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1、绝密启用前高考数学普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学I试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，包含填空题（第 1 题第 1 4 题）、解 答 题（第 1 5 题第 2 0题）。本卷满分1 6 0分，考试时间为1 2 0分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2 .答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3 .请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4 .请在答题卡上按照唔顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑
2、色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5 .如需作图，须用2 B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、力 U 粗。6 .请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。参考公式：1 n1 n样本数据不兀2,，相 的 方差/=一 2（七一亍）;其 中 元=毛n,-=1 n,=|一、填空题：本大题共1 4 小题，每小题5分，共 7 0分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1 .若复数4 =4 +2 少,d=6+9。其中i 是虚数单位，则复数（4-马的实部为。【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。-2 02 .已知向量Z和向量】的夹角为3 0,|=2 自=百，则向量Z和向量B的数量积%=。【解
3、析】考查数量积的运算。U百母=33 .函数/（x）=V 1 5/一 3 3 x +6的单调减区间为.【解析】考查利用导数判断函数的单调性。f（x）=3-3 0 x -3 3 =3（%-1 1）（%+1）,由（九一 1 l）（x +1）0,d 0）在闭区间 肛0 上的图象如图所示，则CD-.【解析】考查三角函数的周期知识。3 2T 71,T 7T,所以 6)=3,2 35 .现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为.【解析】考查等可能事件的概率知识。从 5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事
4、件总数为1 0,它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2,分别是：2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为0.2。6 .某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投1 0 次,投中的次数如下表:学生1 号2号3 号4 号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为?=.【解析】考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为7,场天若 2 (6-7)2+02+02+(8-7)2+02 2故方差S=-=-5 57 .右图是一个算法的流程图，最后输出的印=.【解析】考查读懂算法的流程图的能力。2 28.在平面上，若两个正
5、三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4,类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为.【解析】考查类比的方法。体积比为1：89.在平面直角坐标系xo y 中，点 P在曲线。：=/-10%+3 上，且在第7 -7 +2N二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.【解析】考查导数的几何意义和计算能力。/=3X2-10=2=X=2,又点P 在第二象限内，x=2点 P的坐标为(-2,1 5)J s-11 0 .已知a =-,函数/(x)=a ,若实数机、满足/(机)/()，则 加、”的大小关系为.【解析】考查指数函数的单调性。a=-G(0,1),函
6、数/(x)=)在 R 上递减。由得：m n1 1 .已知集合A =x|l o g2 x W 2 ,8=(-8,。)，若 A 1 8 则实数a的取值范围是(c,+8),其中c=.【解析】考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。由 1 0 g 22得 0 九4,A=(0,4J；由 A=B知a4,所以c =4。1 2 .设a和4 为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若a内的两条相交直线分别平行于厂内的两条直线，则a平行于万；(2)若a外 条直线/与a 内的一条直线平行，贝 ij/和 a平行；(3)设a和力相交于直线/,若a内有一条直线垂直于/,则a和尸垂直；(4)直线/与a垂直的充分必要条
