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1、名师总结 优秀知识点 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1任意角(1)角的概念的推广 按旋转方向不同分为正角、负角、零角 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 按终边位置不同分为象限角和轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角 第一象限角的集合为36036090,kkk ooo 第二象限角的集合为36090360180,kkk oooo 第三象限角的集合为360180360270,kkk oooo 第四象限角的集合为360270360360,kkk oooo 终边在x轴上
2、的角的集合为180,kk o 终边在y轴上的角的集合为18090,kk oo 终边在坐标轴上的角的集合为90,kk o(2)终边与角 相同的角可写成 k 360(kZ)终边与角相同的角的集合为360,kk o(3)弧度制 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 弧度与角度的换算：360 2 弧度；180 弧度 半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr 若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr 2 任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点的距离
3、为22r rxy，那么角 的正弦、余弦、正切分别是：sin yr，cos xr，tan yx（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3特殊角的三角函数值 名师总结 优秀知识点 角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角 a 的弧度 0/6/4/3/2 2/3 3/4 5/6 3/2 2 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 2/2 1/2 0-1 0 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0-1/2-2/2-3/2-1 0 1 tana 0 3/3 1 3 -3-1-3/3 0 0 二、同角三角函数的基本
4、关系与诱导公式 A.基础梳理 1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2 cos2 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：sin cos tan .（3）倒数关系：1cottan 2诱导公式 公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，tan)2tan(k 其中 kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式三：sin()sin ，cos()cos_，tantan 公式四：sin()sin_，cos()cos_，tantan.公式五：sin2cos_，cos2sin .公式六：sin2cos_，cos
5、2sin_.诱导公式可概括为k2 的各三角函数值的化简公式口诀：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把 看成锐角时，根据k2 在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号 B.方法与要点 一个口诀 1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限 2、四种方法 在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan sin cos 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin cos )21 2sin cos 的关系进行变形、转化（c
6、ossin、cossin、cossin三个式子知一可求二）边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合角的始边与轴的非边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为终边与角相同的角长为则角的弧度数的绝对值是若扇形的圆心角为为弧度制半径为弧长为名师总结 优秀知识点(3)巧用“1”的变换：1sin2 cos2=sin2tan4（4）齐次式化切法：已知ktan，则nmkbaknmbanmbatantancossincossin 三、三角函数的图像与性质 学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域 2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如xysin与xycos的周期是）。3 会判断三角函数奇
7、偶性 4 会求三角函数单调区间 5 知道三角函数图像的对称中心，对称轴 6 知道sin()yAx，cos()yAx，tan()yAx的简单性质（一）知识要点梳理 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0，3,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx 1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx 2、正弦函数sin()yx xR、余弦函数cos()yx xR的性
8、质：（1）定义域：都是 R。（2）值域：都是 1,1，对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值 1；当322xkkZ时，y取最小值1；对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值 1，当2xkkZ 时，y取最小值1。（3）周期性：sinyx，cosyx的最小正周期都是 2；（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin()yx xR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；余弦函数cos()yx xR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。（5）单调性：边位置不同分为象限角和轴线角角
9、的顶点与原点重合角的始边与轴的非边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为终边与角相同的角长为则角的弧度数的绝对值是若扇形的圆心角为为弧度制半径为弧长为名师总结 优秀知识点 sin2,222yxkkkZ 在上单调递增，在32,222kkkZ单调递减；cosyx在2,2kkkZ 上单调递增,在2,2kkkZ 上单调递减。特别提醒，别忘了kZ！3、正切函数tanyx的图象和性质：（1）定义域：|,2x xkkZ。（2）值域是 R，无最大值也无最小值；（3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02kkZ，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的
10、交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（4）单调性：正切函数在开区间,22kkkZ 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 R R,2x xkk 值域 1,1 1,1 R 最值 当22xkk时，max1y；当22xk k时，min1y 当2xkk时，max1y；当2xk k时，min1y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222kk k上是增函数；在 32,222kk k上是减函数 在2,2kkk 上是增函数；在2,2kk k上是减函数
