得解.【小 问1详解】解：当工0时，卜|=兀，原不等式变形为(l +x)(l)0,解得0 x l,故不等式的解集为 0,1)，当x 0,解得X H 1,故不等式的解集为(f,-1)U(1,O),综上所述，不等式的
17、解集为(F,-1)U(T,1)；【小问2详解】解：当。=0时，则一%-2-2,故不等式的解集为(-2,+8);当awO时，不等式因式分解可得(公一l)(x+2)当。0时，则、x一一(x+2)0,解得一2 x ，a)a当=g 时，(-5工一11(工 +2)，一2,即。一：时，(or-l)(x+2)0,解得x一或x v-2,a故不等式的解集为(8,2),+8)当!一2,即一g v q 0时，(依一1)(%+2)0,解得解得尢 2或 工 0时，不等式的解集为(一2,：)；当=一；时，不等式的解集为 中2；当 一;a =0 B,所以 N O B D =N O D B ,又因为AB=A C,所以NABC
18、=N A C 5,因此NO)3=ZFCZ),因为。FJ_AC,所以 N_FCD+NEDC=90，即 NOD8+NEDC=90，于是有NEDO=90，即 8,D E,因此OF是。0的切线；【小问2详解】连接AD.因为AB是。的直径，所以A C 3 C,又因为AB=A C,所以3O=CD,设A=a,由割线定理可知：C E C A =C D C B,即3a/4二？。？，于是有。=而，因为A D L 3 C,所以三角形AOC是直角三角形，由勾股定理可知：A D =7 A C2-C D2=J 9 a2-6/=出a，20.如图，抛物线y =o?+6一 1 2。(0)与X轴交于A、B两 点(A在B的左侧)，
19、与y轴交于点C,点M是第二象限内抛物线上一点，交y轴于N.(1)求点A、B的坐标；27(2)若 B N=M N,且 SAMBC=一,求“的值;4MN(3)若N B M C=2N A B M,求的值.NB【答案】A(-4,0),3(3,0)(2)-4-6【解析】【分析】(1)令y =0,得口 +以 一 2 a =0,通过解一元二次方程进行求解;(2)先利用8 N=MN得到点M的横坐标，再利用分割法求面积，得到关于。的一元二次方程即可求解；MN EN ME(3)过点M作也利用等腰三角形、相似三角形得到=，进而求出点M的坐NB ON OB标，再利用点“在抛物线上进行求解.【小 问1详解】令 y=,W
20、ax2+ax 12a=0 即/+一12=0，解得x=-4或x=3,因为A在B的左侧，所以4-4,0)、5(3,0)；【小问2详解】若 B N =M N,则N为 的 中 点，所以点M的横坐标为4/=-3,纵坐标为y”=9a-3a-12a=-6a,所以M(3,6a),N(0,3a),又C(0,-12a),且a0),NO=m,则NBMN ENNB ON OBME,-=k,所以M E=3Z,EN=CE=km,所以 EO km+m,C O-C E+E N +O N-2km+m =2 a,则m=2k+2k+即M(-3瓦一也出土2),2k+1所以9公a-3依-12a=-必 如 土 D即3/_k _ 4=_2
21、k+越3即 弘 一4:一 2k+2k+1即6公 5左=0,解得人=二6RnMN 5即-=.NB 621.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形,它们的面积S”52,S3之间的关系问题 进行了以下探究:(1)(类比探究)如图2,在 RtABC中，8 c 为斜边，分别以AB,AC,BC为斜边向外侧作RsAB,RtAACE,RtABCF,若N l=/2=/3,则面积S,S2,S3之间的关系式为.(2)(推广验证)如图3,在心ZVIBC中，8 c 为斜边，分别以AB,AC,BC为边向外侧作任意ABD,ACE,BCF,满足N l=/2=/3,/=/=N
22、F,则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由;(3)(拓展应用)如图 4,在五边形 4BC3E 中，NA=NE=NC=I05。，ZABC=9Q,A B=2,DE=2,点 P 在 AE上，ZABP=30,PE=及,求五边形A8CDE的面积.【答案】st+s2=s3 i（2）成立，证明过程见解析；（3）6g+7.【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定定理和性质进行求解即可；（2）利用相似三角形的判定定理和性质进行求解即可；（3）根据锐角三角函数定义，结合相似三角形的判定定理、相似三角形的性质、以 及（2）的结论进行求解即可.【小 问1详解】因为R t 8。
23、，R t AAC E,R S 8 C尸是分别以AB,AC,8 c为斜边的直角三角形，所以Z D=N E =N F =90。,而/1 =/2=N3,所以 AABDAACES ABCF,于是有&:S 2 :S 3=A）:AC?：B C2,因此有S =4S 3,s2=s3,于是有：”2 二 府+产邑,BC BC BC 因为A8 C是以B C为斜边的直角三角形，所以A f+A C?=8。2,因此 S 1 +S 2 =$3；【小问2详解】（1）中所得关系式仍然成立.证明：.N1 =N2 =N3,Z D=Z E=Z F，所以 AABDAACES ABCF,于是有 d :S 2 ：/=4加：AC?：B C2
24、中心右。一 c,A C2 c*c.c A B2 A C2 c因此有S 3 c 2 S 3，S?-p c?1，于足有：H+S 2 一 /，因为 ABC是以BC为斜边的直角三角形，所以Af+AC?=8。2,因此 S1+S2=$3 ；所 以（1）中所得关系式仍然成立；【小问3详解】过点A作A J_ 6P于点H,连接PO,：ZABH=30,AB=2y/3，AH=y/3,BH=lAB2-A H2=J1 2-3=3,/BAH=60,ZBAP=105。，4 HAP=45,PH=AH=百，AP=yPH2+AH2=y/3+3=46,BP=BH+PH=3+y/3,._ BP AH _ 3百+3 BP 2 2-,/
25、PE=V2，0=2，.PE 6 ED 2 G.=,-=-，AP 近 3 AB 273 3.PE ED*=,AP AB又./=NBAP=105,:.AABPAEDP,：.NEPD=ZAPB=4 5 ,=空=立，BP AP 3:BPD =90,尸。=1 +6,.G _ c,百、2_3石+3 1 _1+6一、J E D AABP _ 2 3 _ _ 2连接8 0,则久8刖=理（2 =2百+3,.tan NPBD=.BP 3：.ZPBD=30.Z/WC=90,Z4BP=30,NPBD=30,ZDBC=30,vZC=105,AABPs 丛EDPs 4CBD，SB C D =SgBP+S JED=2 n+2，SABCDE=SjBP+SPED+SQBCD+B P D =d行 +7-【点睛】关键点睛：利用相似三角形的判定定理和性质，结合锐角三角形的定义是解题的关键.