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1、总题数：1 8题第89题（2002年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）上海卷）II20.某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如卜方案获得相应金额的奖券:消费金额（元）的范围200,400)400,500)500,700)700,9003获得奖券的金额（元）3060100130根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400X0.2+30=110元.设购买商品得到的优惠率=SB,试问:（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
2、（2）对于标价在 500,800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不少于3的优惠率？答案20.l000 xa2-H30 解(1)1000=33%.（2）设商品的标价为X元,则 500W后8 0 0,消费额：400W0.8xW640.由一知得（I）网0 1 0 .因此，1 0 不是数列 的 中的项.第 9 1 题（2 0 0 2 年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）京皖蒙卷（旧课程）题目（1 8）一知/（x）是偶函数，而且在（0,+8）上是减函数，判断f （x）在（一8,0）上是增函数还是减函数，并加以证明.答案（1 8）本题主要考查函数的性质，考查分析和解决问题的能力.
3、解：函 数/（外 在（-8,0）上是增函数，证明如卜：设 X i x2 一才2 0，又已知/（X）在（0,+）上是减函数，于是有f(一小)f (X2).把代入，得f（M）0.1 11.求 M 2）及 f（；）；II.证明/（是周期函数.111 记 a,=f（2&）,求（Ina）.答案22.本小题主要考杳函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力.1 _I.解：因为对才】，也三0,2 ,都有/、(岗+生)二，(为)*/、(生)，x r所以 f(x)”(1)f(Q)2 0,送0,1.j_ j_ J._ 1 _ J.因为 A i)=/,(2+2)=/,(
4、2)r(2)=f(2)%/(-)=f(4+4)=f(4)f(4)=f(4)2.A l)=a0,所以 f(2)W,f(4)一口H.证明：依题设厂人力关于直线尸1对称，故 f(x)=f(l+i x),即 f(x)=/(2 x),R.又由f(x)是偶函数知人一4)=/J),xE R,所以 F(-x)=f(2 x),彳e R,将上式中一x以x代换，得f(x)=f(户2),才 三 七这表明/.(是R上的周期函数，且2是它的个周期.III.解:由I知 )2 0,工 三0,1.L JL _L X因为/1(-)=/(a)=/(而 +(-1)%)I1=/(*)/(/?-1)=/(演).小 演)2Ml)=/(!)
5、f(5)=声，I 所以 f(M)=Q.因 为f(x)的一个周期是2,所以 f(2 +%)=f(旗)，因为 a/4,f a n frn与所以*(I n 4)二()=0.第 9 3 题(2 0 0 1 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)题目1 9.设a 0,f(x)=J 是R上的偶函数.(I)求 a 的值；(H)证明f(x)在(0,+*)上是增函数.答案1 9.本小题主:要考查函数的奇偶性和单调性等基本性质，指数函数和不等式的基本性质和运算，以及综合分析问题的能力.+.a L(I)解：依题意，对一切 X R 有 f(x)=f(-x),即 a e*+a e .j_ _ L所
6、以(a =)(e -e)=0 对一切 x W R 成立.2由此得到a 卡=0.即 a2=l.又因为a 0,所以a=l.（II）证明一：设 OVMVX%F(XI)f(x2)=e e+J 才I=(”铲)(KI)=*(e -1).-*-,由 Xi O,X20,XLM0.得 Xi+X20.o.,.rU)-rU)o,*10.此时 ra)o.所以/U)在(o,+=)上是增函数.第 94题（2001年普通高等学校夏季招生:考试数学（理工农医类）上海卷）题 目21.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如卜.假定:用1 个单位量的水可洗工掉蔬菜上残留农药量的I,用水越多洗掉的农药量也越多
7、，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清 洗 次 以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f 3(1)试规定/(0)的值，并解释其实际意义；(2)试根据假定写出函数f(*)应该满足的条件和具有的性质；I 设/-(%)=E 现有a(a0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2 份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.答 案21.解(l)f(0)=l表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样.(2)函数Hx)应该满足的条件和具有的性质是：1f(0)=l,f(l)=-.在3上 单 调 递 减，且 0 2嫄 时，工当行2 时，工=工；当0
