《2020年高考数学真题试卷（天津卷）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学真题试卷（天津卷）.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、阅卷人得分2020年高考数学真题试卷（天津卷）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共 9 题；共 45分）1.（5 分）设全集 U =-3,-2,-1,0,1,2,3 ,集合 A=-1,0,1,2 ,B=-3,0,2,3 ,则3）=（）A.-3,3 B.0,2 C.-1,1 D.-3,2,1,1,3【答案】C【解析】【解答】由题意结合补集的定义可知：C yB=-2,-1,1 ,则 A n （QB）=-1,1）.故答案为：C.【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.2.（5 分）设 a e R ,贝-a 1 ”是 a?a”的（）A.充分不必
2、要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】求解二次不等式。2 a 可得：a l或 a 1是a2 a的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.3.（5 分）函数y =若 的 图 象 大 致 为（）【解析】【解答】由函数的解析式可得：/（一%）=3 希=/（%），则函数/（X）为奇函数，其图象关于坐标原点对称，C D 不符合题意；当=1 时，y=2 0,B 不符合题意.故答案为：A.【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
3、4.（5 分）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm）,将所得数据分为9 组：5.31,5.33）,5.33,5.35）,-,5.45,5.47,5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间5.43,5.47）内的个数为（）算率，但即A.1 0 B.1 8 C.2 0 D.3 6【答案】B【解析】【解答】根据直方图，直径落在区间 5.4 3,5.4 7)之间的零件频率为：(6.2 5 +5.0 0)x0.0 2 =0.2 2 5 ，则区间 5.4 3,5.4 7)内零件的个数为：8 0 X 0.2 2 5 =1 8 .故答案为：B.【分析】根据直方
4、图确定直径落在区间 5.4 3,5.4 7)之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.5.(5 分)若棱长为2 b 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.1 2 7 T B.2 4 兀 C.3 6 兀 D.1 4 4 7 r【答案】C【解析】【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即 R=J(2 6)+(2,)2+(2 宙=3 ,所以，这个球的表面积为S-4nR2-4n X 32 3 6 7 r .故答案为：C.【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.6.(5 分)设 a=3 ，7,b=()-0,8,c=l
5、 o g0 70.8 ,贝 i j a,b,c 的大小关系为()A.a b c B.b a c C.b c a D.c a l ,b=(J)-8=30-8 30-7=a,c=l o go 7。8 l o go 7。7 =1，所以 c 1 a 0,b 0),过抛物线产=轨 的焦点和点(0,b)a b的直线为1.若C的一条渐近线与I平行，另一条渐近线与1垂直，则双曲线C的方程为()A.琴=1 B.x2-=l C.孝 y 2 =i D.x2-y2=l4 4 4 4 J【答案】D【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为(1,0),所以直线I的方程为x+l=l ,即直线的斜率为 b,又双曲线的渐近线的方
6、程为y=+-x,所 以-b=-2，-bx2=l ,因 为a 0,b 0,J 一 a a a解得 a=l,b =1 .故答案为：D.【分析】由抛物线的焦点(1,0)可求得直线I的方程为x+l=l,即得直线的斜率为-b,再根据双曲线的渐近线的方程为y =+-x ,可 得-b=旦，-b x-=-l即可求出a,b,得到双曲线的方程.8.(5分)已知函数/(x)=s in(x +J).给出下列结论:/(x)的最小正周期为2兀；f g)是/(%)的最大值；把函数y=si n%的图象上所有点向左平移J个单位长度，可得到函数y=/(%)的图象.其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【解
