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1、录第 一 章 高中数学解题基本方法.2一、配方法.2二、换元法.5三、待定系数法.12四、定义法.17五、数学归纳法.21六、参数法.25七、反证法.29八、消去法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法第二章 高中数学常用的数学思想.32一、数形结合思想.32二、分类讨论思想.37三、函数与方程思想.43四、转 化（化归）思 想.49第三章 高考热点问题和解题策略.55一、应用问题.55二、探索性问题.61三、选择题解答策略.66四、填空题解答策略.712第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的
2、联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺x y 项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a 2+2 a b +b 2,将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2+b2=(a+b)2 2 a b=(a b)2+2 a b；bQa2+a b +b2=(a+b)a b=(a b)4-3 a b=(
3、a d)+(b)；2 2a2+b2+c2+a b+b c +c a=(a+b)2+(b+c)2+(c+a)22a2+b2+c2=(a+b +c)2 2 (a b+b c +c a)=(a+b c)2 2(a b b ec a)=结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：l+s i n 2 a =l+2 s i n a c o s a =(s i n a +c o s a )2；x 2 H 7 =(x d)2 2=(x-)2+2 ；.等等。X X XI、再现性题组：1 .在正项等比数列 a“中，a j *a 5+2 a 3*a 5+a 3-a 7=2 5,贝 4 83+85=_ _
4、_ _ _。2,方程x 2+y 2 4k x 2 y +5 k =0表 示 圆 的 充 要 条 件 是。A.1 k l C,k eR D.k=十或 k =l3 .已知 s i n 4 a +c o s 4 a =1,贝 lj s i n a +c o s a 的值为_ _ _ _。A.1 B.-1 C.1 或一1 D.04.函数y =l o g 1 (-2 x?+5 x +3)的单调递增区间是 o2A.(-8,总 B.7,+)C.(7,7 D.4,3)5 .已知方程x 2 +(a-2)x+a T=0 的两根x 、x2,则点P(x ，x,)在 圆 x?+y 2=4上，则实数a=_ _ _ _ _
5、。【简解】1 小题：利用等比数列性质am_pam+l)=ain2,将已知等式左边后配方(a3+a5)2易求。答案是：5。2 小题：配方成圆的标准方程形式(X a)2+(y b)2=/,解 产 0 即可，选 B。3 小题：已知等式经配方成(s i n 2 a +co s 2 a )2 2s i n2 a co s 2 a =1,求出 s i n a co s a ,然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。5 小题：答案3一“1。II、示范性题组：3例 1.已知长方体的全面积为11,其 12条棱的长度之和为2 4,则
6、这个长方体的一条对角线长为_ _ _ _ _。A.2.7 3 B,V 14 C.5 D.6【分 析】先 转 换 为 数 学 表 达 式：设 长 方 体 长 宽 高 分 别 为 x,y,z ,则J2(xy +yz+xz)=114(x+y +z)=24,而欲求对角线长k+y 2+z?,将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其 12条棱的长度之和为24”而得:J 2 0 y +yz+xz)=114(x+y +z)=24长方体所求对角线长为：yj x2+y2+z2 J(x+y +z)2-2(盯+y z +xz)=A/62-11=5所以选B
7、。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例 2.设 方 程 x2+k x+2=0的两实根为p、q,若(K)2+(幺)2 W7成立，求实数k的取q p值范围。【解】方程X 2+k x+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得：p +q=-k,p q =2,(P、2 q、2/+/(P?+q?)2-2p?q2(+4 -2 行-2引q p(pqY(p q (PQ)2(k2-4)2 _ 8 ._ ,_-W 7,解得 kW或 k。4又；P、q为方程x2+k
8、 x+2=0的两实根，；.=1 l,则 f(x)=x?+2 x+_ L 的最小值为 ox+18.已 知 乙(3 a 0；是否存在一个实数t,使 当 t c (m+t,n-t)时，f(x)l,t l,m C R,x =l o gjt +l o g/s,y=l o gs 4t +l o g,4s+m(l o g5 2t +l o gf 2s),将 y 表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域；若关于x的方程f (x)=0有且仅有一个实根，求 m的取值范围。二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元
9、，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现
