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1、2015届局三概率练习题1.(本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是g,乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.(I)求乙得分的分布列和数学期望;(I I)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.18.(本小题满分12分)【解】:(I)设乙答题所得分数为X,则X的可能取值为 15,0,15,30.C;1C也5P(X=1 5)/=p(x=o)=m=12G o12;cc?5c;1P(X=15)=寸=;P(X=30)=帚C i o1212乙得
2、分的分布列如下:X-150 1530D15 51I1212 1212(6分)x(-15)+x0+X15+x30=.12 12 12 12 2(I I)由已知甲、乙至少答对2题才能入选,记甲入选为事件A,乙入选为事件8.3 2则 P(A)=C(-)2(-)+81125P(B)-1-12 125 1 12故甲乙两人至少有一人入选的概率 44 1 103P=1-P(A B)=1-x-=.125 2 1252.(本小题12分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设 甲、乙两种大树移栽的成活率分别为巳5 和甘4,且各株大树是否成活互不影响.求移栽6 5的4株大树中:(I)至少有1株成活的概率;
3、(I I)两种大树各成活1株的概率.解:设人表示第攵株甲种大树成活,攵=1,2;设片表示第/株乙种大树成活,5 4/=1,2则4,4,稣为独立,且(4)=2(4)=7 2 4)=2打)=工(I)至少有1株成活的概率为:1 1 8 9 91 P(A 4 4 S)=1 P(A)P(4)P(4)P(B,)=1()2(工)2=有o 5 9 0 0(I I)由 独 立 重 复 试 验 中 事 件 发 生 的 概 率 公 式 知,两 种 大 树 各 成 活 1株的概率为:3 .(1 2 分)某电视台综艺频道主办一种有奖过关游戏,该游戏设有两关,只有过了第一关,才能玩第二关,每关最多玩两次,连续两次失败者被
4、淘汰出局.过关者可获奖金,只过第一关获奖金9 0 0 元,两关全过获奖金3 6 0 0 元.某同学有幸参与了上述游戏,且该同学每一次过关的概率均为各次过关与否互不影响.在游戏过程中,该同学不放弃所有机会.(1)求该同学仅获得9 0 0 元奖金的概率;(2)若该同学已顺利通过第一关,求他获得3 6 0 0 元奖金的概率;(3)求该同学获得奖金J的数学期望(精确到元).解:(1)设该同学仅获得9 0 0 元奖金的事件为A,则P(A)=。一+9G4=鲁.(4 分)(2)因为该同学已顺利通过第一关,当他通过第二关即可获得3 6 0 0 元奖金,所以他获得 3 6 0 0 元奖金的概率尸=1 一=弓=普
5、.(8分)(3)该同学获得奖金J可取的值为0,9 0 0,3 6 0 0P(=0)=j.1 =i;PC=9 0 0)=枭 P(=3 6 0 0)=1.1 =H.Eg=9 0 0 义鲁+3 6 0 0*转=2 9 3 3,该同学获得奖金J的数 学期望为2 9 3 3 元.(1 2 分)4 .甲、乙两个盒子里各放有标号为1,2,3,4的四个大小形状完全相同的小球,从甲盒中任取一小球,记下号码X后放入乙盒,再从乙盒中任取一小球,记下号码y,设随机变量X=卜-)|(1)求 y =2的概率;(2)求随机变量X 的分布列及数学期望.解:(1)P(y =2)=P(x =2,y =2)+P(x W 2,y =
6、2)12 3 11=x+x-=-4 5 4 5 4(2)随机变量X 可取的值为0,1,2,3当 X=0 时,(x,y)=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)P(X =0)=1x2 +上1x2 +1x2 +上12=24 5 4 5 4 5 4 5 5当 X =1 时,(x,y)=(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3P(X=1)=-x-+-x-+-x-+-x-+-x-+-x-=4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 1 0同理可得 P(X =2)=;P(X =3)=随机变量X的分布列为X0123
7、p2531 0511 02 3 1 1/.EX=0 x-+l x +2 x-+3 x =15 1 0 5 1 05.(本小题满分1 2分)为了拓展网络市场,腾讯公司为QQ用户推出了多款Q Q应用,如“。农场”、音乐”、读书”等.某校研究性学习小组准备举行一次“QQ使用情况”调查,从高二年级的一、二、三、四班中抽取1 0名学生代表参加,抽取不同班级的学生人数如下表所示:班级一班二班三班四班人数2人3人4人1人(1)从这1 0名学生中随机选出2名,求这2人来自相同班级的概率;(2)假设在某时段,三名学生代表甲、乙、丙准备分别从QQ农场、QQ音乐、QQ读书中任意选择一项,他们选择QQ农场的概率都为,
