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1、平稳时间序列模型预测平稳时间序列模型预测n设平稳时间序列 是一个ARMA(p,q)过程，即n本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观察值 我们将用已知的观察值对时刻t后的观察值 进行预测，记为 ，称为时间序列 的第 步预测值。17.1 最小均方误差预测最小均方误差预测n考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，一个很自然的思想就是预测值 与真值 的均方误差到达最小，即设 预测值 与真值 的均方误差 我们的工作就是寻找 ，使上式到达最小。2条件无偏均方误差最小预测条件无偏均方误差最小预测 设随机序列 ，满足 ，则 如果随机变量 使得 到达最小值，则如果随机变量 使得 到达最
2、小值，则 3n根据上述结论，我们得到，n当 时，使得 到达最小。n对于ARMA模型，以下等式成立：4ARMA模型的预测方差和预测区间模型的预测方差和预测区间 n如果ARMA模型满足因果性，则有n所以，预测误差为 5n由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下，是 当前样本 和历史样本 已知条件下得到的条件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 有关，而与预测起始点t无关。当预测步长 的值越大时，预测值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预测步长 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间序列分析只适合做短期预测。6n进一步地，在正态分布假定下，有 n由此可以得到 预测值的95%的置信区
3、间为 或者 77.2 对对AR模型的预测模型的预测n首先考虑AR(1)模型 当 时，即当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 8n对于AR(p)模型 当 时，当前时刻为t的一步预测为 当 ，当前时刻为t的 步预测 9例例7.1 n设平稳时间序列 来自AR(2)模型 已知 ，求 和 以及95%的置信区间。解：10根据第三章，可以计算模型的格林函数为 所以 的95%的置信区间为（1.076，3.236）的95%的置信区间为（2.296，3.952）11例例7.2 n已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位：万元/月)2006年第一季度该商场月销售额分别为：101万元，96万元，9
4、7.2万元。求该商场2006年第二季度的月销售额的95%的置信区间。12n求第二季度的四月、五月、六月的预测值分别为 13n计算模型的格林函数为n四月、五月、六月的月销售额的95%的置信区间分别为 四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）147.3 MA模型的预测模型的预测n对于MA(q)模型 我们有 n当预测步长 ，可以分解为n当预测步长 ，可以分解为15nMA(q)模型预测方差为 16例例7.3 n已知某地区每年常住人口数量近似的服从MA(3)模型（单位：万人）2002年2004年的常住人口数量及1步预测数量见表年份人口数量预测
5、人口数量20022003200410410810511010010917n预测未来5年该地区常住人口数量的95%的置信区间。18预测年份95%的置信区间20052006200720232023（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）197.4 ARMA模型的预测模型的预测n关于ARMA模型 有 2021 例例7.4 n已知ARMA(1,1)模型为 且 ，预测未来3期序列值的95%的置信区间。22n首先计算未来3期预测值 n计算模型的格林函数为23n计算预测方差 n计算 得到未来3期序列值的95%的置信区间 预测时期95%的置信区间101102103（0.
6、136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）247.5 预测值的适时修正预测值的适时修正25综合上述推导，可得适时修正预测公式为：上述公式说明：新的预测值是在旧的预测值的根底上，加上一个修正项推算出来的，而这一个修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随着预测超前步数的变化而变化。例例7.2续续 n假设一个月后已知四月份的真实销售额为100万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值及95%的置信区间。n因为 根据上述公式可以计算五月、六月的修正预测值如下：29n修正预测方差为n 步预测销售额的95%的置信区间 预测时期修正前95%的置信区间修正后95%的置信区间四月五月六月（85.36，108.88）（83.72，111.15）（81.84，113.35）（87.40，110.92）（85.79，113.21）30