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1、优秀学习资料 欢迎下载 得分 得分 复变函数与积分变换 期末试题（A）吉林大学南岭校区 20XX 年 12 月 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1231i的幅角是（）；2.)1(iLn的主值是（）；3.211)(zzf，)0()5(f（）；40z是 4sinzzz 的（）极点；5 zzf1)(，),(Rezfs（）；二选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（）；（A）yxiuuzf)(；（B）yxiuuzf)(；（C）yxivuzf)(；（D）xyivuzf)(.2C是正向圆周3z，如果
2、函数)(zf（），则0d)(Czzf（A）23z；（B）2)1(3zz；（C）2)2()1(3zz；（D）2)2(3z.3如果级数 1nnnzc在2z点收敛，则级数在 优秀学习资料 欢迎下载（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；（C）iz 1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散 下列结论正确的是()（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B)如果)(zf在 C所围成的区域内解析，则0)(Cdzzf（C）如果0)(Cdzzf，则函数)(zf在 C所围成的区域内一定解析；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(y
3、xv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（）(A)的可去奇点；为z1sin(B)的本性奇点；为zsin (C);1sin1的孤立奇点为z(D).sin1的孤立奇点为z 三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分）（1）设)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，求.,dcba 得分 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载（2）计算Czzzzed)1(2其中 C是正向圆周：2z；（3）计算33
4、42215d)2()1(zzzzz 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 （4）函数3232)(sin)3()2)(1()(zzzzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 四、（本题 14 分
5、）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1 得分 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题 1)0()0()(4)(5)(yyexyxyxyx 六、（本题 6 分）求)()(0tetf的傅立叶变换，并由此证明：tedt2022cos 得分 得分 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点
6、在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 复变函数与积分变换 期末试题（A）答案及评分标准 一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1231i的幅角是（2,1,0,23kk）；2.)1(iLn的主值是（i432ln21 ）；3.211)(zzf，)0()5(f（0 ），40z是 4sinzzz 的（一级 ）极点；5 zzf1)(，),(Rezfs（-1）；二选择题（每题 4 分，共 24 分）1解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（B ）；（A）yxiuuzf)(；（B）
7、yxiuuzf)(；（C）yxivuzf)(；（D）xyivuzf)(.2C是正向圆周3z，如果函数)(zf（D ），则0d)(Czzf（A）23z；（B）2)1(3zz；（C）2)2()1(3zz；（D）2)2(3z.3如果级数 1nnnzc在2z点收敛，则级数在（C）（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；（C）iz 1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散 下列结论正确的是(B )（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习
8、资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载(B)如果)(zf在 C所围成的区域内解析，则0)(Cdzzf（C）如果0)(Cdzzf，则函数)(zf在 C所围成的区域内一定解析；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（D ）的可去奇点；为、zA1sin)(的本性奇点；为、zBsin)(.sin)(的孤立奇点为、zC11的孤立奇点；为、zDsin)(1 三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共 40 分）（1）设)()(2222ydxycxibyaxyxzf是 解 析
9、函 数，求.,dcba 解：因为)(zf解析，由 C-R条件 yvxu xvyu ydxayx22,22dycxbyax,2,2 da，,2,2dbca,1,1bc 给出 C-R条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。（2）计算Czzzzed)1(2其中 C是正向圆周：解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数zzezfz2)1()(在复平面内只有两个奇点1,021 zz，分别以21,zz为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆21,cc且 位 于c内函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条
