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1、高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求：(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.01.集合与简易逻辑知识要点一、知识结构：本章知识主要分为集合、简 单 不 等 式 的 解 法(集 合 化 简)、简易逻辑三部分：二、知识回顾：集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.
2、集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为4 4；空集是任何集合的子集，记为空集是任何非空集合的真子集；如果14a 8,同时8 a”，那么N=8.如果N qB,B三C,那么N qC.注:Z=整数 (4)Z=全体整数 (X)已知集合S 中/的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(X)(例：S=N；A=N+,则 CsA=0)空集的补集是全集.若集合/=集合8,则CB/=0,C,8=0 Cs （CAS）=（注：C,8 =0）.3 .（x,y）|孙=0,xR,坐标轴上的点集.（x,y）V O,x CR,y G R 二
3、四象限的点集.1（x,y）灯 0,x GR,y GR、三象限的点集.注:对方程组解的集合应是点集.例：+3=3 解的集合（2,1）.2x-3y=1点集与数集的交集是。.（例：A=（x,y）|y=x+l B=（y y =x2+l 则ZC8=0）4 .个元素的子集有2 个.个元素的真子集有2 -1个.个元素的非空真子集有2 2个.5.个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题=逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题.例：若a +b 5,贝 i j a *2 或b*3 应是真命题.解：逆否：a =2且/=3,贝 U a+b=5,成立，所以此命题为真.x H L目）*2,_
4、 _ x +y 工 3.解：逆否：x+y =3 Ax=1 或y=2.x w 1 且 2 A x +y h 3,故x +k 3 是x w 1 且 尸 2 的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3 .例：若x 5,=x5或XY2.4 .集合运算：交、并、补.交：/口 8 =x|xe且x e 团并：U 5 x|x e N 或xe B补：且x史邓5 .主要性质和运算律（1）包含关系：A c 4=4 工=U,CL,A=U,（2）等价关系：/=8 =Z =B =U（3）集合的运算律：交换律：/n8=8n4 UB=8U4结合律：（zn8）nc=/n（8nc）；（/u5）uc=/
5、u（8uc）分配律：./n（8Uc）=（/n8）u（4nc）；zu（8nc）=（/U8）n（N Uc）o-i 律：n =，u/=4 unz=auu=u等幕律：ACA=A,AJA=A.求补律:A n C u A=4 AUCLA=U W CUU=6；C u 4=U反演律：C u (A D B)=(C i A)U (C(B)C t (A U B)=(C(A)D (C cB)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记 为 ca r d(A)规 定 ca r d(0)=0.基本公式：cd(，U8)=cardA)+card(B)-card(A D B)l)cardA U 8 U C
6、)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A yB)-card(B DC)-card(C D A)+card(ACBCC)(3)ca r d($i A)=ca r d(U)-ca r d(A)（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1 .整式不等式的解法根 轴 法（零点分段法）将不等式化为a 0（x-x j（x-x 2）（x-X）0 0）形式，并将各因式x 的系数化“+”；（为了统一方便）求根，并在数轴上表示出来；由右上方穿线，经过数轴上表示各根 的 点（为什么？）；若不 等 式（x的系数化“+”后）是“0”，则 找“线”在 x轴上方的区间；若不等式 是 0，则 找
7、“线”在 x 轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式g x +程 0（b 解的讨论；一元二次不等式a x 2+b o x 0 （a 0）解的讨论.A 0 =0A 0二次函数y=ax2+bx+c(0 )的图象1X1=X2 X一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0 为勺根有两相异实根Xt,x2（xt 0(。0)的解集卜,b2aRax2+6x +c o)的解集卜昆 x 0(或1(0)；2 0(或/W 0)的形式,g(x)g(x)g(x)g(x)(2)转化为整式不等式(组)曲 o o f(x)g(x)()；2 0 0g(x)g(x),/(x)g(x)0g(x)丰 03.含绝对值不等式的解法(1)
8、公式法：麻+耳 c(c 0)型的不等式的解法.(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程 a x?+b x+c=0 (a WO)(1)根 的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.(2)根的 非零分布：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.(=)简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形
