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1、四川省成都七中2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线由x+y-l=0 的倾斜角是（）A.C.3D.冗5兀6K 解 析 D 由直线=0,得 y=-G x+l,可得直线的斜率为一百，设倾斜角为。（0,。），贝 Ijtana=-x/,a=.3K答 案 2 C2.某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）正 视 图 侧 视 图俯视图A.球 B.圆锥 C.圆台 D.圆柱K解 析 U 由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆柱.K答 案 D3.己知T,x,16成等比数列，则x
2、 的值为（）A.8 B.-8 C.8 D.4工解析2 x,-解成等比数列，彳 2=（-4）x（-16）,解得x=8.K答 案1 Cx+y 24.若x,y满足约束条件,x-y,2,则z=y-2 x的最小值是()x.OA.-2 B.-4 C.2 D.0K解 析 由约束条件作出可行域如图，由图可知，A(2,0),由 z=y-2 x,得y=2x+z,由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-4.K答 案U B5.己知直线4：(a-l)x+y-l=0和直线4：(a-l)x-y +l=0互相垂直，则实数的值为()A.0 B.-2 C.0 或一2 D.0 或 2K解 析 .直
3、线4：(a l)x+y _ l=0和直线4：(4_1)尤_)+1=0互相垂直,(a-l)2+lx(-l)=0,即 一2a=0,解得 a=0 或 2.K答 案U DT T 5 46.已知火(0,万)，cos(a+/?)=K，si n,则cosa=()A63 56 56-63A.-B.C.一 D.一65 65 65 65冗K解 析因为a/s(O q),所以a+c(O,乃)，5 12因为cos(a+/7)=三,所 以sin(a+0 =百，4 3因为sin/?=g,所以cos/?：,，5 3|2 4 63故 cos a=cos(a+/?)1=cos(a+)cos(J+sin(a+/?)sin p=x-
4、+x=.13 5 13 5 65K答 案2 D7.在 AABC中，BC=6,AABC的面积为1 5,则 A从的取值不可能是（）A.15 B.17 C.19 D.21K解 析 员如图，在AABC中，BC=6,A4BC的面积为1 5,设 A 到 BC的距离为力，则 13cH 2 =15，即/=5.点A 在 与 平 行，且距离8 C 为 5 的直线上，ABAC=(Ad+OB)(Ad+0 2 1 +”2 0 2 2)=6 7 4 X =1 0 1 1 .K 答 案 H B9 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭43a-aHG,
5、其中上底面与下底面的面积之比为 1:4,方亭的高。=F,BF =EF,2方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭A.2 0 +1 2 6B.2 0 +6 石)C.5+3 石D.5 +6 6K 解 析 D如图，由题意得“五/二 E 尸，ABCD=,则方亭的体积为 V =,X 所 X(EF2+4EF2+YJEF2X4EF2)=,3 3解得瓦 =2,则&咏=4,S.C L 1 6,作 S W J L A B 于 M,BF =EF =46,AM=1,2 2贝|J E M=/T =石，S a =g x(2 +4)x 石=3 6，则该方亭的表面积为：SEF H0+SABCD+4SABFE=2 0 +1
6、2 5.K 答 案 U A1 0 .在直角梯形A B C D 中，已知A B/C Z）,A D =C D =-A B =.点 P 是梯形内一点（含边2._ _ 3界），且满足 尸|丽=4 而+而，1 领儿+2,/?,则 P点可能出现的区域的面积是（）A.B3D.-2C.-D.12（解 析 力 以 A 为原点，AB,A。所在直线为x,y 轴建立如图所示得平面直角坐标系,则 4(0,0),5(2,0),0(0,1),设尸(x,y),则（%,y）=2（2,0）+（0,1）=（24,）,则 1=2 4,y=,又1 效 R+：，则掇 +y x Y 3在坐标系中回出+y=l 和+y=5,又点P 是梯形内一
7、点（含边界），则。点可能出现得区域是如图所示的阴影部分，故P 点可能出现的区域的面积是g x lx l=g.R答 案 W C11.一个长方体的盒子内装有部分液体（液体未装满盒子），以不同的方向角度倾斜时液体表面会呈现出不同的变化，则下列说法中错误的个数是（）当液面是三角形时，其形状可能是钝角三角形在一定条件下，液面的形状可能是正五边形当液面形状是三角形时，液体体积与长方体体积之比的范围是（0,上 U ，1）6 6当液面形状是六边形时，液体体积与长方体体积之比的范围是（,A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个K解 析 H 对于，当液面是三角形时，则液体所在平面必和长方体共顶点的三个面相交
