《2023年《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及超详细解析答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及超详细解析答案.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、优秀学习资料 欢迎下载 得分 得分 复变函数与积分变换 期末试题（A）一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1231i的幅角是（）；2.)1(iLn的主值是（）；3.211)(zzf，)0()5(f（）；40z是 4sinzzz 的（）极点；5 zzf1)(，),(Rezfs（）；二选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（）；（A）yxiuuzf)(；（B）yxiuuzf)(；（C）yxivuzf)(；（D）xyivuzf)(.2C是正向圆周3z，如果函数)(zf（），则0d)(Czzf（A）23z；（B）2)1(3zz；（C）2)2
2、()1(3zz；（D）2)2(3z.3如果级数 1nnnzc在2z点收敛，则级数在（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；（C）iz 1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散 下列结论正确的是()（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；优秀学习资料 欢迎下载(B)如果)(zf在 C所围成的区域内解析，则0)(Cdzzf（C）如果0)(Cdzzf，则函数)(zf在 C所围成的区域内一定解析；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（）(A)的可去奇点；为z1sin(B
3、)的本性奇点；为zsin (C);1sin1的孤立奇点为z(D).sin1的孤立奇点为z 三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分）（1）设)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，求.,dcba （2）计算Czzzzed)1(2其中 C是正向圆周：2z；得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 （3）计算3342215d)2()1(zzzzz 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函
4、数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 （4）函数3232)(sin)3()2)(1()(zzzzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1 得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学
5、习资料 欢迎下载 五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题 1)0()0()(4)(5)(yyexyxyxyx 得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 六、（本题 6 分）求)()(0tetf的傅立叶变换，并由此证明：tedt2022cos 复变函数与积分变换 期末试题（A）答案及评分标准 一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1231i的幅角是（2,1,0,23kk）；2.)1(iLn的主
6、值是得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载（i432ln21 ）；3.211)(zzf，)0()5(f（0 ），40z是 4sinzzz 的（一级 ）极点；5 zzf1)(，),(Rezfs（-1）；二选择题（每题 3 分，共 15 分）1-5 B D C B D 三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共 40 分）（1）设)()(2222ydxycxibyaxyxzf是 解 析 函 数，求.,dcba 解：因为)(z
7、f解析，由 C-R条件 yvxu xvyu ydxayx22,22dycxbyax,2,2 da，,2,2dbca,1,1bc 给出 C-R条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。（2）计算Czzzzed)1(2其中 C是正向圆周：解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数zzezfz2)1()(在复平面内只有两个奇点1,021 zz，分别以21,zz为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆21,cc且 位 于c内21d)1(d)1(d)1(222CzCzCzzzzezzzezzze izeizeizzz
8、z2)1(2)(2021 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载（3）3342215d)2()1(zzzzz 解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：3z内，由留数定理),(Re2d)2()1(3342215zfsizzzzz -（5 分）1)1(Re22zzfsi -（8 分）234221521)1(2()11()1(1)1(zzzzzzf 0,z)12()1(11)1(
9、34222有唯一的孤立奇点zzzzzf 1)12()1(11)1(0,1)1(Re34220202limlimzzzzzfzzfszz 33422152d)2()1(zizzzz -（10 分）（4）函数2332)3()(sin)2)(1()(zzzzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.解：，的奇点为,3,2,1,0,)(sin)3()2)(1()(3232kkzzzzzzzf（1）的三级零点，）为（032103zkkzsin,（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,zfzzfzz210（3）的一级极点，为)(3zfz （4）的三级极点；，为)(4,3,2z
10、fz（5）的非孤立奇点。为)(zf 备注：给出全部奇点给5 分，其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载（1）110z，（2）10z，（3）z1 解：（1）当110z)11(1)1(1)1(1)(2zzzzzf 而)1()1()11(10nnnzz 01)1()1(nnnzn 021)1()1()(nnnznzf -6分（2）当10z)1
11、(1)1(1)(22zzzzzf=021nnzz 02nnz -10分（3）当z1)11(1)1(1)(32zzzzzf 03031)1(1)(nnnnzzzzf -14分 每步可以酌情给分。五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题：1)0(1)0()(4)(5)(yyexyxyxyx 解：对)(xy的Laplace 变换记做)(sL，依据Laplace 变换性质有 11)(4)1)(51)(2ssLssLssLs （5 分）整理得 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类
12、型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 )4(151)1(65)1(101 11)4(151)1(61)1(101 11)4)(1)(1(1)(ssssssssssssL （7 分）xxxeeexy415165101)(（10 分）六、（6 分）求)()(0tetf的傅立叶变换，并由此证明：tedt2022cos 解：)()(0 dteeFtti -3 分)()(000 dteedteeFttitti)()()(000 dtedtetiti)()()(000 ieietiti)()(021122 iiF -4 分)()()(021 dFetfti-5分)(02