10、。例如解不等式：4 +2 2 2 0,先变形为设2 =t(t 0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=y+J 匚 1的值域时,易发现X e 0,1 ,设 x=s i n 27 Ca ,a e 0,-,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该2是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量X、y 适合条件x 2+y 2=”(r 0)时，则可作三角代换x=r c o s 6、y=r s i n。化为三角问题。S S均值换元，如遇到乂+丫 =$形式时，设
11、 X=+t,y=t 等等。2 2我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上儿例中乃的 t 0 和 a e 0,02I、再现性题组：1 .y=s i n x c o s x+s i n x+c o s x 的最大值是。2 .设 f(x2 +l)=l o g a (4 x,)(a l),则 f(x)的值域是。3 .已知数列 a 中，a =-1,a“+1 a”=a“+a“，则数列通项 a“=。4 .设实数x、y 满足x?+2 xy 1=0,则 x+y 的取值范围是l+3x5 .方 程 丁=T
12、 =3的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-1 +36.不等式 1 0 g 2(2 -l)l o g 2 (2 X T 2)2 的解集是6户【简解】1 小题：设 s i n x+c o s x=t 后，,则 y=-F t-，对称轴t=-1,2 2当 t=&,ymax=：+V L2 小题：设 x?+l =t(t2 l),则 f (t)=l o g”-(t-1)2+4 ,所以值域为(-8,l o g 4 ；3小题：已知变形为-=-n,所以 a“=%+1 a1=T,设 b =一,则 b =-1,b“=-1+(n 1)(-1)*4小题:n设 x+y=k,则 x2 2 k x+l
13、 =0,=4 k 2 4 N 0,所以 k 2 1 或 k 一l；5小题:设 3 =y,则 3 y?+2 y 1=0,解得 y=a ,所以 x=-1；6小题:设 l o g 2(2 1)=y，则 y(y+l)2,解得一2 y l,所以 x (l og 2 3，l og)。4/4II、示范性题组:例 L 实数 x、y 满足 4x?5 x y+4y 2=5 (式),设 s=x?+y 2,求 -F-Sm ax m in的值。（9 3 年全国高中数学联赛题）【分 析】由 S =x?+y 2联 想 到 c os 2 a +S i n 2 a =1,于是进行三角换元，设x=4s cos ar-.代入式求S
14、M和$m i n 的值。y-yJS sin a【解】设x=y4s cosM sin10a代入式得：4S 5 S s i n a c os a =5a解 得 s=-8-5sin2aV T W s i n 2 a3 8 5 s i n 2 a .-0,求 f (x)=2 a (s i n x+c os x)s i n x c os x 2 a 2 的最大值和最小值。【解】设 s i n x +c os x =t,贝 ij t G -V2 ,-s/2 ,由(s i n x +，,t2-1c os x)l+2 s i n x ,c os x 得：s i n x ,c os x=-2f (x)g(t)-
15、(t 2 a)2 4 (a 0),t G-V 2 ,V 2 2 2t=-J 时，取最小值：-2 a2 2 V 2 a-2当 2 a 时，t=J,取最大值：-2 a 2+2 a2当 0 2 a W 后 时，t=2 a,取最大值：-。2f (x)的最小值为一2 a 2 2 a-,最大值为21 V 2(0 a 【注】此题属于局部换元法，设 s i n x+c o s x =t 后，抓住s i n x +c o s x 与 s i n x c o s x 的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(t e -V 2,、历 )与
16、s i n x +c o s x 对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。般地，在遇到题目已知和未知中含有s i n x 与 c o s x 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(s i n x c o s x,s i n x c s o x),经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。,4(a +1)l a(a +D例 4.设对所于有实数x,不 等 式 x2l o g2-+2 x l o g2 f l o g?,止 0a a +1 4a-恒成立，求 a
17、的取值范围。(8 7 年全国理)【分析】不等式中l o g/。、l o 乌、I。(+?三项有何联系?进行对数2 a 2 a +1 2 4a2式的有关变形后不难发现，再实施换元法。,.,2a ,4(a+1)8(a +1)a+1 解】设 l o g2-=t,则 l o g2-=l o g2-=3 +l o g2 一 =3-2 0,3f 02解得，=4/+8 r(3-r)0t3t 6=-2 t,它对一切实数x 恒成立，所以:2a：.t 0 即 l o g,-0a +12a ,_0 -1,解得 0 a 0恒成立，求k的范围。9 16【分 析】由已知条件.二=1,可以发现它与a?+b2=l有相似之处，于