8、 水2近 时，f、f%因此，当a2 点时，清洗两次后残留的农药量较少：当a=2#时，两种清洗方法具有相同的效果；当OaC 时，一次清洗残留的农药量较少.第9 5题(2 0 0 1年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)上海卷)题目2 2.对任意函数f(x),可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如卜.：输入数据*后，经数列发生器输出X l=f(x );若,三 ，则数列发生器结束工作；若 x g D,则将为反馈回输入端，再输出的=，(.)，并依此规律继续4x-2下去.现定义r(x)=x+l.49(1)若输入&=6 5,则由数列发生器产生数列 乂 ,请写出数列*,的所有项;(2)若要数列发生器
9、产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据M的值；(3)若输入X。时，产生的无穷数列/“满足：对任意正整数，均有筋6”求为的取值范围.答案22.解(1)/(*)的定义域 ZH D u (-1,任二),11 二数列%只有三项：小=1 9,布5,M=1.(2),：fx)=X+L,即大3+2-0,产1,或产2.即当照二1或2时，x*4+1故当照二1 H寸，所1；当照二2 H寸，七 二2（EN）.（3）解不等式KX+1,得水一1或1水2,要使水物 则水一 1或k水2.对于函数/V）=x+l=4-x*1若乂 1,贝！短 二，（小）4,必 二/（在）版.当1小 2时，也=（才）小，且1冰2,依次类推，可得
10、数列 乂 的所有项均满足打 乂（EN）.综上所述，汨三（1,2）,由 用 二/.（即），得斯E（i,2）.第96题（2001年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）京皖蒙卷（旧课程）题目（17）设 函 数.*+*”,求 纶）的单调区间，并证明贯外在其单调区间上的单调性.答案（17）本小题主:要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力.解：函数 K的定义域为（一叫皿咐 在 f-9内是减函数，小）在 内 也 是 减 函 数证明在（出司内是减函数取4.马（也 3）,且勒 勺，那么/OD-/QDX|8-旗马-a如+*对.a-b Q 与-x p Q,(x1*朱Z1+Q0,W-/W o
11、即/W在C*.E内是减函数同理可 证 加）在（-F内是减函数.第97题（2001年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）京皖蒙卷（旧课程）题目（21）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为*P X D,则出厂价相应提高的比例为0.75工，同时预计年销售量增加的比例为0.6丫.已知年利润=（出厂价-投入成本）二年销售量.（I）写出本年度预计的年利润；与投入成本增加的比例工的关系式；（I I）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比
12、例工应在什么范围内？答案21）本小题主要考杳建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力.解：（I）由题意得f整理得/-（0 x0,f-6 0 x4+20 x0,0 x -解不等式得 3.答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例工应满足0 0.（I）解不等式/（x）W1：(I I)求a的取值范围，使函数f(x)在区间 0,)上是单调函数.答案19.本小题主:要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.解：(I)不等式f (x)W1即+1 Wl+a x,由此得lWl+w x,即a x 2 0,其中常数a0.
13、!?+15(也.产，所以，原不等式等价于k对产0.H*/一D x 山 之0.2a所以，当OVaVl时，所给不等式的解集为 xIOWxW1一-；当时，所给不等式的解集为 x I、/().(II)在区间 0,+)上任取*”X”使得用及.-二师用1-a(X-X2)=-a ()=（汨一生）i%节.a、品+1+招+1(i)当 a Z l 时，xi-i-xaJW+1+依+1 -皿 3n)一a x,其中 a0.(I )解不等式f(x)W l：(I I)求 a 的取值范围，使函数f(x)在区间 0,+R)上是单调函数.答案1 9.本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算
14、、推理能力.解法一：(I )不等式 f(x)W 1 即&1+1 W l+a x,由此得l W l+a x,即 a x 3 0,其中常数a 0 f x 0.所以，原不等式等价于I*|x0.即M+2aNQ.la所以，当O V a V l 时，所给不等式的解集为 x I O W 后 匚 了 :当 心 1 时，所给不等式的解集为|GO.(I I)在区间 0,+8)上任取小，物 使得入照.f（小）（照）=1 -a（X i-x2）=摺+1+出+1-（乂 一）(i)当 a Z l 时,J*+l+&+l 1,/.&+1+招+0,又 为一/2 0,.，（为）一/（必）0,即 f（XI）f（）.所以，当时，函数f
15、（x）在区间 0,+8）上是单调递减函数.（i i）当O V，1 时，在区间 0,+）上存在两点为二 0,生 二 一 人，满足F （为）=L f（照）=1 即/（汨）=/*（2）,所以，函数/（4 在区间 0,+8）上不是单调函数.综上，当 且 仅 当 时，函数/（外 在 区 间 0,+8）上是单调函数.X解法二：妾 +1 -aX（i ）当 a l 时，有-Jx2!此时/8o,函数/(*)在区间(一8,+8)上是单调递减函数.但，(0)=i,因 此 当 且 仅 当 时f(x)w i.(i i)当 0 a 0得 ，F(x)在区间1 丁,+8)上是单调递增函数;.解方程f (X)=1得 A=0 或
