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1、高二数学期中综合练习卷20151103班级:姓名:座号:命题老师：林婷1.等腰三角形腰长是底边长的2 倍,则顶角的余弦值是(A)7 27 2 8A.B.-C.一8 3 92、在单位圆上有三点A,B,C,设 A B C 三边长分别为a,b,c,则 一 竺一十 券s i n A +2s i n B sinC(C)A.3 B.4C.6 D.83.(2013课标全国n ,理 3)等比数列%的前n项和为5”.已知63=02+10a”的=9,则田=().1111A.-B.一 一 C.-D.一 一3 3 9 9C设数列 “的公比为q,若 0/0,且 a+b=l,则一+一的最小值为(A ).a bA.3+2V
2、 2 B.4V 2 C.35/2 D.以上都不对5.关于x的 不 等 式2 上 x的 解 集 为(x +3A.(-8,-3 B.(一;，+8)6.设 a 0,6 0,给出下列不等式：)C,(一二一,)D.(-o o,-3)u(,+o o)2+1 /(a+5)e+0 2 4；a2+9 6 a.其中恒成立 的 有(C )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析：由于？+1-。=(。-习2+(0,故恒成立；由于 b+、22.(+!)(十 力4，故恒成立由于 a+b2yabya+b 2品故(+协 +弟4,故恒成立，当=3 时，a2+9 =6 a,故不能恒成立.7、设 S.是等差数列&的前n
3、项和，若&=L,则 等 于（A ）Sg 3 S16A、B、j_ C、L D、_ L10 3 9 88.已知x 0,y 0,x +3y +盯=9,则 x +3 y 的最小值为（B ）A.2 B.6 C.9 D.12999.已知数列*满足为+2%+3%+%=2 M,则 石 是 数 列 氏 中 的 第（C ）项.A.20 B.25 C.50 D.10010.（2015 九江模拟）如图，已知点（x,y）在a A B C 所包围的阴影区域内（包含边界），若 B 用）是使得z=ax-y 取得最大值的最优解，则实数a 的 取 值 范 围 为（）OXA.1 卷+8）B.0,+）C.（一00 一,D.一3。【解
4、析】选 A.根据题意直线y=ax-z 经过点B时在y 轴上的截距取得最小值,结合图形知当a 0时必满足条件,当a。=-三.2综上可知,a 的取值范围是 一 十8）.11.已知数列%是递增数列，且满足%=2 2+%，则实数4 的取值范围是（D ）A.（0,+8）B.（4,+8）C.-4,+8）D.（6,+8）12.已知三角形的三边构成等比数歹U,它们的公比为必则的取值范围是（D）A.（0,匕 骂 B.（匕金 3 1,匕 无）D.（土巴）2 2 2 2 21 3 .三角形 A B C 的 面 积 为 AB=1,B C=V 2 ,贝 i j AC=V3或亚。SA A=t z c s in B=l s
5、 in B=-s in B=AABC 2 2 2 2B=，或 亚 当8 =四时，经计算A A B C为 等 腰 直 角 三 角 形，匕=1。1 4.如 图，一辆汽车4 4 4B =,使 用 余 弦 定 理，b2=a2+c2-2acc os B,=x/5.4在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶在西偏北3 0。的方向上，行驶6 0 0 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北7 5。的方向上,仰角为3 0,则此山的高度C =m.IOOA/6分析:依题意，Z B A C=3 0 ,Z A B C=1 0 5,在 M B C 中，由 Z A B C +A B A C +Z A C
6、B=1 8 0,所 以Z A C B=4 5 ,因 为4 3 =6 0 0 ,由 正 弦 定 理 可 得-,即 3 C =3 0 0匹 m,s in 4 5 s in 3 0 在 R t B C D 中，因为 N C B D=3 0 ,B C=3 0 0后，所以t a n 3 0=C D 所以。=1 0 0 m.B C 3 0 0 V 2考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.1 5 .等差数列 斯 的前项和记为S”若 S 4 24,S 7 W 28,则田。的最大值为.S4=4 十点-心 4,解析：方法一：二等差数列 斯 的前项和为5“，5
