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1、2019最新考研数学模拟试题（含答案）学 校：姓名:班 级：考 号：题号总分得分一、解答题1 .某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状（如 1 2 题图所示），设截面积为卬层，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省？解：由题设知1 2 题图截面的周长l(x)=x +2 y +；2a 1 1n-x-x-XTT+一x 4 2la 兀XJ t=尤 d-1-X,x 4、i 兀 2 a/(x)=l +-4 x令/（x）=0得唯一驻点x =即为最小值点.即当x察时，建造材料最省.2 .计算下列对坐标的曲线积分：1 什 河 出，其中心是抛物线尸2 上从点（0。到点4）的一段弧；邛 氏 其 中 L 为圆
2、周（尸）2+9=/（0）及 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；d r +x d y ,其中L 为圆周x=Rcost,y=Rs i n f 上对应f 从。到的一段弧；（4）（F）（x+.v）d：-（）d y,其中L为圆周1+尸=，（按逆时针方向绕行）；九 x+y（5），厂 V d r +z d y-）也，其 中 为曲线x=k9,y=a cos9f z=a sin0上 对 应。从 0至 lj 兀的一段弧；(6)J/d x +3即2力，+(-号，)也，其中是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；d x-d y +)也，其 中 为有向闭拆线ABC A,这 里A,B,
3、C依 次 为 点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);(8)(x2-2xy)dx+(y2-2xy)dy,其中L是抛物线产？上 从 点 到 点(1,1)的段弧.解：(1)L：产c2,x从0变到2,2J,(f-力出=仁_ 力dx=-x3-x53 55 6I?(2)如图 U T 所示，L=LI+L2.其中心的参数方程为0 x =a +a cost 0 f 2兀.故$。+)，冲-(：-y)dy/x2+y 2=j jn(c o s r +n s i n f)(-s i n r)-(a c o s f -a s i n f)a c o s f d l=一2兀(5)X2CLV+zdy-ydz=.+
4、s i n s i n )c s c s )d.=(k302-a2)d0=一 而l_ 3=4-3 一 2兀3x=3t(6)直线厂的参数方程是,y =2 r t从1-0.故|x3d x +3z y2d y +(-x2y)d z=1 2 7/3+3f 4r 2 +(-9 r 2 f)d f=J：8 7/d f1。=8 7-z44 ,_ 8 7一 4r=丽+芯+N(如图1 1-2所示)图 1 1-2 y =l-x,x从 0 1z =0导-d y +ydz=fl-H)=-2.B C:,z从 0 1卜=1 -zJ碇d x -dy+ydz=-(-1)+(1-z)d z=J：(2-z)d z2 z-z2_
5、232f v =0C 4:,x 从 OTIz=-xJ _ d x-d y 4-y d z =l-0 4-0 6(r =l .故 d r-d y +y d z=(L +_+_|d x-d y +y d z J 4/?JR C JC A /-=(-2)+1 =V 7 2 2 (一 2 9)c t v +(y 2-2 孙)d y=卜2 _ 2 .巧+(/_ 2*./心 口=j (x2-2 x3+2x5-4 x4)d x_ 1 4-L53.试求过点(3,8)且与曲线y =/相切的直线方程.解：曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率为2 =2 x.因此过(3,8)且与曲线相切的直线方程y8 =2x(x 3
