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1、 勾股定理专题复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,那 么 a+b-c2 公式的变形：a?=c2-b2,b=c-a2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a Z+b c?,那么三角形ABC是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：已知的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大边的平方-最小边的平方=中间边的平方.得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角
2、形。3、勾股数满足1+M=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)(7,24,25)(8,15,17)(9,12,15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.2.如图，以 Rt z A B C 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系.3、四边形 A B C D 中，N B=9 0 ,A B=3
3、,B C=4,C D=1 2,A I)=1 3,求四边形 A B C D 的面积。4,在直线/上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是加*52 S3、，则 S+S?+S3+S4考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1 .在直角三角形中，若两直角边的长分别为1 c m,2 c m ,则斜边长为.2 .（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 o3、已知直角三角形两直角边长分别为5 和12,求斜边上的高.4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A.2倍
4、 B.4倍 C.6倍 D.8倍5、在 Rt A A B C 中，Z C=9 0 若 a=5,b=1 2,则 c=；若 a=1 5,c=2 5,则 b=；若 c=6 1,b=6 0,贝（I a=；若 a：b=3 ：4,c=1 0 贝 I Rt A A B C 的面积是=。6、如 果 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 分 别 为 2 n （n l）,那么它的斜边长是（）A、2 n B、n+1 C n21 D、n2+17、在 Rt A A B C 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（)A.a2+b2=c2B.a2+c2=Z 2C.c2+b2=a2D.以上都有可能8、已知 Rt
5、aA B C 中，Z C=9 0 ,若 a+b=1 4 c m,c=1 0 c m,则 Rt Z X A B C 的面积是（）A,2 4 c m2 B、3 6 c m2 C、4 8c m2 D,6 0 c m29、已知x、y为正数，且 I x-4|+（y-3）如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5 B、2 5 C、7 D、1 5考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高1、如 图 1 所示，等腰中，匚 II,口 是 底边上的高，若求 A D 的长；A A B C 的面积.考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、
6、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.4,5,6 B.2,3,4 C.1 1,1 2,1 3 D.8,1 5,1 72、若线段a,b,c组成直角三角形，则它们的比为（）A、2 ：3 ：4 B、3 ：4 ：6 C、5 ：1 2 ：1 3 D、4 ：6 ：73、下面的三角形中：A B C 中，Z C=Z A-Z B；A A B C 中，Z A：Z B：Z C=1：2：3；A A B C 中，a：b：c=3：4：5；!?（：中，三边长分别为8,1 5,1 7.其中是直角三角形的个数有（）.A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个4、将直角三角形的三条边
7、长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形5、A A B C 的两边分别为5,1 2,另一边为奇数，且 a+b+c 是 3的倍数，则 c应为此三角形为考点五：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题1、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中匚 二1 米，【J,1，因某种活动要求铺设红色地毯，则在4 8 段楼梯所铺地毯的长度应为考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？AC2、一架长2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上
8、，梯子底端距离墙底0.7 机（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 6，那么梯子底端将向左滑动米0.4B3、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.考点七：折叠问题1、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。c C2、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9 cm,宽AB=3cm,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5,则正方形
9、A,B,C,D的面积的和为考点十：与展开图有关的计算（图1）1、如图，在棱长为1 的正方体A BC D A B C D的表面上，求从顶点A到顶点C的最短距离.考点十一：网格问题1 s 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形A B C 中，边长为无理数的边数是（）A.0 B.1 C.2 D.32、如图，正方形网格中的 A BC,若小方格边长为1,则A A B C 是（）A.直角三角形 B.锐 角 三 角 形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对3、如图，小方格都是边长为1 的正方形，则四边形A BC D 的 面 积 是（）A.2 5B.1 2.5C.9D.8.5B（图 1）（