9、式：P或 q(记作“p V q”);作“1 q”)。3、“或”、“且”、“非”的真值判断(1)“非 P”形式复合命题的真假与F的真假相反;为真,为假,(2)“p且 q”形式复合命题当P与 q同为真时其他情况时为假；(3)“p或 q”形式复合命题当p与 q同为假时其他情况时为真.P且 q(记作“p/q”);非 P(记原命题互 逆逆命题若p 则q互为*否逆若q 则P互互否为逆否否否命题互逆否命题苫1 P 则1 q互逆若i q 则7 P4、四种命题的形式：原命题：若 P则 q：逆命题：若 q则 P；否命题：若r P则1 q；逆否命题：若r q贝 h P o(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆
10、命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题：(3)交换原命题的条件和结论，并且同忖否定，所得的命题是逆否命题.5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：（原命题=逆否命题）、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知pnq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。若p=q且q=p,则称P是q的充要条件，记为p O q.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），弓I出（与已知、公理、定理）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学第二章函
11、数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩充.有理指数基的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数的应用.考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念.（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.（4）理解分数指数 累的概念，掌握有理指数累的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质.（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质.（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解
12、决某些简单的实际问题.02.函数知识要点-、本章知识网络结构：-定 义-F:A 厂一反 函 数映身立 厂 一 舟殳研究匡I像性 屋具 体 函 数 指数数函数-对 数 一 对 数 函 数二、知识回顾:(-)映射与函数1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数y =/(x)(x e%)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=*(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y),x在A中都有唯一的
13、值和它对应，那么,x=e(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x=9(y)(y e C)叫做函数J =/(%)(X G%)的反函数，记 作X=/T 3),习惯上改写成y=fx)(-)函数的性质L函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域1内某个区间上的任意两个自变量的值XI,X2.若当X1X2时，都有f(X|)f(X2),则说Rx)在这个区间上是增函数：若当X1f(X2),则说f(x)在这个区间上是减函数.若函数产f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数尸f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2
14、.函数的奇偶性偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有M-X)=Q0,那么函数f(X)就叫做偶函数./(X)是偶函数 o/(7)=/(.、)O/(-.X)-/(.X)=0。纲=l(/(.x)H 0)/(X)奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有-x)hf(x),那么函数f(x)就叫做奇函数./(X)是奇函数 O/(r)=-/(.t)O/(T)+/=0 O缤=-K/W 丰 0)正 确 理 解 奇、偶 函 数 的 定 义。必 须 把 握 好 两 个 问 题：(1)定 义 域 在 数 轴 上 关 于 原 点 对 称 是 函 数/(X)为奇函 数 或 偶 函
15、数 的 必 要 不 充 分 条 件；(2)/(-x)=/(x)或/(-X)=-/(x)是 定 义 域 上 的 恒 等 式。2 .奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 成 中 心 对 称 图 形，偶函数的 图 象 关 于，轴 成 轴 对 称 图 形。反 之 亦 真，因 此，也可 以 利 用 函 数 图 象 的 对 称 性 去 判 断 函 数 的 奇 偶 性。3 .奇 函 数 在 对 称 区 间 同 增 同 减；偶 函 数 在 对 称 区 间 增减性相反.4 .如 果/(x)是 偶 函 数，则 x)=/(|x|),反 之 亦 成 立。若 奇 函 数 在 x =0时 有 意 义，则 0)=0。7.