6、)为：y 8 =2 x(x 3),且 与 曲 线 的 交 点 可 由 方 程 组 解 得，y=x为(2,4),(4,1 6)即为切点.故切线方程为：y-4 =4(x-2),y-1 6=8(x-4).4-若飞）=1，片心C8 S 求/2解：2 x +15.已 知 尸 了 的 导 数/（，）=心且/（一 1）=1,求 y =/（x）的反函数x =e(y)的导数。(1).解：:yu l 时 x =-l,故(y)=17 w(1 +x +x2)22x+l从而“J )+(一 1)吓=一12x(-1)+16.求下列隐函数的导数：(1)d +y5-3axy=0；x =y In(肛)；(3)xev-yev=10
7、；(4)ln(x2+y2)=2arctan；x xy=ex+y解：两边求导，得：3x2+3,2-yr-3ay-3axyr=02解 得”号 三y-a x(2)两边求导,得:1 =V In(盯)+y (y+孙。孙解 得yx(ln%+ln y+1)两边求导，得:ey+xey-yr+yrex+yex=0解得eJ+yexxey+eA，两边求导，得:-(2x+2yy)=2-1+(2)2X解得 =土土.x-y 两 边 求 导，得：+砂 =整(1 +)/)e V解 得y=-x-e yd2 v7.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数T：dr Z?2x2+a2y2=a2b2；y=l+x e(3)y=tan(x+
8、y)；(4)y1+21n y=x4.解：两 边 对x求导，得2b2x+2a2yy=0,b2x n y=-=a y 两 边 对 X求导，得yr=ev+xeyyrb2 y-xy2 2_y_a2y3，e-、=y =-n y2-y“evy(2-y)-ev(-y)e2 v(3-j)(2-4(2 y)3 两 边 对 X求导，得yf=s ec2(x +y)(l+/)=/=-l-c ot2(x+y)=yn=2 c ot(x +y)c ot(x +y)-c s c(x +y)(1 +yf)=y =-2 c ot3(x +y)-es c2(x +y).(4)两边对X求导，得22?y+_.y =4x3y，2 y x
9、3=y =r1+V=y._ (2 力 3 +2 y.3/)(1 +V)2 y?.2 y y(1 +7)22 x2y 3(l+/)2+2 x4(l-y)(1+/)38.求函数y =3号 一 的 2 阶麦克劳林展开式.解:11X2 =件+&=?1+%+争 .+工2 1 2+%以-+-(2 )！(2 n+l)!2+1 -X H-2!2 2n+l-Ox十 +(2)!(2/+1)!=-2 +2-+-+22 2!2 ex _ -0 xA v v-+-X(2 n)!(2 +l)!,2 +l 1 +工+.+2!2”Ox-Ox(2 )！2(2+1)!(0 6l).60.设/(x)在 的某区间上，存在有界的二阶导
10、函数.证明：当x在/处的增量很小时，用增量比近似一阶导数/(%)的近似公式/(乙)+打)一/(入0)h其绝对误差的量级为0()，即不超过的常数倍.证明：/(/+)在X。处泰勒展开式为/(%+)=f(x0)+找x)h+)“(?+(0 e (/=(；劭)h,又 知|一(不故卜。;如卜?同，即/(%)a 的绝对误差为0(0 .9.一动点沿抛物线产f运动，它沿x轴方向的分速度为3 c m sL求动点在点(2,4)时,沿y轴的分速度.解：出=出 生=2X.3=6X.dz dx dr当 x=2 时，=6x 2 =1 2 (c m s-1).dr1 0 .求曲线y=ln(s ec x)在点(x,y)处的曲率
11、及曲率半径.解：y=tan x,y =s ec2 x故|/1 _|s ec2x|(l+y 2严 一 (1 +tai?%严|c os x|H=：=|s ec x|.K1 1 .如 果 尸(x)在 ，切上连续，在(a,b)内 可 导 且f(。)之0,/。)0,证 明：/0)f(a).证明：因 为/(X)在口，句上连续，在(。，b)内可导，故在 a,可上应用拉格朗日定理,则e(a,x),(a x0,x a于是 r(x)f(a)0,故有/(b)f(a)1 2 .设/(x)在 0,2 a上连续，且/(0)=/(2 a),证明：方程/(x)=/(x+a)在 0,a内至少有一根.证：令F(x)=/(x)-/