11、 在,22kk k上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称中心,02kk 对称中心,02kk 函数 性 质 边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合角的始边与轴的非边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为终边与角相同的角长为则角的弧度数的绝对值是若扇形的圆心角为为弧度制半径为弧长为名师总结 优秀知识点 对称轴2xkk 对称轴xkk 无对称轴 5、研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x。函数 yAsin（x）（A0，0）的性质。（1）定义域：R （2）值域：-A,A （3）周期性：2|T()sin()f xA
12、x和()cos()f xAx的最小正周期都是2|T。()tan()f xAx的最小正周期都是|T。（4）单调性：函数 yAsin（x）（A0，0）的 单调增区间可由 2k2 x2k2，kz 解得；单调减区间可由 2k2 x2k32，kz 解得。在求sin()yAx的单调区间时，要特别注意 A和的符号，通过诱导公式先将化正。如函数23ysin(x)的递减区间是_（答：解 析：y=，所 以 求 y 的 递 减 区 间 即 是 求的递增区间，由得 ，所以 y 的递减区间是 四、函数sinyAx 的图像和三角函数模型的简单应用 一、知识要点 1、几个物理量：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初
13、相：2、函数sin()yAx表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定.函数sinyx ，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx 3、函数sin()yAx图象的画法：“五点法”设Xx，令X0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数 ysinx 的图象经变换可得到sinyAx 0的图象 边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合角的始边与轴的非边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为终边与角相同的角长为则角
14、的弧度数的绝对值是若扇形的圆心角为为弧度制半径为弧长为名师总结 优秀知识点 y=sinx y=sinx 横坐标 伸（缩）1倍 左（右）平移 纵坐标 伸（缩）A 倍 sinyx sinyx xAysiny=sinx 左（右）平移 纵坐标 伸（缩）A 倍 横坐标 伸（缩）1倍 左（右）平移 xAysin xAysin 横坐标 伸（缩）倍 横坐标 伸（缩）1倍 sinyAx 纵坐标 伸（缩）A 倍 横坐标 伸(缩)1倍 xysin xAysin xysin siny Ax 纵坐标 伸（缩）A 倍 左（右）平移 左（右）平移 纵坐标 伸（缩）A 倍 5、函数sin()yAxb的图象与sinyx图象间的
15、关系：函数sinyx的图象向左（0）或向右（0）平移|个单位得sinyx的图象；函数sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到函数sinyx的图象；函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数sin()yAx的图象；函数sin()yAx图象向上（0b）或向下（0b）平移|b个单位，得到sinyAxb的图象。要特别注意，若由 sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移|个单位，如要得到函数 ysin(2x3)的图象，只需将函数 ysin2x 的图象()(A)向左平移 3 个单位 (B)向右平移3 个单位(C)向左平移6 个单位 (D)向右平移6 个单位
16、 6、函数 yAcos（x）和 y=Atan（x）的性质和图象的变换与 yAsin（x）类似。三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：coscoscossinsin；coscoscossinsin；sinsincoscossin；sinsincoscossin；tantantan1 tantan （tantantan1 tantan）；tantantan1 tantan （tantantan1 tantan）如oooo40tan20tan340tan20tan ；（答案：3）边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合角的始边与轴的非边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为
17、终边与角相同的角长为则角的弧度数的绝对值是若扇形的圆心角为为弧度制半径为弧长为名师总结 优秀知识点 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin1 如 cos2512 cos212 cos512 cos12 的值等于 ；（答案：54 ）2222cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式221cos 22cos,1cos 22sin 降幂公式21 cos 2cos2，21 cos 2sin2 22 tantan 21tan 3、二弦归一把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：22sincossinabab，其中tan
18、ba 4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法常用的方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；1545306045ooooo；问：12sin ；12cos ；)(；)4(24；)4()4()()(2；等等.如121tan,tan,tan5444 则 .（答案：322）2 若 cos()45，cos()45，且2 ，32 2，则 cos2 _，cos
19、2 _.（答案：725，1）3已知sincos21,tan,1 cos 23 则tan2 ；（答案：18）（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一）。如)10tan31(50sinoo ；132cos10sin102sin 301022cos103sin102sin40 cos40sin80=sin50sin50sin501cos10cos10cos10cos10cos10cos10oooooooooooooooooo解析：原式（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如
20、常数“1”的代换变形有：221sincossin90tan 45oo（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。有 时 需 要 升 幂，常 用 升 幂 公 式有：；.如对无理式cos1常用升幂化为有理式.（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：coscossinsin=_；sincoscossin=_；边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合角的始边与轴的非边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为终边与角相同的角长为则角的弧度数的绝对值是若扇形的圆心角为为弧度制半径为弧长为名师总结 优秀知识点 _tantan；_tantan1；_tantan；_tantan1；sincos_；2sincos22_；2222cossin_ 2cos1_ 2sin1_；cos1 ；cos1 ；tan2 ；2tan1 ；sincosab ；（其中tan ；）（6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合角的始边与轴的非边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为终边与角相同的角长为则角的弧度数的绝对值是若扇形的圆心角为为弧度制半径为弧长为