7、答】因为f(x)=si n Q +各，所以周期丁 =生=2兀，故正确；J CD/g)=si n g +3)=si n等=3力1 ，故不正确；将函数y=si n%的图象上所有点向左平移I个单位长度，得 到y=si n(x +金 的图象，故正确.故答案为：B.【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.9.（5 分）已知函数/（x）=若函数 g（x）=/（%）_ k x2 _ 2x（k e R）恰有 4 个零V X f X 0,1,%0因 为 八（切=侨=y=2与/1（%）=9 系 有 2个不同交点，不满足题意;当 k 0时，如图3,当 y=Z x 2与 y=/相切时，联立方程得x2 kx
8、+2=0,综上，k的取值范围为(c o,0)U (2A/2,4-oo).故答案为：D.【分析】由g(0)-0,结合已知，将问题转化为y=|依-2|与%(%)=%系 有3个不同交点，分k=0,k 0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共3 0分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分，(共6题；共30分)1 0 .(5分)i是虚数单位，复数 曷=.【答案】3-2 i【解析】【解答】宗=图豺=与纳=3-2故答案为：3-2 i.【分析】将分子分母同乘以分母的共班复数，然后利用运算化简可得结果.阅卷人得分1 1 .(5分)在(X +命5的展开式中
9、，的系数是.【答案】1 0【解析】【解答】因 为(x +)5的展开式的通项公式为G+1 =图5-&=麾.2。5-3 =0,1,2,3,4,5),令 5 -3 r=2 ,解得 r=1 .所 以X2的系数为Cj X 2 =1 0 .故答案为：1 0.【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令%的指数为2,即可求出.1 2 .(5分)已知直线x V 3 y+8 =0和 圆x2+y2=r2(r 0)相交于A,B两 点.若AB =6 ,则 r 的值为.【答案】5【解析】【解答】因为圆心（0,0）到直线x-V 3 y +8 =0的距离4 =2=4 ,由 AB =2 V r2 d2 可得 6 =2 V r2
10、 42，解得 r=5 .故答案为：5.【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d,进而利用弦长公式AB =2 v p=R，即可求得r.1 3.（5 分）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为|和 J .假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙 两 球 都 落 入 盒 子 的 概 率 为;甲、乙 两 球 至 少 有 一 个 落 入 盒 子 的 概 率 为.【答案畤；|【解析】【解答】甲、乙两球落入盒子的概率分别为|,且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙 都 落 入 盒 子 的 概 率 为=1,甲、乙两球都不落入盒子的概率为（l-1）x（l-1）=|,所以甲、
11、乙两球至少有一个落入盒子的概率为|.故答案为：*;g .【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.14.（5 分）已知a 0,b 0 ,且 a b=1,则 4+4+岛的最小值为.【答案】4【解析】【解答】a 0,b 0,.-.a+b 0 ,帅=1,.金+左+岛=|+符+岛=绊+32|孚x 2=4，当且仅当a +b=4时取等号，2 a+b-7 2 a+b结合 a b=l ,解得 =2-7 3 =2+73 ,或 a =2+73 =2-V3 时，等号成立.故答案为：4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为
12、 空+金，利用基本不等式即可求解.L a+b15.（5 分）如图，在四边形 A B C。中，Z.B =6 0 ,AB =3,B C =6 ,且 而=2阮，AD-通=一|,则实数A 的值为,若M,N是线段BC上的动点，且|而|=1，则DM-D N的最小值为【答案】1；竽【解析】【解答AD=XB C -.AD/B C ,B AD=180-ZB=120,AB AD=AB C -AB=A|BC|丽cosl20。=1 3A x 6 x 3 x(-1)=9A=-f解 得 A=，o以点B 为坐标原点，BC所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xB y,v B C=6,工 C(6,0),:网 =3,乙
13、4BC=60。，.的坐标为4(|,竽)，.又.同=就，则 D,等)，设 M(x,0),则 N(x+1,0)(其中 0 x /2,b=5,c=s/13及余弦定理得c a2+b2-c2 8+25-13 发cs C =2a b=必诏=兀 又因为Cc（O,兀），所 以。=今；2（I I）在 M B C中，由C =J,a =2V2,c=V 1 3及正弦定理，可 得s i nA =当 工=咨 殳vc 7132713 .13，（I H）由a砒=即12y +z =M n.E D=O,即 卜 一 =0,不妨设x=1,可 得n=(1,-1,2).c os =,|C 4|同 2x 76 6:.s in =J l -