18、9 16是实施三角换元。【解】由3+*=1,设t l=c o s。，2 1 1=s i n 0）9 16 3 411x=1 +3 c os 0即：代入不等式x+y-k 0得:y=-1 +4 si n。3 c os 0 +4 si n 0 k 0,即 k 0 (a 0)所表示的区域为直线a x+b y+c=O所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x+y-k 0的区域。即当直线x+y k=O在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，1 6(x-l)2+9(y+l)2=1 4 4方程组 有 相 等 的 组 实x+y-左=0数解，消元
19、后由=()可求得k=-3,所以k 0),则 f (4)的值为_ _ _。A.21 g 2 B.I lg 2 C.21 g 2 D.21 g 43 3 32.函数y=(x+l)4+2的 单 调 增 区 间 是。A.-2,+)B.-1,+)D.(-8,+8)c.(-8,-1 3 .设等差数列 a“的 公 差d=l,且S|0 0=1 4 5,则a,+a3+a5+29 9的值为A.8 5B.7 2.5 C.6 0 D.5 2.54 .已知x?+4 y2=4 x,则x+y的范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。5 .已知a 0,b 0,a+b=l,贝i j小7 1 +匹
20、的范围是。6 .不等式4 a x+3的解集是(4,b),贝i j a=_ _ _ _ _,b=_ _ _ _ _ _ _。27 .函数y=2x+7 7 T T的值域是。8 .在等比数列 a“中，a1+a2+*,+a1 0=2,a (I+a1 2+*,e+a3 0=1 2,求 3 1+8 3 2+&6 0 9 .实数m在什么范围内取值，对任意实数x,不等式si n2x+2mc osx+4 ml 0,y 0)上移动，且 A B、A D 始终平行x轴、y轴，求矩形A B C D的最小面积。AB12三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系
21、数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)三g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)三g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步
22、骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：利用对应系数相等列方程；由恒等的概念用数值代入法列方程；利用定义本身的属性列方程；利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。I、再现性题组：1.设f(x)=Fm,f
23、(x)的反函数f T(x)=n x-5,那么m、n的 值 依 次 为。2-5 5 5 5A.一 ,2 B.-,2 C.1 ,2 D.-,-22 2 2 22.二次不等式ax 2+bx+20的解集是(,),则a+b的值是_ _ _ _ _。2 3A.10 B.-10 C.14 D.-143.在(l x3)(1+x)1 的展开式中，x5的 系 数 是。A.-297 B.一252 C.297 D.2073 14.函数y=a bcos3x(b所求椭圆方程是：+y=1也可有垂直关系推证出等腰R tB B F后，由其性质推证出等腰R tB C T F,再进行如下b=c列式：J o-C =V1O-V5，更容
24、易求出a、b 的值。a2=b2+c2【注】圆锥曲线中，参 数(a、b、c、e、p)的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据(a、b、c、e)不变,本题就利用了这一特征，列出关于a-c 的等式。一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程(或儿何数据)一儿何条件转换成方程一求解一已知系数代入。例 3.是否存在常数a、b、c,使得等式1 2 2+2 32+/11+1)2=妁山2 111212+b n+c)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。(89年全国高考题)【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一
25、切自然数n 都成立，取特殊值n=l、2、3 列出关于a、b、c 的方程组，解方程组求出a、b、c 的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n 都成立。【解】假设存在a、b、c 使得等式成立，令：n=l,得 4=(a+b+c)；n=2,得 22=一(4a+2b+c)；n=3,得 70=9a+3b+c0 整理得:2Q+/?+C=24。=30,7-x 0,x 0 o、4设 V=(1 5a a x)(7b b x)x (a 0,b 0)ah要使用均值不等式,一。一。+1 =015a-ax=1 b-hx=x1 3解得：a=,b=，x =3 o4 41 5 2 1,64 z 1 5 x、，2 1 3、64
26、,4+4、3 64从而 V=(-)(-x)x W (-)3 =X 2 7=576。3 4 4 4 4 3 3 3所以当x=3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576c m 3。【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待4 4定系数法 求。本题解答中也可以令V=(1 5a a x)(7x)b x或 一(1 5 x)(7a a x)b x,ab ab再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。1口、巩固性题组:161.函数y=lo g,x的x 2,+8)上恒有则a的取值范围是_ _ _。A.2_1且