7、4 4,S 7 W 28,r ,7 X 6卜7 =7。|+-4 0,a+c=4,解得 a=c=2:.a =c=21 8.等差数列 的公差为2,且,%，37依次构成等比数列。求数列%的通项公式及前项和5;(I I)数列也,满 足 么=上，求数列也J的前项和Tn。S解：(I)数列 4,是公差为2的等差数列，%,%，的7成等比数列，又因为%=a,+12,a37=a,+72,所以由由?=a an得(6+5 =(6+1).(q+1 3),解得4 =3所 以%=3+2(-1),即a=2n+l,即数列 a“的通项公式是*=(2 +1)故数列 a,J的前n项和S,=。1篝 0=+2)7分(II)由(I)得d=
8、1 11)n(n+2)2 n +29分 Tn=j。-g)+(U+(；-()+(1 1n-1 n+1)+(一n1 +2)=(1 H-)=.1 2 分2 2 +1 +2 4 2(+1)2(几 +2)1 9.已知/(x)=-+”(5 -a)x+8.(1)若不等式/(x)0的解集为(-1,7)时，求实数凡6的值；(2)当a e -1,2)时，/(3)0恒成立，求实数b的取值范围.解：(1)由已知可得1,7是方程一Y+。(5 a)x+8 =0的两根.(5 )=6 4 =2 a=3,，,二 或 一b=1 b=7 b=75分(2)/(3)=-9 +a(5-a)-3 +&=-3 a2+5a-9 +b0,a e
9、 1,2)恒成立即匕 g(2)=9,./?0,得1 0-病 x 1 0 +同，；xe N*,；.3 4 x 4 1 7.即引进该设备三年后开始盈利一6分y v 98 I 98 98(2)第一种:年平均盈利为2,=-2 x-+4 0 2时，-(i_L)x.-L,a,2*2 1 2所 以-a,r 两式相减得22.在A48c中，内角A,8,C所对的边分别为a/,c,bsin A=JJacosB.（I）确定角8的大小；（H）若NABC的角平分线8。交线段AC于O,且50=1,设BC=x,BA=y.（i）试确定x与y的关系式；（打）记48。）和乙48。的面积分别为加、S 2,问当x取何值时,!+工 的
10、值 最 小，最小值是多少？S S22解：(1)hsinA-43acosB由正弦定理得 sin BsinA-73 sin A cos B.2 分/0 A 0,/.sin B-V3 cosfi,.,.tan 5=-V3,.3 分0 B 0 xy =x+y 2-J xy1 1分当且仅当x=y时取等号yxy 2 xy 41 1 21 6=x31 631 2分1 8x =一2 3又.当x =y时，A48C为等腰三角形.N A =NC=2.在 A5c。中，ZB DC=J t /2 ,N C=亳,8C =23O=2x 2.1 3 分1 1 O 当x=2时,1的值最小为&.1 4分S,2 S22 32 2、已
11、知数列 为 的前.项和为S“=+1,数列也 满足：b=2 ,前”项和为7；,设%+1C,=凡M 7；。求 数 列 也 的通项公式；是否存在自然数k,当“时，总有c?成立，若存在，求自然数人的最小值。若不存在，说明理由。解：(1)%=2 ,当 时，an=Sn Sz l_ =2 n 1.3 分C =/+T =%+*2 +%v cH+I-cn=i+12 +2 2 +3 n+1 2 +3 2 +20.数列,是单调递减数列。由(2)知：C,C,.-c3 c2 2 3 6 2 18分当”=2时,G+L L”竺2 3 4 5 6 0 2 13故-n当=O-O223-49-O123-4-1-7+1-6+1-5
12、+1-4-时3当x 02 x +y =a扫过A中那部分区域的面积为(C)15一A.87-B.45-4C.9-8D.x-y+2 02、不 等 式 组x N O 表示的平面区域的面积是 23A-+J-12 03.设 满 足 约 束 条 件：x yN 1；则z =x-2 y的取值范围为x +y 0 在 l x4内有解，则实数a 的 取 值 范 围 是(D )A.a-4 C.a2 D.a b2.8 分(a+c)-2 a c-b 0 /.p b2-b-b2 0 ，p-0,p 或 p 0；(2)当不等式f(x)O的解集为(-1,3)时，求实数m,n的值。(1)f(1)=-3+m(6-m)+n=-m+6m+
