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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载第九章 欧氏空间一、判定题1、1,2,n是 n 维欧氏空间的一组基,矩阵Aa ijn n,其中aiji,j,就 A 是正定矩阵； 阵；2、设 V 是一个欧氏空间,V ,并且,就与正交； 3、设 V 是一个欧氏空间,V ,并且 ,0 ,就,线性无关； 4、n 维 Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基（）5、如 T 是正交变换,就T 保持向量的内积不变（）6、度量矩阵是正定的（）7、正交矩阵的行列式等于1 （）8、欧氏空间 V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准
2、正交基的矩阵为实对称矩（）9、设 A 与 B 都是 n 阶正交矩阵,就AB 也是正交矩阵；10、在欧氏空间 V中,如向量与自身正交,就0. 11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组. 12、如矩阵 A 为正交矩阵,就AA1. 13、设是n 维欧氏空间V的正交变换,就在 V 的任意基下的矩阵是正交矩阵. 14、设V 1,V 2是 n 维欧氏空间 V 的两个正交子空间,且VV 1V 2,就VV 1V 2； 15、对称矩阵A 的任意两个特点向量都正交； 二、填空题1、在欧氏空间3 R 中,向量1,0, 1 ,0,1,0 ,那么 , _,_2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是_3、已知 A是一个
3、正交矩阵,那么A1_,A2_110,就向量 第 1 页,共 5 页 4、已知三维欧式空间V 中有一组基1,2,3,其度量矩阵为A12021323的长度为；003细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载5、已知 A 为 n 阶正交阵,且 |A|0,就 |A|= . 6 、 欧 氏 空 间 V 上 的 线 性 变 换 是 对 称 变 换 的 充 要 条 件 为 关 于 标 准 正 交 基 的 矩 阵为；7、实
4、对称矩阵的属于不同特点根的特点向量是彼此 的；8、设 X ,1,1 0 , 0 , Y ,1 0 , 0 1, ,就 X 与 Y 的夹角 . 19、如 A 为正交矩阵,就 A A；10、在n 维欧氏空间 V 中, n 级矩阵 A 是 V 的某个基的度量矩阵的充要条件是 . 三、挑选题1、如线性变换与是（）,就的象与核都是的不变子空间；）把标准正A 互逆的B .可交换的C .不等的D. 不行换的2、设V 是 n 维欧氏空间,那么V中的元素具有如下性质（）如,；如；如,11；如,0,| |；3、欧氏空间3 R 中的标准正交基是（）1,01;1,01;,1,0 0；1 1 ,2 2, ,1,1, ,
5、0 0 1 , , 2222221,1,1;1,1,1;0 0, 0,； ,11 1,;1,1,1;,1,11；3333334、设是欧氏空间 V 的线性变换,那么是正交变换的充分必要非充分条件是（保持非零向量的夹角；保持内积；保持向量的长度；交基映射为标准正交基；5、 A为 n 阶正交方阵,就A.A. 为可逆矩阵BB.秩A1C. A0D. ABD.A1 第 2 页,共 5 页 6、如两个 n 阶方阵A,BA是正交矩阵 ,就 AB 是 A. 对称矩阵.B.相像矩阵C.正交矩阵细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6、 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -7、以下说法正确选项 . 优秀学习资料欢迎下载A. 实对称矩阵A 的属于不同特点值的特点向量必正交; ; B. 实对称矩阵A 的属于相同特点值的特点向量必不正交A 的全部特点向量都正交; C. 实对称矩阵D. 以上都不对 . 8、nn1 维欧氏空间的标准正交基 .）；0. A. 不存在B.存在不唯独 ; C.存在且唯独;D. 不肯定存在 . a 11a 12a 1 n9、如Aa 21a22a2n是实正交阵,就以下说法不正确选项（an 1a n2a nnAT AAT A AEBA1Ca 112a 122a 1
7、n21Da 11a21a 12a22a 1na2n10、 如 A 是实正交阵,就以下说法不正确选项（）；AT AAT A AEBA1CAA1DA 的列向量组为单位正交向量组四、运算题1、把向量组12,1,0 ,22,0,1 扩充成3 R 中的一组标准正交基. R3 的一组标准正交基；2、设11,1,0,21,0,1,0,1,1是 R3 的一个基,用正交化方法求3、 设1,2,3为 V 的基,且线性变换A 在此基下的矩阵为111A111111（1）求 A 的特点值与特点向量；（2） A是否可以对角化？假如可以,求正交矩阵T使得1 T AT为对角形 第 3 页,共 5 页 - - - - - -
8、- - - 4、已知 R 3 的一组向量 1=1,0,0, 2=1,1,0 , 3=1,1,1 ；（1）证明 1, 2 , 3构成 R 3 的一个基；（2）对其施行施密特正交化方法求出 R 3 的一个标准正交基；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5 、已 知 二 次 型fx 1,x2,x 32优秀学习资料x2欢迎下载3a0 通 过 正 交 变 换 化 为 标 准 形2 x 132 x 232ax2x3f2 y 12y2 25y2 3,求 a 的值五、证明题1
9、、设 A, B 为同级正交矩阵,且 A B ,证明：A B 02、设 A为半正定矩阵,且 A 0,证明：A E 03、设 1 , 2 , , n 是欧氏空间 V 的一个基,是 V 中的向量,证明 如 , j 0 , j ,1 2 , , n,就 =0 4、设 V 是一欧氏空间 , 0 是 V 中一固定向量 ,试证明 : 1 W x | , 0, x V 是 V 的一个子空间 ; 2 dim W n 1 . 5、设 是 n 维欧氏空间 V 的一个单位向量,定义 = ,试证明：（1） 为线性变换；（2） 为正交变换；（3）存在 V 的一个标准正交基,使得100关于这个基的矩阵具有外形6、1,2,3
10、是三维欧氏空间010；001V 的一个标准正交基,试证：1.112122332121223331122233也是 V 的一个标准正交基；7、1,2,n,都是一个欧氏空间的向量,证明 :假如与每一个i,i,12 ,n正交 ,那么0 ；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载1,11,21,m8、设1,2,n是 n 维欧氏空间V 中的一组向量, 而2,12,22,m 第 5 页,共 5 页 证明：当且仅当0 时1,2,m线性无关；m,1m,2m,m细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -