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1、2021年高考数学真题试卷（天津卷）阅卷人得分一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共9题；共4 5分）1.(5 分)设集合 A=-1,0,1 ,B=1,3,5 ,C=0,2,4 ,则 Q 4nB)U C=()A.0 B.0,1,3,5 C.0,1,2,4 D.0,2,3,4)【解析】【解答】解：由题意得A C B=1 ,则(A A B)UC=0,1,2,4【答案】C故答案为：C【分析】根据交集，并集的定义求解即可.2.(5 分)已知 a C R ,则“a 6”是 a2 3 6”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【答案】A
2、【解析】【解答】解：当a 6时，a 2 3 6,所以充分性成立;当a2 3 6时,a 6,所以必要性不成立,故“a 6”是“a 2 3 6”的充分不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分必要条件的定义求解即可.3.)B.c.D.【答案】B【解析】【解答】解：/(一%)=哉*=黑 =/(%),则函数f(x)=黑 是 偶 函数，排除A,C,当 x e(O,1)时，ln|x|0,则 f(x)0,排除 D.故答案为：B【分析】由函数为偶函数可排除A C,再由xG(O,1)时，f(x)0,排除D,即可得解.4.(5 分)从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分
3、为8 组：66,70),70,7 4),，94,98,并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在【答案】D【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知，评 分 在 区 间 82,8 6)内的影视作品数量是400 x0.05x4=80.故答案为：D【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.5.(5 分)设 a=log20.3,b=logi0.4,c=0.403,则小 b j c 的大小关系为()2A.a b cB.c a bC.b c aD.a c b【答案】D【解析】【解答】解：log20.3k)g21=0,log22=1,.-.bl2V00.4(,30.4=l,A0clac 0,6 0)的右焦点与
4、抛物线y2=2px(p 0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A,3 两点，交双曲钱的渐近线于C、。两点，若 CD=yf2AB.则双曲线的离心率为()A.V2 B.V3 C.2 D.3【答案】A【解析】【解答】解：设双曲线 一 =I 9。，b 0)与抛物线y2=2pX(p 0)的公共焦点为(c,0),则抛物线y2=2p%(p 0)的准线为x=-c将 X=-C代入5 T=1，得及一=1，解得y=士。所以|4 B|=4，又因为双曲线的渐近线为y =tx，所以|C D|=拳,所以2 b c =2夜房,贝 此=或6a a所以/=c2 /)2=i f2所以双曲线的离心率为e =V 2故答案为：A【分析】
5、根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.9.(5 分)设 QR ,函数/(X)=C OS(2T T X 2na).x2 2(a +l)x +a?+5，x ax 若/在 区 间(，+o o)内恰有6个零点，则。的取值范围是()A.(2,汕(斗C.(2,爸 U 4，3)【答案】AB.(,2)U (|,学)D.卷 2)U 耳，3).【解析】【解答】解：x 2-2(a+l)x+a 2+5=0最多有2个根,/.co s(2 7r x-2 7ca)=0 至少有 4 个根，由2兀 2 7m =微 +kn,k 6 Z,得 =?+,+口，k W Z1-4+cf-21-2-1-2(1)当x a时，
6、当一5 2Q 5 V 4时，f(x)有4个零点，即彳V a V 彳;当一6 2 a i 5时，f(x)看5个零点，即摄V a V 芋*;当一7工 2ct i a 时,f(x)=x2-2(a+l)x+a2+5A=4(a+1 )2-4(a2+5)=8(a-2)当a 2时,A 2 时，令 f(a尸a 2-2(a+l)a+a 2+5=-2 a+5K),则2 割寸，f(x)有1个零点：综上，要是f(x)在 0,+8)上有6个零点，则应满足 134-2a-%a429-4afill或9-45-2-aa7-42则a的取值范围是(2,1 u (|,【分析】由x2-2(a+l)x+a2+5=0最多有2个根，可得c
