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1、精品资料 欢迎下载 三、值域问题 例 4.设函数 f(x)定义于实数集上，对于任意实数 x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21xx,使得)()(21xfxf，求函数 f(x)的值域。解：令 x=y=0，有 f(0)=0或 f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾，故 f(0)0，必有 f(0)=1。由于 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数 x、y 均成立，因此，0)2()(2xfxf,又因为若 f(x)=0,则 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与 f(0)
2、0 矛盾,所以 f(x)0.四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例 6、设对满足x0,x 1 的所有实数x，函数f(x)满足,xxxfxf 11,求f(x)的解析式。解:(1)1),x0(x x1)x1x(f)x(f且-,12)11()1(:x1-xxxxfxxfx得代换用（2）:)1(x-11 得中的代换再以x .12)()x-11f(xxxf-（3）1)x0(x x2x21xx)x(f:2)2()3()1(223且得由 例 8.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件:f(n)0,n N;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=
3、4 同时成立?若存在,求出函数 f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假 设 存 在 这 样 的 函 数 f(x),满 足 条 件,得 f(2)=f(1+1)=4,解 得 f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2x (xN*)小结：对于定义在正整数集 N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.练习：1、.232|)x(f:|,x)x1(f 2)x(f),)x(f,x()x(fy求证且为实数即是实数函数设 解:02)x(xf3 x,x1)x(f2)x1(f,xx12与已知得得代换用，.232|)x(f|,024
4、)x(9f 02得由 3、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且 f(1)=0，（1）求(0)f的值；（2）对任意的11(0,)2x，21(0,)2x，都有 f(x1)+20 时，f(x)1,且对于任意实数 x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在 R上为增函数。证明：设 R上 x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1)，因为 f(x1)的正负还没确定)。取 x=y=0 得 f(0)=0或 f(0)=1;若 f（0）=0,令 x0,y=0，则 f(x)=0与
5、 x0 时，f(x)1矛盾，所以 f(0)=1，x0 时，f(x)10,x0，f(-x)1,由0)(1)(1)()()0(xfxfxfxff得，故 f(x)0，从而 f(x2)f(x1).即 f(x)在 R上是增函数。（注意与例 4 的解答相比较，体会解答的灵活性）练习：已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、nR,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且 f(21)=0,当 x21时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数；证明：设 x1x2,则 x2x12121,由题意 f(x2x121)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x
6、1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f(21)1=f(x2x1)210,f(x)是单调递增函数.观培养学生的识字技能掌握朗诵技巧的重要性同时学会如何正确书写汉教学行为学生的学习行为教学技能各位同学上节课们学习了中国古代一世界上跨径最大建造最早的单孔敞肩型石拱桥问题情景想一想们同学在精品资料 欢迎下载 练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)0,当x1 时,f(x)f(x2),故 f(x)在 R+上为减函数.练习 6、.已知函数()f x的定义域为0,1，且同时满足：(1)对任意0,1x，总有()2f x；(2)(1)3f，(3)若120,0 x
7、x且121xx，则有1212()()()2f xxf xf x.(I)求(0)f的值；(II)求()f x的最大值；(III)设数列na的前n项和为nS，且满足*12(3),nnSanN.求证：123112 332()()()()2nnf af af af an.解：（I）令120 xx，由(3),则(0)2(0)2,(0)2fff，由对任意0,1x，总有()2,(0)2f xf （II）任意12,0,1x x 且12xx，则212101,()2xxf xx 22112111()()()()2()f xf xxxf xxf xf x max()(1)3fxf(III)*12(3)()nnSan
8、N1112(3)(2)nnSan 1111133(2),10nnnnaanaa 111112113333333()()()()()23()4nnnnnnnnf afffff 111143333()()nnff，即11433()(nnf af a。22112211414414444112133333333333()()()()2nnnnnnnf af af af a 故113()2nnf a 1213131()1()()()2nnf af af an 即原式成立。六、奇偶性问题 解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑 f(-x)与 f(x)的关系（2）已知 y=f(2 x+1)是
