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1、高等数学课后习题及参考答案（第十一章）习题11-11.写出下列级数的前五项：(i)y 1+n-(*1+2，客 暨=坦+华+串+丐+兽念 1+2 1+P 1+22 1+32 1+42 1+52解岩=1+白 白+系+=J+2 5 10 26 37%2 4-2 解 l-3-(2 n-l)l 1-3 1-3-5 1-3-5-7,占 24 2 2 12-4 2-4-6 2-4-6-8解 1-3-(2n-l)=1+3+15+105+_9 45+.占 2.42 2 8 48 384 3840犬*；n=3解 玄 5=5 52+53 54+55 ，=J J J J J J解 f HT l=l _ X+J _ _
2、 L+，一 占 5 5 25 125 625 3125+.1 3 5 7 92-4-6-81000解zn=解落n=n=阜+且+2+3+1 4 27 25 6 3 1252.写出下列级数的一般项:解一般项为4=去.解 一般项为4=(T)T等.(3)4x,X,Xy/x,X2,-r-r-十2 2-4 2-4-6 2-4-6-8n解 一般项为”=言(4)与 一 冬+午.好 .解一般项为”=(-l)T科.ZH4-13 .根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:00 _ z(口一厢；n=解因为%=(应-亦+(6-扬+(-6)+(V n+l-V n)=(J 九+1 7 1)8(8),所以级数发散.(2
3、)-I-I-P H-F,71-3 3-5 5-7 (2-1)(2+1)解因为1,1,1,1S-F 4-1-3 3-5 5-7 (2 1)(2+1)2J 3，2 3 5,2、5 7,2v2/?-l 2+】d+Ll+_ L L+_ _ _ _ _U)2 1 3 3 5 5 7 2n-l 2n+V=4 0 -T Z T)7 -8),2 27 1+1 2所以级数收敛.(3)sinj+sin 竺+sin 寻+sin-4-6 6 6 6解 s=sin+sin率+sin率+sin等6 o 6 6?(2sin-sin+2sin-sin+2sin-s i2si 哈 12 6 1 2 6 12rz(-八c o s
4、K-CnO八S八3乃)+1 (/八C八035 r兀-c o八s八5乃)+1 ,+z(八C八O，S2 一1 -C_O_S2+l)1.乙 x乙 L4 X乙 1!乙 X乙短I=-（c o痣-CO S、?：1力）.2si 晤 1 2 1212因为lim c os簿 乃 不 存 在，所以lim s 不存在，因而该级数发散.4.判定下列级数的收敛性：o Q2 O3 on一勺+5下 +（T）而+；解 这是一个等比级数，公比为4=-1,于是=5 1 声0(-oo),所以由级数收敛的必要条件可知，此级数发散.(呜+券+%+言+；解这是一个等比级数，公比4=11,所以此级数发散.(5)g+g)+(导/)+($+/
5、)+夕+9)+.8 00 4解 因 为X/和X=都是收敛的等比级数，所以级数/?=12 =i 3是收敛的.习题11-21.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：(1)1+-+-H-F ,;/3 5 (2/7-1)解 因 为 l i m2*=,而级数 上 发散，故所给级数发散.i1 2 n=nne l 1+2 1+3 1+力廿言+b解 因 为%=上 与 上 4=!，而级数l+2 n+n-n8 1票发散,n=n故所给级数发散.,2 5 3-6(+1)(0+4)解 因为lim(，+4).=lim、F ;=1,而 级 数 收 敛,?00 00+5+4 n=J nrr故所给级数收敛.7
6、1+sin-F 2”sin解 因 为lim 71001F 71sin=lim-n x)718 1而级数=收敛，2故所给级数收敛.00n=1i+an30).解因为1lim-1+尸”一 8 10O4Z1lim a,t-/-而当a l时 级 数 收 敛，当0 i时收敛，当0 oo（+12+3 n-oc 2 7 2+1 2所以级数发散.oo 2 姿;n=J解 因 为lim殳旦=lim维 平 芸=lim 4 目）2芸 oo UfJ=2 1 i m(3)=2 00+1 e所以级数收敛.(3)f tan y.n=乙71兀解 因为 l i m*=l i m竺吧 =l i m 正-8 un T 8 .t an
7、冗 w n n 22+i 2+i所以级数收敛.3.用根值审敛法判定下列级数的收敛性:00 Z()；M 2+i解 因 为 lim 点=limn_2+1 2008 （2）y-念 口 皿+1）解 因 为 lim 啊 =1 而 一 8 一 8岛r ooli m(-n oc2/z-l3 Yli m-rn oo(3-1 与2n1li m“-8二 二“1、23 F 去0C 8 Un C l所以当匕 “时级数收敛，当b a时级数发散.4,判定下列级数的收敛性：(D (+2()2+五()3_|-；解 这 里 廿 吟“，因为(+1)目)+1co UfJ con x)4 4所以级数收敛.|4 9 4 Q4 丁 要+