7、o s(2 7r x-2 7i a)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想，根据x +1 =嚎(2%3)6-)=2 6-.娱%1 8-4 r令 1 8-4 r=6,得 r=3所以好 的系数是2?d=1 60【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.1 2 .(5分)若斜率为V 3的直线与y轴交于点A,与 圆x2+(y-I)2=1相切于点8,则AB=.【答案】V3【解析】【解答】解：设直线A B的方程为y=V3x+b,则点A(0,b)直线A B与 圆x2 +(y-I)2=1相切殍i=l,解得 b=-l 或 b=3所以|AC|=2XV|BC|=1AB=yJAC2-BC2=V3故答案为：V3【分析】
8、根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可.13.（5分）若a 0,b 0，则J +S +b的最小值为.【答案】2V2【解析】【解答】解：Va0,b0,*+/+6 2口1 +。=6 2炉=2当且仅当：=/且,=b，即a=b=注时等号成立所以1+/+b的最小值是2/.【分析】利用基本不等式求解即可.14.（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为|和 春，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲 获 胜 的 概 率 为,3次活动中，甲
9、至少获胜2次的概率为.【答案】|；20【解析】【解答】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为得x g =|,2 3则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为喘乂传）x J +（|）=弱故答案为：|,患【分析】根据甲猜对乙没猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，再根据n次独立重复试验的概率求法求解即可.15.（5分）在边长为1的等边三角形A 8C中，。为线段8 C上的动点，DE 1 A B且交4 8于点E.DF/AB且交AC于点F,则2BE+DF的值为;（DE+DF）-0 4的最小值为.【答案】11【解析】【解答】解：设BE=x,x G（0,ABC为边长为1的等边三角形，DELAB.,.ZBDE=3
10、0,BD=2x,DE=V3x,DC=l-2xVDF/AB DFC为边长为l-2x的等边三角形，DE1DF/t 2 2 2(28E+OF)=4BE+4BE-DF+DF=4%2+4x(1-2%)-cosO+(1-2x)2=1A 2BE+DF=12，(法+茄)&=(法 +而).(而 +或)=法 +DF-EA(V3x)2+(1-2x)x(1-%)=5x2-3%+1=5 fx-则当x=磊时，（茄+茄 小取得最小值为名故答案为：1,第【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.（共5题；共75分）
11、16.（14分）在 力 B C，角 4,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知sinA；sinB：sinC=阅卷人得分2：1：y/2,b=V2.(1)(4.5分)求。的值；(2)(4.5 分)求 cosC 的值；(3)(5 分)求 sin(2C-1)的值.【答案】(1)因 为 sin4：sinB；sinC=2；1；V2 由正弦定理可得a：b：c=2：1：V2,v b V2,A a 2y2,c=2;(2)由余弦定理可得cose=上 先 生=q.2ab 2x242x42 4(3)v cosC=，sinC=V1 cos2C=,，sin2C=2sinCcosC=2 x g x,=，cos2c=2cos
12、2c-l=2 x-1=,F ir；hl.s r 、.”n”.n 377 73 11 3721-1sin(2C n)=sin2ccos cos2C sin o x-5 G x 不=,o o o o z o z io【解析】【分析】(1)根据正弦定理直接求解即可；(2)根据余弦定理直接求解即可；（3）根据同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.1 7.（1 5 分）如图，在棱长为2的正方体A B C D-A i B i C i D i 中，E为棱B C 的中点，口为棱C。的中点.（1）（5 分）求证：。/平面 A1E Cl；（2）（5 分）求直线A Q与平面A1E C1所成
13、角的正正弦值.（3）（5分）求二面角A-A -E的正弦值.【答案】（1）以A为原点，A B,A D,AA1分别为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,则 4(0,0,0),公(0,0,2),8(2,0,0),C(2,2,0)的(2,1,2),i(0,2,2),因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所 以E(2,1,0),所 以 帝=(1,0,-2),=(2,2,0),布=(2,1,设平面A1E C1的一个法向量为m=(%1,y1，z。，D(0,2,0)F(l,2,0),_ 2),则 访,A =2%i+2%=。m -ArE -2%1+为 一 2zi 0令=2,贝ij m=(2,一 2,1),因
