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1、会计学1平稳时间序列模型预测平稳时间序列模型预测第一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。时间序列时间序列预测预测n n定义：根据时间序列过去时刻的观测值，对序列在未来某个时刻的取值进行估计。n n设平稳时间序列Xt 是一个ARMA(p,q)过程，即 设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观测值xt-1,xt-2,，对观测值xt+l进行预测，用 表示时间序列Xt的第l步预测值(l0)。第1页/共30页第二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。最小均方误差预测最小均方误差预测n n用et(l)衡量预测误差：n n显然，预测误差越小，预测精度就越高。n n最小均方误差预测原则：第2页/共30页第三
2、页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。说明说明n n在预测方差最小原则下得到的估计值在预测方差最小原则下得到的估计值 是序列值是序列值X Xt t+1+1在在X Xt t,X,Xt t-1 1,已知的情况下得到的条件无偏最小方差估计值。已知的情况下得到的条件无偏最小方差估计值。n n预测方差只与预测步长预测方差只与预测步长 l l 有关，而与预测起始点有关，而与预测起始点t t无关。无关。n n预测步长越大，预测值的方差也越大；因而为了保证预测的精度，预测步长越大，预测值的方差也越大；因而为了保证预测的精度，时间序列数据通常只合适做短期预测。时间序列数据通常只合适做短期预测。第3页/共30页第
3、四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。AR(p)序列的序列的预测预测n n在在AR(AR(p p)序列场合有：序列场合有：n n预测值预测值第4页/共30页第五页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。AR(p)序列的预测序列的预测n n预测方差n n95置信区间 -假设总体服从正态分布假设总体服从正态分布 第5页/共30页第六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。例例7.2n n已知某超市月销售额近似服从已知某超市月销售额近似服从AR(2)AR(2)模型模型 (单位：万元单位：万元/每月每月)今年第一季度该超市月销售额分别为：今年第一季度该超市月销售额分别为：101101，9696，97.29
4、7.2万元万元 请确定该超市第二季度每月销售额的请确定该超市第二季度每月销售额的9595的置信区间的置信区间 第6页/共30页第七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。解解:(1)预测值计算预测值计算n n四月份四月份:n n五月份五月份:n n六月份六月份:第7页/共30页第八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。解解:(2)预测方差的计算预测方差的计算n n计算计算GreenGreen函数函数:根据递推公式根据递推公式n n方差方差第8页/共30页第九页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。解解:(3)置信置信区间区间n n 步预测销售额的步预测销售额的95%95%置信区间为：置信区间为：n
5、 n估计结果估计结果预测时期95置信区间预测值四月份（85.36，108.88）97.12五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952第9页/共30页第十页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。例例例例:北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图与预测图与预测图与预测图(预测预测预测预测1999-2003)1999-2003)1999-2003)1999-2003)第10页/共30页第十一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。MA(q)序列的预测
6、序列的预测n n当预测步长当预测步长l l小于等于小于等于MAMA模型的阶数模型的阶数q q即即l l q q时，时，X Xt t+l l可以分解为：可以分解为：n n特别当特别当 l l=1=1时有时有 ，即，即预测误差预测误差预测值预测值第11页/共30页第十二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。MA(q)序列的预测序列的预测n n当预测步长当预测步长l l大于等于大于等于MAMA模型的阶数模型的阶数q q，即，即l l q q时，时，X Xt t+l l可以分解为：可以分解为：预测值预测值预测误差预测误差第12页/共30页第十三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。MA(q)序列的预测
7、序列的预测n nl l步的预测：步的预测：n n说明说明MA(MA(q q)序列理论上只能预测序列理论上只能预测q q步之内的序列走势，步之内的序列走势，超过超过q q步预测值恒等于序列均值。这是由步预测值恒等于序列均值。这是由MA(MA(q q)序列序列自相关自相关q q步截尾的性质决定的。步截尾的性质决定的。n n预测方差：预测方差：第13页/共30页第十四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。例例7.3n n已知某地区每年常驻人口数量近似服从已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)MA(3)模型（单模型（单位：万人）：位：万人）：最近最近3 3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：年的
8、常驻人口数量及一步预测数量如下：预测未来预测未来5 5年该地区常住人口的年该地区常住人口的9595置信区间置信区间年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109第14页/共30页第十五页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。解解:年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109第15页/共30页第十六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。解解：置信区间的计置信区间的计算算预测年份95置信区间预测人数 2005（99，119）109.22006（83，109）962007（87，115）100.82008（86，114）100200