10、图 2）（图 3）A4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形:使三角形的三边长分别为3、瓜、污（在图甲中画一个即可）;使三角形为钝角三角形且面积为4 （在图乙中画一个即可）.甲乙考点十二：实际问题中应用勾股定理例 1、如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m,长 1 3 m,宽 2 m 的楼道上铺地毯，已知地毯平方米1 8 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?练习1.如图，长方体三条棱的长分别为4 c m,3 c m,2 c m,蚂蚁从A l 出发，沿长方体的表面爬到C点，则最短路线长是cm.练习2.如图，ZA0B
11、=90,0A=45cm,0B=15cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着A0方向匀速滚向点0,机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？例2、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发.现有一 C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CALCB,如图13所示.为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明。C图13练 习 1.“中华人民共和国道路交通
12、管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过7 0 千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方6 0 米处的C点，过了 5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为1 0 0 米.(1)求 B C 间的距离；(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由.5小 群了小汽车IIIII-O-/观测营练习2.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向1 0 0 k m 的 B处有一台风中心，沿 B C 方向以2 0 k m/h 的速度向D移动，已知城市A到 B C 的距离A D=6 0 k m,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点
13、？如果在距台风中心3 0 k m 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？实数专题复习本章的知识网络结构:问题情境实应用后里数的引入 算术平方根面 里 数 的 表 示，平方根L立方根_ 修 念分类实数及相关概念，绝对值、相反数实数与数轴上点的对应I实数运算和比较大小知识梳理一.数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数X的平方等于a,那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当/=。(。之0)时，我们称x是a的平方根，记做：x =J Z(a N O)。因此：4.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；5 .当a 0时，也就是a为
14、正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x=+4a。6.当a ,痫 的 立 方 根 是 2,y 仕 8 y =4 o其中正确的有()A、1 个B、2 个C、3 个D、4个【无理数】（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率乃以及含有万的一些数，如：2-万，3%等；（2）开方开不尽的数，V 2,V 5,V 9等；（3）特殊结构的数：如：2.01 0 01 0 001 000 01 （两 个 1 之间依次多1 个 0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：、
15、何 等；无理数也不一定带根号，如：乃（2）有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例 4.（1）下列各数：3.1 4 1、0.33333、Ji-行、n、土,2.2 5、一2、30.3030003000003（相邻两个3 之间0 的个数逐次增加2）、其中是有理数的有;是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.1 2 5 1 2 5，0.1 0 1 0 0 1 0 0 0 1，-乃，正 其 中 无 理 数 有（）个A 2 B 3 C 4 I）5【
16、实数】（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。（2）实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是,（a 0）；实数a的绝对值|a|=aa（a 0）,它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。-a（a -Jh a（3）比较大小（填“”或）.3 _V1O,-V3 V20.7A/6 6 x/7 ,（4）数 ,一2,3的大小关系是（）A.-3 -2 B.-3 -/7 -2 C.-2 -3D.-3 -2 -V?（5 ）将 下 列 各 数：2,7 3,-1-7 5 ,用“”连 接 起 来；(6)若 时=3,北=2,且 ab
17、0,则 ab=1；()2.把下列各数分别填入相应的集合里22 3 I_ JJ-|-3|,21.3,-1.234,-,0,y/9,，一 万，乖，(镜一十),3-2,ctg45,1.2121121112.中无理数集合 负分数集合 整数集合 )非负数集合 )*3.已知 l x 2,则|x 3|、/(l-x)2 等 于()(A)-2 x (B)2 (C)2 x (D)-24.下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？-3,y2-1,3,-0.3,3，1 他，3：互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5.已知x、y是实数，且(X 小)2 和|y+2 1 互为相反数，求 x ,y的值6.a,