8、;选择QQ音乐6的概率都为;选择QQ读书的概率都为工;他们的选择相互独立.设在该时段3 2这三名学生中选择QQ读书的总人数为随机变量求随机变量彳的分布列及数学期望解:(D记这两名学生都来自第i班 为 事 件=1,2,3,4)则尸喀修尸唔*哈哈二 1 0 2.P=P(A)+/5(A)+/5(A)+P(A4)=-=-.6 分(I D J的取值为0,1,2,3.PC=o)=出W;PC=i)=c;CPG=2)=C;(=|;PG=3)=C;4的分布列为:0 12 31 3 3 13 3E j =0 x+l x+2 x+3 x=二.或 E?=p =.1 2 分7 8 8 8 8 2 2.6.第3 0届 奥
9、 运 会 将 于2 0 1 2年7月2 7日在伦敦举行,当地某学校招募了 8名男志 愿 者 和1 2名 女 志 愿 者。将 这2 0名 志 愿 者 的 身 高 如 下 茎 叶 图(单 位:c?):若 身 高 在1 80cm以 上(包 括1 80cm)定义为“高 个 子”,身 高 在1 8 0 c加 以 下(不 包 括1 8 0 c z n)定 义 为“非 高 个 子”,且 只 有“女高个 子”才 能 担 任“礼 仪 小 姐”。(I )用 分 层 抽 样 的 方 法 从“高 个 子”和“非高 个 子”中 抽 取5人,如果从.这5人中随机选男 女8 1 65 8 98 7 6 1 72 3 5 5
10、7 4 2 1 80 121 1 9062人,那 么 至 少 有1人 是“高 个 子”的 概 率 是 多 少?(I I)若 从 所 有“高 个 子”中 随 机 选3名 志 愿 者,用X表示所选志愿者中能担任“礼 仪 小 姐”的 人 数,试 写 出X的 分 布 列,并 求X的 数 学 期 望。.解:(I)根据茎叶图可知,这2 0名志愿者中有 高个子 8人,非高个子 12人,用分层抽样的方法从中抽出5人,则 每 个 人 被 抽 到 的 概 率 为 所 以 应 从 高 个 子 中 抽8x =22 0 4 4人,从 非高个子 中抽12X =3人。4用事件A表示“至少有一名,高个子,被选中,则它的对立事
11、件K表示“没有一名,高个子,被选 C2 3 7 7中 ,则p(A)=1 =p(A)=l-=l-=,因此至少有1人是高个子的概率是一;C;10 10 10(I I)依题意知,所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的所有可能为0,1,2 3厂 1 c C2 3P(x=)=#彳尸(x =D=玄方P(X=2)=等 P(X=3(因此,X的分布列如下:1 3 3 1 3所以X的数学期望E X=0 x +l x +2 x +3 x =14 7 7 14 2X0123P137371147.某赛季,甲、乙两名篮球运动.员都参加了 7场比赛,况用如图所示的茎叶图表示(I)求甲、乙两名运动员得分的中位数;(I I)
12、你认为哪位运动员的成绩更稳定?(III)如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分,求甲的得分大于乙他们所有比赛得分的情的 得 分 的 概 率.(参 考 数 据:91 2+82+102+22+62+102+92=466,1 28.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为一,一,投中一球得1 分,投不中得0 分,且2 3两人投球互不影响。(I)甲、乙两人在罚球线各投球一次,记 他 们 得 分 之 和 为 求 J 的概率分布列和数学期72+42+62+32+12+22+112=236)【解】:(1)运动员甲得分的中位数是2 2,运动员乙得分的中位数是23.2 分,、14+17+15+24
13、+22+23+32(2):=-=213 分12+13+11+23+27+31+30 八x乙7 =-=21.4 分72 _(21-14)2+(21-17)2+(21-15)2+(21-24)2+(21-22+(21-23)2+(21-32)2 _甲 7 _(21-12)2+(21-13+(21-11)?+(21-23)2+(21-27)2+(21-31/+(21-30_ 4 6 6乙 7 7 .s 从而甲运动员的成绩更稳定.8 分-5(3)从甲、乙两位运动员的7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49其中甲的得分大于乙的是:甲得14分有3 场,甲得17分有3 场,甲得15分有3 场甲得
14、24分 有 4 场,甲 得 2 2 分 有 3 场,甲 得 2 3 分有,3 场,甲 得 3 2 分 有7场,共 计 26场.11分从而甲的得分大于乙的得分的概率为=竺4912分(I I)记事件A为四次投球中至少一次命中,则一 =别 手 专,A P(A)=1-P(A)=|9.(本小题满分12分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数:工(九)=丁,人(%)=5也 人(幻=2,/,W=-|r 4 U)=s i n(y+x),fb(x)=xcosx.(I )从中任意拿取2张卡片,其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数,在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率;(I