7、件是/与a内的两条直线垂直。上面命题中，真俞您的序号(写出所有真命题的序号).【解析】考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。其畲趣的序号是v2 v213 .如图，在平面直角坐标系x o y 中，4,4,3 1,8 2 为 椭 圆 七+=1(。匕0)的四个a b顶点，尸为其右焦点，直线片与与直线6 7 相交于点T,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段。T 的中点，则 该 椭 圆 的 离 心 率 为.【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。B2直线A/,的方程为：+=1；-a b直 线 用 产 的 方 程 为：2+上=1。二 者 联 立 解 得：
8、c-hT(2ac 0(a +c)a-c a-c则蛆上”)在椭圆，+=l(a b 0)上，a-c 2(一c)a h-7+(+),=l,c2+10 C-3G2=0,e?2+10 e-3 =0 ,(a-c)2 4(a-c)2解 得:e=2近-51 4.设 a“是公比为 7 的等比数列，1,令=a“+l(=1,2,)，若 数 列 也 有连续四项在集合 53,2 3,19,3 7,8 2 中，贝iJ6 q=.【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。%有连续四项在集合-54,-2 4,18,3 6,8 1,四项 2 4,3 6,54,8 1成等比数列，公比为3 人q=一 bq-9二、解答
9、题：本大题共6小题，共计9 0分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.(本小题满分14分)设向量 a =(4 c o s a,s in a),b=(s in /?,4 c o s /3),c=(c o s -4 s in 0)(1)若Z与B 2 垂直，求t a n(a +)的值；(2)求R +Z l的最大值；(3)若 t a n a t a n/?=16 ,求证：a/b.【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满 分14分。(1)由“与。一2 r垂直，a(&-lc)
10、=a b-la c=0,即4 s in(a+夕)-8 c o s(a+尸)=0,t a n(a+0=2,(2)b+c=(s in/3+c o s尸,4 c o s夕-4|&+r|2=s in2Z?+2 s m /c o s?+c o s2 p+16 c o s 2尸-32 c o s/s in /3+L6 s in2 p=1 -3 0 s iiJ/?c o s/?=17 -15 w n 2/，最大值为 3 2,所以10+c|的最大值为4 0.由 t a n a t a n 0 =16 得 s in(z s in/?=16 c o s t z c o s/?,即4 c o s a-4 c o s
11、/?-s in a s in/?=0.所 以 a/b16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱A B C A4G中，E、尸分别是Af、AC的中点，点。在 8 1c l 上,AiD B1CO求证：(1)E F平面A B C；(2)平面 A/D _L 平面B B C .【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满 分14分。证明：（1）因 为E,尸分别是4B,4。的中点，所 以E 3 BC,又Ebe面ABC,B C u 面ABC,所 以E F 平 面ABC；（2）因为直三棱柱A B C-幽5 ,所 以B B11面4用0,B81 _ L 4 D,又 4
12、D _ L B C,所 以 4 1 面BB G。，又 4 ）=面4中，所 以 平面AF D J.平面B4。1 7.（本小题满分14分）设”“是公差不为零的等差数列，S,为其前项和，满足出2+%2=&2+%2,5 7=7。（1）求数列。“的通项公式及前n项和5；（2）试求所有的正整数加，使得巴心皿为数列%中的项。am+2【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分 14分。（1）设公差为 d，则 Q；=Q；，由性质得一3 d（4+。3）=d（4+。3），因7 x6为dwO,所以“4+0 3=0，即2%+5 d =0,又由=7 得 7 d -d =7,犍俎=_S
13、 所以MJ的通项公式为4 =2八一7,前 后 项 和 注=/一6冏./I T T J V J V t l J，C +(y _ 5)2=4.(1)若直线/过点A(4,0),且被圆G截得的弦长为2 6,求直线/的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线4和4,它们分别与圆G和圆C 2相交，且直线被圆G截得的弦长与直线4被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。(1)设直线/的方程为：y=k(x-4),即依一y-4A:=0由垂径定理，得：圆心G到
14、直线/的距离d =、42-(毡 尸=1，I _ 弘 _ 一 44 I结合点到直线距离公式，得：/=1,V P+17化简得：24k?+7k=0,k=0,or,k=247求直线/的方程为：y =0或丁=一 或(X 4),即y =0或7x +24y 28=0(2)设点P坐标为(2,)，直线4的方程分别为：y-n =k(x-m),y n=-(x-m),即：k x-y+n-km=0,-x-y+n-m=0k k k因为直线4被圆q截得的弦长与直线4被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得:：圆心G到直线/1与C 2直线，2的距离相等。I 4 u 1 QI 1 ,I I I-5+H m I故有
15、：一3 T +一 =k k,化简得：Q-m-n)k=加一一3,或(/72-+8)Z=m +九一5 2-m-n=0 m-n+8=0关于女的方程有无穷多解，有：八，或 八 zn-n-3=0 m+n-5=0解之得：点 P 坐标为(一:3)或19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为。元，如果他卖出该产品的单价为加元，则 他 的 满 意 度 为 如 果 他 买 进 该 产 品 的 单 价 为 元，则他的满意度为/m +a n+a如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 九 和 生，则他对这两种交易的综合满意度为“也 现假设甲生产A、B 两种产品的单件成本分别为1
16、 2元和5元，乙生产A、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B 的单价分别为”,元和加B元，甲买进A与卖出B 的综合满意度为4卜|,乙卖出A与买进B 的综合满意度为h乙(1)求 厢 和 为 关 于 啊、%的表达式；当町43-mR5时，求证：厢=h乙;3设小4=加8，当“A、加8 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？记(2)中 最 大 的 综 合 满 意 度 为%,试 问 能 否 适 当 选 取 的 值，使得和用乙2 月 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以
17、及数学阅读能力。满 分 1 6分。“甲(1)为 也2m(mAG 3,1 2 ,e 5,20)+1 2%+3 丫%+3 冽/+2Ul _位 3 mB I m当 用从=一 mB 时，=-=J-5 F?B+2 mB+5 V(%+20)(血B+5)，3 ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _I =5 mB=%乙13%+3%+20 (mB+5)(w if i+20)3(2)当a,A =r-moR,愠=坛记(+20)(%+5)1 _ 1(1 +)(1 +-)A 1 00()2+25 +1%mB Y mB mB由加B w 5,20得 G，mB 2()5故当一！一=一即。=20,
18、m.=1 2 时,mB 20 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为回5（3）（方法一）由（2）知：4产 亚 5由九产红匚工之为=回得：吆 土，根A+1 2 m 6+5 5 mA mB 23 5 1 5令一 =x,一=乂则尤、y e -,l ,BP：(l +4 x)(l +y)-omA mB 4 2同理，由 屹2%=普 得：(l +x)(l +4 y)l+4 y e 2,5 ,l +x 1+y e ,2,42(l +4 x)(l +y)N 9,(l +x)(l +4 y)2*,当且仅当x =y =L,即2*=/寸，取等号。2 2 4所以不能否适当选取叫、的值，使 得 原2为 和 坛2%同时成立，但
19、等号不同时成立。方 法 二：由 知 后2.所以，当A户 李2 M 年2 时,有 如“小 年2.因此.不能取到啊,人的值，使得心 和 h,M 同时成立,但等号不同时成立.20.（本小题满分1 6分）设。为实数，函数/（%）=21 2+（%一。）|%一。I.若/（0）2 1,求a的取值范围；（2）求/（X）的最小值;设函数&r)=/(%),%G(a,+),直搂写出(不需给出演算步骤)不等式/?(x)1的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图 象 及 解 元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满 分1 6分(1)若/(0)2 1
20、,则-a I a 1 2 1 n a l(2)当x N a 时，/(尤)=3/(X)=/(a),a0吗),a 02a 2 .-,a 03当 x W a 时，f(x)x2+2ax-a2,/(x)m i n=lci,ci N 02a2,a 0f(a),a 02a2-,c i l W3x2-2ax +a2-l 0,A=4a2-1 2(a2-l)=1 2-8a2当a W-2 逅 时，W0,x e(a,+o o)；2%7当-(),得：，(X 一2 2 Ia+3-2cT-；-)(工-;-)2 03 3x a当a e讨论得：当a时,解集为(a,+8)；_.&口 正、r /a-3-2cr、r t z +V3-