16、奇函数，偶函数：偶函数：/(-幻=/(幻设(凡 6)为偶函数上一点，则(-。花)也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：y =/+l 在口 厂 1)上不是偶函数.满足/(-x)=/(x),或/(-x)-/(x)=0,若/(x)x O 时，=1./(-X)奇 函 数:/(-x)=-/W设(a,6)为奇函数上一点，则(-a,-b)也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：y =/在口,-1)上不是奇函数.满足-x)=-/&),或/(-x)+/(x)=0,若x)*0 时，工立=-1./(-x)8 .对称变换：y=f(x)釉 对
17、 称 y =/(_x)y=f(x)轴对称),=_/(x)原点对称y =_/(_x)9 .判断函数单调性(定义)作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如:f(x)-f(x2)=x +b2在进行讨论.一 业+庐=(X 一 工 2)(修 +工2)Jx：+62 +J x；+r10 .外层函数的定义域是内层函数的值域.X例如：已知函数/(x)=l+-的定义域为4函数/定义域X|X H3,X WR,x-3 x-3值域 y|y。2 4 尺 -*值域。工前的系数之比.（三）指数函数与对数函数对 数 函 数 户 的 图 象 和 性 质：a l0 a 0,N 0,a 0,a l,b 0,b l,c 0,c l,a
18、1,a2.an a 0且 w 1)图象(1)定义域：(0,+8)(2)值域：R性质(3)过 点(1,0),即当 x=l 时，y=0（4）x（0,l）时 y 00,1）时 y 0 x G（l,+o o）时 y 0,而MYO,故 取“一”.例如：lo g,/2 10 g“x;(2 1o g“x 中 x 0 而l o g 4 中 xdR).(2)y =a*(a a 0,。#1 )与 y =lo g。x 互为反函数.当 心 1时，y =lo gx 的a 值越大，越靠近x 轴；当O Y a Y l 时，则相反.(四)方法总结(1).相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.对数运算：lo gfl（M
19、 -N）=lo ga M+lo g Nlo g N =lo ga M-lo g Nlo g =lo g”（土 严）ogay f M=-lo gf l MnJ o g“z=N换底公式：lo gN =glo g6 a推论:lo g。b -lo g/,c lo gc a=1n lo g%。2 lo g%。3 】%_ =lo gq 为（以上 M”0,N0,a0,aH l,b0,b H l,c0,cw l,a!，a2.an 0且 H 1）注:当 a,b Y 0 时,lo g(a -h)=lo g(-a)+lo g(-i).：当时，取“+”，当是偶数时且MYO时，M 0,而 Y0,故 取“一”.例如：lo
20、 g“x，2 1o g“x;(2 1o g“x 中 x 0 而 lo g,/2 中 xE R).(2)y =a*与y =lo g。x 互为反函数.当“1时，y =lo g“x的 值越大，越靠近x 轴；当OY O YI时，则相反.(2).函数表达式的求法：定义法；换元法：待定系数法.,反函数的求法：先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0,底数大于零且不等于1；零指数幕的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法
21、：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.(6).单调性的判定法:设X 1 ,X 2 是所研究区间内任两个自变量,且X 1 2)-q-q重 要 性质am+an=a”+(m,，p,夕 N*,m+n=p+q)dn=ap q g/p q e N*,m+n=p+q)1.等差、等比数列:等差数列等比数列定义S”为4 P a+i-an-d(常数)*为6 2。一 =夕（常 数）an通项公式Q =Q +(nl)d=ak+(n-k)d=d +%-d=%q 一 1 =a kqn-k求和公式_(一+%)(T)dn 2 1 2=|2+(%=叫(q=1)%。W)=%-a.q 丰、
22、i-q 1-4中项公式,.，。+b 山”一Ac=-2-据3g J 2 Qu n=Qu n-nt+4un+n tG?=。推广：at,2=an_m x an+m1 土质1若 m+n=p+q 贝ij am+an=ap+%若 m+n=p+q,贝U aman=apaq 2若化,成A.P（其中3 N）则 4 也为A.P。若 3 成等比数列（其中“等）,则 七J成等比数列。3-S,s2n-Sn,s3n-s2 成等差数列。S,s2n-sn,s3n-s2 成等比数列。4a-a,a ad=一L=一+)n-m-nq7=%,q f=区a%(7 w n)5看数列是不是等差数列有以下三种方法:a”-a _=d n 2,4