13、n-3f(l)0m2-6m+3-n 0的 解 集 为.4分当 n-6 时，3-Jb+6a 0 的解集为 x 3-V a 0 的解集为(T,3)f(x)0 与不等式(x+1)(x-3)2。恒成立，求实数a 的取值范围。(1)f(x)a,即+QX+3-2 0,恒成立，所以()即/_ 4(3 _。)0,.2 分解得一6WQ4 2所以实数a 的取值范围是6 4时，27-g(x)mm=g(-2)=7-3aN0 所以 4 .a 不存在。.7 分当-2 4 即-4W a W 4 时，g(x)m in=3 -a-y 0W-6 a 2,X-4 a 2 即 a 0所以 a N-7 又 a-4 故-7 a-4,.1
14、 1综上得，实数a的取值范围是-7 W a W 2。.1 5.已知数列 凡 满足4+2=“包 为 实 数，且 q*l)，neN*,q=l,%=2,且a2+a3,a+%,%+%成等差数列.求q的值和 4 的通项公式;(II)设=噫 的”,N*,求数列 b.的前n 项和.【答案】4 =2 2,为奇数,2 之为偶数.;(II)S“=4 一n+22-1【解析】试题分析：山(%+4)-(a2+a3)=(a4+a5)*(%+4)得=%一。3 先求出 4,分”为奇数与偶数讨论即可；(求出数列 的通项公式，用错位相减法求和即可.试题解析:(I)由已知,有(%+4)_ (“2+%)=(4+%)_ (4 3+%)
15、，即 4 一。2=5 一。3，所以电(夕-1)=的 -1)，又因为+3 x呼+萍，产=lx r+2x .+3x-4-+X 两式相减得11cl i 1 1 1 n y1 n 2 n2*2 22 23 2*-1 2*1 1 2*2*2*2整理得号=4 一力言+2所以数列；B；的前项和为4-击透e曾*16、AABC中，D 是 BC上的点，A D 平分NBAC,AABD是AADC面积的2 倍。求乃n 4；（n）若AO=I,D C=也 求 6。和 A C 的长.sin ZC 2三.解答题（17）解：S 3 叱 ABS.=|/C XDsinZCD.因为 S=2S“*.W D 必 历 以 8 =2AC.由正
16、弦定理可 行s in/fl AC I”sin ZC AB 2 Y(ID 因为&“r，：S BD.D C,所以 8弓0、4i_在和，以 中,由余弦定理知16.1L-AB2=4D2+BD2-2AD BDss/ADB 12_AC Ah-AX 2AD、3、，.川乂.故 AB1+2AC:=3 AD2+BD1+2DC:=0.8-由（IfaAB=2 A C,所以 A C-.41r.X11 7 木堂小J、刑生餐食馆目 一天八中 I萝玄眩火 叼)邓人”4,QA 两py 种-TI 蕊iVit菜yK，0612182430A,B蔬菜每公斤的单价分别为2元 利3元。根据需要，4蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，
17、而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过6 0元。(1)写出一天中A蔬菜购买的公斤数x和8蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域(用阴影表示)，(2)如果这两种蔬菜加工后全部卖出，4,B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元 和1元,餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多元？解：(1)依题意，A蔬菜购买的公斤数x和8蔬菜购买的数y之间的满足的不等式组如下：2x+3y 4画出的平面区域如右图.6分(2)设餐馆加工这两种蔬菜利润为z，则目标函数为z-2x+yy=-2x+z，z表示过可行域内点斜率为-2的一组平行线在y轴上的截距.7分“2 x +
18、3 y =60 ,卜=2 4联立/,解得 即8(2 4,4).9分 y =4 y =4当直线过点8(2 4,4)时，在y轴上的截距最大，即Znw t=2 x 2 4 +4 =52 .1 1分答：餐馆应购买A蔬菜2 4公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元.1 8.有一展馆形状是边长为2的等边三角形A B C ,OE把展馆分成上下两部分面积比为1:2 (如图所示)，其中。在上，E在AC上.(1)若。是A8中点，求AE的值；(2)设A D =x,E O =y.(i)求用x表示y的函数关系式；(ii)若OE是消防水管，为节约成本，希望它最短，OE的位置应在哪里？若OE是参观线路,则希望它最长，D