10、件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 21d)1(d)1(d)1(222CzCzCzzzzezzzezzze izeizeizzzz2)1(2)(2021 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3）3342215d)2()1(zzzzz 解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：3z内，由留数定理),(Re2d)2()1(3342215zfsizzzzz -（5 分）1)1(Re22zzfsi -（8 分）234221521)1(2()11()1(1)1(zzz
11、zzzf 0,z)12()1(11)1(34222有唯一的孤立奇点zzzzzf 1)12()1(11)1(0,1)1(Re34220202limlimzzzzzfzzfszz 33422152d)2()1(zizzzz -（10 分）（4）函数2332)3()(sin)2)(1()(zzzzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.解：，的奇点为,3,2,1,0,)(sin)3()2)(1()(3232kkzzzzzzzf（1）的三级零点，）为（032103zkkzsin,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,zfzzfzz210（3）的一级极点，为)(3zfz
12、 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载（4）的三级极点；，为)(4,3,2zfz（5）的非孤立奇点。为)(zf 备注：给出全部奇点给5 分，其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1 解：（1）当110z)11(1)1(1)1(1)(2zzzzzf 而)1()1()11(10nnnzz 01)1()1(nnnzn 021)1()1()(
13、nnnznzf -6分（2）当10z)1(1)1(1)(22zzzzzf=021nnzz 02nnz -10分（3）当z1)11(1)1(1)(32zzzzzf 03031)1(1)(nnnnzzzzf -14分 每步可以酌情给分。五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题：函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 1)0(1)0()(4)(5)(yyexyxyxyx 解：对)(xy的Laplace 变换
14、记做)(sL，依据Laplace 变换性质有 11)(4)1)(51)(2ssLssLssLs （5 分）整理得 )4(151)1(65)1(101 11)4(151)1(61)1(101 11)4)(1)(1(1)(ssssssssssssL （7 分）xxxeeexy415165101)(（10 分）六、（6 分）求)()(0tetf的傅立叶变换，并由此证明：tedt2022cos 解：)()(0 dteeFtti -3 分)()(000 dteedteeFttitti)()()(000 dtedtetiti)()()(000 ieietiti)()(021122 iiF -4 分)()(
15、)(021 dFetfti-5分)(022122 deti 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载)()sin(cos0122 dtit)(sincos0222022 dtidt)(cos)(02022 dttf，-6分 tedt2022cos 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的
16、奇优秀学习资料 欢迎下载 复变函数与积分变换 期末试题（B）吉林大学南岭校区 20XX 年 12 月 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）121i的幅角是（）；2.)(iLn的主值是（）；3.a=（），)2(2)(2222yxyaxiyxyxzf在复平面内处处解析 40z是 3sinzzz 的（）极点；5 zzf1)(，),(Rezfs（）；二选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（）；（A）xyivuzf)(；（B）yxiuuzf)(；（C）yxivuzf)(；（D）yxiuuzf)(.2
17、C是正向圆周2z，如果函数)(zf（），则0d)(Czzf（A）13z；（B）13zz；（C）2)1(3zz；（D）2)1(3z.3如果级数 1nnnzc在iz2点收敛，则级数在 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；（C）iz 1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散 下列结论正确的是()（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B)如果0)(Cdzzf,其
18、中 C复平面内正向封闭曲线,则)(zf在 C所围成的区域内一定解析；（C）函数)(zf在0z点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为0zz 的幂级数，而且展开式是唯一的；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（）（A）、l n z是复平面上的多值函数；cosz)B(、是无界函数；zsin)C(、是复平面上的有界函数；（D）、ze是周期函数 三按要求完成下列各题（每小题 8 分，共计 50 分）（1）设)(),()(ygxiyxuzf2是解析函数，且00)(f，求)(),(),(
19、zfyxuyg （2）计算Czizzzd)(1(22其中 C是正向圆周2z；得分 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 （3）计算Czzezzd)1(12，其中 C是正向圆周2z；（4）利用留数计算Czzzd)2)(1(12其中 C是正向圆周3z；函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类
20、型的奇优秀学习资料 欢迎下载 （5）函数33221)(sin)()(zzzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 12 分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1 得分 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题 1)0()0()(4)(5)(yyexyxyxyx 得分