8、,和另外三个平面不相交设相交形成的三角形为如图所示ABC,p.B则B 4,P B,P C两两垂直，设 抬=机，P B=n,P C=p,2则有 4 8 2=汴+/,BC2=n2+p2,AC2=m2+p2,余定理得 c o s N 8 A C=.0,A B-A C则N B A C为锐角，同理可得N 4 B C,N A C B为锐角，则当液面是三角形时，该三角形必是锐角三角形，错误；对于，当液面是五边形时，液面只与长方体的五个面只有交线，而一个平面与长方体的五个平面相交，必有两组相对面，又长方体的每一组相对面平行，由两个平面平行的性质知,截面五边形必有两组平行的边，因正五边形的任意两边都不平行，则一
9、平面截长方体所得截面不可能是正五边形，即液面的形状不可能是正五边形，错误；对于，当液面形状是三角形时，液面只与长方体的三个面相交，最大液面是长方体共顶点的三个面的面对角线围成的三角形，如图中A B C,液面三角形顶点尸，D,E在棱 心，P B,P C上任意移动（除P点外），长方体体积丫=布P B,P C,Vp-EF D=.PD PE PFWL,P AP B-P C=.V,则当三棱锥 P -DEF 盛满液体时6 6 6液体体积与长方体体积之比的范围是（0,13,当长方体去掉三棱锥P-D E F余下部分盛6满液体时，液 体 体 积 与 长 方 体 体 积 之 比 的 范 围 是1）,所以液体体积与
10、长方体体积之比6的范围是（0,J ,1）,正确；6 6对于，作长方体共顶点的三个面的面对角线围成的三角形，如图中 P O R和 GM M易得平面P O R/G M N.在长方体棱PM上任取一点A (P M 除外)，过点A作出与平面P O R 平行的平面截长方体可得六边形A B C D E F长方体体积V=P M-P N*P P,三棱锥P -P Q R体 积VP-P Q R P P P0PR=*令三棱锥P-P O R 部分有液体，当液面形状是六边形时，液面六边形必在平面P O K 和平面 G MN之间，即液面漫过 P Q R 所在平面但不能到 G M N 所在平面，则液体体积丫满足6 6当液面六
11、边形在两个平行平面P Q R与平面G MN之间任意变换，不管与平面P Q R 平行还是相交均满足工丫口匕6 6即液体体积与长方体体积之比的范围是(，5),错误.6 6则错误个数有3个.K 答 案 2 C1 2.在 A A B C 中，若 A C =2,!+一=一+!+i,则A A B C 的周长的最大值为s i n 3 t a n B sin A t a n A()A.2 石+4 B.2 7 7+4 C.2 石+7 D.2 7 7+7r z m q x i 4 1 1 1 1 .-r z R 1 C O S 8 1 C O S A ,K 解 析 U 由-+-=-+-+1 可得-+-=-+-+1
12、,s i n B t an B s i n A t an A s i n B s i n B s i n A s i n A两边同乘 s i n A s i n 3 得，s i n A+s i n A c o s B =s i n B +s i n B c o s A+s i n A s i n 8 ,两边同力口 s i n Bcos A 得，s i n A +s i n A c o s B+s i n B c o s A =s i n 3 +2s i n Bcos A+s i n A s i n B,即 s i n A+s i n(A +B)=s i n B +2s i n Bcos A+s
13、 i n A s i n 3,又 s i n(A +B)=s i n(4-C)=s i n C ,则 s i n A +s i n C =s i n B(1+2c o s A+s i n A),设角A,B,C 对应的边分别为a,b,c,由正弦定理得 a+c=仇1 +2cos A+sin A)=2(1+2cos A+sin A)=2 1+75 sin(A+cp),其中$访e=三cosp5不妨设夕e(0,1),易得当A+e =，时，a+c 取得最大值2+2宕,此时周长最大值为2+2+2疗=4+2凉R答 案 X A二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分，把 R答 案 填在答题卡上.1
14、3.己知 sina+cosa=一一，a G(0,T)则 sin 2a=K 解 析 H v sin a +cos a =一 一 ，5两边平方得：sin2+2 sin a cos a +cos2 a =1 +sin 2a=,25 c 24sin 2a-.25K答 案 U -251 214.己知点(见/?)在直线元+丁 =1上，当a 0,b 0 时，一+的最小值为a bK解 析 H 因为点(,/?)在 x+y=l 上，所以a+Z?=l.所以，+2 =(a+切(_L+2)=3+3+2.3+2&.a b a h h a当且仅当的=2,即。=及-1,6=2-0 时等号成立.h aK答 案 2 3+2夜15
