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1、2022届福建省莆田市高三毕业班三模数学试题一、单选题1.设集合4=卜,2+工-120|,8=%|-2%5,则()A.1,2 B.0,1,2 C.1,2,3 D.0,1,2,3【答案】B【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】由题意得4=卜|7 x 3,B=0,1,2,3,4),plij AQB=0J,2.故选：B.2.若复数z=l+2 i,贝4法=()z+iA.1-i B.3-i C.1+3i D.3+3i【答案】C【分析】根据复数的除法运算即可得解.【详解】Qz=l+2i.z+3 _ l+2i+3 _ 4+2i _(4+2i)(l+i)_ 4-2 +6i _ 2+6i _T+7-l-2 i
2、+i-1-i-(l-i)(l+i)-2-一 2 一 +1故选：C3.芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论.芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟.原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了 100米时，乌龟己经向前爬了 10米.于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了 1米，阿喀琉斯只能再追这1米.就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要
3、乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟试问在阿略琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距0.001米时，乌龟共爬行了()A.11.111 米 B.11.11 米 C.19.99 米 D.111.1 米【答案】A【分析】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列%,利用等比数列的前项和公式即可求出总距离S”.【详解】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列他“,且a.=10,再除以cos2a可得关于ta n e 的方程，求解即可判断.【详解】由题，9sin2a +sin2a-8=0,贝 19$皿+25也。8$。-8卜 诒%+8$%）=0,即 sin2 a +2sin a cos a-8
4、 co s2 a =0,所以 tan2 a+2 tan a-8 =0，解得tana=-4 或 tana=2,所以“1 皿2=2”是“9而 20+$皿2。-8=0”的充分不必要条件，故选：B6.已知 =2,b=log43,c=lo g 5 2,则（）A.a c b B.b c aC.abc D.b a c【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性以及中间值进行比较即可.【详解】=20|2 =11 1 1.4 3 2 =4 2，1 =l o g j 3 l o g442=-.21V2 55-c =l o g52 bc故选：C.7.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行
5、于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线E:y2 =2 p x(0 p =”7卜 一 )，即 尸 如 一 代入抛物线方程消去y得，8V-1 7 p x +2 P2=0,设方程两根为为、与，则为+/=孚，贝1忸。=%+&+0 =半+0=自?，8o 8又 A(8,2 p)至 I J B C 4 x-3 y-2 P=0 的距离为：。32一 6:2 p|二|g ,.由 5田=1 0 得 2 忸4=1 0 n 等 p 必 普=2 0 n p =2.2 8 5故选：D.8.已知函数f(x)=(尤+l)2+c o s(x+l)+a的最小值是4.贝！1。=
6、()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【分析】利用导数研究函数的极值和最值即可，这里需要用到/“)的二阶导数【详解】由题，r(x)=2(x+l)-s i n(x+l),r(x)=2-c o s(x+l)0,所以/(x)单调递增，又/(T)=0,所以X-1 J(X)-1,/(X)0,故x =-l 为最小值点，即/(-1)=1 +。=4,解得 =3,故选：A二、多选题9.下列说法正确的是()A.(x-2)5 展开式中的常数项为-3 2B.(一 2)5 展开式中的各项系数之和为1C.(x-2)5 展开式中/的系数为4 0D.(x-2)5 展开式中的二项式系数之和为3 2【答案】A C D【分析
7、】根据多项式的乘法可知A正确，利用赋值法判断B,根据二项展开式通项公式判断C,根据二项式系数和判断D.【详解】对于选项A,常数项应为C；x(-2)5=-3 2,则 A正确；对于选项B,令x=l,得(1-2)5=-1,即(x-2)s展开式中的各项系数之和为-1,则 B错误：对于选项c,(x-2y展开式的通项公式为(.1=c /，.(_2y=(-2yc15-，令5 f =3,得 r=2,则岂=(一2)2盘 丁=4 0/,即(x-2了展开式中/的系数为4 0,则 C正确；对于选项D,(2)5 展开式中的二项式系数之和为2$=3 2,故 D 正确.故选：ACD1 0.将函数y=2sin(2 x-方)的