16、 产 I-M,T2-1因为oRl-,所以，当且仅当OWK 时,f 9 W L综上：(I )当 a l 时，f (x)W1 的解集为 x|x Z 0;X当 0 a 0恒成立，试求实数a的取值范围.答案19.解：(1)当 炉2时，f (x):户8+2,/(，)在区间1,+8)上为增函数，：.f(A-)在区间口,+8)上的最小值为f (1)=?.(2)解法一：在 区 间1,+8)上，x+2x+af (x)=*0恒成立=+2x+a0恒成立.设尸V+2A+&X 1,+8),尸丁+2底京(广1)2+a1递增，当 产1时，为产3+a.于是当且仅当为n=3+公0时，函数，(外0恒成立，故於一3.+2解法二：F
17、(x)=x+X,1,+8),当a 2 0时，函数f(外的值恒为正，当水。时，函数f (x)递增,故当产1 时，f(X)nin=3+a.于是当且仅当f(x),=3+a0时，函数f (x)0恒成立，故a-3.第102题(2000年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)上海卷)题目20.根据指令(r,-IM F *1 *),机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度3(3为正时，按逆时针方向旋转3,3为负时，按顺时针方向旋转一了).再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对才轴正方向.试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成该指令后，
18、发现在点(17,0)外有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位).答案20.解:如图所示:(1)尸4 万，*=4 5 ,得指令为(4，.4 5 ).(2)设机器人最快在点尸(0)处截住小球，则因为小球速度是机器人速度的2 倍，所以在相同时间内有I i 7-|,即 3y+2 才 一 16 1=0,23得尸 3或A=7.要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，.产 7,故机器人最快可在点一(7,0)处截住小球，所给的指令为(5,-9
19、8.13 ).第 10 3题(2 0 0 0 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)上海卷)题目2 1.在第F 平面上有一点列A (&,6,),Pz(a,&)-P(a,b“)，,对每个自然数，点只位于函数ya=2 0 0 0 (10 )(0 a 0.解得a5(4T ),.5-1)a10.(3)V5(1)a10,M O K-L H:.行7,bn=10数 列 ，是一个递减的正数数列，对每个自然数2 2,BM BT.于是当“N 1时，B会B-,当A V I时，B B i因此，数 列 氏的最大项的项数满足不等式4 2 1且A-K l.2000(工)7由 4=I。2 1,得W20.8.:.77=2
20、0.第104题(2000年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)京皖卷(旧课程)题 目21.设函数 f(x)=|lg x|,若 X ab,且 f(a)f(b),证明：a灰 1.答 案21.本小题主要考杳函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考杳分析问题解决问题的能力.证明：由已知jig*(IM*V+8).f=|l g x|=3*Q X。V O a f(b，a、8不能同时在区间 1,+8）,h,又由于0 水8,故必有（0,1）;若b（0,1）,显然有3伙1.若 b W L+8）,由 f （a）-f（b）0,有一I g a 1 g 力 0,故 I g a Z K O,:.ab.第1 0 5题
21、（2 0 0 0年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）京皖卷（旧课程）题目2 3 .某地区上年度电价为0.8元/k W-h,年用电量为a k W h.本年度计划将电价降到0.5 5元/k W -h至0.7 5元/k W h之间，而用户期望电价为0.4元/k W h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为外，该地区电力的成本价为0.3元/k W -h.（I）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（I I）设k=0.2 a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长2 0%?（注：收益=实际用电量X （实际电价一成
22、本价）答案2 3.本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力解：上+，（I）设下调后的电价为X元/k W h,依题意知用电量增至x-0.4,电力部门的收益为(+决-。地 55 Mx M 0 L 珍片 r-0.4(I I)依题意有HA之 ax(DL8-1ma+20W).X-U-4*0.554xMO_7S.整理得V-L1X+S3 冽0.55x075解 此 不 等 式 得0.60A),f(X,)=Xo,求 A b.答案24.本小题主要考杳函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、运算的能力.解：（I ）函数图象：2.2.1说明：图象过（0,2）、（2,1）、（1,0）点；在区间 0,2）上的图象为上凸的曲线段；在区间2 ,口上的图象为直线段.J.I(II)fi(x)=-2才+2,才 ，1的反函数为：y=-,0,1.由已知条件得:a尸1,W +-*?4 （一，+（_乎+（_ 9 1-（一；）即“凯-中,（i n）由已知照 o,2）,AX=f（痴）=12（照一2）2.1.J由fx 3的值域，得用?,fi（小）=22 12（照-）2=4 （m-2）由0（X,）二 刖，整理得 4嘘-*1-。解 得A o=l或加=F .