8、于+解这里因为li m-()3=000 Uf J/?00(r t+l)!n4 n 所以级数收敛.解 因 为li m ”(+2)=l i m%=l,而级数 f 发散,故所给级数发散.(4)Z2 s i n 条n=l 32+，4解 因为li m-泡-=li m-史-=oo n oo V 所以级数发散.(6)+-+-+(a0,b0).a+b 2a+b na+b解 因 为 廿 焉4%而 级 数 制 发 散故所给级数发散.5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？1-%+古*+00 00 1 解这是一个交错级数(1)TN”=Z(T)T；，其中“=+.=i n=Tn/n因为显然“心“
9、用，并且lim“=0,所以此级数是收敛的.一 800 8 又因为Z l（T）T,=Z+是P1的P级数，是发散的,=1 n=l v n所以原级数是条件收敛的.（2）f（T）-*；7 7=1 ,00 00n=l J n=口+1因为lim M L=!00又因为1113 00,而1级数工一 发散，00 00 I故级数|（1 尸 七=一1八发散,从而原级数是条件收敛的.“=i z,=lln（H+l）0 0 2 Z（T）.n=几.2 2解级数的一般项为=（一1）+|因为 li m un 卜 li m J=li m =li m 二 J,二 Jn oo n a）r i.f o o ！“TOO n n-1 n
10、2 3 2 1所以级数发散.习题1 1-31.求下列基级数的收敛域:(1 )x+2 x+3 x+,+nx+;解l i m|4 a|=l i m =l,故收敛半径为R=l.一 8 an -8 n因为当x=i 时，事 级 数 成 为 是 发 散 的;n=00当x=-l时，基级数成为2(-1)，也是发散的,=1所以收敛域为(-1,1).(2)1-+2 +(-l)/，y+；2/nz解li m|4 a|=li m D-=l i m h J=l,故收敛半径为R=l.8%-8 _1_-+n200 100 1因为当ml 时，幕 级 数 成 为 是 收 敛 的；当=-1 吐 幕级数成为1+23,也，=2 n-=
11、是收敛的，所以收敛域为 T,I J.Y 尤 2(3)-+2 2 4 246解胆曾卜，胆声语T妈 始 旷 故 收 敛 半 径 为 收 敛 域 为 E4-00).(F 乔+方+寿解+妈任昌E 蝎嵩斗故收敛半径为R=3.00 100 1因为当m3时，幕级数成为之工，是发散的；当x=-3 时，幕级数成为2(-1)”工，也是收n=n n=i n敛的，所以收敛域为-3,3).”率2+岸-+言都+解l i m|3=l i m,2：；笆1 =2 1加 吸；=2,故收敛半径为R=4.-an T8(+i y+i 2n T (+1)/+1 2因 为 当X=2时，基 级 数 成 为 之，：，是 收 敛 的；当m-1时
12、，基 级 数 成 为2 念2+1(一1)”?7,也是收敛的，所以收敛域为 ,白.“=i +1 2 2（6）E（-DZ,n=lv2 n+l2/1+1解这里级数的一般项为“=(-1)Z7 1 +1因为li m|以4-un丫2 +3 1 1 3 -品.猾2,由比值审敛法,当X J即 乐 时 幕 级 数 绝 对收敛；当了2 1,即团1时，塞级数发散，故收敛半径为R=l.因 为 当 Z时幕 级 数 成 为 为-1)，*是收敛的；当h l时累级数成为001沙产药，也是收敛的，所以收敛域为5.(7)铲冰2；w=l乙解这里级数的一般项为与=若虫工2 0/.因 为H m|3=li m|(2弋?产.3“2总f,由
13、比值审敛法，当 袅2 i,即f8 un 2nz(2 -1)力 2 2 2|x|1,即|x|五 时，幕级数发散，故收敛半径为R=J5.因为当x=应 时，哥级数成为2昙，是发散的，所以收敛域为(1 0).n-,W 呼=yj n解l im|%+l im-=l,故收敛半 径 为/?=1,即当-1y 5 8%+1|x-5|l时级数发散.因为当尤-5=-1,即x=4 时，塞 级 数 成 为 才 印 二 是 收 敛 的；当 5=1,即x=6 时，基级数7 7=1 V 00成为,是发散的，所以收敛域为 4,6).2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:斗 犬 T ；n=l解设和函数为S(x),即 S(
14、X)=?T,则n=_v 8 00S(x)=&S(x)d x =)2/-9灯=8 0 ny-dxln=l n=n=I T(1-X)2 Z J；占 4+lco V4T7+1解设和函数为5(x),即 S(x)=)；,则工 4+1Yoo v4 n+l _r ooS(x)=S(O)+Jo S,(x)dx=f0 r E 7 j-l =Jo Y x4 ndx=*占 T)d x=J；(T+/+4 占-+a r c t 3n v-x (-1 x 1).提示：由 Cs(x)dx=S(x)-S(O)得 5(x)=5(0)+Cs(x)dx.1*3 y5 丫2-1(3)x+y+y解设和函数为S(x),即o o v2z?
15、-l y3 v5 v2n-lS(x)=X =x+2+卷 +,+，=2 1 3 5 2-1-r-r 00 V2/7-1-J-00则 s(x)=s(o)+s/(x)J%=y-T/x=x2z!-c/xM=1 1 7 1=1占a 刎岩(T x 8+-8因此/(X)=cos 而+cos(而+日)(大_ X。)+c s(?+)(%一 的)2+.COS(M+竽+-川(x 与)H-,XG(-OO,4-00),2.将下列函数展开成x的骞级数，并求展开式成立的区间:pX 一户(l)s h =;解因为8瓦oo rn所以 e-x =(_ ),x e(-o),+8),=o !故 8 Y 00”1 00 丫 8 丫2-1
16、萨法 1一(一1)口=说 标 京(2)l n(a+x)(a0);解 因为l n(a+x)=l n Q(l+3)=l n a+l n(l+W),a a8 丫 +1l n Q+x)=Z(-i y J(-1X1),=o +1所以l n(a+x)=l n a+W)熹(?严=E。+工 黑 (一.).(3)，；oo Yn解 因 为 =E r，x e(-c o,+8),n=0几所以 a X =k n”=(xlna)=,E-叫伊),n=0 4 n=0 4(4)s i n2x;解 因为s i n 2=：-/c o s Zr,oo Jincosx=X(T)7-7n，xe(-8,+00),=o Q)！所以 sin2
17、x=/3 (一1)=(T)2；2 不 x(v,+8).2 2,M Q)！M (2)！(5)(l+x)ln(l+x);8 ”+1解 因 为lnQ+x)=X(-1)J (-lrl),=o+loo Yn+所以(i+x)ina+x)=(i+x)(-ir -=o +18 Y+l 8 Y+2 8 Y+1 8 丫 +12P 3+当 一。焉=、+4一)Q+Z 尸 个x+京号+H w+弹吗EN n+l n M (+l)(-lrl).解因为(l+x2)l/2=i+E(-i rn=(2/7-1)!2n(2 n)!(-lrD,所以-7=x+x(-D/,-v2n+l=x+(-i r|(y)2,+1(-1D.Vl+X2
18、急(2)!M(!)2 23.将下列函数展开成(x-1)的塞级数，并求展开式成立的区间：必；解因为(1+X)加=+如+，尤2+.+_-L_ 2-Lxn+.(_%/7=l+1(x-l)+(x-l)2+.-+3-l-(-l)-(-3)-(5-2n)(x_1)+乙 乙*乙,f L t(0 x 2).上术级数当x=0和 户2 时都是收敛的，所以展开式成立的区间是 0,2.(2)l g x.解 3=黑=1叩+(尸 1)=3(-1)1 (-1 户 口)，In l O In l O In l O J n即 l g x=(-1)1 鱼 辿(0 x 2).4 .将函数段)=c o s x 展开成(x+的基级数.解
19、 COS X=COS (r+y)-y =c o s(x+y)c o s y+s i n(x+y)s i n y=已督。+F+乎:*+安向2,图(2)！3 2 o(2n+l)!3(一 1)夫。+年 之+/犬+9 产 力(-8%+8).2 氢 (2n)!3(2n+l)!35.将函数f(x)=L展开成(x-3)的基级数.X解1 =；(一 1)(与)(一 1与 1)，x 3+%3 3 11 x 5 3=()3 3丁即1)(千)(0 x 6).X 3=0 36.将函数人 力=十 4展开成(衣4)的基级数.x +3x 4-2解/3=士=+一6，而1 1x+l -3+(x+4)3 X+4马 半”白KD,3
20、=0 3 3即1 =1x+2-2+(x+4)1 12!_X 4=-（竽（苧1），因此 _ 号(x+4)益=一*(6 x -2).1 =R Q+4)”:(x+4)”/+3x+2=一念 3向 2+】00 1 1师击一由（3（-2）.习题11-51.利用函数的暴级数展开式求下列各数的近似值:（l）l n 3（误差不超过0.0001）;解I n 廿=2(x+袅+禀+；口-1 +)(-1%2 2 T+(2+3 2 2+3 +2 r i,(2+1 2 2+1,(2+122”+I,(2/7+l)22 n+,(2 n+3)-22 n+3(2 n+5)-22,+5(2 n+l)22,+1(1+2T+27+)=3