23、为常数）2 a =an+i+a.1（2）a =A w +b （力,人为常数）.看数列是不是等比数列有以下四种方法：a”=。”_|久2 2,4为常数,且工0）播=an+-a-n2,a a+1a _ 1*0）注：i.b =而，是a、6、c成等比的双非条件，即6 =加=爪c等比数列.i i .b =&（a c 0）-为m爪c等比数列的充分不必要.i i i .分=疝一为a、6、c等比数列的必要不充分.i v .b=4且“CAO,为“、b、c等比数列的充要.注意：任意两数m c不一定有等比中项，除非有a c 0,则等比中项一定有两个.an=c q （c,q为非零常数）.正数列 分 成等比的充要条件是数
24、列 1 0 gx。,（XA1）成等比数列.数列 册 的前项和S”与通项册的关系：册=1 ,注:%=%+（-1 =加+（外-）可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）一若“不为o,则是等差数列充分条件）.等差。“前n项和S”=/l M+3 d _卜 f段可以为零也可不为零f为等差的充要条件一若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非季常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2.等差数列依次每A项的和仍成等差数列，其公差为原公差的好倍$,5 2*-S*，S3*；若等差数列的项数为2（e N +）,则S偶-5奇=若町=2
25、可设。=(C 1+C 2)X；;由初始值为勺确定。”。？-a“=(P、r为常数)一用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数n转化为。+2=尸。+1+期”的形式,再用特征根方法求”“；0“=1+。2尸 “(公式法)，2由,。2确定.转化等差，等比：a+i+x =P(a+x)=a+l=Pan+Px-x x =-.p 选代法：a“=尸a“t +r =P(P a,j+厂)+r =a=3 +-7 7-7 7 =(。i+x)P-xr 1 r 1=Pn _|a1+Pn-2-r +-+Pr+r.用特征方程求解：a=Pa+ran=Pa _x+r.相减,n%+i -a“=P”-&,_ i n a“+i =(P +
26、l)a-Pan_x由选代法推导结果：q=一，c2=ax+-!,a,产c 2 P 1+(=(臼+_!_)p T +.p p p p6 .几种常见的数列的思想方法:等差数列的前项和为S“，在4YO时，有最大值.如何确定使S”取最大值时的值，有两种方法：一是求使“2 0,。向 Y 0,成立的值；二是由5“=2/+3_多”利用二次函数的性质求的值.如果数列可以看作是一个等差数列与个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：2 4 2 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差4,刈的最小公
27、倍数.2 .判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：定义法:对于n2的任意自然数,验 证an-a 1（巴 H为 同 常 数。（2）通 项 公 式 法。（3）中 项 公 式 法：验 证2。”+1=。“+4-2（。；+1=w N 都成立。am 03 .在等差数列 4 中，有关Sn的最值问题：（1）当/0,d 0 时，满足 的项数m 用 w oam 0使得取最大值.（2）当卬 0 时，满足的项数m使得5 加取最小值。在解含绝。吁1 2 0对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1 .公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2 .裂项相消法:适用于
28、 一 其中 /是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3 .错位相减法:适用于。也 其中可 是等差数列，是各项不为0的等比数列。4 .倒序相加法：类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.5 .常用结论、n（n+1）1）:l+2+3+.+n=J-22）l+3+5+.+（2 n-l）=n2 1 123）I3+23+-+M3=-（+1）4)I2+22+32+-+M2w(r t +l)(2 t t+1)6+1)n +1 +2)2 n +26)=-(-)(p q)pq q-p p q高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
29、同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正 切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数产A s i n(3 x+6)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定 理.斜三角形解法.考试要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三
