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1、精品_精品资料_高中数学专题 - 抽象函数抽象函数是指没有给出函数的详细解析式,只给出了一些表达函数特点的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一. 抽象性较强, 敏捷性大 , 解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法如化归法、数形结合法等,这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹 . 另外仍要通过对题目的特点进行观看、分析、类比和联想,查找详细的函数模型, 再由详细函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法.常见的特别模型 :特别模型抽象函数正比例函数 fx=kxk 0fx+y=fx+
2、fy幂函数fx=x nfxy=fxfy 或 f x yf x f y 指数函数fx=a xa0 且 a 1fx+y=fxfy 或 f xy f x f y 对数函数fx=log axa0 且 a1fxy=fx+fy x或 f yf x f y 正、余弦函数fx=sinxfx=cosxfx+T=fx正切函数fx=tanxf xy f x f y 1f x f y 余切函数fx=cotxf xy 1f x f y f x f y 目录：一 . 定义域问题二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题八、综合问题一. 定义域问题 -多为简洁函数与复合函数的定
3、义域互求.例 1. 假设函数y = f.x的定义域是 2, 2 ,就函数 y = f x+1+f x1的定义域为1x 1解： fx的定义域是2,2 ,意思是凡被 f 作用的对象都在2,2中.评析：已知 fx问题.的定义域是 A,求 fx的定义域问题,相当于解内函数x 的不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：已知函数 fx的定义域是1,2,求函数 flog 1 3x2的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：已知函数flog3 x的定义域为 3 , 11 ,求函数 fx的定义域.1, log3 11可编
4、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评析： 已知函数 fx的定义域是 A,求函数 fx的定义域.相当于求内函数x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：定义在3,8上的函数 fx的值域为2,2,假设它的反函数为fx ,就 y=f2-3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-1-1的定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,值域为.0 , 43, 3 , 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、求值问题抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特别值法使问题得以解决.怎样赋值 .需要明确目标 ,细心争论 ,反复试验 ;例
5、 3. 对任意实数 x,y,均满意 fx+y 2=fx+2fy2 且 f1 0,就 f2022=.解析 :这种求较大自变量对应的函数值,一般从找周期或递推式着手：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令xn, y1,得f n1f n2 f 12,令 x=0,y=1, 得 f0+1 2=f0+2f1 2 , 令 x=y=0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： f0=0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f1=1,即 fn21 - fn1 , 故f n2n ,f 2022 22022.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ R 上的奇函数y=f
6、x 有反函数y=f -1x, 由 y=fx+1 与 y=f -1x+2 互为反函数,就f2022=.解析：由于求的是 f2022 ,可由 y=f -1x+2 求其反函数 y=fx-2, 所以 fx+1= fx-2 ,又 f0=0,通过递推可得f2022=-4918.例 4. 已知 fx 是定义在 R 上的函数,f1=1, 且对任意 x R 都有 fx+5 fx+5,fx+1 fx+1.假设 gx=fx+1-x, 就 g2022=.1解: 由 gx=fx+1-x, 得 fx=gx+x-1.而 fx+5 fx+5 ,所以 gx+5+x+5-1 gx+x-1+5 ,又 fx+1 fx+1 ,所以 g
7、x+1+x+1-1 gx+x-1+1即gx+5 gx,gx+1 gx.所以 gx gx+5 gx+4 gx+3 gx+2 gx+1,故 gx=gx+1又 g1=1,故 g2022=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 1.fx 的定义域为 0,对任意正实数 x,y 都有 fxy=fx+fy且 f4=2,就 f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1220222.假如f xyf x f y, 且f 12, 就f 2f 1f 4f 3f 6f 5f 2022 的值是.f 2022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精
8、品_精品资料_f 2 1f 2f2f 4f3f 6f4f 8222.fn2 n, 原 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1f 3f 5f 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=163、对任意整数x, y函数 yf x 满意：f xyf xf yxy1,假设f 11,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 8CA.-1B.1C. 19D. 43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、函数 fx 为 R 上的偶函数, 对 xR都有f x 6f xf 3成立,假设f1 2,就f 2022=可编
9、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BA . 2022B. 2C.1D.05、定义在 R 上的函数 Y=fx 有反函数 Y=f -1x ,又 Y=fx 过点 2,1, Y=f2x 的反函数为 Y=f -12x ,就 Y=f -116 为A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11A B816C8D165、1f 1 af 1 a 2 , f 3 1a aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、已知 a为实数,且 0a1,f x是定义在 0,124413可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上的函数,满意 f 00, f 11, 对全部 xy,又 f 1
