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1、2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：姓名：考号：题号总分得分班级：一、解答题.某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状（如12题图所示），设截面积为层，问底 宽X为多少时，才能使所用建造材料最省？解：由题设知1xy+5,兀1xy+5,兀1xy+5,兀a-x y =a 1XTl x 812题图截面的周长/(%) = x + 2y + /(%) = x + 2y + 2a 112a 7i71 * X - X XTl HXTl - X 1X,x 42x 4Z(x) = l + -42a9 ，X8令”。得唯一驻点即为最小值点即当x含”建造材料最省.1 .计算下列对坐标的曲线积分：（l）Jz（x
2、2-r）dx,其中是抛物线产X2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧；本町dr其中L为圆周（户+户/刈及入轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（3） ydx4-xdy ,其中L为圆周/二Rcosb产Rsinf上对应，从0到的一段弧;（4）(x+ y)dx-(x- y)dy，其中L为圆周，+产=。2（按逆时针方向绕行）;(5) x2dx + zdy-ydz ,其中 f 为曲线 x-kO, y=acos09 z=sin。上对应。从 0 至U 兀的一段 弧;(1) 解:令x = sin，,dx = cosM/,兀当x=0时D,当x=l时t=, 2-costdt = 0 co
3、stn2 sin t dt o由第四章第五节例8知由第四章第五节例8知由第四章第五节例8知n-n-n-J dx = nn-n-3 n-2 n-3 n-23445715为偶数,为奇数.解:71“tan 2 x dx.o7t“tan )xsec2 xAx- o7t“tan_)xdx o色1=f4 tan2(,/-1) xd tanx-In . =In ,Jot 2/7-1 一由递推公式/ + /-=一 n J 2;1-1m出 (2芯n I,1 工(一1广二可倚 /“=(一1)L-+ -1-)-43 52/2-119 .讨论下列广义积分的敛散性:L x(ln x)k，解:解:_ 产 d(lnx) 八
4、工(1口少ln(ln x膜=co,1-K7-7 (In %产 u-k4-00=00,9，+002(In 2)k 1k = k 故该广义积分当左1时收敛；左41时发散.故该广义积分当左1时收敛；左41时发散.dxd)k(b a).发散, 一(b - 6Z)1 A.1一 kkk 0);解:解:(1)V Un = ) n -2 一 ,2l+n n+n n8 1而发散，由比较审敛法知，原级数发散.72 = 1 . 兀.71sin sin (3)V lim -= lim 兀-=兀is 1871F F00-00_而ZS收敛，故Esing也收敛.n= 3=300 I800 I800 I8收敛.而2不收敛，故
5、n= 不n=n2-11 工产、 1（5）当心1时，un=88 2 2当 0。1 时，limU=lim = lwO,级数发散.88 1 + aR综上所述，当时，原级数收敛，当0V/W1时，原级数发散.2X -1 (6)由lim2 -1= ln2 知 limXf81= ln2l而发散，由比较审敛法知1（2：_J发散.22.证明，8若IXn=II收敛，则z亍绝对收敛=i证：I证：I证：IU 1 ： = = U12,11二-U H-c c 222 n00而由收敛，n=00而由收敛，n=00而由收敛，n=产 1Zr收敛，知=1 n000000=18 收敛，故z7? = 1收敛,8 II因而绝对收敛.n=
6、几.设./U）是周期为2的周期函数，它在-1,1上的表达式为./U）=et试将/（X）展成傅里叶 级数的复数形式.解：函数/U）在XW2Z+1,;0,1,2处连续.2/Jyw.mt-ixe 1dx = U2(1+ 兀，)-(1+加)X I e c-1卡(-1)11 + 兀 i1 - mti1 + (兀)2故八x）的傅里叶级数的复数形式为/G） = sinhl J） .（一,兀）e，g（/2%+1,公0,1,2,）L 1 + （即）一.求抛物面壳2 =,52+2）（0工21）的质量，此壳的面密度大小为 = Z.E：Z = ；（%2+y2）Dxy:x2 + y22=1山=62由=乩 1(%2 +
7、)- yll + x2 + y2dxdyr 2兀To d。r 2兀To d。，衣 1 o 9 -r2(l + r2)2 rdr 0 2(1 +/1)(1 +/)3/1 +产)=1(66+ 1)兀 ，-=-(1 + r2)2 _ (1 + r2)2 53.证明下列不等式:JT(1)当0x 2x;证明：令 f(x) = sin x - tan x2%,则 fr(x)=证明：令 f(x) = sin x - tan x2%,则 fr(x)=证明：令 f(x) = sin x - tan x2%,则 fr(x)=(1 - cos x)(cos2 x + cos x + 1)cos2 X7T当0x/（0