15、I)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数J的分布列和数学期望.I l2A-1解:(I )工(月=1为奇函数,人(同=5凶为偶函数,力(x)=2为偶函数,力(力 二 汨 jr为奇函数,买(x)=s i n(,+x)为偶函数,八(x)=x co s x为奇函数.3分所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的函数均为奇函数;另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数,一个为偶函数;故基本事件总数为C;C;+C;满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数,故满足条件的基本事件个数为C;r2 1故所求概率为尸=己 .6分C;C
16、;+C;4(II)4可取 1,2,3,4.P C =D =C=J.P C=2)=G =3,K C:2仁)C C 1 0P G=3)=G.G C=2_ P G=4)=1.G.G.G=J _;9分 C:C Cl 2 0 “)C;C Cl C;2 0 故J的分布列为41234P231 032 012 01 3 3 1 7Ej =l x-+2 x +3x +4 x =一.2 1 0 2 0 2 0 41 0.(本小题1 3分)某公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 1 4名男生和6名女生,这2 0名毕业生测试成绩如茎叶图所示(单位:分)公司规定:成绩在1 80分以上者到“甲部门”工作;1 80
17、分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于1 80分的男生才能担任“助理工作”.(I )如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人,再从这8人中选3人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?(I I )若从所有“甲部门”人选中随机选3人,用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出X的分布列,并求出X的数学期望.6男8 8 64 3 25 4 23 2 116女8-17 618 5 619 0 2o 9解:(I)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率为2 =2 0 5根据茎叶图,甲部门人选1 0人,乙部门人选1 0人2?.选中的甲部门人选有1 0 x=4人,乙部门人
18、选有1 0 x =4人-3分5 5用A表 示“至少有一名甲部门人选被选中”,则它的对立事件K表 示“没有一名甲仁 3 1 4部门人选被选中,则P(A)=1 P由)=1-1 3故至少有一人是“甲部门”人选的概率是一1 46分(I I )依题意,所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3p(X=0)=CC3 =1c,3o 30cc2P(X=1)=中C1 031 0p(x =2)=C C =1 Cf Cj 1r 2 X的分布列为p(x=3)=-1 0 分Go 6X0123P13031 02261 3 1 1 9EX =0 x +l x +2 x-+3x-=-130 1 0 2
19、6 51 1.(本小题满分1 2分)某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后有乙,4两条巷道通往作业区(如.下图),4巷道有4,4,&三个易堵塞点,各点被1 3 3堵塞的概率都是5;4巷道有用,为两个易堵塞点,被 堵 塞 的 概 率 分 别 为3.Az3c-4-4-4作业区(I)求4巷,道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率;(II)若4巷道中堵塞点个数为X,求X的分布列及数学期望EX,并按照 平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准,请你帮助救援队选择一条抢险路线,并说明理由.解:(I)设 巷 道 中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A则 P(A)=C;x(;
20、)3 +C;x g x(1)2=1(II)依题意,X的可能取值为0,1,2P(X=0)=(1-j)x(l-j)=历3 3 9p(X=2)=-x-=4 5 20所以,随机变量X的分布列为:3 3 3 3 9P(X=l)=-x(l-)+(l-)x-=-X012P1109209201 9 9E X=0 x+lx +2x10 20 202720(方法一)设 右巷道中堵塞点个数为丫,则Y的可能取值为0,1,2,32丫 =0)=*(步=38p(y=3)=c;x g)3=:所以,随机变量y的分布列为:Y0123P1331888813 3 1 3Ey=0 x-+lx-+2 x-+3 x-=-因为EX EY,所
21、以选择右巷道为抢险路线8 8 8 8 2为好.1 1 3(方法二)设A,巷道中堵塞点个数为丫,则随机变量Y8(3,一),所以,E Y=3x=2 2 2因为EX 丫,所以选择L2巷道为抢险路段为好12.(本小题满分12分)某市公租房的房源位于4,B,C三个.片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中:(I)恰有2 人申请A 片区房源的概率;(1 1)申请的房源所在片区的个数J 的分布列和期望.解:(I)所有可能的申请方式有34种,恰有2 人申请A 片 区 房 源 的 申 请 方 式 有 22种,从而恰有2 人申请A 片区房源的概率为互
