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1、-三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)-第 4 页和差化积和积化和差公式正弦、余弦的和差化积 【注意右式前的负号】 证明过程 sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2的证明过程 sin(+)=sin cos +cos sin ， sin(-)=sin cos -cos sin ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(+)+sin(-)=2sin cos ， 设 +=，-= 那么 ， 把，的值代入，即得 sin +sin =2sincos正切和差化积tantan= cotcot= tan+cot= tan-cot=证明：左边=tantan= =右边 在应用和差化
2、积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 记忆口诀（正弦余弦）正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 生动的口诀： 帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅 咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂 积化和差公式 （注意：此时差的余弦在和的余弦前面） 或写作： （注意：此时公式前有负号） 证明 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明： 其他的3个式子也是相同的证明方法。 结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是-1,1，其和差的
3、值域应该是-2,2，而积的值域确是-1,1，因此除以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如： cos(-)-cos(+) =1/2(coscos+sinsin)-(coscos-sinsin) =2sinsin 故最后需要除以2。 使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。 使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中
4、含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。 是和还是差？这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为：“小角”以cos的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。 由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果的形式是cos，那么若把替换为-，结果应当是一样的，也就是含+和-的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。 正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。 当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如0,内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(+)不大于cos(-)。但是这时对应的和在0,的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(-)放到cos(+)前面，要么就在式子的最前面加上负号。