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1、不等式的证明(教案)A 一、知识梳理：常用的不等式的证明方法:1、比较法 比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论；为了判断作差出的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或者几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。2、综合法：利用某些已经证明过的不等式（均值不等式）和不等式的性质，推出所经证明的不等式，这个证明方法叫做综合法，利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系：即从已知条件 A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所经证明的结论 B。3 分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出
2、发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫分析法。4、反证法：正难则反 先假设要证明的问题不成立，以此为出发点，结合已知的条件、应用公理，定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法称为反证法。5、放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫放缩法。所谓的放缩技巧：即欲证 A B，欲寻找一个（或多个）中间变量 C
3、，使得 A C B，由“A到 C就是“放”，则 B到 C就上“缩”。二、题型探究 探究一：比较法：例 1：若水杯中 b 克糖水中含有 a 克糖，假如再加入 m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式表示出来，并加以证明。探究二：分析法和综合法 例 2：已知正数 a，b，求证：+探究三：放缩法：例 3：求证：1+例 4：证明不等式：1+（n ）探究五：反证法：例 5：已知 a，b，c 都是小于 1 的正数，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a 中至少有一个不大于 。三、方法提升（1）、分析法是求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具
4、备的问题，即“执果索因”。（2）、综合法的证明过程有时正好是分析法的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合的形式写出证明过程，即：“由因导果”。（3）、证明不等式的灵活多样，但比较法，综合法，分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本的方法，要依据题设结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证明方法的中推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。四、反思感悟 五、课时作业【说明】本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题（每小题 6 分，共 42 分）1.设 0 x1，则 a=x2,b=1+x,c=x11中最大的一个是（）A.a B.b C.c D.不能确定
5、 答案：C 几个因式的积的形式以便判断其正负综合法利用某些已经证明过的不等证明不等式的逻辑关系即从已知条件出发逐步推演不等式成立的必要条题如果能够肯定这些充分条件都已具备那么就可以断定原不等式成立这解析：因 0 x1,故 1-x20,即 1+xx11,bc,又 1+x-x2=(22x)2+210,故 ab,即最大的是 C.2.(2010 北京东城区一模，4)已知 a0,b-1,则下列不等式成立的是（）A.aba2ba B.2babaa C.ba2baa D.baa2ba 答案：C 解析：a0,b-1,则ba0,b-1.则 b21.21b1.又a0,02baa.ba2baa.故选 C.3.设 a
6、b0，则下列关系式成立的是（）A.aabb2)(baab B.aabb2)(baab C.aabb=2)(baab D.aabb与2)(baab的大小不确定 答案：A 解析：aabb2)(baab=2)(baba,因 ab0,故 ab1,a-b0,2)(baba1.4.设 a,bR+，且 ab-a-b 1，则有（）A.a+b2(2+1)B.a+b2+1 C.a+b2+1 D.a+b2(2+1)答案：A 解析：由 ab1+a+b(2ba)21+a+b,将 a+b 看作一整体即可.5.若 0 x2,设 a=2-xsinx,b=cos2x,则下式正确的是()A.a b B.a=b C.a b D.a
7、b 几个因式的积的形式以便判断其正负综合法利用某些已经证明过的不等证明不等式的逻辑关系即从已知条件出发逐步推演不等式成立的必要条题如果能够肯定这些充分条件都已具备那么就可以断定原不等式成立这答案：D 解析：a-b=2-xsinx-cos2x=sin2x-xsinx+1=(sinx-2x)2+1-42x,因为 0 x2,所以 042x1621.所以 a-b 0.6.设 a,b,c 为ABC 的 3 条边，且 S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,则()A.S2P B.PS2P C.SP D.PS2P 答案：D 解析：2(S-P)=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2
8、+(b-c)2+(a-c)20,SP.2P=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)b2+c2+a2=S,2PS.7.若 a,xyR+,且x+yayx恒成立，则 a 的最小值是()A.22 B.2 C.2 D.1 答案：B 解析：因(yxyx)2=1+yxxy21+yxxy2=2,故yxyx的最大值为2.即 amin=2.二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）8.在ABC 中，三边 a、b、c 的对角分别为 A、B、C，若 2b=a+c，则角 B 的范围是_.答案：0B3 解析：cosB=acaccaacbca8233
9、22222221829222acacca.0B3.9.已知 ab+bc+ca=1，则当_时，|a+b+c|取最小值_.答案：a=b=c=33 3 几个因式的积的形式以便判断其正负综合法利用某些已经证明过的不等证明不等式的逻辑关系即从已知条件出发逐步推演不等式成立的必要条题如果能够肯定这些充分条件都已具备那么就可以断定原不等式成立这解析：|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3ab+3bc+3ac=3.10.民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于 10%，并且这个比越大，采光条件越好，则同时增加相等的窗户面积与地板面积，采光条件变_（
10、填“好”或“坏”）.答案：好 解析：设窗户面积为 a，地板面积为 b，则 ab,且ba10%,设增加面积为 m，易知bambma.三、解答题（1113 题每小题 10 分，14 题 13 分，共 43 分）11.已知函数 f(x)=x2+ax+b,当 p、q 满足 p+q=1 时，试证明 pf(x)+qf(y)f(px+qy)对任意实数 x、y 都成立的充要条件是：0p1.证明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2.(x-y)20,欲使 pq
11、(x-y)20 对任意 x、y 都成立，只需 pq0p(1-p)0p(p-1)00p1.故 0p1 是 pf(x)+qf(y)f(px+qy)成立的充要条件.12.若 a、bR+且 a+b=1,求证：2121ba2.证明：2121ba2 a+b+1+22121ba4 2121ba1 ab+2ba+411 ab41.ab(2ba)2=41成立,几个因式的积的形式以便判断其正负综合法利用某些已经证明过的不等证明不等式的逻辑关系即从已知条件出发逐步推演不等式成立的必要条题如果能够肯定这些充分条件都已具备那么就可以断定原不等式成立这原不等式成立.13.已知 a、b、x、yR+且ba11,xy.求证:b
12、yyaxx.证法一：（作差比较法）)(byaxaybxbyyaxx,又ba11且，a、bR+,ba0.又 xy0,bxay.)(byaxaybx0，即byyaxx.证法二：（分析法）x、y、a、bR+,要证byyaxx,只需证明 x(y+b)y(x+a),即证 xbya,而同ba110,ba0.又 xy0,xbya 显然成立，故原不等式成立.14.给出不等式cxcx221cc1(xR).经验证：当 c=1,2,3 时，对于 x 取一切实数，不等式都成立，试问 c 取任何正数时，不等式对任何实数 x 是否都成立，若成立，则证明，若不成立，求 c 的取值范围.解析：由cxcx221cc1 cx 2
13、+cx 21c+c1(cx 2-c)+cx 21-c10 几个因式的积的形式以便判断其正负综合法利用某些已经证明过的不等证明不等式的逻辑关系即从已知条件出发逐步推演不等式成立的必要条题如果能够肯定这些充分条件都已具备那么就可以断定原不等式成立这(cx 2-c)(1-ccx21)0 假设 xR 时恒成立，显然cx 2-c0 即有 1-ccx210 cx 2c1x2c1-c 左边 x20，而右边不恒0，故此不等式不能恒成立.若恒成立则必有c1-c 0,0,012ccc又c1 时恒成立.几个因式的积的形式以便判断其正负综合法利用某些已经证明过的不等证明不等式的逻辑关系即从已知条件出发逐步推演不等式成立的必要条题如果能够肯定这些充分条件都已具备那么就可以断定原不等式成立这