12、(x +a),由/(x)在 0,2 a上连续知，尸(x)在 0,a上连续，且F(0)=/(0)-/(),F(a)=/()-/(2 a)=/()-/(0)若/(0)=/()=/(2 a),则 x =0,x =a 都是方程/(x)=/(x+a)的根，若/(0)/(幻，则R(0)/(。)0,由零点定理知，至少mqe(O,a),使F(g)=O,即/=/C +a),即。是方程/(x)=/a+a)的根,综上所述，方程/(x)=/(x+a)在。内至少有一根.I兀13.试 问a为何值时，函数/(x)=asinx+sin3x在x=处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.TT解：./U)为可导函数，故 在
13、处 取 得 极 值，必有八 号=s os3x)=0,得 a=2.x=-n3又=(-2 sin x-3 sin 3x)=A/3 O%+%_ X TOy(i+幻 +%+%+i 3j i+4+123补充定义/(O)=；,可使函数在x=O处连续.(2),/lim f(x)=lim-=lim =2.X TO X TO%.r 0%补充定义/(0)=2,可使函数在x=0处连续.(3)limsinxsin=0 s o x补充定义/(O)=0,可使函数在x=0处连续.(4)/lim/(x)=lim(l+x)r=ex-0 K TO补充定义/(0)=e,可使函数在户0处连续.15.在边长为a的一块正方形铁皮的四个角
14、上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？解：设小正方形边长为X时方盒的容积最大.V-（a-2x）2-x=4 x3-4 o r2+a2xV=2x2-8 a x+a2令V =0得驻点光=（不合题意，舍去），x=-.2 6即小正方形边长为-时方盒容积最大.616.试证明：曲线y =x-1%2+1有三个拐点位于同一直线上.证明:x+2 x+1+1尸y=“2(x+l)(x-2-G)(x-2 +6)=令 y =0,得x=-l,x=2+=2-当xe时，y 0；当 xe(2-V J,2 +G)时 y 0,因此，曲线有三个拐点(一1,-1),(2-6,土
15、走),(2 +6,士).4 4因此三个拐点在一条直线上.1 -1-1因为1 2-V 3 土也4=01 2+百士立417.设 邓x）在 户xo的某邻域内具有三阶连续导数，如 果/（%）=0,/（%）=0,而/w（xo）*O,试问户xo是否为极值点?为什么？又（毛,/（X。）是否为拐点？为什么？答：因/（%）=/（/）=0，且/”（尤0）7 0,则 z 不是极值点.又在U（%份）中，f（x）=fx0）+（x-x0）r）=（x-x0）r（7）.故 尸（X）在 X。左侧与尸（X。）异号，在/右侧与/”（飞）同号，故/（X）在 E左、右两侧凹凸性不同，即（/,/、（%）是拐点.18.计算下列积分（为正整
16、数）：(1)VT7解：令x=sin f,dx=c o sd，当 x=0 时 r=0,当 x=l 时 t=4,21点产”=cost7t加 d r由第四章第五节例8 知n-nn-n-3n-2n-3n-234451 7 12 2,23 为偶数,为奇数.n解:71f4 t an2/J x dr.Jot an|J t an2(-)xsec2xdx-_ _ _72 n-l Tng n f t ar x兀1由 递 推 公 式/2 n-l可得 In (1)?,(1-1-+-).4 3 5 2 n-l19.讨论下列广义积分的敛散性:/心上 x(l n x)A，l n(l n x).=8,k=l解:原 式=需1i