22、 经 1=&,.5 分34 27(II)的所有可能值为1,2,3,1 3.(本 小 题 满 分 1 3 分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的1 0 0 位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1 至 4件5 至 8 件9至 1 2件1 3 至 1 6 件1 7 件及以上顾客数(人)X3 025y1 0结算时间(分钟/人)11.522.53已知这1 0 0 位顾客中一次购物量超过8件的顾客占5 5%.(I )确 定 x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(I I )若某顾客到达收银台时前面恰有2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互
23、独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟的概率.(注:将频率视为概率)解析:(I)由已知,得 25+y+10=55,x+3 0=4 5,所以 x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得3 3 1 11P(X=1)=,P(X=1.5)=,P(X=2)=-,P(X=2.5)=-,P(X =3)=,所以X的分布列为X11.522.53P3203W_5_511 03 3 1 1 1X 的数学期望为E(X)=l x +1.5 X +2X-+2.5 X +3 x =1.9 .6
24、 分20 1 0 4 5 1 0(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,X,(i =l,2)为该顾客前面第,位顾客的结算时间,则3 3 3 3 3 3 9P(A)=P(X 1 =1 且X,=1)+P(X 1 =1 且X,=1.5)+P(X 1 =1.5 且 X,=l)=,x,+3x?+3x3=1 21 2 1 2 20 20 20 1 0 1 0 20 8 09故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为3.1 3分8 01 4.(本题满分1 2分)甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校20 1 4年自主招生,高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试,只有审核过关后才
25、能参加文化测试,文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.因为甲,乙,丙三人各有优势,甲,乙,丙三人审核材料过关的概率分别为上,2,士,审核过关后,甲,乙,丙三人文化测试合格2 5 53 1 3的概率分别为己,-o5 2 4(I)求甲,乙,丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率;(H)设甲,乙,丙三人中材料审核过关的人数为随机变量X ,求X的分布列和期望。解:(I)设甲,乙,丙三人获得自主招生入选资格的概率分别为P(A)、P(B)、P(C),1 3 3 1 3 3 2 3 3则 P(A)=x =3,P(B)=-x-=,P(C)=-x-=2 5 1 0 2 5 1 0 5 4 1 0所以甲,乙
26、,丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率:3 3P =C;(1)2=0.4 4 13 1 0 1 0(I D X 可能取值为 0,1,2,3,则 P(X=0)=(l ;)(l 1)(1|)=(八 1 2 3 1 3 3 1 2 2 1 9P(X=1)=-X-X-+X-X-+x-x-=25 5 25 5 25 5 5 0C、13 2 1 2 2 1 3 3 1 925 5 25 5 25 5 5 01 3 2 3p(X=3)=-x-x-=2 5 5 25X0123P3251 95 01 95 03252 c 3 ,1 9 c 1 9 c 6EX=0 x +l x +2x +3 x =325
27、5 0 5 0 5 021 5.(本小题满分1 2分)一个袋中装有8个大小质地相同的球,其中4个红球、4个白球,现从中任意取出四个球,设X为取得红球的个数.(I )求X的分布列;(I I)若摸出4个都是红球记5分,摸出3个红球记4分,否则记2分.求得分的期望.19.解:(I )X=0,1,2,3,40 r 4 1其概率分布分别为:P(O)=24I=-L C;70叫)=等=殍尸 =詈嗡/U /V/尸(3)=C 8史_,C:C:-1 .其分布列为70 C:70383 54170(I I)E(0 =X 5+x 4+v 7 70(迎+上+(70 70(12 分)16.(本小题满分12分)某班有甲、乙两