9、9（86，114）100n n95%95%置信区间的计算：置信区间的计算：n n估计结果：估计结果：第16页/共30页第十七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。ARMA(p,q)序列预测序列预测n nARMA(ARMA(p p,q q)序列场合序列场合 :n n预测预测第17页/共30页第十八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。例例7.4 已知已知ARMA(1,1)ARMA(1,1)模型为：模型为：且且x x100100=0.3,=0.3,100100=0.01=0.01，预测未来，预测未来3 3期序列值的期序列值的9595的置的置信区间。信区间。第18页/共30页第十九页，编辑于星期一：
10、二十一点 二十三分。nx100=0.3,100=0.01n计算Green函数：n预测方差：解解:第19页/共30页第二十页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。解解:置信区间的置信区间的计算计算时期95置信区间预测值101（0.136，0.332）0.234102（0.087，0.287）0.1872103（0.049，0.251）0.14976n n95%95%置信区间：置信区间：n n估计结果：估计结果：第20页/共30页第二十一页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。修正预测修正预测n n定义n n所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得精度更
11、高的预测值精度更高的预测值 n n方法n n在新的信息量比较大时在新的信息量比较大时把新信息加入到旧的信把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型；息中，重新拟合模型；n n在新的信息量很小时在新的信息量很小时不重新拟合模型，只是不重新拟合模型，只是将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度。将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度。第21页/共30页第二十二页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。修正预测原理修正预测原理n n在旧信息的基础上，在旧信息的基础上，X Xt t+l l的预测值为的预测值为n n假设新获得一个观察值假设新获得一个观察值X Xt t+1+1 ，则，则n nX Xt t+1+
12、1的修正预测值为的修正预测值为其中其中 是是X Xt t+1+1的一步预测误差。的一步预测误差。n n修正预测误差为修正预测误差为第22页/共30页第二十三页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。修正预测原理修正预测原理n n预测方差为 即一期修正后第即一期修正后第 步预测方差就等于修正前第步预测方差就等于修正前第 步预测方差。步预测方差。它比修正前的同期预测方差减少了它比修正前的同期预测方差减少了 ，提高了预测精度。，提高了预测精度。第23页/共30页第二十四页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。一般情况一般情况n n假设获得假设获得k k个新的观察值个新的观察值 ，则，则 n n 的修正预测
13、值为的修正预测值为n n修正预测误差为修正预测误差为n n预测方差为预测方差为第24页/共30页第二十五页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。例例7.2续续n n已知某超市月销售额近似服从已知某超市月销售额近似服从AR(2)AR(2)模型模型(单位：万元单位：万元/每月每月)今年第一季度该超市月销售额分别为：今年第一季度该超市月销售额分别为：101101，9696，97.297.2万元。万元。（1 1）请确定该超市第二季度每月销售额的）请确定该超市第二季度每月销售额的9595的置信区间。的置信区间。（2 2）假如一个月后知道）假如一个月后知道4 4月份的真实销售额为月份的真实销售额为10010
14、0万元，求第二季度后万元，求第二季度后两个月销售额的修正预测值。两个月销售额的修正预测值。第25页/共30页第二十六页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。预测时期95置信区间预测值四月份（85.36，108.88）97.12 100五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952第26页/共30页第二十七页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。例例例例7.27.2续：假如四月份的真实销售额为续：假如四月份的真实销售额为续：假如四月份的真实销售额为续：假如四月份的真实销售额为100100万元，求万元，求万元，求万元，求二季度后两个月销售额的修正预测值二
15、季度后两个月销售额的修正预测值二季度后两个月销售额的修正预测值二季度后两个月销售额的修正预测值 n n计算四月份的一步预测误差计算四月份的一步预测误差n n计算修正预测值计算修正预测值月份 预测值新获得观察值 修正预测值 497.12100597.432697.5952第27页/共30页第二十八页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。例例7.2续续:n n计算修正方差：计算修正方差：n n 步预测销售额的步预测销售额的95%95%置信区间为：置信区间为：第28页/共30页第二十九页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。修正预测修正预测预测时期修正前置信区间修正后置信区间四月份（85.36，108.88）五月份（83.72，111.15）（87.40，110.92）六月份（81.84，113.35）（85.79，113.21）第29页/共30页第三十页，编辑于星期一：二十一点 二十三分。