17、一 攵(1门 尸 =8,kl故该广义积分当%1 时收敛；4时发散.仆、a ：z,、(2)J T(ba).Ja(b-x)解：原式二-lim/(b-x)kAb-x)=T0+Ja占照 噌 发 散,=-k,k-lim ln（Z?-x）|发 散,k=1综上所述，当左1时，该广义积分收敛，否则发散.20.有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和 6 m,高 为 2 0 m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力.解：如图2 0,建立坐标系，直线A 8的方程为X L产一m+5压力元素为dF=x-2ydx=2x克+5)dx所求压力为(20)202x=5 x 2-lW o=1467(吨)=14388
18、(KN)2 1.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.1 11(1)-1-1-b 7-77-；4-6 5-7(+3)(+5)(2)1+1+2 1+3-1-1-F1+22 1+321 +-7+1+/T00 _sm懑;=1 8 1（5）ZG（。）；n=1 十 a1解：；U,-Z-皿 立 也收敛.=J 7 1=1 3,i i i而 f 4 收敛，故 /1 收敛./i=l 7 =】2 +Hn-1 1 s X 1（5）当 A1时，（/=!8?100 2 2当 0 “o ol+Q综上所述，当”l时，原级数收敛，当 0 W l时、原级数发散.（6）由Ii m 2=ln2 知 l i m j =ln2 l而 身,
19、发散，由比较审敛法知）发“。x 1 念 念 2 -n散.2 2 .证 明，若收敛，则 绝 对 收 敛.W=1 =1 U“n-2+52而 由 之 U：收敛，之 收敛，知M =i n-寸，。+与 收 敛,故 之 久 收敛,金（2 2 I V）念 因 而 绝 对 收 敛.a 2 3 .设 7 U）是周期为2的周期函数，它在卜1,1 上的表达式为贝x）=e ，试将八x）展成傅里叶级数的复数形式.解：函数;（X）在 x#2 k+l,仁0,1,2 处连续.9一（1+兀加，2(l+mr，)(1)=sinhl(1)1 -mti1 +(兀)“11 +加故大处的傅里叶级数的复数形式为/(%)=sinh 1 2 1
20、 ei,mx(x2k+,Q0,l,2,.)n=o o 1 +(兀)24.求抛物面壳Z=g(x2+y2)(04zW l)的质量，此壳的面密度大小为Q=Z.N:z=g(x2+y2)DJ V：x2+y2 2M=J L%=J L zd5=J 1(x2+y2)-yll+x2+y2dxdy=d e/；/(1 +,)2汨 广T T (5/2 c c-r=-(l+r2-l)(l+r2)2J(l+r2)-(l+r2)-(l+r2)2=(6 6+1)2 5 3V J o 1525.证明下列不等式：兀(1)当0 2x;2证明：令x)=sinx tanx-2x,贝U /=巴川),cos X7 T当0 x 0,/(x)
21、为严格单调增加的函数，故/(尤)/(0)=0,即 sin2xtanx 2x.x(2)当0 x l 时，e+sinx 1 +.2证明：令/(x)=e-x H-sin x-l-y，则 fr(x)=-e-v+co sx-x,/(x)=eT-sin x -l=eT-(sinx+l)0,则f(x)为 严 格 单 调 减 少 的 函 数，故f(x)/(0)=0 ,即f(x)为 严 格 单 调 减 少 的 函 数，从 而/(%)/(0)=0 ,即e*+s inx 1 -.22 6.试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性:J Jx2+y2ldxdyu2+/r(G：；2 ydyd y(0mp(x,y)|MY解.f
22、f 则,解.JJ +打x+y 、)=仙可),一 2 5“=2 可；广 2 小”=2 1 r22m2-2 m07 1 1-m故当机 0 (当(x,y)#(0,O)时)Mm故 _ k 2 L 0(当(x,y)W(0,0)时)，采用极坐标即得(x2+xy+y YJ 12。八dxdy(M+孙+y 2)P=J。(1+g sdien 201p0 ydr一 1而cf?4 7d0 3 为常义积分，其值为有限数,J o，1 Y，I l +|si n 2 I1 ,而 JE。尸dr=-2-(-l -p-)，.由此可知：原 积 分 f f r 观一)=d xd y当作 1时 收 敛,当 时 发 散。*+孙+)?27.