10、 f 44 1a a 2a aa1a ,可解得a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均有 f xy 21a f x1af y22 设 f 1 2b, 就 f 1 02f 7 212f 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求a的值 2求f 三、值域问题的值772f 7f 1 72 b, 同理b1773f 73b,227, f 17 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. 设函数 fx定义于实数集上,对于任意实数x、y, fx+y=fxfy总成立,且存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2 , 使得f x1f x2 ,求函数 fx
11、的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 x=y=0,有 f0=0或 f0=1.假设 f0=0,就 fx=f0+x=fxf0=0恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这与存在实数x1x2 ,使得f x1f x2成立冲突,故 f0 0,必有 f0=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 fx+y=fxfy对任意实数x、y 均成立,因此,f x2f x 20 , 又由于假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx=0,就 f0=fx-x=fxf-x=0与 f00 冲突 , 所以 f
12、x0.四、解析式问题换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法, 例 5.已知 f1+sinx=2+sinx+cos 2x, 求 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解:令 u=1+sinx, 就 sinx=u-10 u 2, 就 fu=-u+3u+10 u 2 故 fx=-x+3x+1 0 u 2小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、设对满意 x 0,x 1 的全部实数 x,函数 fx满意 , f x的解析式.fx1 x1x , 求 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
13、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 :2f x f x11 xxx0且 x1,1-用 x - 1 代换 x得 : xf x1 xf 11x2 x1,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再以1代换1 - x1中的x 得 :f11 - xf x 2x .1x-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由132得: f xxx 21x0且x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_322x 22 x小结： 通过解方程组的方法可求表达式.怎样实现由两个变
14、量向一个变量的转化是解题关键.通常,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消逝”,进而保留一个变量,是实现这种 转化的重要策略.例 7.已知 fx 是多项式函数,且fx+1+fx-1=2x2-4x, 求 fx.解 : 易知 fx 是二次多项式,设fx=ax 2+bx+ca 0 ,代入比较系数得:a=1,b=-2,c=-1,fx=x 2-2x-1.小结：假如抽象函数的类型是确定的,就可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题.例 8.是否存在这样的函数fx, 使以下三个条件 : fn 0,n N; fn 1+n2=fn 1fn 2,n1,n2 N* ; f2=4 同时成立 .假设存在 ,求出函数 fx
15、的解析式.假设不存在,说明理由.解:假设存在这样的函数fx, 满意条件 ,得 f2=f1+1=4, 解得 f1=2.又 f2=4=2 2,f3=2 3, ,由此猜想 :fx=2 xx N* 数学归纳证明略小结：对于定义在正整数集N* 上的抽象函数 ,用数列中的递推法来探究,假如给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例9、已知f x是定义在 R上的偶函数, 且f x3 2f x1 恒成立, 当 x22,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时, f xx ,就当 x2,0) 时,函数
16、f x的解析式为D 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A x2B. x4C. 2x1D. 3x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：易知 T=2 ,当 x 2,1 时, x42,3 , f x4 x4f x ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 1,0 时 2x2,3 , f 2x2xf xf x . 应选 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结： 利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间,利用已知区间的表达式求未知区间的表
17、达式,是求解析式中常用的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 1、 设yf x是实数函数即x , f x 为实数, 且f x 12f xx, 求证2:| f x |2.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:用 1 代换xx , 得 f 1 x2f x 1, 与已知得xx 23 x f x 20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由0得9f 2 x 420,2| f x |2 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 2022 重庆
18、已知定义域为R 的函数 fx 满意 f fx-x2 +x=fx- x2+x.假设 f 2=3 ,求 f1 .又假设 f0= a,求 fa .设有且仅有一个实数x0,使得 fx0=x0,求函数 f x的解析表达式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： I 由于对任意xR , 有f f x - x 2x f x x 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以f f 2- 2 22f 22 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由f23, 得f 3- 2 22 ）32 22, 即f 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f 0a ,
19、就f a0 20a0 20, 即f a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II由于对任意xR,有f f x x 2x f x x 2x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于有且只有一个实数x 0 ,使得f x 0 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以对任意xR , 有f x x 2xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0在上式中令xx ,有 f x x 2xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00000再代 f x x ,得 xx 20 ,故 x =0 或 x =1000000可编辑资料 - - - 欢迎下载