14、为麻 沅=2 -2=0,所以.因 为DF t平 面A1E C1,所 以DXF/平 面&EC1；(2)由(1)得，石=(2,2,2),设直线ACr与平面力1EC1所成角为6,则sin”|cos你 花 1 =1需施1=获 宗=噂；（3）由正方体的特征可得，平 面4 4 1 Q的一个法向量为说=（2,-2,0），则 cos(DB,in)=D B m=8=2/2DB-m 3x2/2 所以二面角A E的正弦值为J l COS2（D B,而=【解析】【分析】（1）根据向量垂直的充要条件求得平面&E C 1的一个法向量荒，再利用向量法直接求证即可;（2）先求出Ac1，再由sin=,os|求解即可;T TT
15、T T TTlDB（3）先求出平面4 4 1 6的一个法向量DB，再由cos 6 0）的右焦点为F,上顶点为8,离心率为 婆，且a b5BF=V5.（1）（7.5分）求椭圆的方程；（2）（7.5分）直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与8尸垂直的直线交x轴于点P.若MP/BF,求直线/的方程.【答案】(1)易知点 F(c,0)、B(0,b),故 BF=Vc2+b2=a=V5 因为椭圆的离心率为e=挛，故c=2,b=Va2-c2=1.a 5因此，椭圆的方程为+y2=l ；（2）设 点MQo，y0）为椭圆1+y2=i上一点，先证明直线M N的方程为 等+为 丁=1,-F-+y
16、oy =1联立 2 ，消去 y 并整理得 x2-2x0 x+XQ=0 ,A =4%o-4XQ=0 ，l 卷+V=i在直线M N的方程中，令4 =0 ,可 得y =/,由题意可知y0 0,即 点N（0,支,直 线B F的斜率为kBF=-=l,所以，直 线P N的方程为y=2x+,1I在直线P N的方程中，令y =0 ,可 得 =一 忌，即 点 （一 六，0），yQ 2九 1 ,因为 MP/BF,则 kM P=kBF,即 +J_=2x0y0+l=2，整理可得(%o+5兀)2 =0，0 2 y o所以，%0=-5 y o,因为青+光=6%=1，二%0，故 兀=恪，x0=-所以，直 线I的方程为一造
17、+造y=i,即x-y+V 6 =0 .6 6【解析】【分析】（1）先求出a值，结合a,b,c的关系求得b,从而求得椭圆的方程;（2）设M（x o,y o）,可得直线1的方程室+y 0 y=1,求出点P的坐标，再根据M P/B F得KMP=KBF,求得x o,y o的值，即可得出直线1的方程1 9.（1 5分）已知 an是公差为2的等差数列，其前8项和为6 4.bn是公比大于0的等比数列，比=4,3 匕2=48 .（1）（7.5分）求 an和 bn的通项公式;(2)(7.5 分)记 cn=b2n+n N*.(i)证 明 W C2n是等比数列；证 明y 0)，所 以%-力=匕 皿？bi q =4(
18、q 2 q)=48 ，解 得q=4(负值舍去),所 以 b=61qn-1=4,n E N;（i）由题意，cn=b2n+-=42 n+所以所以2cc2n=（42+）_（4碗+表）=2 4 ,*日 cn+l-c2n+2 _ 2-4n+1 _ 一 2n于，且一不丁 所以数列 或一 C2”是等比数列;幻 九 n+l _ （2九 一 1）（2.+1）_ 4n2-1 4几 2Cn-c2n 2-4n 2-22n 2-22n(i i)由题意知,设 g=ZLi六/+w+伞1则 打 =*+共+/+关，两 式 相 减 得 打n=+:+点+逐=：_F)-我=2-竽1各=盍(4-篇)2 员【解析】【分析】(1)根据等差
19、数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式求解即可;(2)(i )运算可得以-C2n=2-4”,结合等比数列的定义即可得证；(i i)利用放缩法得鬻抖进而可得a=1 竽 廿 0,函数/(%)=a%x e”.(1)(5分)求 曲 线 y =/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程：(2)(5.5分)证 明/(%)存在唯一的极值点(3)(5.5分)若存在m 使 得/(%)0)；(2)令/(%)=Q 一(%+i)ex=0，则 a=(%+l)ex,令 g(x)=(%+l)ex,则 g(x)=(%+2)ex，当 x 6 (o o,2)时，(x)0 ,g(x)单调递增，当 -8 时:9。)V 0 ，g(-l