30、角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会 用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数产A s in(3 x+0)的简图，理解A.3、6的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号ar cs in x ar c-co s x ar ct an x 表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.(8)“同角三角函数基本关系式:s in 2 a+co s 2 a=1,s in a/co s a=t an a,t an a*co s a=1w.04.三角函数知识要点1.与 a(0。4a r-a)=cosacos a
31、=2 a1 -tan-2A、tan(=cot a,2 a1 +tan2sin a+sin Z 7 =2 sin?+艮 cos 2 2A、cos(乃 +a)=-sm aZ1 、tan(-4-a)=-cot atana=-a2 tan 2_ r a+/3.a-psin a-sin p=2 cos-sm-c c a+oc Bcos a+cos p=2 cos-cos-2 2cos a-cos 夕=-2 sin a +sin 2 21-tan 一2,A、sin(4-a)=cos1 0.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y=sin xy=cosxy=tan xy=cotxy=4sin(0r+)(
32、A、。0)定义域RR.r|x G 夫 融 *k兀 +；n，k e zx|x G火 且x.k兀,k e ZR值域-1,+1-1,+1RRA,A周期性2万In7 17 12TCco奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当9 X 0,非奇非偶当尹=0,奇函数单调性 一 +2%乃，y +2 上 为增函数；+2k 7,37r c,、+2k7r上 为 减 函数(ite Z )（2A-1,2左 乃 上 为 增 函数2k 兀,（2%+1地上 为 减 函数（A eZ ）卜 卜 氏，纱）上 为 增 函 数（左 Z）优万,卜+1附上为减函数（A eZ）I k n-71(p-(4),(1)C 7 12K7T+-7 T-(p-
33、Z(-A)C D上为增函数；2ATT+7 r 。-1(4),(0 32攵)+一万 一。-2-(-/!)_ co J上 为 减 函 数(%W Z)注意：y=-s in x与丁=s in x的单调性正好相反；y=-co sx与y=cosx的单调性也同样相反.一般地，若y=/（x）在上 递 增（减），则 尸-/（x）在口上递减（增）.”卜 而 乂 与、=卜0 乂的周期是乃.丁=$皿(3+9)或 =co s(o ix +9)(ewO)的周期7 =.Xy =t an 2的周期为2（T=7 =21，如图，翻折无效）.网 j，=s in（加+0）的对称轴方程是工=乃+（Z r G Z ）,对称中心（左 肛0
34、 ）；y =co s（y =-c o s(-2 x)=-c o s 2x当 t a n a t a n/?=1,a +4=左 +(左 Z)；t a n a -t a n/?=-1,a-J3=k7r +-(k e Z).y =c o s x 与y =5后1+1+2匕1）是同一函数,而=3：+9）是偶函数，则y =(c ox +(p)=s i n(s +4乃 +g 乃)=c o s(s)函数y =t a n x在H上为增函数.（x）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，y =t a n x为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是Z Y x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件
35、：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：-x）=/（x），奇函数：f（-x）=-f（x）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y =t a n x是奇函数，y =t a n（x+1;r）是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若Oex的定义域，贝U/（x）一定有/（o）=o.（0任x的定义域，则无此性质）=s i n|x|不是周期函数；夕=卜m目为周期函数（7 =不）；八c o相是周期函数（如图）；y =|c o s x|为 周 期 函 数=4_2 c o s 2y=c o s 2 x+，的周期为万（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：2y =f（x）
36、=5 =f（x +k）,k G R.=a c o s a +hs in J3=y/a2+b2 s i n（a +0）+c o s（p=有 y/a2+b2 y .a11、三角函数图象的作法：1）、几何法:2）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3）、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=A s i n （x+（p）的振幅|A|,周期？=红，频率/-=1 =M,相位o x+*;初相Q|。|T 24（即当x=0时的相位）.（当 A 0,0时以上公式可去绝对值符号），由丫=$出*的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐
37、标伸长（当|A|1）或 缩 短（当 O V|A|1）到原来的|A|倍，得至（l y=A s i n x的图象，叫做振幅变换或叫沿v轴 的 伸 缩 变 换.（用y/A替换y）由丫=4口的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）到原来的1 3 倍，得到y=s i n 3 x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用 3 x 替G）换X）由丫=5 位的图象上所有的点向左（当中 0）或 向 右（当中0）平行移动I（P I 个单位，得到y=s i n （x+0）或向下（当 b 0,0）（x GR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,，原图象延x 轴量伸缩量的区别。4、
38、反三角函数：函数y=s i n x,卜,二二）的反函数叫做反正弦函数，记作y=a rc s i n x,它的定义域是 1,1,值域是卜函数y=c o&r,（x G 0,*）的反应函数叫做反余弦函数，记 作 y=a rc c o s r,它的定义域是-1,1,值 域 是 0,万.函数y=t a n x,卜 二 的 反 函 数 叫 做 反 正 切 函 数，记作y=a rc t a n x,它的定义域是（一8,+0）,值域是卜三二）.函数y=c t g r,xG （0,万）的反函数叫做反余切函数，记作y=a rc c t g x,它的定义域 是（一8,4-o o）,值 域 是（0,尸）.I I.竞赛
39、知识要点一、反三角函数.1.反三角函数：反正弦函数y=a rc sinx是奇函数，故a rc sin（-x）=-a rc sinx,（一定要注明定义域，若xe（-8,+00），没有x 与y-对应，故丁=5出工无反函数）注：sin(a rc sin x)=x,x e -1,1,a rc sinx G _ 2 2_反余弦函数歹=a rc c osx 非奇非偶，但有a rc c os(-x)+a rc c os(x)=+2k兀,XG-1,1.注：c os(a rc c osx)=x,a rc c osx G y=c osx是偶函数，y=a rc c osx非奇非偶，而歹=sinx和歹=a rc si
40、n x为奇函数.反正切函数：y=a rc ta n%,定义域(一8,+8),值 域(一 e)，y=a rc ta nx是奇函数，a rc ta n(-x)=-a rc ta n x，X G (-oo,+oo).注：ta n(a rc ta n x)=x,X G (-oo,+oo).反余切函数：y =a r c c ot x)定义域(T O,+8),值 域(一H)，J =G P C O t x是非奇非偶.a r c c ot(-x)+a r c c ot(x)=4+2%4，X e (-00,+00).注：c ot(6rrc c ot x)=x,X G (-c o,+00).=a rc sin x
41、 与 y=a rc sin(l-x)互为奇函数，y=a rc ta n x 同理为奇而 y =a rc c osx 与 y =a r c c ot x非奇非偶但满足 a rc c os(-x)+a rc c osx=万 +2左 匹 x e -l,l a rc c ot x+a r c c ot(-x)=乃 +2ki,x e -1,1.正 弦、余弦、正切、余切函数的解集：。的取值 范 围 解 集 sinx=。的解集 a|1 0同=1 x|x=2kK+a rc sin a,k e z|o|vi I x=+(-1)A a rc sin a,k ta n x=a 的解集：x x =k7T+a rc t
42、a n a,k e Z c otx=a 的解集：x|x=r+a rc c ota,%Z a的取值范围 解集 C OS X =4的解集 a l 0同=1 x I x=2%乃+a rc c osa,G ZId 1 x x-k7c a rc c osa,k e Z 二、三角恒等式.第os a c os 2a c os 4a c os 2 a =2/7+,sinc rsin 3a =3sin a-4sin3 a sin2 a -sin2 p=sin(a +)sin(a-)c os3。=4c os33c os2=c os1(5-c os2 a组二na a a a ac os -=c os c os c
43、os-c os _ 2k 2 4 8 2”sin a2 sin 色2nZ c os(x+kd)=c os x+c os(x+4)+c os(x+nd)_ sin(w+l)t/)c os(x+nd)k=QZ sin(x+kd)=sinx+sin(x+4)+sin(x+nd)=A=0sin dsin(w+l)d)sin(x+nd)sin dtang+,+,)_ tan a+tan+tan/-tan a tan p tan y1 -tan a tan/?-tan/?tan/-tan/tan a组三三角函数不等式sinx x tan x,x e(0,)/(x)=初 二在(0,万)上是减函数2x若 4+