23、求 点(1,2,1)到平面 x+2y+2z T0=0 距离.解：过 点(1,2,1)作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=l,2.2)X =l +Z所以垂线的参数方程为dy).A z (1)2x xy丁 一 =v d 一一i-=-：/8 1 +为 2旧+丫2(x2yJ x2+y2 y-r-2.dzJ f +y2 x2d y x2+y2-V 严dz=(j dx x dy).(x2+y)-z-du z v=-i Su y i 2_ i(3)V一 =y x ,一 =x-l n x-z y-dx dy=l n x-x 2 1 ny-yzdzdu=y2xv -,d r+xr In x-zyzdy+
24、nx-xydu y-i(4)V =-xzdx zdu、1=lnx-xz dy z鲁 山 巴城+/严l n y-yzdz.y J 2 I-(y dw =x2 dv +l n x-x2 dy +l n x-xz-一-dz.Z z k zr)29.矩型一边长=1 0 c m,另一边长b=24cm,当a边增加4 mm,而b边缩小1 m m时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为/,则I=x2+y2,d/=丁 .1 2(xdx+ydy).当 x=10,y=24,dr=0.4,dy=-0.1 时，dl=/1(10 x 0.4-24x0.1)=0.062(cm)V102+242故矩形的对角线长约增加0.0
25、 6 2cm.3 0 .证明：曲面孙z =上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。证明：设 F(x,y,z)=xyza3.因为 Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一点M)a(),y o,z o)处的切平面方程为y o z o(-o)+A：()z o(Ky o)+x o y o(z_z o)=O.切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为3 w,3 y o,3 z o.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为V =；|3端|3 y o i性 卜:卬/泡 二 卜?7 它为一定值。3a9-2TT Ji TT3 1.求函数在点(1,1,2)处沿方向角为a =,尸=7=
26、耳的方向导数。叼 du du du du解：一=C O S C Z +co s p 4-co s/况 d x(1,1,2)y(1,1,2)Z(1,1.2)=(V -yzJ 2)co s 尹(2孙-x z)|e co s+(3 z2-孙 九 co s =5.32.如果/(x)为偶函数，且/(0)存在，证明：/,(0)=0.证明：八0)=加 以 也3=而生生匕幽so A r-A xlim里 竺 3AX TO -AJC=-/X 0),故/(0)=0.3 3.已知点P 到点A (0,0,12)的距离是7,0A的方向余弦是2,一,一，求 点 P 的坐标.7 7 7解：设 P 的坐标为(x,y,z),|P
27、A|2=X2+/+(Z-12)2=49得 x2+y2+z2=-95+24z又 co s。=X“2+y 2 +z 26-7=570一492=6,z马19049co s/?=X=3,当285语y7%2+y2+z22737190 285 570故点P 的坐标为P(2,3,6)或 P.49 49 493 4.四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,T,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A,8,C,D而=0,1,2,AD=2,-2,1则由A,B,。三点所确定三角形的面积为1 -_.1 3 75S-ABxAD-5i+4j-2k-.同理可求其他三个三角形的面积依次为后，力
28、.2故四面体的表面积s=!+&+6+之叵.2 235 .根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：J (a-7 2+y2)dc r,。=(乂y)|/+寸 ;(2)儿y/a2-X2-y2d(y,D=(x,)|x2+y2 a2.解：J行)出 7,在几何上表示以。为底，以 z 轴为轴，以(0,0,a)为顶点的圆锥的体积，所以J (a-7-X2+/)dc r =1 ita5(2)JJJa 2-x 2 一 二 2 d b 在几何上表示以原点(0,0,0)为圆心，以 a为半径的上半球的体积，故 yja2-x2-y2d a=7 io3.3 6.已知过去几年产量和利润的数据如下:产量 x(103#)40475
29、 57 09 0100利润y(1()3元)3234435 47 28 5试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到12 0千件时工厂的利润。解：在 直 角 坐 标系下描点，从 图 可 以 看 出，这 些 点 大 致 接 近 一 条 直 线，因此可设r)=o x+b,求=-(o r,+b)的最小值，即求解方程组i=i环,把5,M)代入方程组，得%I 1=1 1=1_6 _6 _6苗X：+成苞=之1=1/=1 1=12 9 8 34a+402 3=2 4003402。+6b =32 0解得 a=0.8 8 4,b=-5.8 9 4即 产 0.8 8 4E 8 9 4,当*=12 0 时，尸 100