27、彳1 B.0：8_或 la2 C.la2 D.a2 或 0a _L2 2 22.方 程x 2+px+q=O与x 2+qx+p=O只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_ OA.1 B.-1 C.p+q D.无法确定3.如果函数y=sin2x+a cos2x的图像关于直线x=对称，那么a=_。8A.V2 B.-V2 C.1 D.14.满足C：+1 C；+2 C：+n C；500的 最 大 正 整 数 是。A.4 B.5 C.6 D.75.无穷等比数列 a：的前n项和为S“=a?，则 所 有 项 的 和 等 于。A.-1 B.1 C.1 D.与 a 有关2 26.(1+kx)9=b0+bJx+b2
28、x2H-Fb 9x 9,若 b 0+b+b 2 H-bb9=-1,贝 lj k=_ Q7.言过而直线l l x-3 y-9=0与1 2 x+y-1 9=0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为8.正三棱锥底面边长为2,侧棱和底面所成角为60。，过底面一边作截面，使其与底面成3 0 角，则截面面积为9.设y=f(x)是一次函数,已知f(8)=1 5,且f(2)、f、(fl4)成等比数列,求f+f(2)+f(m)的值。10.设抛物线经过两点(T,6)和(-1,-2),对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7和抛物线截得的线段长是4回,求抛物线的方程。四、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题
29、。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。I、再现性题组：1.已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，AUB的元素个数为n,则。A.2WnW9 B.7WnW9 C.5W n9 D.5WnW72.设MP、0M、AT分别是4 6 角的正弦线、余弦线和正切线，则。A.MPOMAT B.OMMPAT C.ATOMMP D.OMA
30、TMP3.复数Z 1=a+2 i,Z2=-2+i,如果|z/|z2|,则实数a的取值范围是_ _ _。17A.-K a l C.a 0,X?y2.4 .椭圆+w =1上有一点P,D.a l它到左准线的距离为:，那 么 P点到右焦点的距离为2A.8 C.7.5 C.D.345 .奇函数f(x)的最小正周期为T,则 f(Z)的值为。2 TA.T B.0 C.D.不能确定26.正三棱台的侧棱与底面成4 5 角，则其侧面与底面所成角的正切值为_【简解】1 小题：利用并集定义，选 B；2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选 B；3小题：利用复数模的定义得五 2+2?)后,选 A；44小题：利用椭圆的第
31、二定义得到 1匚=e=,选 A；J D25小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f (一工)=f (工)=-f(一二)，选 B；2 2 26小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。I I、示范性题组：+(17+h例 L 已知z =l+i ,设 w=z 2+3 4,求 w 的三角形式；如果一z.-Z -z +l=1 i ,求实数a、b的值。(9 4 年全国理)【分析】代入z 进行运算化简后，运用复数三角形式和暨等的定义解答。【解】由 z=l+i ,有 w=z2+3 4=(1+i )2+3(1 +z)4 =2 i +3(1 i )4 =w 的三角形式是(c o s-5-7-r-rt i s i n
32、5)、；4 4由 z =l+i,有Z2+az+bz2-z +1+o(l +i)+/?(1 4-02-(1 +0 +1(a +/?)+(Q+2)z=(a +2)(a+b)i o由题设条件知：(a+2)(a+b)i =1+i ；根据复数相等的定义，得:。+2 =1一(+/?)=-1解得a=-b=2【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义,由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。18例 2.已知 f(x)=-x+c x,f(2)=-1 4,f(4)=一 2 5 2,求 y=l o g&f (x)的定义域,判 定 在（二1，1）上的单调性。2【分
33、析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。【解】/(2)=-T +2c=-14/(4)=一4 +4。=一252 二4c=1解得：.f(x)=-x4+x 解 f(x)0 得:0 x l32设-X X ,V 2 ,x.2+x?2-(x,+x7)(x.2+x?2)V 21 z 1 x 2 I zX返n2.f（x J-f（X 2）0即f（X）在（立,1）上是减函数,/2(y-3)2 0 的解集是(1,2),则不等式b x 2+cx+a b 0)的两个焦点，其 中 F 2与抛物线y 2=1 2x 的a2 b2焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos/M