21、(2 n-l)22-2，故|“K 0.00012,|y K i-0.00003.1 5I3.11-28 5 3-13-210因而取=6,此时ln3=2(2+3-i+5i+7 +94+H W 1 986 八(误差不超过0.001);解 e，=l+x+!%2 _|-H(o o x +o o),2!！(+l)!2+i (+2)!2+2由于2+_ _ 11 +n!-2 n+1 2(n+2)-(n+l)2213!2-2故=-r 0.0003.4 3-5!-23因此取n=4得1.648.(3)/短(误差不超过0.00001);解(1+幻，=1 +癖+吗Q/+.+皿0?匕四lx *),2!IT.羽 五=2(
22、1+鄂/9=2 11+1 也-(四2+延.(呜3 _.I4 9 29 92.2;12”3 2.3%b由于 i w0 0 0 21 7 C-含()2 a 0.0 0 0 0 K故/52 2=2(1+0.002 170-0.000019 2.0043 0.(4)co s 2。(误差不超过 0.0001).r2 r4 丫 2 解 COSX=1-H -卜(-1)”,+,(o o x 4-o o),2!4!(2 n)!c o s 2-c o s =l-l.(+l.(-l.(+-.由于“6 xlg /（甜 产故 co s 2 l-A2-1-0.0006=0.9994.2.利用被积函数的累级数展开式求下列定
23、积分的近似值:5丁 二 公（误差不超过0.0001）;J。1+X4解因为所以j 1 4公=。口-短+8-/!-1-(1)HX4,!H dx=(A*+9%9-13%1 3+斓1 1 X ,1 J _L 12-5 2|-0.0062 5,1-0.0002 8,=.4=0.00000,f c?H+9 *a 4 9 40-(2)(5 arc：nx 公(误差不超过 0,0001).解ar ct an r=x 袅+好+(1)/钟+1 +(1X1),3 5 2n+l广一小 吟个人+尸 露 .快=（A#十a5 _ 击，+出5l _j _ _ L+_ L J _L _ L+2-3.委3,委 而因为IX92 皿。
24、13 9,X.1 0.0013,看系。2所以mw9导血487.3.将函数ecosx展开成x 的幕级数.解 c o s=-(eix+e-ix),6弋0.=吗（/+6七）=义 例+，）+源1刃 等（1一户 l y Cl+zT+q-zT一 诒 ！7 4 /因为l+i=&e”4,i _j=&e 4,n.nn 4 n n,.所以(1+。”+(1=2可e N +?才=2$(2 co s等)=2,co s等.因此nn7V严、2 co s -exc osx=yj-(-o o x +o o).=o 习题11-71.下列周期函数人工）的周期为2工，试将於）展开成傅里叶级数，如果段）在-石九）上的表达式为：（1 次
25、r）=3 f +1 （-胫 y 加；解因为g=lf(x)dx=(3 x2+X)dx=2/r2+1),7C J一 乃 71J一41.乃an-f(x)co snjidx7C、一兀a=(3 x 2+l)co s成工=(一1)耳(=1,2,),7C J-乃 rr=f(x)sinn7idx71、一4-Gd+Ds i n 欣x=0 5=1,2,),所以危）的傅里叶级数展开式为c osnx(-o o x +o o).(2)J(x)=e2X-7ixci=2(T产)5=1,2,),71 Jr(nL+4)万%=f(x)sinn7idx4 J 一乃=42、皿 出=（一 1）：一 产）（H=l,2,）,71+4）乃所
26、以4 0的傅里叶级数展开式为(/(2 +1)石 =0,1,2,-)(3)/(%)=?%廿x b0).ax 0 x7r解因为a)=hxdxv f axdx=-(a b),7t J-乃 万 Jo 21Po j C 7 Ca=hxcosnxdx axcosnxdjd兀JF 乃JO=空1-(-l)g l,2,)，1V711 r.1 f不.hn =TC Fb xsinnxdx-%-JaxsinnxdxO=(1)T 近(=1,2,)，n所以兀0的傅里叶级数展开式为一=9()+”(-1)邛-叽 0 也 i 血X 4 =(x#(2+l)石 =0,1,2,)2.将下列函数/U）展开成傅里叶级数:(1)/(x)=