30、.18 6(IO,元)./y85 72 54 43 34：32.O 40 47 55 70 90 100 x37.选择坐标变换计算下列各题:2 2 2C=1(x,y,z)鼻 +鼻+二a b-c 血梓 +z2V2 2 2du,=(x,y,z)+-j -1a b c解:x =t z r s in c o s(1)令 y=/?r s in /s in 0 则积分区域。变为0：z=cr cos(p0 r l 0(PTt 且0 W 6 W 2 兀3(x,y,z)d(ra f)“s in ec o s。b sin(psin0ccos(pa r cos(p cos 0b r cos(psin0-cr sin
31、(p一 s in s in，s in 夕 c o s。0a b cr2 s in (p.故2 2 21 x y z1-7 z-dv=a Zr cJJJa,，a b cr1 s in(pdrd(pd0=d8 J。s in(pd(p a b cr2yji-r2drc 7 兀 cihc 2=2兀 一c o s。八 a b c =-7 T.L*16 4 坐 标 变 换 同(1)。l x27+y2z2+Fcdv =er-a b cr2 s in(pdrd(pd0=J。dej：s in 喝夕 J。M c/e dr=2兀 一 c o s 夕 ：a b c (e-2)=4兀a/?c(e 2).38.设薄片所占
32、的闭区域。如下，求均匀薄片的重心。(1)D 由 y =J2 p x,x =%o，y =0所围成;2 2(2)。是半椭圆形闭区域：=+与41,丁2 0;a-b-(3)0是介于两个圆r=a cosO,r=Z?c o s。(0 a-1 f x2(y-l)2将 y ,y 代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.4 0.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:尢。=0；解：分离变量，得 evdy =e2vdl r积分得 e-e+c.2以X=0,y =0代入上式得C =g故方程特解为 ev=-(e2 A+l).2(2)y s i nx=y l ny,y n=e.2._ 八 x.白 /口 dy dx解
33、：分离变量，得 一:=-y I n y s i n 尤Xc-tan积分得 y=e 2T T将尤=,y =e 代入上式得C =1Xtan-故所求特解为 y =e 2.4 1.设流速A=(-y,x,c)(c 为常数)，求环流量:(1)沿圆周 l+y 2=l,z=0;解：2兀(2)沿圆周卜一5+：/=1*=0.解：2兀4 2.求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？区 x?0(l)/(x)=x 在 x=O 处；1 x=O,x+2,x 2(2)/(x)=0、x 2解：lim/(x)=lim =lim =1,lim f(x)=lim =lim =-1X T。*A-O+X Xf
34、X X T。-X T。-X X T。-X因为 lim f(x)w lim f(x)xO+i(T所以lim/(%)不存在.x-0 lim f(x)=lim-=+oo,lim f(x)=lim(x+2)=4Xf2+xr X2 Xf2-Xf2一因为lim/(x)不存在，所以lim/(x)不存在.X T2+X-24 3.下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：X2 1 y=z ,x=1,x=2;x 3x+2XTt(2)y=-，尢=E，%=E +一,%=0,1,2,;tanx 2(3)y=c o s-,x =0;X 1,(4)y=x 1,3
35、x,X=l.解:x2-l(1)lim-i X2-3X+2=-2(x-l)(x-2)x2-llim-=oo7 x-3 x+2.x=l 是函数的可去间断点.因为函数在4 1 处无定义，若补充定义/(1)=-2,则函数在4 1处连续；户2 是无穷间断点.X(2)v lim=1,2 tan x 1 八lim-=0X T E+工 tan x2X当左。0 时，lim-=oo.一尿 tan xjr.-.x=0,x=h i+-,k=0,l,2,-为可去间断点，分 别 补 充 定 义T T IT/(O)=l,/(hr+)=0,可使函数在x=0,及x=万+攵 兀 处连续.(Z=0,1,2,);x=E,ZwO,Z=
36、L2,.为无穷间断点：当X-0时，cos-V呈振荡无极限，J T尸0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).,.Tim y-lim(3-x)=2.xf+x-rlim y=lim(x1)=0X f P XT1：.X=是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)44.元轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，my=0.1、4 5.解：因为圆锥体的体积为V=万，3r0=30,r=0.1 也=6 0,=-0.5而rnj V“c刀iv/亚 5V z 2 z 1 o .H-*/?7iyh*HTVIdr dh 3 3%=30,r=0.1,