34、 F/2 cos/M F z F =q，求椭圆方程。五、数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n =l(或 n 0)时成立,这是递推的基础；第二步是假设在n=k时命题成立，再证明n=k +l 时命题也成立，这是无
35、限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何臼然数(或n n。且 n G N)结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。21运用数学归纳法证明问题时，关键是n =k +l 时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定利调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。I、
36、再现性题组：1 .用数学归纳法证明(n +1)(n +2)(n +n)=2”1 2(2 n-l)(n G N),从“k到 k +1 ，左 端 需 乘 的 代 数 式 为。,、2k+2k+3A.2 k +l B.2(2 k +l)C.-D.-k+1 k+l2 .用数学归纳法证明1 +H-1-l)时，由n=k (k l)不等式成立,2 3 2-1推证n =k +l 时，左 边 应 增 加 的 代 数 式 的 个 数 是。A.2*-1 B.2*-1 C.2k D.2*+13 .某个命题与自然数n 有关，若 n =k (k N)时该命题成立，那么可推得n =k+l时该命题也成立。现已知当n=5时该命题
37、不成立，那么可推得_.(9 4 年上海高考)A.当 n=6时该命题不成立 B.当 n=6时该命题成立C.当 n=4时该命题不成立 D.当 n=4时该命题成立4 .数列 a)中，已知a1=l,猜想a“的表达式是_。当 n22时 a“=a“_+2 n 1,依次计算a2、a3,后,A.3 n 2 B.n2C.D.4 n-35 .用数学归纳法证明3 4 2+5 2 +I(n G N)能被1 4 整除，当n=k +l 时对于式子3 E)+2+5 2(t+l)+l应变形为.6 .设 k棱柱有f(k)个对角面，则 k+1 棱柱对角面的个数为f(k+l)=f(k)+。【简解】1 小题：n =k时，左端的代数式
38、是(k +l)(k+2)(k +k),n =k +l 11寸，左端的代数式是(k+2)(k +3)(2 k+l)(2 k+2),所以应乘的代数式为 3 +D(2+2),选 改k+12 小题：-(2*-1)=2*,选 C；3小题：原命题与逆否命题等价，若 1 1=1 S3、S4,推 测 公 式，并用数学归纳法证明。(9 3年全国理)【解】计算得S =1,s2=|,$3=关，=2猜测 S =(n e N)o当 n=l时，等式显然成立；22假设当n=k时等式成立,即：S*=(2k+l)2-1(2 A +1)28(女+1)当 n=k+l 时，S,.=S,H-*+,及(2 k+1日(2 k+3)2(2
39、fc +l)2-1 8 伏+1)=-1-(2 k+1)2(2 k+I p (2 k+3(2 +1)2.(2。+3)2 (2 1 +3产 +8(女+1)(2-+l)2 (2 -(2,+3尸由此可知，当n=k+l时等式也成立。综上所述，等式对任何n G N都成立。(2k+3)2-1【注】把要证的等式S+|=(2.+；)2作为目标，先通分使分母含有(2 k+3)2,再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到(2 k+3)2-1 这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问
40、题中经常见到。假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试 值 猜 想 一 证明。【另解】用裂项相消法求和：:_ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _1 a (2-1)2 7+1)2 (2/7-I)2 (2 +1)2 得，1 1 1 1 1 1“32 32 52(2 (2+1)2(2+1-_ (2 n+l)2-1一(2 +1尸 8 此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现下(2 n-l)2 (2+1 上 ,一 C L、，的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。(2 n-l)-(2 n+l)-例2
41、.设a“=J l X 2 +J 2 X 3 T-卜 J/i(+1)(nWN),证明：gn(n+1)a“g (n+1)2。【分析】与 自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n=l时容易证得，n=k+l时，因为a印=a *+J(&+l)(k+2)，所 以 在 假 设n=k成 立 得 到 的 不 等 式 中 同 时 加 上J*+1)伏+2),再与目标比较而进行适当的放缩求解。23【解】当 n=l 时，a=V2,-n(n+l)=-,(n+1)2=2，2 2 2.n=l 时不等式成立。假设当n=k 时不等式成立，即：-k(k+l)a,-(k+1)2,2 2当 n=k+l 时，k(k+1)+1)(火 +2)
42、什 -k(k +l)+(k+l)=(k+1)(k+3)(k+1)(k+2),(k+1)2+J(攵 +1)(k+2)(k+1)2+y/k2+3k +2 (k+1)2+(k H )(k2 2 2 2 2+2)2,所 以,(k+1)(k+2)a,-(k+2)2,即 n=k+l 时不等式也成立。2,2综上所述，对所有的nWN,不等式；n(n+l)a“l+2 +3+n=n(n+l)；由 y/n(n+1)n+可得，a“l+2+3-l-1-nH X n=-n(n+l)+n2 2 2(n 2+2n)一 (n+1)2。所以一n(n+l)a 将=a 1+(kl)d 代入上式，得到 2a*”=(k+1)(a1+a*