8、图象向右平移以0 0)个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的;，得到函数/*)的图象，若/(x)的图象关于直线x=f 对24称，则8 的取值可能为()7 U C 5兀-5兀 一 7兀A.B.C.D.12 24 12 12【答案】AD【分析】根 据 图 象 的 变 换 规 律 求 出 的 解 析 式，进而求出对称轴，即可得到。的取值情况.【详解】函数y=2sin(2 x-)的图象向右平移以9 0)个单位长度，得到函数y=2sin(2 x-2 -J 的图象，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的3,得到函数/(x)=2sin(4 x-2 夕7 T.AX)的图象关于直线工=:对称4/
9、兀 7 T .7 T ._ 7 1 /c7T.八4 x 2(p kit+-,A Z cp ，女 w Z 乂 ,，w。137r7冗7 T当人=一2 时，8=曾；当左=-1 时，=;当&=0 时，?=；故选：AD.1 1.已知函数/(x)=J ,函数g(x)=/(x)-“，则下列结论正确的是-4X2+16X-13,%1()A.若 g(x)有 3 个不同的零点，则”的取值范围是亿2)B.若 g(x)有 4 个不同的零点，则。的取值范围是(0,1)C.若 g(x)有 4 个不同的零点XpW.XpZa%；解得旭=-2 或，=；.故答案为：-2或g.14.在正方体A B C D-A qG R 中，E,F,
10、G,H 分别是棱AO,GR,BC,4 用的中点，则异面直线E尸与G”所 成 角 的 余 弦 值 是.【答案】|分析】异面直线EF与GH所成角转化为直线Q4与OC所成角即可求出答案.【详解】如图连接”尸，取 中 点 为 点 连 接。4,OC,;HO/IGC 旦 HO=GC 四边形HOCG为平行四边形.-.HC/OC同理AO/EF异面直线E F与G H所成角即为直线Q4与OC所成角设正方体A 8C D-A B|G R的棱长为2,则 AC=2 a,OA=n ,OC=#在 AOAC 中，A C2=O C2+OA2-2OA-OCcos Z A O C8=6+6-2 x 76x/6 cos Z.AOCco
11、s Z A O C =-3故答案为：g.15.五一期间，某个家庭(一共四个大人，三个小孩)一起去旅游，在某景点站成一排拍照留念，则小孩不站在两端，且 每 个 小 孩 左 右 两 边 都 有 大 人 的 概 率 是.【答案】2【分析】根据全排列求出7 人总的排法种数，再利用插空法求出小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的排法种数，根据古典概型求解.【详解】7 个人全排列有A；种排法，利用插空法，其中小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的排法有A：A；种，A4A3 1所以小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率尸=+=.A7 35故答案为：r2 v216.已知双曲线C:-马=l
12、(a 0,6 0)的右焦点为 圆0:/+/=/与双曲线ca b的渐近线在第一象限交于点P,直线EP与双曲线C 交于点。，且 而=而，则双曲线C 的 离 心 率 为.【答案】亚【分析】根据双曲线的定义及余弦定理可求解.【详解】如下图所示，设双曲线的右焦点为 ,设直线OP的倾斜角为。，则 tan 9，=co s。，a c由题意可知1 0 P l=a,贝 I J I Q K I =2 a,则双曲线的定义有I 0 F I-I Q 6=2,从而|P F|=2a,2 2 A 2所以在APO尸中，由余弦定理有co se=+：，n 5/=c 2-e =B2ac c故答案为：石四、解答题1 7.在也,=2同，4
13、=,2=(-l)S”这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.设等差数列%的前n项和为S.,且%=5 ,怎=5 .求 S ”的最小值；(2)若数列也,满足,求数列也 的 前 1 0 项和.【答案】-4(2)答案见解析【分析】(1)结合等差数列的通项公式和前”项和公式求得4,d,利用二次函数的性质即可求解；25-2”2(2)选，判断a=-进而求解；选，利用裂项相消法即可求解；选22n-5,H 3一7 二,ke K)利用分组求和法即可求解.、7 n-4n,n=2ka5=q +4 d=5 (【详解】(1)由题，。u 5x 4,二，所以%=-3+2(-1)=2-5,S5=5 t Z j +-a
14、=5 a=2.2则 Sn=-3M+H(Hl)=n2 4n,所以当=2 时，的最小值为T.设数列圾 的前项和为I，选，由(1),2=2 T,令2 一5 (),即所以a =253,4 222-n 3,所 以 加=23+2+2i+23+.+26=10+鼻=4)=43700；选，由（1）,bn=_!_=l p_(2/7-5)(2/7-3)2(2”-5 2n-?)所 以 几=gxj _ i_ j _!才 与 丁,+,一105?以=(_ )(2 _ 甸=选，由（i）,一 2 +4,=2Z-1tr-4n,n=2k所以加=(T2+4x1+2?-4x2)+(-32+4x3+4?-4x4)+(-9?+4x9+10
15、?-4x10)=(l+2-4)+(3+4-4)+-+(9+10-4)(1+10)x10,=-4x52=3518.在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c,已知a=2bcosBcosC+2ccos2 B.(1)求3的值；(2)若 c a=l,且cosC=1 3,求 aABC的面积.13【答案】g；3 6.【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数，再由两角和的正弦公式化简求出cosB即可得解；（2）由已知求出sinA=sin（B+C）,再由正弦定理可得4a=3 c,联 立 已 知 求 出 利用三角形面积公式求解.【详解】,.a=26cos 6cosc+2CCOS2 B,sin A=2