28、个学习小组,两组的人数如下:现采用分层抽样的方 法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测.(1)求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率;(2)记X为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.别性 对 甲乙男32女52解:(1)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为(3 +5):(2 +2)=2:1,2 1所以,从甲组抽取的学生人数为x 3 =2;从乙组抽取的学生人数为x 3 =l.3 3设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A,则 尸(A)=g =,C;2 8故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为.6分2 8(2)随机变量X的所有取值为0,
29、1,2,3.ax=o)=f 1*e x=D=*+fg 号C2.C1 C1 C1-C1 9 C2.C1 3P(X=2)=3 5+2 2 =2-p(x=3)=-.=()C:C C:28 (-)C C;5 6所以,随机变量X 的分布列为:X 0 1235 2 593P 2 8 5 62 85 65 2 5 9E X=0 x+l x +2 x+3 x 3_ 52 8 5 6 2 85 6一4 ,12 分17.(本小题满分1 3 分)对甲,乙两名运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计,做出甲的得分频率分布直方图如下,列出乙的得分统计表如下:(1)估计甲在一场比赛中得分不低于2 0分的概率分值 0J
30、 0)10,2 0)2 0,3 0)3 0,4 0)场数102 04 03 0(2)判断甲,乙两名运动员哪个成绩更稳定;(结论不要求证明)(3)在乙所进行的100场比赛中,按表格中个分值区间的场数分布采用分层抽样法取出10场比赛,再从这10场比赛中随机选出2场进一步分析,记这2 场比赛中得分不低于10分 的 场 数 为 求 J的分布列和数学期望。(K2O 4IS)(本小题满分13 分)解:(I )0.72 .2 分(I I)甲更稳定,.5分(HI)按照分层抽样法,在 0,10),10,2 0),2 0,3 0),3 0,4 0),内抽出的比赛场数分别为1,2,4,3,6 分J的取值为0,1,2
31、,.7 分C2 2 1 7分10分P C =2)=空=3C(o 45 1511分J的分布列为:012P7157151157 7 1E4=0+1+2 15 15 1515513 分1 8.(本小题满分12分)甲、乙两位同学各有3张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时甲赢得乙一张卡片,否则乙赢得甲一张卡片.规定掷硬币的次数达6次时,或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设X表示游戏终止时掷硬币的次数。(1)求第三次掷硬币后甲恰有4张卡片的概率;(2)求X的分布列和数学期望E X.解:(1)记“第三.次掷硬币后甲恰有4张卡片”为事件A,则 P(A)=*)3250空气质量类别优良轻度
32、污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2013年 9 月份的30天中随机抽取15天的PM 2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所不.(I)试估计甲城市在2013年 9 月份30天的空气质量类别3 2045 56 47 6978 8079 1809为优或良的天数;(I I )在甲城市这1 5 个监测数据中任取2个,设 X 为空气质量类别为优或良的天数,求 X 的分布列及数学期望。1 7.解:(I )由茎叶图可知,甲城市在2 0 1 3 年 9 月份随机抽取的1 5 天中的空气质量类别为优或良的天数为5 天.所以可估计甲城市在2 0 1 3 年 9 月份3 0 天的空气质量类别为优或良的天数为1 0 天
33、.(I I )X 的取值为0,1,2,因为p(x=o)=i=3,p(x=i)=3,尸(X=2)=2C”7 C 5 2 1 C,5 2 1所以X 的分布列为:X012P371 021223 1 0 2 2所以数学期望EX=0X2+1X +2X*=*7 2 12 1 32 3.(本小题满分1 2 分)某校举行中学生“日常生活小常识 知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分,初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行;每位选手最多有5次答题机会,选手累计答对3 题或答错3 题即终止比赛,答对3 题者直接进入复赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为士,且相互间没有影响.3 求选手甲进入复赛
34、的概率;设选手甲在初赛中答题的个数为X,试求X 的分布列和数学期望.1 9.解:或选手甲答了 4个题,前 3个 2对 1 错,第 4次对进入复赛或选手甲答了 5个题,前 4个 2对 2 错,第 5次对进入复赛呜审评-6 分 选手甲进入复赛的概率P 吟+导3嗤一一7分(I I )X可取 3,4,5-8 分对应X的每一个可能取值,选手可能被淘汰或进入复赛.尸(X=3)=或(?2 3+或(?I 3 =1P(x=4)=唠)3翡+C冲2.若 吟P(X=5)=*)2 .(孑|+喈2 .(孑 1=2-1 1 分分布列为:X345P JO J _3 2 7 2 72 4.盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球