37、/?n=60,=0.5 时，2 1 ,V-X3.14X30X60X0.1+-X302X(-0.5)=-30(cm2)4 6.求由抛物线y=f及直线y=1所围成的均匀薄片（面密度为常数P）c对于直线y=-1的转动惯量。解:图 10-651 =J J/(y +1)2db =o f阿;(y +1)2dy =p j：g(y +1)3dx=乳 8一(炉+1)3我=黑24 7.研究下列函数的极值:z =V+jfM+y2);(3)z =(6x/)(4)一羚;(2)z=e1(x+y2+2_y);(4)z =(x2+y2)e-x +y 2);(5)z =xya xya O.解:(1)解方程组(=3x2-6x =
38、0=3y 2-6 y =0得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).Z x t=6x-6,zAy=0,z =6y-6在 点(0,0)处，4=-6,8=0,C=-6,4 4 c=-3 6 0,且40,所以(0,2)点不是极值点.在 点(2,0)处，A=6,B=0,C=-6,B2-A C=360,所以(2,0)点不是极值点.在 点(2,2)处，A=6,B=0,C=6,B2-A C=-3 6 0,所以函数有极小值 z(2,2)=-8.(2)解方程组zx=e2x(2x+2y2+4y+l)=0zy=2 e”(y +l)=0得驻点为=4 e2A(x+y2+2 y +l)z -，=4 e 2”
39、(y +l)z =2e 2，在点处 4=2e,B=0,C=2e F-AC=-4e 20,所以函数有极小值=-1.(3)解方程组zx=(6-2x)(4y-/)=0Z),=(6x-x2)(4-2y)=0得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).乙产一2(4丫 一 丁)，马尸 4(3K)(2 y)4y=-2(6九 一x2)在 点(3,z(3,2)=36.2)处,A=-8,8=0,C=T8,序一AC=-8义180,且A 0,所以函数有极大值在点在点在点在点(0,(0,(6,(6,0)4)0)4)处,处,处,处,A=0,A=0,A=0,A=0,8=2 4,C=0,B2-AOO,
40、所以(0,0)点不是极值点.B=-2 4,C=0,B2-AOO,所以(0,4)不是极值点.B=-2 4,C=0,B2-AOO,所以(6,0)不是极值点.8=2 4,C=0,B2-AOO,所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组 0,故函数z在点Po处取得极小值z=0.再讨论函数z=“e 由tdz =e-(1 w),令dtz=0得=1,du dw当 时，0；当“0,dwdw由此可知，在满足&2+涧2=1的点(项,州)的邻域内，不论是/+产1或*+产 1,均有z =(f +,2)葭，+自 e-|.故函数Z在点(即拉)取得极大值z=e i(5)解方程组z.r =y(q_ 2 x _ y)=0zv=x
41、(a-2 y-x)=0得驻点为4(0,0 Zx v=-2 y,Zxy-a-2x-2y,z”=-2 x.故z的黑塞矩阵为H-2 ya2x2ya-2 x-2 y-2 x于是”(用0aa0 区)=2aTa3a32aT.易知”(P|)不定，故尸I不是Z的极值点,H(P2)当a 0时负定，故此时P2是Z的极大值点,且 Za a3?3a32 748.处沿曲线J/=1在这点的内法线方向的方向导数。解：设X轴正向到椭圆内法线方向/的转角为0,它是第三象限的角，因为2x 2y,b2xr +R=0，y=-cr b a y所 以 在 点(爰，专)处切线斜率为y(-A)=-=3 2 b a0&法线斜率为cos。=4.
42、b于是 tan cp=-/,sin cp=一 /yja2+b2 q cr+tr.dz 2 dz 2 瓦=-/%加=一 乒 乂视l质 2 a(b 1 b(aa2 V 2、Ja2+b2 J 及、Ja2+b2?-2(t/2+b).ab4 9.设 斫(-2,7,6)力=(4,-3,-8),证明：以 与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以。力为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 两 条 对 角 线 分 别 为 且a+b=2A,-2a-fr=-6,10,14)又(+份 (a-b)=2X(-6)+4X 10+(-2)X 14=0故(+/?)_L(a f).5 0.求出向量。=it/+L 8=2 i-3/+5攵和。=-2七/+22的模，并分别用单位向量Q,e,e0来表达向量a,b,c.解：|a|=J1?+=6I b|=7 22+(-3)2+52=屈|C|=V(-2)2+(-1)2+22=3a=C e”,b-y/3Seh,c-3ec.