13、2122 deti)()sin(cos0122 dtit)(sincos0222022 dtidt)(cos)(02022 dttf，-6分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 tedt2022cos 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 复变函数与积分
14、变换 期末试题（B)一填空题（每小题 3 分，共计 15 分）二121i的幅角是（）；2.)(iLn的主值是（）；3.a=（），)2(2)(2222yxyaxiyxyxzf在 复 平 面 内 处 处 解析40z是 3sinzzz 的（）极点；5 zzf1)(，),(Rezfs（）；二选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（）；（A）xyivuzf)(；（B）yxiuuzf)(；（C）yxivuzf)(；（D）yxiuuzf)(.2C是正向圆周2z，如果函数)(zf（），则0d)(Czzf（A）13z；（B）13zz；（C）2)1(3zz；
15、（D）2)1(3z.3如果级数 1nnnzc在iz2点收敛，则级数在（A）2z点条件收敛；（B）iz2点绝对收敛；（C）iz 1点绝对收敛；（D）iz21点一定发散 下列结论正确的是()（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载(B)如果0)(Cdzzf,其中 C复平面内正向封闭曲线,则)(zf在 C所围成的区域内一定解析；（C）函数)(zf在0z点解析的充分必要条件
16、是它在该点的邻域内一定可以展开成为0zz 的幂级数，而且展开式是唯一的；（D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（）（A）、lnz是复平面上的多值函数；cosz)B(、是无界函数；zsin)C(、是复平面上的有界函数；（D）、ze是周期函数 三按要求完成下列各题（每小题 8 分，共计 50 分）（1）设)(),()(ygxiyxuzf2是解析函数，且00)(f，求)(),(),(zfyxuyg （2）计算Czizzzd)(1(22其中 C是正向圆周2z；得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论
17、正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 （3）计算Czzezzd)1(12，其中 C是正向圆周2z；（4）利用留数计算Czzzd)2)(1(12其中 C是正向圆周3z；定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 （5）函数33221)(sin)()(zzzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如
18、果有极点，请指出它的级.四、（本题 12 分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1 得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题 1)0()0()(4)(5)(yyexyxyxyx 得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的
19、孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 六、（本题 8 分）求)()(0tetf的傅立叶变换，并由此证明：tedt2022cos 得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 得分 得分 复变函数与积分变换 期末试题简答及评分标准（B）一 填空题（每小题 3 分，共计 15 分）121 i的幅角是（,2,10,24kk ）；2.)1(iLn的主值是（42ln21i ）；3
20、.211)(zzf，)0()7(f（0 ）；43sin)(zzzzf，0),(Rezfs（0 ）；5 21)(zzf，),(Rezfs（0 ）；二选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1-5 A A C C C 三按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分）（1）求dcba,使)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，解：因为)(zf解析，由 C-R条件 yvxu xvyu ydxayx22,22dycxbyax,2,2 da，,2,2dbca,1,1bc 给出 C-R条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。（2）Czzzd)1(12其中 C是正向圆周2
21、z；解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 仅给出用前者计算过程 因为函数zzzf2)1(1)(在复平面内只有两个奇点1,021 zz，分别以21,zz为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆21,cc且 位 于c内21d)1(1d)1(1d)1(1222CCCzzzzzzzzz 0)1(12)1(2021zzzizi（3）计算Cz
22、zzezd)1(13，其中 C是正向圆周2z；解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：2z内，由留数定理 122),(Re2(z)diczfsizfz -（5 分）z1)1111)(!31!2111(11)1(323221213zzzzzzzzezzezzz )1111)(!41!31!21(3222zzzzzzz)!31!2111(1c38 izfz238(z)d2 （4）函数332)(sin)2)(1()(zzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.，的奇点为,3,2,1,0,)(kkzzf 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下
23、列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 的三级零点，）为（032103zkkzsin,的可去奇点，是的二级极点，为)(2)(,1zfzzfz 的三级极点；，为)(4,3,2,0zfz 的非孤立奇点。为)(zf 给出全部奇点给5 分。其他酌情给分。四、（本题 14 分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110z，（2）10z，（3）z1（1）110z，（2）10z，（3）z1 解：（1）当110z)1(1(1)1(1)1(1)(2zzzzzf 而)1()1(1(10nn
24、zz01)1(nnzn 02)1()(nnznzf -6分（2）当10z)1(1)(2zzzf=02)1(1nnnzz 02)1(nnz -10分（3）当z1)11(1)1(1)(32zzzzzf 得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 03031)1()1(1)(nnnnnzzzzf -14分 五（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题 1)0(,0)0()(3)(2)(yyexyxyxyx 解
25、：对)(xy的Laplace 变换记做)(sL，依据Laplace 变换性质有 11)(3)(21)(2ssLssLsLs （5 分）整理得 )4)(1)(1(2)(sssssL （7 分）xxxeeexy3818341)(（10 分）六、（本题 6 分）求1101)(tttf的傅立叶变换，并由此证明：111042cossin0tttdt 解：)()(dttfeFti dteFti11)(-2分 sin2 11iitieeiie-4分 得分 得分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在优秀学习资料 欢迎下载 得分得分 )(21)(dFetfti-5分 sin1deti )sin(cossin1dtit sinsin cossin20dtidt)(2cossin0tfdt=111042ttt -6分 定发散点条件收敛点绝对收敛下列结论正确的是如果函数在点可导则在和函数下列结论不正确的是为为的可去奇点为的本性奇点的孤立奇点为面上有什么类型的奇点如果有极点请指出它的级得分四本题分将函数在