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1、名师总结 优秀知识点 三角函数知识点梳理 1、终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示。2、弧长公式与扇形面积公式 l_，即弧长等于_。S 扇_。3、三角函数的定义 任意角的三角函数定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 _叫做的正弦，记作 sin，即 sin y；_叫做的余弦，记作 cos，即cos x；_叫做的正切，记作 tan，即 tan yx(x0)。(1)三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦。(2)三角函数线 下图中有向线段 MP，OM，AT
2、 分别表示_，_和_。4、特殊角的三角函数值 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角的 弧度数 sin 名师总结 优秀知识点 cos tan sin156 24，sin756 24，tan152 3，tan752 3，由余角公式易求 15，75的余弦值和余切值。5同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_.(2)商数关系：_.变形有：_,_,_.6.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k(kZ)2 2 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 7诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般
3、步骤为：上述过程体现了化归的思想方法。8“五点法”作图 拆角 一个任意角它的终边与单位圆交于点那么叫做的正弦记作即叫做的余弦殊角的三角函数值角的弧度数名师总结优秀知识点由余角公式易求的余符号看象限诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数名师总结 优秀知识点(1)在确定正弦函数 ysinx 在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是_，_，_，_，_.(2)在确定余弦函数ycosx 在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是 _，_，_，_，_.9三角函数的图象和性质 函数 性质 ysinx ycosx ytanx 定义域 _ _ _ 图象 值域 _ _ R 对称性 对称轴：_；
4、对称中心：_ 对称轴：_；对称中心：_ 无对称轴；对称中心：_ 最小正周期 _ _ _ 单调性 单调增区间_；单调减区间_ 单调增区间_；单调减区间_ 单调增区间_ 奇偶性 _ _ _ 11、函数 yAcos(x)的最小正周期为_yAtan(x)的最小正周期为_ 12.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示 x 一个任意角它的终边与单位圆交于点那么叫做的正弦记作即叫做的余弦殊角的三角函数值角的弧度数名师总结优秀知识点由余角公式易求的余符号看象限诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数名师总结 优秀知识点
5、 x yAsin(x)0 A 0 A 0 13.图象变换：路径：先向左(0)或向右(0)或向右(0)平移_个单位长度，得到函数 ysin(x)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的_倍(横坐标不变)，这时的曲线就是 yAsin(x)的图象 14函数 yAcos(x)的最小正周期为_yAtan(x)的最小正周期为_ 15.（1）两角和差公式 sinsincoscossin；coscoscossinsin；tantantan1tantan。（2）倍角公式 sin 22sincos；2222cos 2cossin2cos112sin ；22tantan21tan。一个任意角它的终边与单位圆交于点
6、那么叫做的正弦记作即叫做的余弦殊角的三角函数值角的弧度数名师总结优秀知识点由余角公式易求的余符号看象限诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数名师总结 优秀知识点（3）降幂公式 21 cos 2sin2；21cos 2cos2。16、解三角形 1）正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆的半径）。2）正弦定理常见变形（1）sinsinaAbB，sinsinbBcC，sinsincCaA；sinsinsina b cABC；sinsinaBbA，sinsincBbC，sinsincAaC；sinsinsinsi
7、nsinsinabcabcABCABC。（2）2 sinaRA，2 sinbRB，2 sincRC，sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR。（R为三角形ABC外接圆的半径）（3）三角形的面积公式：1122Sr abc 底 高（r是ABC内切圆的半径）111sinsinsin2224abcabCbcAacBR（R为ABC外接圆的半径）。3 正弦定理的应用（1）已知两角和一边，求其他两边和另一角；（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边和其他两角。4 三角形解的个数问题 图形 关系式 解的个数 一个任意角它的终边与单位圆交于点那么叫做的正弦记作即叫做的余弦殊角的三角函数值角的弧度数名师总结
8、优秀知识点由余角公式易求的余符号看象限诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数名师总结 优秀知识点 在ABC中，已知 a，b 和角 A，以点 C为圆心，以边长 a 为半径画弧，此弧与除去顶点 A的射线AB的交点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：5 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的条弦的积的两倍，即2222cosabcbcA，2222cosbacacB，2222coscababC。余弦定理的变形：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2abcCab。点评（1）若90C ，则222cab，这就是勾股定理，
9、由此可知，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。（2）由定理知：若 A为锐角，则cos0A，2220bca，即222bca；若 A为钝角，则cos0A，从而2220bca，即222bca；若 A 为直角，则cos0A，222bca。上述结论在解客观题时使用较方便。（3）将2222c osabcbcA与2222cosbacacB 相加，得A为锐角 a=bsinA ab 一解 bsinAab 两解 absinA 无解 A为钝角或直角 ab 一解 ab 无解 CabBAbaCBACB2B1AbaabaCBAabbaABCCBACBACBAabba一个任意角它的终边与单位圆交于点那么叫做
10、的正弦记作即叫做的余弦殊角的三角函数值角的弧度数名师总结优秀知识点由余角公式易求的余符号看象限诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数名师总结 优秀知识点 222cos2cos0cbcAacB，即coscoscaBbA，这就是三角形中的射影定理。6 余弦定理的应用（1）已知三边，求三角；（2）已知两边及其夹角，求第三边和其他两角。知能解读：解三角形 7 已知一边和两角（设为b，A，B），解三角形的步骤（1）180CAB；（2）由正弦定理得sinsinbAaB；（3）由正弦定理得sinsinbCcB。8 已知两边及其夹角（设为a，b，C），解三角形的步骤（1）由余弦定理得2222co
11、scababC；（2）由正弦定理求边a，b中较小边所对的锐角；（3）利用内角和定理求第三个角。9 已知两边及其中一边的对角（设为a，b，A），解三角形的步骤（1）先判定解的情况；（2）由正弦定理得sinsinbABa，求B；（3）由内角和定理得180CAB，求C；（4）由正弦定理或余弦定理求边c。10 已知三边a，b，c，解三角形的步骤（1）由余弦定理求最大边所对的角；（2）由正弦定理求其余两个锐角。17、实际应用题 1 坡角：坡面与水平面的夹角，如图。一个任意角它的终边与单位圆交于点那么叫做的正弦记作即叫做的余弦殊角的三角函数值角的弧度数名师总结优秀知识点由余角公式易求的余符号看象限诱导公式
12、的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数名师总结 优秀知识点 2 坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比。即tanhil（i为坡比，为坡角），如图。3 仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。如图。4 方位角：从指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的水平角（如图）。5 方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的水平角。6 基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线。在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度。一般来说，基线越长，测量的精确度越高。18、在AB
13、C中，常用结论：（1）ABC ；hli=hlhli=hl目标视线水平视线目标视线俯角仰角铅垂线24040PBA北一个任意角它的终边与单位圆交于点那么叫做的正弦记作即叫做的余弦殊角的三角函数值角的弧度数名师总结优秀知识点由余角公式易求的余符号看象限诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数名师总结 优秀知识点（2）sincos22ABC，cossin22ABC。（3）sinsinABC，coscosABC；（4）sin 22sin 2ABC，cos 22cos2ABC；（5）若AB，则sinsinAB。一个任意角它的终边与单位圆交于点那么叫做的正弦记作即叫做的余弦殊角的三角函数值角的弧度数名师总结优秀知识点由余角公式易求的余符号看象限诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数