35、,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得一1分.现从盒内任取3个球(I )求取出的3个球中至少有一个红球的概率;(I I)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(I I I)设J为取出的3个球中白色球的个数,求J的分布列和数学期望【答案】(I )P =l-3分(II)记“取出1个红色球,2个白色球”为事件B,“取出2个红色球,1个黑色球”为事件C,贝I J尸(3+(7)=尸(3)+尸(0=C宅.6分U 42(I I I):可能的取值为0,1,2,3.7分软 )=1椅;.11 分2 5 .(本小题满分1 2分)某高校在2 0 1 1年自主招生考试
36、成绩中随机抽取1 0 0名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1组 7 5,8 0),第2组 8 0,8 5),第3组 8 5,90),第4组 90,95),第5组 95,1 0 0 得到的频率分布直方图如图所示.(1)分别求第3,4,5组的频率;(2)若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,(i)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率;(i i)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试,频率设 第4组中有名学生被考官D M面试,求J的分布列和数学期望.0.0 7 H0.060.050.040.03-0.020
37、.0175 8085 90 95 100 分数19.解:(1)第 三 组 的 频 率 为 0.06x5=0.3;第 四 组 的 频 率 为 0.04x5=0.2;第 五 组 的 频 率 为 0.02x5=0.1.3 分(2)(1)设加 学生甲和学生乙同时进入第二轮面试P(M)=i=_ LC;。145(i i)P低=i)=0 2T:2;(j=0、l、2)/02p5“82 2E=H-=1515 3-6 分1 28 115 15-10分-12分2 6.(本小题12分)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到A,B,C 三个社区参加社会实践,要求每个社区至少有一名同学.(I)求甲、乙两人都被分到A 社区
38、的概率;(I I)求甲、乙两人不在同一个社区的概率;(I I I)设随机变量孑为四名同学中到A 社区的人数,求 孑 的 分 布 列 和 的 值.答案42【解析】(1 )记甲、乙两人同时到A 社区为事件当,那么p(E J=岛118即甲、乙两人同时到A 社区的概率是.2分181(I I)记甲、乙两人在同一社区为事件E,那么p(E)=T =一,.4分C;A 6 5所以,甲、乙两人不在同一社区的概率是p(E)=l p(E)=66分(Il l)随机变量J可能取的值为1,2.事件=l ”是指有i个同学到A社区,则 =2)=;.8 分2所以(乡=1)=1一,=2)=,J的分布列是:1 0分12P2331 2
39、分2 1 4:.E 4 =l x+2 x=.3 3 32 7.为了参加广州亚运会,从四支较强的排球队中选出1 8人组成女子排球国家队,队员来源人数如下表:(1)从 这1 8名队员中随机选出两名,求两人来自同一队的概率;对别北京上 海天津八一人数4635(2)中国女排奋力拼搏,战胜了韩国队获得冠军,若要求选出两位队员代表发言,设其中来自北京队的人数为求随机变量J的分布列及数学期望E 44.(理)解:(I )“从 这1 8名队员中随机选出两名,两人来自于同一队”记作事件A,则 2A)=-6._:=-.(5 分)18,(ID 4的所有可能取值为0,1,2.(7分)Ly、八 9 1 ,5 6 6 4二
40、 EC)=0 x +1 X +2 x =一 (1 2 分)1 5 3 1 5 3 1 5 3 92 8.(本题满分1 2分)如图所示,质点尸在正方形4 8 5的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3 一共六个数字.质点夕从1点出发,规则如下:当正方体上底面出现的数字是1,质点?前进一步(如由力到向;当正方体上底面出现的数字是2,质点P前进两步(如由力到。,当正方体上底面出现的数字是3,质点前进三步(如由/到功.在质点户转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止.p-|C(D求质点尸恰好返回到4点的概率;B(
41、2)在质点。转一圈恰能返回到1 点的所有结果中,用随机变量f 表示点户恰能返回到力点的投掷次数,求 f 的数学期望.2 12.解:(1)投掷一次正方体玩具,每个数字在上底面出现都是等可能的,其概率为4=工=不只投掷一次不可能返回到4点;若投掷两次质点尸就恰好能返回到/点,则上底面出现的两个数字应依次为:(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果,其概率为8=铲X 3=:;若投掷三次质点户恰能返回到A点,则上底面出现的三个数字应依次为:(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果,其概率为月=4尸*3=1:O J若投掷四次质点户恰能返回到A点,则上底面出现的四个数字应依次为:(1,1,
42、1,1).其概 率 为 月=(1),=-.1 1 1 3 7所以,质点户恰好返回到力点的概率为:4134+吗平H=1(2)由(1)知,质点尸转一圈恰能返回到4点的所有结果共有以上问题中甲7种情况,f 的可能取值为2,3,4,|+上=_3 3 1 5则尸(f=2)=亍,尸(f=3)=亍,P(i=4)=-,77 7 8=A3 3 1 19 I所以,E =2 X y+3 X y+4 X-=且2 9.某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T (单位:年)有关,若 T W 1,则销售利润为0元;若 1 3,则销售利润为2 0 0 元.设每台该种电器的无故障使用时间T W 1,1 T W 3,T
43、3 这三种情况发生的概率分别为片,吕,鸟,又知4,5为方程2 5 x 2-15 x+a=0 的两根,且 =%(I)求的值;(H)记J表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求 J的分布列及数学期望.2.解:(I)由已知得 解得:1 _ 2 2解得:&=5,与=5,区=5.(I I)J 的可能取值为 0,10 0,2 0 0,3 0 0,4 0 0.P(j=0)=1 1 X=5 5125P(J=10 0)=24x 25 245P C=2 0 0)=2 X -5 5 5x2=J_5 25P(j=3 0 0)=,22 X 一8252x 55P(/匕5=4 0 0)、=2 X 2=45 5 25随机变
44、量J的分布列为010 02 0 03 0 04 0 0P12542582582542514 8 8 4所求的数学期望为 E J=0 X +10 0 X 一 +2 0 0 X 一 +3 0 0 X 一 +4 0 0 X 一 =2 4 0 (元)25 25 25 25 25所以随机变量4的数学期望为2 4 0 元.3 0.袋中有8个大小相同的小球,其中1 个黑球,3个白球,4个红球.(I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(I I)若从袋中一次摸出3个小球,且 3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记 此 时 红 球 的 个 数 为 求4的分布列及数学期望E j.解:(I )
45、摸出的2个小球为异色球的种数为C:C;+C;C;=19 .2分从 8个球中摸出2个小球的种数为C;=2 8 .3 分故所求概率为P =19 .4分2 8(I I)符合条件的摸法包括以下三种:一种是有1 个红球,1 个黑球,1个白球,共有C:C:C;=1 2 种.5分一种是有2个红球,1 个其它颜色球,共有C:C:=2 4 种,.6分一种是所摸得的3小球均为红球,共有=4种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有4 0 种.8分由题意知,随机变量J的取值为1,2,3.其分布列为:4123P310351To3 3 1 9E =l x +2 X-+3 X =-.12 分10 5 10 520.(本小题满分
46、13分)在2014年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中,4,8两个代表队进行对抗赛,每队三名队员,4队队员是8 队队员是8;,人津一按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下表,现按衣中对阵方式出场进行三场比赛,每场胜队得1 分,负队得。分,设4 队,8队最后所得总分分别为小且$+7=3.对阵队员4 队队员胜4 队队员负4 国2T1T2T342.7T(1)求 4 队得分为1 分的概率;(2)求6 的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.21.(本小题满分14分)已知函数/(x)=Inx mx m,m e R.(1)巳知函数”外在点(1 4 1)处与工轴相切,求实数雨的值;(2)求函数
47、/(x)的单调区间;(3)在(1)的结论下,对于任意的0a6,证明/(”小叫 0)x依题意得/(I)=1 一 2 =0 ,即2 =13分当机0时,/(x)=机0,知函数/*)在(0,+8)递增;X/1、一 2(X-)当 相 0 时,/)=-粗-,由/(x)0 得 XG(0,-),由 f(x)0 得x mxw(,+)m即函数/(x)在(0,L)递增,在(工,+8)上递减.9分m m(3)由(1)知机=1,得/(x)=lnx-x+l,对于任意的0。m,9)_ 1,一1可化为b-a a(nb-b)-(na-a)1 1 上八,-一一 1,其中 0。b-a a=丁 旦 1,其中 0 v Q v。如a l lnf f +l 1,即/1r-1由知,函数/(x)在(1,+。)递减,且/=0,于是上式成立故对于任意的0a 8,八力二/(/_ 1成立.b-a a