19、E的位置又应在哪里？请给以说明.解：(1)依题意得，1 2分SAADE=-5M B C=-22-s in 60 =-A D -A E -s in 60 匕 3 Z WDC 3 2 3 24 4：.A D A E =,若。是 A B 中点，则 A O =1,；.4 E =3 33分4 4 4 2 2(2)由(1)得 4 O-A E =A E =-=,v A E-,：.-x /2 -J/.r g =竽，当且仅当%2=1,即x =2叵，等号成立.此时A E =2叵，故0 E 8C,且消防水管路线最短为。=毡；3 3 3如果OE是参观线路，令/=/9,4 4=j +,设/)=，+?,以下证明小)在 若
20、4 4 是减函数：(1 6、4 4 1 6 1 1 (格一万)设3 h，/(，|)一/(才2)=。1-/2)+石(-)=。|一，2)-y3y z 1 2 t j 24 4 1 6，2 7 2 0,/(/,)f(t2),4 4 4在 导 号 是 减 函 数，同理可证/(f)在甘,4 是增函数.1 1分(直接写出单调区间没证明可不扣分)“最 大 值 为 吗)J(4)二者中大的值，吗)寸(4)=与,y,nax =楞-，此时 X =|或X =2 .1 3 分2 7x =时，A E =2；或x =2时，A E =,即。为A8三等分点(靠近A )与C重合；3 3或。与3重合E为AC三等分点(靠近A),参观
21、线路OE最长为冬夕.1 4分1 9.已知锐角A 4 8 c的内角A,8,C所对的边分别为a,c,bsin A =43a cosB.(1)求角8的大小；(2)若/?=2,A48C的 面 积 为 百，求a,c.解：Osin A=J JQCOSB 由正弦定理得 sinBsinA=JJsin AcosB 0 A 0,sin B=V3 cos B,/.tan B=V3,冗0 B -3ac,:.(a+c)2=16,丁 +c 0,a+c=4“2分6分8 分TO分解得 a-c 2.a c-22 0.在 ABC 中，角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=G a c,
22、则 角B=.7r 2也ac4.耳 或 亍 解 析：由(a?+c2-b2)tanB=Gac,得22+(?42=氤，根据余弦定理得/+.2/2 初 5/3 V3 九cosB=?ac，所 以cosB=2相 九5,即tanBcosB=2，所 以sinB=2，所以B=3或2%B=3.21、已知厂行 厂 成等差数列 又数列 斯 (%0)中,%=3,此数列的前n项的 x,-,A/3(X 0)和S.(e N)对所有大于1的正整数n都有s=f(s)(1)求数列缶 的第n+1项；(2)若 1 1的等比中项，且T 为 b“的前n项和，求T”(1)依题意，1曲=4+百，f(x)=(4 +6)2.1分Sn=(J)/+V
23、3)2#7=J%.+V3斯 是以人二行为首项百为公差得等差数列。.4分二百+(nT)=VJn,Sn=3n2an+i=Sn+i-sn=3(n+1)2-3n J 6n+3.6 分(2)由(1)知，an=6 n37分依题意:b n=-4 +】(6 n-3)(6 +3)9（2 （2 +1）4（止1一 熹）Tn=b|+b2+-+b=-(l-+y-+-+18 3 3 512n-1-)=(1-)2/1+1 18 2 +12 2.（12 分）在 A B C 中，Z B=4 5 ,AC=,co s。=咪，（1）求 3 C 边的长.（2）若点。是 A B的中点，求中线CQ的长度.解：（1）由 co s C =可
24、得 sin。=害.sin A =sin(18 0-4 5-C)=当(co s C+sin C)3 510 ,由正弦定理知B C=篇sin A =碧嚼=3巾.2（2）”=就4武=碧 乎=2,B D =A B=.2由余弦定理知C D =BD?+BC?-2BD-BC ccs B=y j 1 +1 8-2X1 X32X=7 13.2 3.钝角三角形ABC的 面 积 是:，A B=1,B C=V 2 ,则AC=()A.5 B.V 5 C,2 D.1,%q ABC=sin B=V2 1 sin B sin B=,2 2 2 2=或学当8=f时，经计算AABC为等腰直角三角形，不符合题意,4 4 437r1