14、c os2 =所以，二面角B B、E D的正弦值为 绥；o(IH)依 题 意,AB =(-2,2,0).由(II)知 n=(1,-1,2)为平面 DB E 的一个法向量，于是 c os -=rE=|i4B|-|n|2V 2X V 6_V3.所以，直 线A B与平面D B i E所成角的正弦值为字.【解析】【分析】以C为原点，分别以C A,C B,C C 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.(I )计算出向量G M和 瓦方 的坐标，得 出G M-B l D =0，即可证明出Q M _ LB iD；(II)可知平面B B i E的一个法向量为CA，计算出平面B i E D的一个法向
15、量为n,利用空间向量法计算出二面角B-B.E-D的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；(III)利用空间向量法可求得直线A B与平面D B E所成角的正弦值.18.(15分)已知椭圆+*l(a b 0)的一个顶点为4(0,-3),右焦点为F,且0A=0F ,其中。为原点.(I)求椭圆的方程；(I I)已知点C满 足3沆=丽，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直 线A B与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段A B的中点.求直线A B的方程.【答案】解：(I )椭 圆4 +4=l(a fe 0)的一个顶点为4(0,-3),b=3,由 0A=0F ,得 c =b =3,又由 a2=b2+
16、c2，得 a2=32+32=1 8，所以，椭圆的方程为够+导=1 ；(ID 直 线A B与以C为圆心的圆相切于点P,所 以C P J L AB ,根据题意可知，直 线A B和直线CP的斜率均存在，设直线A B的斜率为k,则直线A B的方程为y +3=kx ,即y =kx 3,y=kx-3 12kx2 y2 _,消去 y ,可 得(2k2+1)X2-12kx=0 ,解得 X =0 或 X =,18+V=12k+1将=12k2k2+l代入 y=kx-3,得 y=k 孑-3=.2 d+l 2kz+l2所以，点B的坐标为（手 ，纥 二 当，2f cz+l 2f cz+l因为P为线段A B的中点，点A的
17、坐标为（0,-3）,所以点P的坐标为（音 一,一），2k+l 2+1由3而=OF,得 点C的坐标为（1,0）,所以，直 线CP的斜率为kC P又因为C P 1 A B,所 以k,-322A+16k-22k+1332必-6k+l2k2-6k+l整理得2k2-3/c +1=0 ,解 得k=4或k=1.所以，直 线A B的方程为y =；x 3或y=x 3.【解析】【分析】（I）根据题意，并借助a2=b2+c2,即可求出椭圆的方程；（II）利用直线与圆相切，得 到C PJ.AB,设出直线A B的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进而求出P点坐标，再根据C P 1 A B,求出直线A B的斜率，从而
18、得解.19.（15分）已知 册为等差数列,bn为等比数列，%=必=l,a5=5（a4-。3）,既=4（久-久）.（I）求 an和 2 的通项公式；（II）记 an）的前 n 项和为 Sn,求证：SnSn+2 +i（n E N*）；（3：丁）%,R为奇数,（III）对任意的正整数n,设Q an+2 求数列%的前2 n项和.小=1,R为偶数.V Dn+1【答案】解：（I ）设 等 差 数 列 的 公 差 为d,等比数列 匕的公比为q.由=1,的=5（。4 一。3），可得 d=l.从 而an的通项公式为an=n.由 比=1,%=4（匕4 一 人3），又 q 0,可得 q 2 _ 4 q +4=0 ,
19、解得 q=2,从 而%的通项公式为bn=2r lT.(H)证明：由(I)可得故 5品+2=品5+1)5 +2)5+3),s K i=/(n +l)2(n+2)2,从而 SnSn+2 =(n 4-l)(n+2)-3 时.，求证：对任意的 Xlt X2 G l,+o o)，且 冷，有/-1)+/(%2)、2 /一/(生)xl-x2【答案】解：(I)当 k=6 时，/(x)=x3+6 1 n x ,/(%)=3/+(.可得/=1，f(l)=9 ,所以曲线y=/(%)在 点(1,/(1)处的切线方程为y -1 =9(%-1),即y =9 x -8.(i i)依题意，(x)=x3-3 x2+6 1 n
20、x +-,x E(0,4-o o).从而可得 g(%)=3%2 一 6%+3 ,3整理可得：g(x)=3(x T)(x+l),令 gQ)=，解得 x=i.当X变化时，g(x),g。)的变化情况如下表：X(0,1)X=1(L+8)g(x)0+9(%)单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8)；g(x)的极小值为g(l)=l ,无极大值.(I I )证明：由 /(%)=+klnx,得/(%)=3%2+1.对任意的%1，%2 E 1,+8)，且1%2，令 吉=(1)，则(X i-)(/(/)+/。2)2(/(久1)一 /(x2)k k=0 1 必)
