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1、 和差化积和积化和差公式 正弦、余弦的和差化积 2cos2sin2sinsin 2sin2cos2sinsin 2cos2cos2coscos 2sin2sin2coscos【注意右式前的负号】证明过程 sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2的证明过程 sin(+)=sin cos+cos sin，sin(-)=sin cos-cos sin，将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(+)+sin(-)=2sin cos，设+=，-=那么2，2 把，的值代入，即得 sin+sin=2sin2cos2 正切和差化积 tantan=coscos)sin(cotcot=sinsin)si
2、n(tan+cot=sincos)cos(tan-cot=sincos)cos(证明：左边=tantan=cossincossin =coscossincoscossin =coscos)sin(=右边 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 记忆口诀（正弦余弦）正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 生动的口诀：帅+帅=帅哥 帅-帅=哥帅 咕+咕=咕咕 哥-哥=负嫂嫂 积化和差公式 2coscossinsin（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）或写作：2coscossinsin（注意：此
3、时公式前有负号）2coscoscoscos 2sinsincossin 2sinsinsincos 证明 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：sinsin221sinsin 2sinsincoscossinsincoscos coscos21 其他的 3 个式子也是相同的证明方法。结果除以 2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin 和 cos 的值域都是-1,1，其和差的值域应该是-2,2，而积的值域确是-1,1，因此除以 2 是必须的。也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系
4、数 2，如：cos(-)-cos(+)=1/2(coscos+sinsin)-(coscos-sinsin)=2sinsin 故最后需要除以 2。使用同名三角函数的和差 无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。异名必须用诱导公式化为同名若是高次函数必须用降幂公式降为一次记的余弦前面注意此时公式前有负号或写作证明积化和差恒等式可以通过通过三角函数的值域判断和的值域都是其和差的值域应该是而积的值域 使用哪种三角函数的和差 仍然要
5、根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。是和还是差？这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为：“小角”以 cos 的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果 的形式是 cos，那么若把 替换为-，结果应当是一样的，也就是含+和-的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号 这是一个特殊情况，完全可以死记下来。当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如0,内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以 cos(+)不大于cos(-)。但是这时对应的 和 在0,的范围内，其正弦的乘积应大于等于 0，所以要么反过来把 cos(-)放到 cos(+)前面，要么就在式子的最前面加上负号。异名必须用诱导公式化为同名若是高次函数必须用降幂公式降为一次记的余弦前面注意此时公式前有负号或写作证明积化和差恒等式可以通过通过三角函数的值域判断和的值域都是其和差的值域应该是而积的值域