25、 B=,使用余弦定理,从=+c2r”。弦，解得b=9.故选5.4舍去。2.已知等差数列%中，4=5,则数列 的前11项和S“等 于（I）A.2 2B.3 3C.4 4D.5 52 0.在A A 5 C中，角4、B。所对的边分别为。、b、c,且满足。sin 3 =J。co s4。（I）求角A的大小；（H）若=4,求A 4 8 C周长的最大值。解：（I ）依正弦定理 一二 一可将sin B =JO co sA 化为sin A sin B =JJsin B co sAsin A sin B又因为在 A 4 8 C 中，sin B 0 ,所以有 sin A =J co s A,即ta n A =0 A
26、 7i,/.A=（H）因为A 4 8 c的周长=a +Z?+c=4 +c,所以当。+c最大时，A A 8 C的周长最大.解法一：因为a?=，2+/-2 6 cco sA =（6 +c）2 3儿，且从14（+）即163匚,即A +C K 8 （当且仅当6 =c=4时等号成立）11分所以A 4 8 C周长的最大值为12.12分解法二：因为sin A sin B sin C J3 3T所以b+c=(sinB+sin C)=sinB+sin(-B)jr故当且仅当8 =一时，b+c取到最大值8 ,所以A 4 8 c周长的最大值为12.314.（2 0 14陕西）（本 小 题 满 分 西 分）A A B
27、C的 内 角A,B,C所 对 的 边 分 别 为c.（I ）若a,b,C 成 等 差 数 列，证 明:sin A+sin C =2 sin（A +C）;（I I）若a ,c成 等 比 数 列，求co sB的最小值.【解 析】.,Q,A,C成 等 差，.2b=a+c,即2sinB=sinA+sinC.sinB=sin(A+C),.sinA+sinC=2sin(A+C)A A J V11 .?-T-*C a +c-b-、2 a c-b_ 2 a c-a c,/a,b,c成等比，b=a c.X co sB =-2-=-2 a c 2 a c 2 a c仅当=b 时，co sB 取最小值;，这时三角形
28、为正三角形22x+y-20.为(D)(A)或 T2(C)2 或 1(B)2 或 12(D)2 或T作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）.由2=丫出*得丫=2*+2,即直线的截距最大，Z也最大.若a=0,此时y=z,此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件,若a0,目标函数丫=2*+2的斜率k=a 0,要使z=y-a懑得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行，此时a=2,若a 0,目标函数丫=2*+2的斜率k=a 0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=ax+z与直线x+y-2=0,平行，此时a=-1,综上a=-1或a=2,故选；D（
29、17）（本小题满分12分）1.（2 0 13年 高 考 广 东 卷（文）设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 4 的 前 项 和 为5“，满足4S“=嬉|一4一1,e N*,且42，。5，4 构成等比数列.(1)证明：a2=J4al +5;(2)求数列 凡 的通项公式；(3)证明：对一切正整数，有一+一+!0a2-J4q+5当 N 2 时,4S,i=a,”4(”1)1,4a“=4s“4%=-4端+i =an+4a.+4=(4+2)2,a,O.an+i=an+2：.当 N 2时，an是公差d =2的等差数列.v a2,a5,a4 构成等比数列，；.a=a2-ai4,(2+8)2=a2-(a2+2 4),解得q =3,由(1)可知，4al =af 5=4,.q=1/一弓=3 1 =2 a,是首项q=1,公差d=2的等差数列.数列 q 的通项公式为a=2/7-1.