20、精品_精品资料_如 x 0 =0 ,就f x x 2x0,即f x x 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但方程x 2xx 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0如 x =1 ,就有f x x 2x1, 即f x x 2x1. 易验证该函数满意题设条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,所求函数为f x x 2x1 xR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、函数 f x 对一切实数 x,y 均有 f x+y- fy=x+2y+1 x 成立,且 f1=0 ,1求 f 0可编辑资料 - -
21、 - 欢迎下载精品_精品资料_的值.2对任意的 x110, , x2210, ,都有 f x1+20 时 fx0, 且 f1=-2,求 fx在-3 ,3 上的最大值和最小值 .解析 :由单调性的定义步骤设x1 x 2, 就 fx 2=fx 2-x 1+x 1=fx 2-x 1+fx 10, fx 2-x 10 时, fx1,且对于任意实数 x、y,有fx+y=fxfy,求证： fx在 R 上为增函数.证明：设 R 上 x11 ,fx 2=fx 2-x 1+x 1=fx 2 -x 1fx 1,留意此处不能直接得大于fx 1,由于 fx 1的正负仍没确定 .取 x=y=0 得 f0=0或 f0=1
22、;假设 f 0 =0, 令 x0,y=0 ,就 fx=0与 x0 时, fx1冲突,所以 f0=1, x0 时, fx10,x0 , f-x1,由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 0 f x f x1得 f x 1f x 0 ,故 fx0,从而 fx 2fx1. 即 fx在 R 上是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增函数.留意与例4 的解答相比较,体会解答的敏捷性例 11、已知偶函数f x 的定义域是 x 0 的一切实数,对定义域内的任意x1, x2 都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1x2 f x1f x2 ,且当 x1 时 f x0
23、,f 21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f x 在0,+ 上是增函数.2解不等式f 2 x212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1设 x 2x10 ,就f x f x f xx2 f x f x f x 2 f x f x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2111x111x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xx0 , x21 , f x2 0 ,即f x f x 0
24、, f x f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21x1x12121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 在 0, 上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2f 21 ,f 4f 2f 22 ,f x 是偶函数不等式f 2 x212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可 化 为f |2x21|f 4, 又 函 数 在 0, 上 是 增 函 数 , 0 | 2x21| 4 , 解 得 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
25、料_ x |10x10 且x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222练习：已知函数 fx的定义域为 R,且对 m、n R,恒有 fm+n= fm+ fn 1,且 f1 =0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 时, fx0. 求证： fx是单调递增函数.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：设 x1 x2,就 x2 x11 1 ,由题意 fx2 x1 1 0,222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fx2 fx1= f x2 x1+ x1 fx1=fx2 x1+f x1 1 fx1 =fx2x1 1=fx2 x1+f可
26、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1=f x2 x121 0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 是单调递增函数 .例 12、定义在 R+上的函数 fx 满意 : 对任意实数m,fx m=mfx; f2=1.(1) 求证 :fxy=fx+fy对任意正数 x,y 都成立 ;2 证明 fx 是 R+上的单调增函数 ;3 假设 fx+fx-3 2,求 x 的取值范畴 .解:1 令 x=2 m,y=2 n,其中 m,n 为实数 ,就 fxy=f2 m+n=m+nf2=m+n.又 fx+fy=f2m+f2 n=mf2+nf2=m+n,所以 fxy=fx+fy可编辑
27、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2证明:设0x1x2 ,可令mn且使x12m , x2n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由1得f x1 f x 2 f x 1 x 2f 2 m n m2n f 2mn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 fx 1fx 2,即 fx 是 R+上的增函数 .3 由 fx+fx-3 2 及 fx的性质 , 得 fxx-3 2f2=f2,解得3x 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 1：已知f x 是定义在 0 , 上的单调增函数,对于任意的m 、 n
28、m , n 0, 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f m f n f mn , 且 a、 b 0ab 满意f af b 2 f ab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 求 f1;.2 如 f 2 1,解不等式f x 2 ;. 3 求证：3b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1 f102f x2的解集为0,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3f 10, f x 在0, 上单调递增,x 0,1时,f x 0, x1,时,f x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f a f b 且 0ab,f af b 即 f ab 0,ab10a1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f b2 f ab , ab 22ab1f b2 f ab 2