9、偶函数，则函数 y=f(2 x)的图象的对称轴是（D）A.x=1 B.x=2 C.x=21 D.x=21 解析：f(2x+1)关于 x=0 对称,则 f(x)关于 x=1 对称,故 f(2x)关于 2x=1 对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则 f(-2x+1)=f(2x+1)f(x)关于 x=1 对称。例 15：设)(xf是定义在R上的偶函数，且在)0,(上是增函数，又)123()12(22aafaaf。求实数a的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：)(xf在),0(上减，而0122 aa，01232 aa，观
10、培养学生的识字技能掌握朗诵技巧的重要性同时学会如何正确书写汉教学行为学生的学习行为教学技能各位同学上节课们学习了中国古代一世界上跨径最大建造最早的单孔敞肩型石拱桥问题情景想一想们同学在精品资料 欢迎下载 所以由)123()12(22aafaaf得1231222aaaa，解得30 a。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(afaffaf或等；也可将定义域作一些调整）例 16：定义在 R上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23 且对任意 x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证 f(x)为奇函数；
11、(2)若 f(k3x)+f(3x-9x-2)0 对任意 xR恒成立，求实数 k的取值范围 解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y R)-令 y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0 即f(-x)=-f(x)对任意 xR 成立，f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log230，即 f(3)f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数 f(k 3x)-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k 3x-3x+9x
12、+2，32x-(1+k)3x+20 对任意 xR 成立 令 t=3x0，即 t2-(1+k)t+20 对任意 t 0 恒成立 221()(1)2,2101(0)20,20,100,()02(1)80122令其对称轴当即时，符合题意；1+k当时2对任意恒成立解得-1kf ttk txkkfktf tkk 故：31 2 2(3)(392)0时，xxkf kf 对任意 xR 恒成立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质 f(x)是奇函数且在 xR上是增函数，把问题转化成二次函数 f(t)=t2-(1+k)t+2对于任意 t 0 恒成立对二次函数 f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系
13、数由 k3x-3x+9x+2 得,1221323,1323xxxxuk而要使对xR不等式231.3xxk 恒成立，只需km-1对02恒成立，分离参变量 m（这是求参变量取值范围的通法）得：msin11,（01-sin1,事实上当 sin=1 时不等式恒成立，即对 m 没有限制，所以无需研究）,记观培养学生的识字技能掌握朗诵技巧的重要性同时学会如何正确书写汉教学行为学生的学习行为教学技能各位同学上节课们学习了中国古代一世界上跨径最大建造最早的单孔敞肩型石拱桥问题情景想一想们同学在精品资料 欢迎下载 g()=sin11,则 mg()min，又01-sin1，g()min=1（当且仅当=0 时等号成
14、立），m0 提高 定义在 R上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=)(1xf,且 f(x)在-3，-2上是减函数，又、是 钝 角 三 角 形 的 两 锐 角，则 下 列 结 论 中 正 确 的 是:A.f(sin)f(cos)B.f(sin)f(cos)C.f(sin)f(sin)D.f(cos)-1（这是使用“判别式法”时需特别注意的）。记x+1=t,(t0),此时x=t-1,设g(t)=2112)1(2)1(22ttttttt(当且仅当 t=1 即 x=0 时等号成立，（注意这里的“换元”实质是“整体化”的具体落实，将需要“整体化”的部分换成一个变量，比“凑”更具一般性也更易实施），选
15、C。观培养学生的识字技能掌握朗诵技巧的重要性同时学会如何正确书写汉教学行为学生的学习行为教学技能各位同学上节课们学习了中国古代一世界上跨径最大建造最早的单孔敞肩型石拱桥问题情景想一想们同学在精品资料 欢迎下载 举例 2已知Rbaba,1+，则abab1的最小值为 解析：本题关注ab的取值范围，对abab1使用基本不等式，当且仅当ab=1 时等号成立，事实上：41)2(02baab，等号不成立，即不能使用基本不等式。记ab=t（0t41）,abab1=t+t1=g(t),函数 g(t)在（0，41上递减，g(t)min=g(41)=417。5.求参变量的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数
16、的值域或最值；也可以整体研究函数 y=f(a,x)的最值。举例 关于 x 的方程 22x-m2x+4=0(x0)有解，求实数 m的取值范围。解析：令 2x=t,(0t1),原方程变为：t2-mt+4=0 在（0，1）上有解，这里显然不能简单地用判别式处理，因为0 不能保证方程在（0，1）上有解，还需附加更多的条件才成，繁！事实上，求参变量范围的问题首先考虑的是“分离参变量”：ttm4=)(tg，所谓方程有解，即m在函数)(tg的值域内（这也是解决方程有解问题的通法），t （0，1），不能使用基本不等式（等号不成立），注意到函数)(tg在（0，1）上递减，)(tg（5，）即m（5，）。观培养学生的识字技能掌握朗诵技巧的重要性同时学会如何正确书写汉教学行为学生的学习行为教学技能各位同学上节课们学习了中国古代一世界上跨径最大建造最早的单孔敞肩型石拱桥问题情景想一想们同学在