21、2t z-时，解集为(氏-u-,+0 0)；V2 V2 研隹4a+,3-2a当。-H j,解集为-,4-o o).2 2 3数学n (附加题)参考公式：12+22+32+-+H2=/?(/?+1)(2/，+1)621.选做题 在A、B、C、D四小题中只能选做两题,每小题1 0分,指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A.选修4-1：儿何证明选讲共计20分。请在第您卡AB如图，在四边形ABC D中，ABC g Z BAD.(第 21AJK 图)求证：ABC D.【解析】本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满 分1 0分。证明：由ABC g ZX BA
22、D 得N AC B=/BD A,故 A、B、C、D 四点共圆，从而N C BA=N C D B。再由ABC Z BAD 得/C AB=/D BA。因此/D BA=/C D B,所以 ABC D。B.选修4-2:矩阵与变换3 22 11 00 1x yz wx yz w，则3x+2z=1,(3y+2卬=0,*2x+z-0,2y+w-l,1 00 1，故 o).y=3Q+1)It求曲线c的普通方程。【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满 分1 0分。解：因为尤2=，+1 2,所以/+2 =，+1=2,t t 3故曲线C 的普通方程为：3 1 7 +6=0.D.选
23、修4-5：不等式选讲设 a 2 b 0,求证：3a3+2b3 3a2b+2ah2.【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分1 0分。证明：3/+2b3 (3/+2ab)=3a2(a-b)+2b“b-a)=(3a2-2h2)(a-b).因为a 2 b 0,所以a b 2 0,3/-2/o,从而(3/-2/)(a b)2 0,即3a3+2川 3a 2b+2加.必做题 第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 2.(本题满分10分)在平面直角坐标系X。中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,
24、2),其焦点F在X轴上。(1)求抛物线c的标准方程;(第22题图)(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点0)(机0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM,记D和E两点间的距离为/(?)，求/(?)关于机的表达式。【解析】必做题 本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满 分10分。解：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所 以p=1.因此，抛物线C的标准方程为/=2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是(表0),又宜线OA的斜率为f =1 .故与直线。力肥直的直线的斜率为-1.因此,所求宜
25、线的方程是x+y-；=0.(3)解法一：设点。和E的坐标分别为(占,%)和(七.打).直线。的方程是y=k(x-m),Awa 将 x=*+m R A J=入,有灯2-2y-2km=。，解 彳为“=L?八+川由ME=2DM知1 +y i+2mA2=2(/1 7嬴3r-1).化简得好=且.因此mDE=(*i-*i)2+(yt-yty =(i+A-)(ri-n)1K/.+.I 4(l+2mk)9一 .、F)p =T(m +4 m)-所以/(m)=+4m(m 0).解法二：设0(5，s),E(y,i).由点时(m.0)及 症=2而 得-m=2(m-l-0=2(0-5).因此，=-2s.m .所以/(m
26、)=DE=八(-2 s-s)=+4m(m 0).2 3.(本题满分10分)对于正整数2 2,用7；表示关于龙的一元二次方程/+2以+6=0有实数根的有序数组3,份的组数，其中a,b e 1,2,(a和方可以相等)；对于随机选取的a,b e l,2,)和匕可以相等)，记勺为关于x的一元二次方程无2 +2以+6=0有实数根的概率.求 却 和 匕2；(2)求证：对任意正整数 2 2,有 匕1一 =.【解析】必做题 本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满 分10分。(1)解:因为方程/+2ax+6=0 有实数根,所以 =4/-4 6 去0.即B Wat(i)g n W a W 时.有
27、 W a.又&e 1.2,n”，故总有 6 W a.此时.a有/-n+1种取法.66 7 种取法.所以共有(n-n+1)/组有序数组(。满 足 条 件；(i i)当 I V a Wn-l 时，满 足 I W 6 w a 的 6 有/个.故 共 有八 一 -)!2,2 +3条件.(n-I)2=6组有序数组(。力)满足由(i)(ii)可得=(-n+l)n+如.工%6n5-4n2 3 I从前/=-7-j-non一 )(2n I)_ n(6n-4+3n+I)66(2)证明:我们只需证明:对于Rfi机选取的a.ie II，方程/+2ax+6=0 无实数根的概率I-匕.若 方 程/+2ax+6=0 无实数根，则A=4a2-46 0,即/6.由6 W n知a 笈.因 此.满 足 6的有序数组(*6)的组逑小于n石，从而.方程 +2ax+6=。无实数根的概率1 -P.1 -/=-尸 vn