15、.在 AASC中，AB =AC,B C =4,D 是 3 C 中点，A D =也.将 AABC沿 AQ折起得到三棱锥A-B C D,使得/比 9=120。，则该三棱锥A-B C D 的外接球的体积为.K解 析 D 如图，在 AABC中，A B A C,B C =4,。是 BC中点，A D*.在 ABC 中，由已知可得，B D=D C =2,将 A4BC沿 4 5 折起得到三棱锥A-3C),使得N B D C =1 20 ,可得 8 c =2 6,设ABCD的外心为G,则G D =2,2再设四面体A-B C D 的外接球的球心为O,连接O G,则 OG=1AO=2 2外接球的半径R=OO=可得四
16、面体A-8。的外接球的体积为V=x（叵）3=宣 史.3 2 2K答 案 力 宣 史21 6.高斯是德国著名的数学家，享 有“数学王子”的称号，人们把函数y=x,x e R 称为高斯函数(其中表示不超过x 的最大整数，例如：泪=3,=已知数列%)的T T首项 q=l,前 项和记为 S”.若 2 为函数 f(x)=2sinx-cosx+|sinx+cosx+5,xe 0,值域内的任意元素，且当整数%时，都有S“+-2s“=2 1-S 成立，则 ,的通项公式为.K 解 析 U fx=2sin x-cosx+sin x+cosx+5=sin 2x+5/2 sin(x+)+5,4-r r jr又xe 0
17、,时，当*=时，sin2x=1,sin2x=1,24当xe 0,马 U(工,勺时，sin2xe 0,1),4 4 2则 sin2x=0;x+&e ,.,0 s in(x +C)e L 0 ,则|Vsin(x+2)=1 ,4 4 4 4 4贝(I f(x)=2sinx-cosx+sinx+cosx+5e6,7 ,所以=6 或 7；又当整数A时，有 S.S =2 S S,w 则 S-25,用=25 S-两式相减得见2-2 a“+|=-4+,即见+W I+4+IT=24+|；当&=6 时，6 时，有 4+7+4,-5=2a“+i，则 对 一 5，4用，。“+7成等差数列，设公差为4；当&=7 时，7
18、 时，有q+8+（一 6=2。,用，则。”6,。向，成等差数列，设公差为4;则 7 时，an+-an_5=4 ,an+-*=4，两式相减得 a_5-%=W-4，令 d=d?-4 ,则 7 时，_6=d ,即时，an+l-an=d ,故数列仅“从第二项开始为等差数列，又 S,“*-2 s L 2&-S i 可得 S+k-Sn-(Sn-Sn_k)=21,当=6 时，Sn+6-S -(S -Sn_6)=2S6,即(4+6+4+5+4+1)-3+4-1+4-5)=2$6，即 361=2(%+5?+10)=2(1+5%+10)；当A=7 时，S+7-S-(S-S-7)=2S7,即(4+7+4+5+an+
19、t)一(4 +an-+4-6)=2s?,即 49d=2(4+6%+15d)=2(1+6出+15d),解得生=3,d=2,则 g-q u d,即数列 七 是 1 为首项，2 为公差的等差数列，则4=1 +2(-1)=2-1.K答 案 a=2n-三、解 答 题(17题 10分，18 22每小题10分，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)在平面直角坐标系中，平面向量1=(1,1),Ib|=2,5 的夹角为二.4(I)求|3-5|；(II)若t f i =2d-6,求比在G方向上的投影的值.解：(I)因为平面向量 =(1,1),出|=2,的夹角为工，4所以|a|=(产+
20、仔=应,所 以|34+J|=J(3a+力2 =J1 8-6+夜 x 2 x 曰+4=痴.(H)同 8 S 做包=生二 手=日d a 7218.（12分）已知S“为等差数列血的前 项和，Ss=55,d=1 5 3.(I)求数列他“的通项公式;(II)求 数 列%的前项和7；.解：(I)设等差数列 4)的首项为q,公差为d.a 5x4,则 5。1 H-了-d 55，解得(广。；9+空”=153 1=312故=5+3(T)=3 +2；(II)设c,=(3 +2)2.故7；=(3+2)x2+(6+2)x22+(3 +2)x2,；2Tn=(3+2)X22+(6+2)X23+(3 +2)x2向，；一 得：
21、-北=(3+2)x 2-(3 +2)x2”+二 卬。-2),1 2整理得：7；=(6-2)2+2 19.(12分)已 知 AABC的顶点8(5,1),边上的高所在的直线方程为x-2 y-5 =0(I)求直线A B的方程；(I I)在下列两个条件中任选一个，求直线A C的方程.角A 的平分线所在直线方程为x+2 y-13=0；BC边上的中线所在的直线方程为2 x-y-5=0.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：(I)由加边上的高在x-2 y-5=0 上可知，kA B=-2.又.8(5,1),所以直线AB的方程为:2x+y-i=0.(H)若选：x+2y-13=0 是角A 的平分线.
