2023年【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 小學數學解題思路大全：式題的巧解妙算 1.特殊數題(1)2112 當被減數和減數個位和十位上的數字(零除外)交叉相等時，其差為被減數與減數十位數字的差乘以 9。因為這樣的兩位數減法，最低起點是 2112，差為 9，即(21)9。減數增加 1，其差也就相應地增加了一個 9，故 3113(31)918。減數從 1289，都可類推。被減數和減數同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍，常數 9 也相應地擴大(或縮小)相同的倍數，其差不變。如 210120(21)9090，0.650.56(65)0.090.09。(2)3151 個位數字都是 1，十位數字的和小於 10的兩位數相乘，其積

2、的前兩位是十位數字的積，後兩位是十位數字的和同 1 連在一起的數。若十位數字的和滿 10，進 1。如 證明：(10a1)(10b1)100ab10a10b1 100ab10(ab)1 (3)26 86 4262 個位數字相同，十位數字和是 10的兩位數相乘，十位數字的積與個位數字的和為積的前兩位數，後兩位是個位數的積。若個位數的積是一位數，前面補 0。證明：(10ac)(10bc)100ab10c(ab)cc 100(abc)cc(ab10)。(4)1719 十幾乘以十幾，任意一乘數與另一乘數的個位數之和乘以 10，加個位數的積。原式(179)107 9323 證明：(10a)(10b)100

3、10a10bab (10a)b 10ab。(5)6369 十位數字相同，個位數字不同的兩位數相乘，用一個乘數與另個乘數的個位數之和乘以十位數字，再乘以 10，加個位數的積。原式(639)6 103 9 72 60274347。證明：(10ac)(10ad)100aa10ac10adcd 10a(10ac)dcd。(6)8387 十位數字相同，個位數字的和為 10，用十位數字加 1 的和乘以十位數字的積為前兩位數，後兩位是個位數的積。如 證明：(10ac)(10ad)=100aa10a(cd)cd 100a(a1)cd(cd10)。(7)3822 十位數字的差是 1，個位數字的和是 10且乘數的

4、個位數字與十位數字相同的兩位數相乘，積為被乘數的十位數與個位數的平方差。学习必备 欢迎下载 原式(308)(308)30282836。(8)88 37 被乘數首尾相同，乘數首尾的和是 10的兩位數相乘，乘數十位數字與 1 的和乘以被乘數的相同數字，是積的前兩位數，後兩位是個位數的積。(9)3615 乘數是 15的兩位數相乘。被乘數是偶數時，積為被乘數與其一半的和乘以 10；是奇數時，積為被乘數加上它本身減去 1後的一半，和的後面添個 5。54 10540。55 15 (10)125 101 三位數乘以 101，積為被乘數與它的百位數字的和，接寫它的後兩位數。1251126。原式12625。再如

5、 348 101，因為 3483351，原式35148。(11)8449 一個數乘以 49，把這個數乘以 100，除以 2，再減去這個數。原式8400 284 4200844116。(12)8599 兩位數乘以 9、99、999、。在被乘數的後面添上和乘數中 9 的個數一樣多的 0、再減去被乘數。原式8500858415 不難看出這類題的積：最高位上的兩位數(或一位數)，是被乘數與 1 的差；最低位上的兩位數，是 100與被乘數的差；中間數字是 9，其個數是乘數中 9 的個數與 2 的差。證明：設任意兩位數的個位數字為 b、十位數字為 a(a0)，則 如果被乘數的個位數是 1，例如 31 99

6、9 在 999前面添 30為 30999，再減去 30，結果為 30969。71 999970999970709929。這是因為任何一個末位為 1 的兩位自然數都可表示為(10a1)的形式，由 9 組成的自然數可表示為(10n1)的形式，其積為 (10a1)(10n1)10n1a(10n1)10a。(13)119 這是一道頗為繁複的計算題。原式0.052631578947368421。根據如果被除數不變，除數擴大(或縮小)若干倍，商反而縮小(或擴大)相同倍和商不變性質，可很方便算出結果。原式轉化為 0.1 1.9，把 1.9看作 2，計算程式：(1)先用 0.1 20.05。(2)把商向右移動

7、一位，寫到被除數裏，繼續除 如此除到循環為止。增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 仔細分析這個算式：加號前面的 0.05是 0.1 2 的商，後面的 0.05 0.1 1.9中 0.05 0.10.005，就是把商向右移動一位寫到被除數裏，除以 1.9。這樣我們又可把除數看作 2 繼續除，依此類推。除數末位是 9，都可用此法計算。例如 1 29，用 0.1 3 計算。1 399，用 0.1 40計算。2.估算 數學素養與能力(

8、含估算能力)的強弱，直接影響到人們的生活節奏和工作、學習、科研效率。已經引起世界有關專家、學者的重視，是個亟待研究的課題。美國數學督導委員會，提出的 12 種面向全體學生的基本數學能力中，第 6 種能力即估算：學生應會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。當解題或購物中需要計算時，估算可以用於考查合理性。檢驗預測或作出決定 (1)最高位估算 只計算式中幾個運算數字的最高位的結果，估算整個算式的值大概在什麼範圍。例 1 113750443169 最高位之和 1533，結果在 3000左右。如果因為忽視小數點而算成 560，依據一個不等於零的數乘以真分數，積必小於被乘數估算，錯誤立即暴露。例

9、 3 51.91.51 整體思考。因為 51.9 50，而 501.51 501.5 75，又 51.950，1.511.5，所以 51.9 1.5175。另外 9 19，所以原式結果大致是 75多一點，三位小數的末位數字是 9。例 4 327979 把 3279和 79，看作 3200和 80。準確商接近 40，若相差較大，則是錯的。(2)最低位估算 例如，64032321578 32813，原式和的末位必是 3。(3)規律估算 和大於每一個加數；兩個真分數(或純小數)的和小於 2；一個真分數與一個帶分數(或一個純小數與一個帶小數)的和大於這個帶分數(或帶小數)，且小於這個帶分數(或帶小數)

10、的整數部分與 2 的和；兩個帶分數(或帶小數)的和總是大於兩個帶分數(或帶小數)整數部分的和，且小於這兩個整數部分的和加上 2；奇數奇數偶數，偶數偶數偶數，奇數偶數奇數；差總是小於被減數；整數與帶分數(或帶小數)的差小於整數與帶分數(或帶小數)的整數部分的差；帶分數(或帶小增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 數)，與整數的差大於帶分數(或帶小數)的整數部分與整數的差。帶分數(或帶小數)與真分數(或純小數)的差小於這個帶分數(或

11、帶小數)，且大於帶分數(或帶小數)減去 1 的差；帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的差小於被減數與減數的整數部分的差，且大於這個差減去 1；如果兩個因數都小於 1，則積小於任意一個因數；若兩個因數都大於 1，則積大於任意一個因數；帶分數與帶分數(或帶小數與帶小數)的積大於兩個因數的整數部分的積，且小於這兩個整數部分分別加 1 後相乘的積；例如，AABB。奇數偶數偶數，偶數偶數偶數；若除數1，則商被除數；若除數1，則商被除數；若被除數除數，則商1；若被除數除數，則商1。(4)位數估算 整數減去小數，差的小數位數等於減數的小數位數；例如，3200.68，差為兩位小數。最高位的乘積滿十的兩個整數相

12、乘的積的位數，等於這兩個數的位數和；例如，451 7103 最高位的積 4 728，滿 10，結果是 347(位數)。在整除的情況下，被除數的前幾位不夠除，商的位數等於被除數的位數減去除數的位數；例如，147342 27 14不夠 27除，商是 422(位數)。被除數的前幾位夠除，商的位數等於被除數的位數與除數位數的差加上 1。例如，30226 238 302夠 238除，商是 5313(位數)。(5)取整估算 把接近整數或整十、整百、的數，看作整數，或整十、整百的數估算。如 1.980.97 21，和定小於 3。128.5 1010，積接近 100。3.並項式 應用交換律、結合律，把能湊整的

13、數先並起來或去括號。例 1 3.3412.966.66 12.96(3.346.66)12.961022.96 330 例 3 15.74(8.523.74)15.743.748.52 128.523.48 例 4 增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 1600(400 7)1600 400 7 4 7 28 增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩

14、位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相

15、同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 4.提取式 根據乘法分配律，可逆聯想。(3.256.75)0.410 0.4 4 5

16、.合乘式 87.5 10 1875 871 6.擴 縮 式 例 1 1.6 160.4 36 0.4(6436)0.4 10040 例 2 16 45 7.分 解 式 例如，14 7242 76 14 3 2442 76 42(2476)42 1004200 8.約 分 式 3 7 242 例 2 169 4 7 28 13 =1988 例 7 1988 198819881988 1989198919891989被除數與除數，分別除 9.拆 分 式 10.拆 積 式 例如，32 1.25 25 8 1.25(4 25)10 1001000 11.換 和 式 例 1 0.1257 8 (0.12

17、50.0007)8 10.00561.0056 增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 例 4 8.375.68 (8.370.32)(5.680.32)8.6962.69 12.換 差 式 13.換 乘 式 例 1 123234345456567678 (123678)3 801 32403 例 2(6.726.726.726.72)25 6.72(4 25)672 例 3 45000 8 125 45000(8 125)450

18、00 100045 例 4 9.728 3.2 25 9.728(0.8 4 25)9.728 80 0.9728 80.1216 例 5 33333 33333 11111 99999 11111(1000001)1111100000 11111 1111088889 綜合應用，例如 100071007 (11.751.254.150.85)125.25(轉)(11.751.25)(4.150.85)125.25(合)8 125.25 8(1250.25)(拆)8 1258 0.251002 14.換 除 式 例如，5600(25 7)5600 7 25 800 2532 15.直 接 除

19、17.以乘代加 例 1 745236 9 327 如果兩個分數的分子相同，且等於分母之和(或差)，那麽這兩個分數的和(或差)等於它們的積。18.以乘代減 知，兩個分數的分子都是 1，分母是連續自然數，其差等於其積。可見，各分數的分子都是 1。第一個減數的分母等於被減數的分母加 1。第二個減數的分母等於被減數的分母與第一個減數的分母的積加 1，第 n 個減數的分母等於被減數的分母與第一、二、第 n-1個減數的分母的連乘積加上 1。(n 爲不小於 2 的自然數)其差等於其積 19.以加代乘 一個整數與一個整數部分和分子都是 1，分母比整數(另個乘數)小 1 增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一学习必备 欢迎下载 20.以除代乘 例如，25 123678448 123678448 (100 4)12367844800 4 3091961200 21.以減代除 19866621324 3510 15 (35101170)10234 增加了一個故減數從都可類推被減數和減數同時擴大或縮小十倍百倍千起的數若十位數字的和滿進如證明個位數字相同十位數字和是的兩位數以加個位數的積原式證明十位數字相同個位數字不同的兩位數相乘用一