20、)=0 ,当 t+8 时，g(x)0 ,画出 g(%)大致图像如下：所以当a 0时，丫 =。与、=g(%)仅有一个交点，令 g(m)=Q，则 m,且/(m)=a-g(m)=0 ,当 x e (-o o,m)时，a 5(x),则/(x)0 ，/(x)单调递增，当%e (m,4-o o)时-，a g(x),则/(%)1 ,所 以 /(%)-a m ax =/(加)一 a=(巾？-m -l)e?n,(m -1)令/i(x)=(x2 x l)ex,(x 1)，若存在a,使 得/(x)a +b对任意x ER成立，等价于存在x e (-1,+8),使 得/i(x)/i(x)m i n h(x)=(x2+x
21、 2)ex=(%l)(x +2)ex，x 1,当 e (-1,1)时，/i (x)0 ，/i(x)单调递增，所以/i(x)min=fi(l)=-e,故 b 2-e ,所以实数b 的取值范围-e,+o o).【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；(2)令 F(x)=0,可得a=(x+l)e x,则可化为证明y=a与 y=g(x)仅有一个交点，利用导数研究y=g(x)的变化情况，数形结合求解即可；(3)令 h(x)=(x 2-x-l)e x,(x -l),则将问题等价转化为存在x G(-l,+8),使得h(x)W b,即b h(x)m i n,利用导数求出h(x)的最小值即可.试题分析
22、部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）50.0(33.3%)主观题（占比）100.0(66.7%)题量分布客观题（占比）10(50.0%)主观题（占比）10(50.0%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.9(45.0%)45.0(30.0%)解答题，本大题共5小题，共 75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.5(25.0%)75.0(50.0%)填空题，本大题共6小题，每小题5 分，共 30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3 分，全部答对的给5 分.6(30.0%)30.0(20
23、.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(20.0%)2容易(55.0%)3困难(25.0%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1频率分布直方图5.0(3.3%)42等比数列的前n项和15.0(10.0%)193二项式定理的应用5.0(3.3%)114奇偶函数图象的对称性5.0(3.3%)35复数代数形式的混合运算5.0(3.3%)106直线与圆的位置关系5.0(3.3%)127利用导数求闭区间上函数的最值16.0(10.7%)208等比数列的通项公式15.0(10.0%)199直线与圆锥曲线的综合问题15.0(10.0%)1810等差数列的通项公式15.0
24、(10.0%)1911两角和与差的正弦公式14.0(9.3%)1612相互独立事件的概率乘法公式5.0(3.3%)1413双曲线的简单性质5.0(3.3%)814数列的求和15.0(10.0%)1915正弦定理14.0(9.3%)1616导数的几何意义16.0(10.7%)2017点到直线的距离公式5.0(3.3%)1218向量的模5.0(3.3%)1519用空间向量求直线与平面的夹角15.0(10.0%)1720指数函数的定义、解析式、定义域和值域5.0(3.3%)521旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）5.0(3.3%)622指数式与对数式的互化5.0(3.3%)723基本不等式5.0(3.3
25、%)1324同角三角函数基本关系的运用14.0(9.3%)1625余弦定理14.0(9.3%)1626直线与圆锥曲线的关系15.0(10.0%)1827直线与平面平行的判定15.0(10.0%)1728等差数列的前n项和15.0(10.0%)1929二倍角的正弦公式14.0(9.3%)1630利用导数研究函数的极值16.0(10.7%)2031棱柱、棱锥、棱台的体积5.0(3.3%)632二面角的平面角及求法15.0(10.0%)1733二次函数在闭区间上的最值5.0(3.3%)1534必要条件、充分条件与充要条件的判断5.0(3.3%)235函数零点的判定定理5.0(3.3%)936平面向量数量积的运算5.0(3.3%)1537抛物线的简单性质5.0(3.3%)838基本不等式在最值问题中的应用5.0(3.3%)1339并集及其运算5.0(3.3%)140利用导数研究函数的单调性16.0(10.7%)2041二项式定理5.0(3.3%)1142交集及其运算5.0(3.3%)143函数的值域5.0(3.3%)344对数函数的值域与最值5.0(3.3%)545n次独立重复试验中恰好发生k次的概率5.0(3.3%)1446椭圆的标准方程15.0(10.0%)1847换底公式的应用5.0(3.3%)748直线的斜截式方程5.0(3.3%)12