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1、优秀学习资料 欢迎下载 第九章 欧氏空间 一、判断题 1、12,n是n维欧氏空间的一组基，矩阵ijn nAa，其中(,)ijija，则 A 是正定矩阵。()2、设V是一个欧氏空间，,V，并且，则 与 正交。()3、设V是一个欧氏空间，,V,并且(,)0，则,线性无关。()4、n 维 Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （）5、若 T 是正交变换，则 T 保持向量的内积不变 （）6、度量矩阵是正定的 （）7、正交矩阵的行列式等于 1 （）8、欧氏空间V上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（）9、设A与B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵。
2、10、在欧氏空间V中，若向量与自身正交，则0.()11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.()12、若矩阵A为正交矩阵，则1 AA.()13、设是n维欧氏空间V的正交变换，则在V的任意基下的矩阵是正交矩阵.()14、设21,VV是n维欧氏空间V的两个正交子空间，且21VVV，则21VVV。()15、对称矩阵A的任意两个特征向量都正交。()二、填空题 1、在欧氏空间3R中，向量(1,0,1)，(0,1,0)，那么(,)_，_ 2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是_ 3、已知A是一个正交矩阵，那么1A_，2A_ 4、已知三维欧式空间V中有一组基123,，其度量矩阵为110120003A，则
3、向量12323的长度为 。优秀学习资料 欢迎下载 5、已知 A 为 n 阶正交阵，且|A|0，则|A|=.6、欧 氏 空间V上 的 线 性变 换是 对 称 变 换的 充要 条 件 为关 于 标准 正交 基 的 矩阵为 。7、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。8、设1,0,0,1,0,0,1,1YX,则X与Y的夹角 .9、若 A为正交矩阵，则AA1 ；10、在n维欧氏空间V中,n级矩阵A是V的某个基的度量矩阵的充要条件是 .三、选择题 1、若线性变换与是（），则的象与核都是 的不变子空间。.A互逆的 .B 可交换的 .C 不等的 D.不可换的 2、设V是n维欧氏空间，那么V中的元素
4、具有如下性质（）若 ,；若；若 11,；若0(,)，|。3、欧氏空间3R中的标准正交基是（）0,1,0;21,0,21;21,0,21；1 111000 0 12 222(,),(,),(,)0,0,0;31,31,31;31,31,31；1,1,1;1,1,1;1,1,1。4、设是欧氏空间V的线性变换，那么是正交变换的充分必要非充分条件是（）保持非零向量的夹角；保持内积；保持向量的长度；把标准正交基映射为标准正交基。5、A为n阶正交方阵，则 A.A.为可逆矩阵 B.秩 A1 C.0A D.1A 6、若两个n阶方阵BA,是正交矩阵,则AB是 ()A.对称矩阵 .B.相似矩阵 C.正交矩阵 D.
5、BAAB 则保持向量的内积不变度量矩阵是正定的正交矩阵的行列式等于欧氏空的向量构成的向量组叫正交向量组若矩阵为正交矩阵则设是维欧氏空间维欧氏空间同构的充要条件是那么已知是一个正交矩阵那么已知三维欧优秀学习资料 欢迎下载 7、下列说法正确的是().A.实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交;B.实对称矩阵A的属于相同特征值的特征向量必不正交;C.实对称矩阵A的所有特征向量都正交;D.以上都不对.8、)1(nn维欧氏空间的标准正交基().A.不存在 B.存在不唯一;C.存在且唯一 ;D.不一定存在.9、若nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211是实正交阵，则下列说法不正确的是
6、（）。(A)TTAAA AE (B)1A(C)121212211naaa (D)02122122111nnaaaaaa 10、若 A 是实正交阵，则下列说法不正确的是（）。(A)TTAAA AE (B)1A(C)1 AA (D)A 的列向量组为单位正交向量组.四、计算题 1、把向量组1(2,1,0)，2(2,0,1)扩充成3R中的一组标准正交基.2、设123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)是 R3的一个基，用正交化方法求 R3的一组标准正交基。3、设123,为V的基，且线性变换 A 在此基下的矩阵为 1 1 11 1 11 1 1A（1）求 A 的特征值与特征向量；（2）A是否可
7、以对角化？如果可以，求正交矩阵T使得1TAT为对角形 4、已知 R3的一组向量1=(1,0,0),2=(1,1,0),3=(1,1,1)。（1）证明1,2,3构成 R3的一个基；（2）对其施行施密特正交化方法求出 R3的一个标准正交基。则保持向量的内积不变度量矩阵是正定的正交矩阵的行列式等于欧氏空的向量构成的向量组叫正交向量组若矩阵为正交矩阵则设是维欧氏空间维欧氏空间同构的充要条件是那么已知是一个正交矩阵那么已知三维欧优秀学习资料 欢迎下载 5、已知二次型)0(2332),(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换化为标准形23222152yyyf，求a的值 五、证明题 1、设
8、A，B为同级正交矩阵，且AB，证明：0AB 2、设A为半正定矩阵，且0A，证明：0AE 3、设n,21是欧氏空间 V 的一个基，是 V中的向量，证明 若njj,2,1,0),(，则=0 4、设 V 是一欧氏空间,0是 V 中一固定向量,试证明:(1)|(,)0,WxxxV是 V 的一个子空间;(2)dim1Wn.5、设 是 n 维欧氏空间 V 的一个单位向量，定义 ()=,试证明：（1）为线性变换；（2）为正交变换；（3）存在 V 的一个标准正交基，使得 关于这个基的矩阵具有形状 100010001。6、321,是三维欧氏空间V的一个标准正交基，试证：1.3213321232112231223
9、12231 也是V的一个标准正交基。7、,21n都是一个欧氏空间的向量,证明:如果与每一个nii,2,1,正交,那么0。则保持向量的内积不变度量矩阵是正定的正交矩阵的行列式等于欧氏空的向量构成的向量组叫正交向量组若矩阵为正交矩阵则设是维欧氏空间维欧氏空间同构的充要条件是那么已知是一个正交矩阵那么已知三维欧优秀学习资料 欢迎下载 8、设n,21是 n 维欧氏空间 V 中的一组向量，而),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111mmmmmm 证明：当且仅当0时m,21线性无关。则保持向量的内积不变度量矩阵是正定的正交矩阵的行列式等于欧氏空的向量构成的向量组叫正交向量组若矩阵为正交矩阵则设是维欧氏空间维欧氏空间同构的充要条件是那么已知是一个正交矩阵那么已知三维欧