44、8+C=z r,贝IJxZ+y+z 2yz cos A+2xz cos B+2xy cos C高中数学第五章-平面向量考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离、平移.考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(
45、6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式.05.平面向量知识要点1.本章知识网络结构区 本 号 用|一段的比 分 点|*|平 面 两 点 间 距 离|.-,-4y移 公 式|2.向量的概念(1)向量的基本要素：大 小 和 方 向.(2)向量的表示：几何表示法7B-.字母表示：a；坐标表示法a=x i +y j=(x,y).(3)向量的长度：即向量的大小，记 作I a I .(4)特殊的向量：零向量a=0=I I =0.单位向量所为单位向量。I的I =1.X%(5)相等的向量：大小相等，方 向 相 同(x i,外)=(x2,九)X 必=y2(6)
46、相反向量:a=-bO b=-a=a+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作。6.平行向量也称为共线向量.3.向量的运算运算类型儿何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则a+b=(x+x2,y+y2)a+B=B+Q(a+1)+c=a+(1+c)A B+B C=A C向量的减法三角形法则4 一3=(玉-马,弘一)a-b =a+(-6)AB=-B Af OB-OA=AB数乘向J S.里1.2 a 是 个 向 量，满足花|=|刈2.2 0时，丸 4与Q同向；丸0时，与Q异向；九 二 0 时，2(7=6.Aa=(Ax,Ay)=(加)4(2+=4
47、Q+jLia4(a+b)=Aa+Aha llB q=4向量的数量积是一个数1.a=0或否=6 时，否=0 力0且 力 耐，2,一一 _a 6=|a|6 1 cos(a,b)a B=xx2+yy2a 1)=1)a(右)=4(肪=(a-b)c=a c+h ca2=|即 讨=一+/ab ah4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理，上是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数人，4 2,使。=4 +262.(2)两个向量平行的充要条件a 办=。=A b(b#0)Xy2 X2yi=0.(3)两个向量垂直的充要条件aA a,6=0 x 1X 2+i2=0.(4)线段的定
48、比分点公式设点一分有向线段而所成的比为儿，即 肝=，两，则-*1 -*1 -OP O P+-O P2(线段的定比分点的向量公式)1 +4 1 +4_ X +AX22_2/B-BOCOS3 在a ABC中，由余弦定理有co s 8=,代入，化简可得，A D?/i B D+A B-C BD.DC(斯德瓦定理)ABC/图 5 若/。是 8 c 上的中线，ma=2 h2+2c2-a2；/I 若/。是N4的平分线，/“=3j b c p(p-),其中p为平)D cb +c若Z)是3C上的高，ha=Jp(p-a p-b p-c),其中。为半周长.a(8)A A B C的判定：/ua Z+b Zo4/Bc
49、为直角0/人+ZB=2。2 Va Z+/oa z Bc 为钝角0/人+ZB-2附：证明：c osc/+-，得在钝角 4 8。中，c o s C Y O o/+/_ c 2 Y()=/+b 2 Y c 22a b平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.R+平 虫 可=2（阵林）空间向量1 .空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量.注：空间的一个平移就是一个向量.向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2 .空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下O B =O A +J
50、 B =a +bBA =OA-OB =a-bO P =e R）运算律：加法交换律：a +bb+a加法结合律：（a +b）+c a +（b+c）数乘分配律：之伍+5）=布+萩3.共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向 量.不平行于加记作当我们说向量/、B共 线（或不3）时，表示不、B的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4 .共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量、b不坂的充要条件是存在实数a,使 5 =l b .推论：如果/为经过已知点/且平行于已知非零向量）的直线，那么对于任意一点O,点P在直线I上的充要条件是存