27、2 s i n (7T x 7i);解 将./U)拓广为周期函数则尸在(-石乃)中连续，在后土力间断，且，产(一万一)+/(一万+)#/(-%),3尸(万一)+尸(乃+)#/(万)，故尸(x)的傅里叶级数在(-石田中收敛于式x),而在%=士万处F(x)的傅里叶级数不收敛于犬X).计算傅氏系数如下：因为2 s i n方(-衣x ;r)是奇函数，所以为=0(”=0,1,2,),2=2 )2 s i n s i nnxdx=c o H)X c os(+n)xdx=(-1)”+L渭(=1,2,)，7t 9 n2-l所 以/x)=庭 之(-1)+1空粤(-小 初兀 售 9 nz-l/(，)=：o S f
28、-解 将./U)拓广为周期函数尸(x),则F(x)在(-石田中连续，在 户 旬 断，且夕产(一4一)+尸(一4+)#/(一 ,3田(万一)+尸(乃+)#/(1)，故尸的傅里叶级数在(-%万)中收敛于式x),而在后士 处尸(x)的傅里叶级数不收敛于犬X).计算傅氏系数如下：%=刘?叱 囱二一,；=J e X c osxd Cc os“xd R；)-(=1,2,),bn=*sin 浒,sin nxdj1 矶_(_ 1)5 (I)=-5-1-7T l +z n (=1,2,),所以/(x)=2兀+巷占坐工。s x+X华丝+必当sinxl+z 1+H-n(KJC7l).3.设周期函数次x)的周期为2
29、万，证明火x)的傅里叶系数为2 乃an=一 1/(x)c osxd x(D,1,2,)，)bn=/(x)sin nxdx(n=1,2,).证 明 我们知道，若yu)是以/为周期的连续函数，则+/(x)d x的值与 a 无关,且因为/U),c os nx,sin 均为以2 小 周期的函数，所以於)c os nx./x)sin磔:均为以2 小 周期的函数，从而an=/(x)c osnxdx=J 乃 27r f(x)c osnxdx=T：/(x)c osxd x(=l,2,).同理 b f(x)smnxdx(n=l,2,).万JO4 .将函数/(x)=c o s#a W )展开成傅里叶级数：解 因
30、为/(x)=c os或为偶函数,故乩=0(=1,2,.)，而1 .%Y 2(九 Yann =乃 c osc osnxdx=c osc osnxJ xJ r 2 乃 Jo 2=(7 严点让1(1 2,一)由于/(x)=c os楙在-乃,加上连续，所以An2-1c osnx(-x ).5 .设久r)的周期为2 M 勺周期函数，它在-花,乃)上的表达式这-7 T X 2 2/(x)=x,X 7t1 2 2将兀0 展开成傅里叶级数.解 因为大x)为奇函数，故 =0(n=0,1,2,),而bn=/(x)sinnxdx=xsinnxd(1)2 .=-1-o-sm-(n=l,2,)，n n7i 2又段)的间
31、断点为4(2+D跖 =0,1,2,所以/(x)=-1-7 sin-sinn x(x(2n+);r,n=0,1,2,).普 几 万 26 .将 函 数/(尤)=号(0。0 力展开成正弦级数.解作奇延拓得F(x):/(x)0 X 7TF(x)=0 x=0 ,-7T X 0再周期延拓 F(x)到(-0 0,+8),则当 xw(0,同时 F(x)=J(x),F(0)=0 y=/(0).因为斯=0 5=0 J,2,)，而bn jg%2 nxdx=(n=l,2,),仔、I故 f(x)=/sin nx0 x 7f),n=n级数在x=0 处收敛于0.7 .将函数於)=2 f(0 0 6 分另别展开成正弦级数和
32、余弦级数.解对於)作奇延拓,则。=0(=0,1,2,)，而故正弦级数为7 r2 o.)y sin z?x(X v m,n A?级数在40处收敛于0.对危)作偶延拓，则历尸0(=1,2,),而%=第2 x =#an=2 x2 c osnxdx=(-l)w(=1,2,),故余弦级数为f(x)+8 2 c osnx(0 x 7f).3 n=l n8.设周期函数/U)的周期为2 区证明 如果式x-;r)=T U),则加)的傅里叶系数的=0,2 产0,岳E)(占1,2,.)；解因为所以 o=0.因为.=1 ；/(X)CO S2令 f =4 +X 1 2 万 f(t-7T)CO S 2k(t-7T)dx万