22、则 广 二 -1 二?，解 得 卜:,得 到 A 点坐标：4(3,5).x+2y-13=0 y=5设夕(%，%)是点B 关于x+2y-13=0 的对称点.A z l x()=i则卜。一 5 2,解得：Bf(9+2X%1 1 _ 1 3 =0 5 52 25-丝又点B(义，”)是直线AC上的点.所以原c=券=25 53_37 11-5所以得到A C的直线方程为：2 x-lly +49=0.若选：:Z x-y-5=0 是 BC边上的中线所在的直线.有X+)，=(),解得点A坐标：A(4,3).2x-y-5=0设点。(再，y),则 8 C 的中点在直线2xy 5=0 上，所以2 x 2|三 一*L
23、5=0,即2百一%一1 =0,则点C 在直线2xy 1 =0 上.又点C 在x-2 y 5=0 上，贝 I 有 F 一 一5=,解得x-l,y=-3.2x-y-=0即 C(-l,-3),所以 kAC=-=-1-4 5所以直线A C的方程为：6 x-5 y-9 =0.20.(12 分)如图，在四棱锥 -ABC。中，平面 C)E_L平面 ABC。，ZABC=ZDAB=90a,EC=AD=2,AB=BC=,DE=V2.(I)证明：AB_L平面ADE；(I I)求直线EB与平面EAC所成的角的正弦值.(I)证明：在四棱锥 E-A 8 c。中，平面 CZ)E_L 平面 ABC。，/A B C=ND48=
24、90,ECAD=2,AB=BC,DE=V2：/A B C=/D 4B=90,四边形 ABC。是直角梯形，AB=BC=1,-*AC=V2 ZCAD=45,；CD2=AD2+AC2-2AD.ACCOS2ZCAD=4+2-V2 X-2-：.CD2+DE2=4=C E2,HP CDYDE,.平面 CDE_L平面 ABC。，C D E H A B C D C D,O E u 平面 CDE,平面 ABCD,又 A B u 平面 A B C D,贝 l j 有 DELAB,f f i ADAB,A D H D E=D,AD,D c ADE,平面 A Q E；(H)解：.。,平 面 的 8,，年一妞(：4 5
25、 4 皿(：优 4 乂/,8 O u 平面 ABC。，J.DEVAD,DEBD,A E2=A D2+DE2=V6 B E2=B D2+DE2=V7 c o sz A E C-AE2/3;rcos a 4a e 0,故 cos%e 3,1,S e 192221(5000/3,6 4 3故 训练场地面积的取值范围是疼臀,5(X)0同22.(12 分)已知数列%满足q=l,a+l=一(其中 eN*)4 +M +1(I)判断并证明数列 a,J的单调性；(H)记数列 ,的前”项和为5“，证明：|3 S52O21 0 ,，a“+1-a“-*3-24+4-4 +2+%3当.2,累加可得一（-1）+1,.2 弧1-4-4-=-4-=4.x （z-1-1-（H-D +1 2（”+1厂 5+1）2 _ 1（+1）（“+3）n +L n +l2 4 2 2 2 2S20 2l=l +-+4 x（-1-）-+-3 7 20 21 +3 3 7 22