43、+)2ka1一k(k 1)d,24整理得(k-D a z =(kl)a,+k(k l)d,因为k 2 2,所以a*+1=a1+kd,即 n=k+l时猜测正确。综上所述，对所有的自然数n,都有a“=a1+(n-l)d,从而 a“是等差数列。【注】将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n 成立的问题。在证明过 程 中 的 得 出 是 本 题 解 答 的 关 键，利用了已知的等式s“=(%；%)、数列中通项与前 n 项和的关系a g =S k+-S卜建立含a*1的方程，代入假设成立的式子a&=a +(k-1)d解出来a*”。另外本题注意的 点是不能忽视验证n=l、n=2 的正确性，用数学
44、归纳法证明时递推的基础是n=2 时等式成立,因为由(kl)a*+1=(k l)a1+k(k l)d 得到a,+|=a|+kd的条件是k 2 2。【另解】可证a+1-a“=a n a 对于任意n)2 都成立：当 n2 时，a“=S -S(%+%)(一1)(%+a,i)p m 七 。_ (+l)(%+a“+|)-2-2-；同理有 a“+i=S n+l-S -(%+%)(+1)(q+*+)(-1)(%+%“)-2-；从而 a“+|a“=-n(a,+an)+-,整理得 a”.-a =a -a ,从而 a“是等差数列。一般地，在数列问题中含有a“与 S,时，我们可以考虑运用a“=S”-S,i 的关系，并
45、注意只对n 2 2 时关系成立，象已知数列的S“求 a”一类型题应用此关系最多。m、巩固性题组：1.用数学归纳法证明：62,-+1 (ndN)能被7 整除。2.用数学归纳法证明：1X 4+2X 7+3X 10+n(3 n+l)=n(n+l)2(nGN),3.n e N,试比较2 与(n+l)2的大小，并用证明你的结论。4.用数学归纳法证明等式：cos三,cosL cos A.cosL=sinx(81年2 22 23 2 Z2 s in-全国高考)5.用数学归纳法证明：|sinnx|W n|sinx|(n G N)。(85年广东高考)6.数列 a“的通项公式 a“=!(nGN),设 f(n)=(
46、1 a)(1 a,)(1a”)，试求f(l)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。7.已知数列 a 满足 a=l,a=a ,cosx+cos(n l)x,(xWk 冗，n22 且 nn i n n iGN).求 a2和 a3；.猜测a“，并用数学归纳法证明你的猜测。8.设 f(lo g“x)=K0,.求 f(x)的定义域；.在 y=f(x)的图像上是否存在Xa2-1)两个不同点，使经过这两点的直线与x 轴平行？证明你的结论。.求证：f(n)n(nl且 ndN)六、参数法25参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参 数)，以
47、此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。I、再现性题组：1.设Z X u B,n S D l,则2 x、3 y、5 z从小
48、到大排列是。x 2 _,2 .(理)直线 上与点A(-2,3)的 距 离 等 于 的 点 的 坐 标 是 _ _ _ _ _ _ _ _。y-3+(文)若k 一l,则圆锥曲线X?-ky2 =l的离心率是。3.点Z的虚轴上移 动，则 复 数C =z?+l +2 i在复平面上对应的轨迹图像为4 .三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3,则 其 体 积 为。5.设函数 f(x)对任意的 x、y C R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x 0 时,f(x)0,则f(x)的R上是_ _ _ _ _ _ 函数。(填“增”或“减”)X2 V2 f-6 .椭 圆%+J=1上的点到直
49、线x+2 y一垃=0的最大距离是_ _ _。16 4A.3 B.711 C.V10 D.272【简解】1小题：设2 =3 =5=t,分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z,再用“比较法”比较2 x、3 y、5 z,得出3 y =4cos d 4 cos-4整理得到:c o s 0 c o s 6 2+s i n 0 ,s i n。2=，即 cos。2)=。|O P 2+|O Q 2=1 6C O S2 9 ,+4 s i n2 6 I G c o s 2 0 2+4 s i n2 0 2=8 +1 2(c o s2 9 1+c o s2 0 2)=2 0 +6 (c o s 2 6 ,+c
50、 o s 2 0 2)=2 0 +1 2 c o s (0 ,+0 2)c o s (0 ,-0 2)=2 0,即|0 P|2 +I O Q l 2等于定值2 0。x 3=2(cos 0.+cos 9、)由中点坐标公式得到线段P Q的中点M的坐标为.八.八一，yM=sin0j 4-sin所以有(5)2+丫 2 =2 +2(c o s 0 c o s 0 2+s i n 0 ,s i n 0 2)=2,x2 y2即所求线段P Q的中点M的轨迹方程为+-=l oo 2【注】由椭圆方程，联想到a?+b 2 =l,于是进行“三角换元，通过换元引入新的参数,转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使