21、 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 六、（本题 8 分）求)()(0tetf的傅立叶变换，并由此证明：tedt2022cos 得分 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 得分 得分 复变函数与积分变换 期末试题简答及评分标准（B）吉林大学南岭校区 20
22、XX 年 12 月 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）121 i的幅角是（,2,10,24kk ）；2.)1(iLn的主值是（42ln21i ）；3.211)(zzf，)0()7(f（0 ）；43sin)(zzzzf，0),(Rezfs（0 ）；5 21)(zzf，),(Rezfs（0 ）；二选择题（每小题 3 分，共计 15 分）122yx 是解析函数),(),()(yxivyxuzf的实部，则（A ）；（A）)(2)(iyxzf；（B）)(2)(iyxzf；（C）)(2)(ixyzf；（D）)(2)(ixyzf.2C是正向圆周2z，如果函数
23、)(zf（A ），则0d)(Czzf（A）11z；（B）zzsin；（C）2)3(1z；（D）2)1(1z.3如果级数 1nnnzc在iz2点收敛，则级数在(C )（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载（C）iz 1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散 下列结论正确的是(C )（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B)如果0)(Cdzzf,其中 C复平面
24、内正向封闭曲线,则)(zf在 C所围成的区域内一定解析；（C）函数)(zf在0z点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为0zz 的幂级数，而且展开式是唯一的；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（C ）（A）lnz是复平面上的多值函数；（B）cosz是无界函数；（C）zsin 是复平面上的有界函数；（D）ze是周期函数 三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分）（1）求dcba,使)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，解：因为)(zf解析，由
25、 C-R条件 yvxu xvyu ydxayx22,22dycxbyax,2,2 da，,2,2dbca,1,1bc 给出 C-R条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。（2）Czzzd)1(12其中 C是正向圆周2z；解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 得分 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 因为函数zzzf2)1(1)(在复平面内只有两个奇点1,0
26、21 zz，分别以21,zz为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆21,cc且 位 于c内21d)1(1d)1(1d)1(1222CCCzzzzzzzzz 0)1(12)1(2021zzzizi（3）计算Czzzezd)1(13，其中 C是正向圆周2z；解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：2z内，由留数定理 122),(Re2(z)diczfsizfz -（5 分）z1)1111)(!31!2111(11)1(323221213zzzzzzzzezzezzz )1111)(!41!31!21(3222zzzzzzz)!31!2111(1c38 izfz238(z)d2
27、 （4）函数332)(sin)2)(1()(zzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.，的奇点为,3,2,1,0,)(kkzzf 的三级零点，）为（032103zkkzsin,函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 的可去奇点，是的二级极点，为)(2)(,1zfzzfz 的三级极点；，为)(4,3,2,0zfz 的非孤立奇点。为)(zf 给出全部奇点给5 分。其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函
28、数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1（1）110z，（2）10z，（3）z1 解：（1）当110z)1(1(1)1(1)1(1)(2zzzzzf 而)1()1(1(10nnzz01)1(nnzn 02)1()(nnznzf -6分（2）当10z)1(1)(2zzzf=02)1(1nnnzz 02)1(nnz -10分（3）当z1)11(1)1(1)(32zzzzzf 03031)1()1(1)(nnnnnzzzzf -14分 得分 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和
29、函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题 1)0(,0)0()(3)(2)(yyexyxyxyx 解：对)(xy的Laplace 变换记做)(sL，依据Laplace 变换性质有 11)(3)(21)(2ssLssLsLs （5 分）整理得 )4)(1)(1(2)(sssssL （7 分）xxxeeexy3818341)(（10 分）六、（本题 6 分）求1101)(tttf的傅立叶变换，并由此证明：111042cossin0tttdt 解：)()(dttfeFti
30、dteFti11)(-2分 sin2 11iitieeiie-4分 )(21)(dFetfti-5分 sin1deti 得分 得分 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇优秀学习资料 欢迎下载 得分得分 )sin(cossin1dtit sinsin cossin20dtidt)(2cossin0tfdt=111042ttt -6分 函数则如果级数在点收敛则级数在优秀学习资料欢迎下载点条件收敛点在区域内解析的充分必要条件是在该区域内均为调和函数下列结论不正向圆周计算优秀学习资料欢迎下载函数在扩充复平面上有什么类型的奇