18、b 互为相反数，c,d互为倒数，m 的绝对值是2,、|a+b|求而石 +4 m-3 cd=*7.已知(a-3 b )+|a-4 Iya+2=0,求 a+b =三、解题指导：1 .下列语句正确的是()(A)无尽小数都是无理数(B)无理数都是无尽小数(C)带报号的数都是无理数(D)不带报号的数一定不是无理数。2 .和数轴上的点一一对应的数是()(A)整数(B)有理数(C)无理数(D)实数3 .零 是（）（A）最小的有理数（B）绝对值最小的实数（C）最小的自然数（D）最小的整数4 .如果a 是实数，下列四种说法：（1）a?和 I a I都是正数，（2）I a I =-a,那么a 一定是负数，（3）a
19、 的倒数是,，（4）a 和一a 的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（）a（A）0 （B）1 （C）2 （D）3*5.比较下列各组数的大小：3 4 3 f I 1 1（1）7 C （2）-y12（3）a b 0 时，一 4 5 2 V v a 一 b,1 4_a21+/a+b ,2 a+3 b ,.6.若 a,b 满足J三 F =0,则-的值是a+2 a-*7.实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中0 是原点，且|a|=|c|（1）判定 a+b,a+c,c-b 的符号:（2）化简|a|-|a+b|+1 a+c|+1 c-b|*8.数轴上点A 表示数一1,若 A B=3,则点B 所表示的数为9
20、.已知 x 知,y 0,且 y|x|用“0y0 x0 x0y0y0(m,m)(m,-m)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.七、用坐标表示平移：见下图知识一、坐标系的理解例 1、平面内点的坐标是（）A 一个点 B 一个图形 C 一个数 D 一个有序数对常考题及易错题1.在平面内要确定一个点的位置，一般需要 个数据;在空间内要确定一个点的位置,一般需要 个数据.2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是()A 原点0不在任何象限内 B 原点。的坐标是0C 原
21、点。既在X轴上也在Y轴上 D 原点0在坐标平面内知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标点在x 轴上,坐标为(x,0)在 x 轴的负半轴上时,x0点在y 轴上,坐标为(0,y)在 y 轴的负半轴上时,y0第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x直线上)；坐 标 点(x,y)xy0第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y=-x直线上)；坐标点(x,y)xy0例 i点 p 在 轴上对应的实数是一石，则 点 P 的坐标是，若 点 Q 在,轴上对应的实数是:，则点Q 的坐标是,例 2 点 P (a-l,2 a-9)在 x 轴负半轴上，则 P点坐标是.常考题及易错题1、点 P(
22、m+2,m-l)在 y轴上，则点P的坐标是.2、己知点A (m,-2)，点 B (3,m-l)，且直线A B x 轴，则 m的值为.3、已知:A(1,2),B(x,y),A B /x 轴，且B到y 轴距离为2,则点B的坐标是.4 .平行于x 轴的直线上的点的纵坐标一定()A.大于0 B.小于0 C.相等 D.互为相反数(3)若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a=.(3)己知点P (X2-3,1)在一、三象限夹角平分线上，则 x=.5 .过点A (2,-3)且垂直于y 轴的直线交y 轴于点B,则点B坐 标 为().A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-3)D.(-3,0
23、)6.如果直线AB平行于y轴，则点A,B的坐标之间的关系是（）.A.横 坐 标 相 等B.纵坐标相等C.横坐标的绝对值相等D.纵坐标的绝对值相等知识点三：点符号特征.点在第一象限时，横、纵坐标都为一，点在第二象限时，横坐标为，纵 坐 标 为 一，点有第三象限时，横、纵 坐 标 都 为 一，点在第四象限时，横 坐 标 为 一，纵坐标为；丫轴上的点的横坐标为一,x轴上的点的纵坐标为.例 1.如果ab0,且abVO,那么点（对）在（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限，D、第四象限.例2、如 果 上 0.则点P在第 象限;若点P（x,y）的坐标满足xy 0,且在x轴上方，则点P在第 象限.若点
24、P（a,b）在第三象限，则点P（a,b+1）在第 象限；5 .若 点 加)在 第 二 象 限,则 下 列 关 系 正 确 的 是 ()A.0?1 B.m 0 D.m 16 .点(x,i 1)不可能在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7 .已知点P(2 元一1 0,3-X)在第三象限，则x的取值范围是()A .3 x 5 B.3 x 5 或 x 3 D.x 2 5 或工 0；(3)x+y=0.点人(1-行,)在 第 象限.(3)横坐标为负，纵坐标为零的点在()(A)第一象限(B)第 二 象 限(C)X 轴的负半轴(D)Y 轴的负半轴(4)如果a-b 0,且 a b P”P
25、 i ，P 2017的位置，则 P 2017的横坐标Xa o i 7=.17.如 图 ，在A A O B 中，Z A O B=90,O A=3,O B=4.将 A O B 沿 x 轴依次以点 A、B、0 为旋转中心顺时针旋转，分别得到图、图 、，则旋转得到的图的直角顶点的坐标为.19.已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形O ABC是矩形，点 A、C的坐标分别为A(10,0),C(0,4),点 D是 OA的中点，点 P在 BC边上运动.当 O D P是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.20.阅读材料:例：说 明 代 数 式 才T IM(x-3)2+4的几何意义,并求它的最小值
26、.解：7 x2+l-h/(X-3)2+4=7(x-o)2+12+7(X-3)2+22 如图，建立平面直角坐标系，点P (x,0)是x轴上一点，则J(x-O)2十2可以看成点P与点A (0,1)的距离，J(x-3)2十？2可以看成点P与点B (3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段P A与P B长度之和，它的最小值就是P A+P B的最小值.设点A关于x轴的对称点为A，则P A=P A T因此，求P A+P B的最小值，只需求P A 4P B的最小值，而点A B间的直线段距离最短，所以P A 4P B的最小值为线段A，B的长度.为此,构造直角三角形A，C B,因为A，C=3,C B=3,所以A B=3 j，即原式的最小值为3 y年.根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)代数式2+,4 _ 2)2+9的值可以看成平面直角坐标系中点P(X,0)与点A (1,1)、点B 的距离之和.(填写点B的坐标)(2)代数式 x 2+49+Yx 2-12x+3 7的最小值为-