33、J of(t)c os2ktdt=-O 2k,所以侬=0.同理版=0(b1,2,).(2)如果危-力守，则危)的傅里叶系数 知+尸0,历奸产0 侬 1,2,).解因为c 以+1=/(x)c os(2 左+l)xd xJ-乃令1 =乃+犬1r2冗 J。f(t-乃)c os(2k+l)(r -7C)dx1 r 2 J。f(f)c o s(2k+Y)t c l t 利&+1,所以。2*+1=0(%=1,2,)同理同*+i=0(f c=l,2,-).习 题 1 1-81.将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）:/（幻=1 一 f（解因为式x）=l-f 为偶函数，所以仇k
34、0（=1,2,），而做=击 。*）公=4户（1-）&*%=部(D c s.xr o (1)=4 2(1-X2)CO S2/2X6?X=厂(几=1，2,),J onz7i由于y u)在(一+8)内连续，所以 1(一 1)+1/(x)=7 4 y y-5 CO S2n 7ZX,X G(-o o,+0 0).12 7rlM n/(x)=,x-l x 01 0 x 1 ;1-x 1-COSHXH-sinn4总 层 乃2%n兀(胖2A,X W 2.+.,k=0,1,2,)./二2x+l-3x00 x3,解 出=暴/(幻 心=如3(2%+1+泅=-1，a”=T/(x)c o s等 公=4 (2x+l)co
35、s等dx+jcos等dxj j j J-3 j J。j=g l-(-1)(=1,2,)，n Kd=g j：/(x)sin 等 d x=/(法+Dsin 等。x+f：sin 等 dx=且(-D(=l,2,)，njr而在(-00,+00)上,共幻的间断点为x=3(2左+1),=0,1,2,一，故 x)T+3盘(T)cs等+(W*s i n争,(跣3QZ+1),攵=0,1,2,-)2.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数：x Qx/(x)=(2；l-x X1I 2解正弦级数：对於)进行奇延拓，则函数的傅氏系数为ao=O(n=O,1,2,),bn2rr|H7ix i,F/、nm i i 4/2xsi
36、ni(/-x)sin ax=0 9/Jo/h I n/乙 T IJL/i、sin(n=l,2,)故/0)=鸟 4 出 竿 s in,x w 0,/.余弦级数：对於)进行偶延拓，则函数的傅氏系数为o=?x d x+j l(lx)dx=1,I 2 Z4 =?g x c o s d x+J；(l-x)co?r-dx=%2 c o s 华-1-(-1)(=1,2,.)n 7 V 2bn=O(n=l9 2,),故/(%)=+乌 X 2 c o s -l-(l)”cos,xw 0,/.4 7 rM 2 I(21Ax)=x2(0r2).解正弦级数：对 r)进行奇延拓，则函数的傅氏系数为的=0(=0,1,2,
37、)，a=l f：Nsin 等 公=(一 1)+1互+苦 (一 1)-1,2J。2 兀nny故/=(-1),+1 旦+71%(-1)T sin 华念 nn(万 2二”占+亚当当sm等2).先 制 n 小 兀z 2余弦级数：对./U)进行偶延拓，则函数的傅氏系数为%=睁 公=|a器卜2cos爸 dx=(.l)蒜(=1,2,.),h=0(n=,2,),故_ 4,i 6(-i r3万23 2cosnm2,xe0,2.总习题十一1.填空：(1)对级数“=0是它收敛的 条件，不是它收敛的 条件；n=解 必 要；充分._00,(2)部分和数列 s,J有 界 是 正 项 级 数 收 敛 的 条件；二1解充分必