16、sin Bcos Bcos C+2sin Ceos2 B=2 cos B(sin B cos C+sinCcos B)=2cosBsin(B+C),v A+B+C=7i,A sin A=sin(B+C),又sinAwO,1 712 cos 8=1,即 cos B=一，又 0 8 兀，/.8=一.2 3(2)因为cosC=2 3 ,且0 C 兀，所以sinC=R 亘133屈则 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos BsinC=】.由正弦定理可得asinC=c s in A,即 其 亘 =之 叵 ,化简得4。=3c,13 26又c-a=l,联立可解得a=3,c=4.故4 A8
17、C的面积为gacsin8=3百.1 9.如图，在四棱锥尸-他 8中，四边形ABC。为矩形，且 E,尸分别为棱AB,尸 C 的中点，BC=2AB=4,PA=PB=PC=PD=3.(1)证明：PE_L平面PCD.(2)求平面PE尸与平面O EF的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，再分别求出相关平面的法向量及而，再运用向量的共线及向量的夹角公式可求解.【详解】B矩形A B C。对角线的交点记为。，可知。4=O B =O C =OD,又因为依=也,可知20,3。,同理可得。，47,AC C|8 O=。，且A C,8 O u底面A 8CO,所以P0 J_底面A B C D
18、,故可建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,2),E(0,-2,0),C(1,2,0),D(-l,2,0),F(g,l,l),._ ._ 3从而有方=(0,-2,-2),丽=弓,1,-1),无=(1,2,-2),所=(-1,2,-2),屁=(1,l x(i)2=或，尸(X=3)=C；f 5沁)y x g*卜 券尸(X=4)=Cxgx(乎+C；吗 4 x：+Cx；x C；x$x(5 2=亮，P(X=6)=C；畤 x 针+CR扪针=*故X的分布列为：X012346P2 174 3 253 652 42 53 2 42543253 2 4M、八 2 17 1 5 c 5 c 2 5/2 5
19、4 5 10故 E(X)=0 x-+l x +2 x +3 x-+4 x-+6 x-=.4 3 2 3 6 2 4 3 2 4 4 3 2 3 2 4 9(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线/与椭圆C相切于点。，且与直线x =2 交于点E.试问在x 轴上是否存在定点P,使得点P在以线段DE 为直径的圆上？若存在，求出产点的坐标；若不存在.请说明理由.【答案】(1)5+丁=1(2)存 在,尸(1,0).【分析】(1)由题意，列出方程可直接求解；(2)先得到切线方程，从而可得点E 的坐标，再写出圆的方程后代入点P的坐标可求解.=克a -V1 1 ,【详解】由 题 意 得 巧+R =l n =2/
20、2=1,a 2tra2=h2-c2所以椭圆C的标准方程为1+丁=1 .(2)由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为。(%,%),切线 方 程 为 号+。=1,下面证明:X2+22=11联立 ，消)得号+双=1又 与+)/=,则 端=_ 午，所以=0,及直线/与椭圆只有一个公共点以%,%),直线/与椭圆相切，所以椭圆上切点为。(与,均)的切线方程为奇+y%=1.切线方程呈+y%=1与x=2联立得E(2,1),则线段QE为直径的圆的方程为(x f)(x-2)+(y-%)(y-匕 均=0,%设户(,4 0),贝|J (机-%)(5-2)+(0-%)(-L )=,%化简整理得-1
21、)2+(1-/=0,由题意可知，此式恒成立，故当机=1满足题意.此时 P(l,o).故存在定点P,使得点P在以线段OE为直径的圆上.2 2.已 知 函 数/二 -6“.(1)讨论八对的单调性.(2)若。=0,证明：对任意的xl,都有/(x)2 x 4-3 x 4 n x +x 2 .【答案】(1)单调性讨论见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导，根据。的符号分类讨论即可；(2)考虑x的取值范围，采用缩放法可以证明.【详解】(1)/(6 =e，-a ,当“V O时，/(%)(),/(%)是单调递增的；当 a 0 时，令 f(x)=e*-a =0 ,得到 x0=In a ,当x c(-o o,l
22、 n a)时，f(x)0 ,f(x)单调递增;(2)由题意，%1 时，/(X)x4-3 x3In x+x2 等价于J*x(x 2-3 x l n x+l)设 人(同=!，(耳=：7)，当xl时，/：(x)0 ,h(x)单调递增,/?(%)/?(l)=e ，设=(力=1 一，0 ,/.A:(x)是增函数，=x l n x-1 A:(l)=0 ,Bp x-1 l n x,-l n x 1-x ,x2-3xnx+l x2+3 x(1 x)+l =-2 x2+3 x+l ,xx2-3 x l n x +l)x(-2 x2+3 x+l),令 p(x)=?:(-2 x2 4-3X+1)=-2X3+3 x2+X,当X 曙时,W0 当守、0 ,曙时，取最大值二1-6*6X5-3，然 处 画+L 级 匕+3 1 2 6 3 1 2 638 0 u 2.51 8即P(x)的最大值小于2.5,由可知，/i(x)e 2.5，当x l 时，/(x)p(x)&(x),即/(x /一 s dn x+f.【点睛】本题的第二问要从x l 考虑，因为 的最小值就是在x=l 取得,X对于原不等式，由于导数计算过于复杂，因此考虑对I n x 进行缩放，使得计算比较简单.