21、(3*+4-3 x 4-)-2(以 一球+kin勺 1 2=%2 3%1%2 +3%!%2 +-2崎=以(户3 t之 +3 t 1)+k(t 2 1 n t).(T)令/i(x)=%-2 1 n x,x 6 1,4-o o).2当 X 1 时，/(X)=1+a-=(1 一 0)由此可得h(x)在L+8)单调递增，所以当t l时，h(t)/i(l),即t-1-2 1 n t 0 .因为尤221，t3-3 t2+3 t-l =(t-l)3 0 k -3 ,所以%2 3 t 2 +3 t 1)+k(t y 2 1 n t)(t，3 t 2 +3 t 1)3(t y 2 1 n t)=t3-3 t2+
22、6 1 n t +y -1 .由(I)(i i)可知，当 tl 时，g(t)g(l)，即 t3-3 t2+6 1 n t +1 1 ,故 3 t 2 +6 1 n t +1 -1 0(3)由 可 得(X i -x2)(f(X 1)+f(x2)-2(f(X 1)-f(x2)0 .所以，当k -3时，任意的x i，x2 1,+8)，且%2，有八叼)+/(%2/(q)一/6).2X 1-x2【解析】【分析】(I)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(i i)首先求得g(x)的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；(I I)首先确定导函数的解
23、析式，然后令宗=，将原问题转化为与t有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）60.0(40.0%)主观题（占比）90.0(60.0%)题量分布客观题（占比）12(60.0%)主观题（占比）8(40.0%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.9(45.0%)45.0(30.0%)填空题：本大题共6小题，每小题5 分，共 30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3 分，全部答对的给5 分，6(30.0%)30.0(20.0%)解
24、答题：本大题共5小题，共 75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.5(25.0%)75.0(50.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(50.0%)2容易(40.0%)3困难(10.0%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1补集及其运算5.0(3.3%)12频率分布直方图5.0(3.3%)43用样本的频率分布估计总体分布5.0(3.3%)44等比数列的通项公式15.0(10.0%)195直线与圆锥曲线的综合问题15.0(10.0%)186等差数列的通项公式15.0(10.0%)197两角和与差的正弦公式14.0(9.3%)168相互独立事件的概率乘
25、法公式5.0(3.3%)139双曲线的简单性质5.0(3.3%)710数列的求和15.0(10.0%)1911正弦定理14.0(9.3%)1612利用导数研究曲线上某点切线方程16.0(10.7%)2013复数代数形式的乘除运算5.0(3.3%)1014点到直线的距离公式5.0(3.3%)1215用空间向量求直线与平面的夹角15.0(10.0%)1716双曲线的定义5.0(3.3%)717三角函数的周期性及其求法5.0(3.3%)818函数的零点与方程根的关系5.0(3.3%)919基本不等式5.0(3.3%)1420余弦定理14.0(9.3%)1621平面向量数量积的含义与物理意义5.0(3
26、.3%)1522一元二次不等式的解法5.0(3.3%)223二倍角的正弦公式14.0(9.3%)1624利用导数研究函数的极值16.0(10.7%)2025函数奇偶性的性质5.0(3.3%)326根的存在性及根的个数判断5.0(3.3%)927二倍角的余弦公式14.0(9.3%)1628二次函数在闭区间上的最值5.0(3.3%)1529必要条件、充分条件与充要条件的判断5.0(3.3%)230函数y=Asin(u)x+(p)的图象变换5.0(3.3%)831平面向量数量积的运算5.0(3.3%)1532三角函数的最值5.0(3.3%)833二次函数的性质5.0(3.3%)1534对数函数的单调性与特殊点5.0(3.3%)635椭圆的定义15.0(10.0%)1836利用导数研究函数的单调性16.0(10.7%)2037向量语言表述线线的垂直、平行关系15.0(10.0%)1738二项式定理5.0(3.3%)1139交集及其运算5.0(3.3%)140函数的图象5.0(3.3%)941球的体积和表面积5.0(3.3%)542指数函数的单调性与特殊点5.0(3.3%)643用空间向量求平面间的夹角15.0(10.0%)17