38、要.(3)若 级 数 绝 对 收 敛，则级数X”“必定；若 级 数 条 件 收 敛，则级数n=l n=n=必定n=解 收 敛；发散.2.判定下列级数的收敛性:解因为1n而 调 和 级 数 发 散，故由比较审敛法知，级数发散.n=l 缥;=1 解因为1101 =h m-*-7=limn2=oon-o o o o 2(71+1)2(!0 0故由比值审敛法知，级数发散.00 C0S2”=1 乙解因为管 想 得 扇 桁*8 w o o I n u7 2n而调和级 数 之1发散，故由比较审敛法知，原级数发散.=in提示：lim=lim1x-co ln,ux#T81 01 n9 1$典忘=,$妈竟=血呜X
39、 X=00(0,50).解因为故由根值审敛法知，当”1时级数发散.当4=1时，原级数成为宜,，这是片S的上 级数，当S1时级数收敛，当S。时级数发散.00 00 003 .设 正 项 级 数 和 都 收 敛，证明级数Z（+%）2与收敛.M=1 z z=I n=l证 明 因 为W X和2 2人都收敛，所 以!吧 册=0,叫、匕产。.n=n=又因为 lim或 土&通=lim Q“+2 v）=0,lim v =0,ns%Moo oo 匕？co所以级数Z（*+2 ,M）和级数解 都收敛，从而级数fl=_00,_00,+北/）+啕=（”+v）2n=n=l也是收敛的.4.设 级 数“收敛，且 叫 =1,问
40、 级 数”是否也收敛？试说明理由n=f Un=8解 级 数 工丫“不一定收敛.n=l当 之“”和 之 匕均为正项级数时，级数 匕 收敛，否则未必.n=77=1 n=例如级数宫 总 收 敛 但级数 吐+小 发散并且有（-i）-U+-lim 鱼1=1.M-Q 0 /1yin5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:8(i)X(-i f解 书（-1）噎金 是p级 数.故 当 p l 时 级 数 是 收 敛 的，当 时 级 数M p念M 得球00 18发散.因此当0 1 时级数（-1）”，；绝对收敛.n=l n=当 0 1 时绝对收敛，当 o 00|(-irin|n1nlim ln -=limInQ+
41、r=lne=l,而 级 数:工 发 散,TOO n n 制几故由比较审敛法知级数f|（-l）ln3士1|发散，即原级数不是绝对收敛的.n=另一方面，级数（-是交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件，所以该级数收=1 n敛，从而原级数条件收敛.（4）（T）胃n=l n解 令4=（-1）”竺 学.因 为nlimwoo华0lim(+22)!；.J!=im出+率2()=l i m un -8(+1)+N(n+1)!一8 n+1 n+l 一8 n+lnn故由比值审敛法知级数g;l（-1）缥 斗 收 敛，从而原级数绝对收敛.n=6.求下列级限:舟鼓（1+铲解 显 然%=苫/（1+/是级数的前n项部分和.因为1
42、所）工7（1 +工）2=1而!（1+，）”=3001 1 J_ _L 1|21 3|一解2工46 8万(2)3=2)9 27 3显然Si=L+l+合 是 级 数 的 前 项部分和.3 9 27 3 38 CX 00 1 1设 S(x)=4 T,则 S(x)=4因嚼*Ws曰存小叫哈尹而1 1 J_ J_ 3lim23 49 ,8万(2)3 =lim 2 2彳.一 8 T 87.求下列基级数的收敛域：警 手 心n=l几解 lim|T8=lim竺卓goo +1n3+5 n 关)+5 jlim J 5=5,所以收敛半径为R=S山+5因 为 当 时，幕级数成为 4（|）+i,是发散的;5 =in 5当工
43、=-时，察级数成为雪上兴）+1,是收敛的,所以基级数的收敛域为 富）.力+少 炉;=1 解=(1+_1)2炉，因为lim廊=lim(l+2)|x|=e|x|,由根值审敛法，当ek|ocv/i-oo n_LXl,时基级数发散.当x=-l 时，累级数成为f(i+l y(!)；e 言 e当x=时,辕级数成为宜(1)”(1+与 汕”.e 念 ”e因为l i m x2l n 0+)-%=l i m 。X-H-0 0 J X=l i m =_ 1X X f+o O 1/T()+21 0 1 l n(l+)/?所以 l i m(l+-r (-r =l i m e =e 2 0,T8 fi e 一 8因此级数
44、支(一 1)(1+知 2(J _)和(1+与 2(知均发散,从而收敛域为(.上 几 C 七 n e e e(3)(X+1);二 1解斯=(x+l)”.因为l i m 1=l i m|x+|=|x+,T8 un”一 8 n根据比值审敛法，当伙+1|1,即-2 x l 时，基级数发散.又当40时，塞 级 数 成 为 是 发 散 的；当 4-2时，基级数成为(-1 尸，也是发散n=l n=l的，所以塞级数的收敛域为(-2,0).n=乙解U,=.因为期笑=煦瑞宁,心步根据比值审敛法，当;必1,即 应X a时，塞级数收敛；当/Al时，基级数发散.又当x=0时，基级数成为，,是发散的，所 以 收 敛 域
45、为 历).=18.求下列基级数的和函数：咨祟/1)；W=1/解设基级数的和函数为S(x),则S(x)=S(x)泪=与#1 1=号 尸 了=QL2r21 12即 S(x)=+*.(-V2 xV2).(2-x2)n=1工”1；解设幕级数的和函数为S(x),则S(x)=J S(x)d x=(-l)Tx2-2=/_L -J x=a r c ta n r (x2 l).因为当A 1时，幕级数收敛，所以有S(x)=arctan x(-1 xl).二1解设基级数的和函数为5(x),则_00_ _00_ _00_S(x)=Z(x-1)”=(x-l)”(x-l)T=(x-l)Z(x-l)/i=l w=l n=3
46、)叱 吟1)寸=(1)品卜哥(ZKD,即 SQ)=W(0 x 2).(4)(+i)解易知塞级数的收敛域为-1,1 J.设幕级数的和函数为S(x),则当中0时00 1 1 8 1s(x)=y-xn=y J x,+i白(+D xn(+l)=邀兴红3遽 i 班三 煎)、心7仙(1-万 心=-xl n Q-x)-x-l n(l-x)x 1+l n(l-x),xe 1,0)LJ(0,1 ,x又显然S(0)=0,因此Cz、1+-l n(l x)X G1,0)J(0,1 3(x)=j x.0 x=09.求下列数项级数的和:匕!一马 ！吟川 白!因为=炉，两边求导得=X T,再求导得6、=华力 炉 因 此n=
47、l 几n=2 宁2炉二宁(T)加一念！O0炉+%=好2=1 ,n=2(J LI)/?!1+竞金！=x2ex+ex,从而 X=s(i)=.噂7焉.解*D器部+这 第)岛+迄(T)/4 s l+f i n l.提示:_00_sin x=Z(T)n=01 J2n+(2n+l)!cosx=Z(-D二02n+l 2n(2n+l)!10.将下列函数展开成x的幕级数:(I)ln(x+Jx2+1)；解In(x+V%2+1)=In(x+Vx2+l),Jx=,dx,因为高=(尢哆脸詈巨g(2 1)!机田(2)!(2+l)故In(x+Jr+i)=%+(-i)n=l(-1X1).1(2-x)2解武涔七弓在丫号 与 守
48、 叮28 00击曰=Z,X T(一2/2).n=0z=1/ii.设yu)是周期为2对勺函数，它在-乃，乃)上的表达式为f(x)=0 0)/Xe0,7T)将人工）展开成傅里叶级数.解an/(x)c o s nxdx=j%xc o s njc dx=(-nran,即(1)/1（层+1）开(=1,2,),7 r r万bn=/(x)s i n n x d x=e s i n nxdx71J 一兀 71 J O=(-n)exc osnxdx-nall(n=l,2,).（1）叱 牙因此/(%)=00+zn=l(n2+l)7r(c o s n x-n s i n x)e-l2万(-8 r +o o且 xn/r,=0,1,2,)12.将函数/U)=I)0 x hh X 7 T分别展开成正弦级数和余弦级数.解若将函数进行奇延拓，则傅里叶系数为斯=0（=0,1,2,），,2a.,2(l-c o s 力)bns m n x a x=sin nxa j=-Jon7r因此，函数展开成正弦级数为f(x)=V C O S/?sinnx,xe(0,h)5h,0,)仁几当 时，/）=.若将函数进行偶延拓，则傅里叶系数为%=需 号,an/(x)cosnxdr=2,),bn=O(n=,2,),因此，函数展开成余弦级数为sin cosx,XGO,h)u(h,现式4 M 当4人时，,f=*.