8、） = 0,即 sin 2x- tan x 2xx2(2)当 0 x 1 时，e- v + sin x 1 + 2证明：令/（x） = e证明：令/（x） = e-x+ sinx-l，则 fr(x) = -e-A +cosx-x,fx) = e-x - sin x -1 = e-x - (sin x +1) 0，则f(x)为严格单调减少的函数，故f(x) / r(o)= o ,即f(x)为严格单调减少的函数，从而/(%) 7(0) = o ,即X2 e +sinxId.2.试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性:(1)dxdy解：(1)解：(1)解：(1)dxdy=rdr = rdr = 2Jo
9、 JoJo 产2m2-2m711m故当机1时，原积分收敛，当加21时，原积分发散。(2)由于 f+xy+V=!*2+ 、2)+ !(1+丁)2。(当(x,y)W(O,O)时)|。(羽 y)|。(羽 y)|。(羽 y)|(x2+xy + y2Y (x2+xy + y2)-.由此可知：原积分dxdy当1时收敛,当时发散。 工% (% + 孙+y )p23 .求点（1, 2, 1）到平面 x+2y+2zT0=0 距离.解：过点（1, 2, 1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为5=九=1, 2, 2所以垂线的参数方程为所以垂线的参数方程为所以垂线的参数方程为y = 2 +2t z = l +
10、2t将其代入平面方程得/ =3故垂足为且与点（i, 2, 1）的距离为=（%+（2）2+（2）2=1 3 3 3Y 333即为点到平面的距离.2 o(1) z = e A +-v ；24 .求下列函数的全微分:(2)z = -=J1 +y(3) =炉;解:啜&襄八s222222/. dz = 2xe +)dx+2je +v dy = 2ev+r (xdx+ ydy)dz十”dz十”2x2G + V =dz _+y2dy炉 + y2dz dz dz (ydr xdy).du z vz- du yz-ik = yx = x -Inx-zy oxoy9 1)2 Z=In x - x Any - y
11、dz In y yzdz. du = y2xy du dudx+Inx- zyz!dy + nx-xdu y 2-i(4) ;=上炉 dx z史= lnx.J(y r7Jdu 12=mx-xz dzZ2JZ2Jdz.y %i 解：=一 1du = xz ck + lnx-xz - - dy + nx-xz - zzI29.矩型一边长a=10cm,另一边长b=24cm,当q边增加4mm,而b边缩小1mm时，求对 角线长的变化.解：设矩形对角线长为/,则I = Ji + J, & -1 (xdx + ydy).次+产当 产 10,y=24,d=0.4,d-0.1 时，d/ = -/1(10x0.4
12、-24x0.1) = 0.062 (cm)a/102+242故矩形的对角线长约增加0.062cm.30 .证明：曲面盯2二/上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。证明：设F(x,y,z)=xyzadl dx.因为 Fjyz, Fy=xz, Fz=xy,所以曲面在任一点M)(xo,yo,zo)处的切平面方程为yozo(x-M)+xozo(y-yo)+M)yo(z-zo)=。.切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为3肛3yo,3z().因各坐标轴相互垂直，所以切平面与 坐标面围成的四面体的体积为丫=:33引|3yoi .|3zo| = :|27xoyoZo| = 1x27/= = .3|_
13、26o2它为一定值。JTJTTT.求函数=x)2+z3-xyz在点(1, 1,2)处沿方向角为a = ,，= ,7 =的方向导数。cos/(1,2)du cosa + (1,1,2)8c du cosp+ (1,1,2)“=(/- yz)|g,2)cos1 + (2孙 一%z)|( 2)cos: + (3z2 -xy)|(ut2) cos 4二5.31 .如果/(x)为偶函数，且(0)存在，证明：f(0) = 0.证明：八0)=.3=所止也3AD A% AD A%=_.止3 = 一八0),x故故(0) = 0.33 .已知点。到点A (0, 0, 12)的距离是7,而的方向余弦是工,3,7 7
14、解：设 P 的坐标为（xjz） ,|AX|2=/ + y2+（z 12）2=49 得 J + V + z? =95 + 24Zz cos y = /=y1x2 + y2 + z26= 76= 7,570Z =6, Zy 12 49又 cos a = i x = 7%2 + y2 + z2cos8 I ）=3yjx2 + y2 + z2 7c 190r？ Xi - 2, X012 49yjx2 + y2 + z2 7c 190r？ Xi - 2, X012 49c 190r？ Xi - 2, X012 49c 190r？ Xi - 2, X012 49&285n必=3,为=语1 qh ORS 5
15、70故点P的坐标为尸（2, 3, 6）或尸.49 49 49.四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1/,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为4 8,C,DAB = 0,l,2, AD = 2,-2,1则由A, B,。三点所确定三角形的面积为 13a/5 =-ABxAD =-5i + 4j-2k =.同理可求其他三个三角形的面积依次为工,、份,V3.2故四面体的表面积S= +收+ 6 +止.22.根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1 )+y2)db,) = (%,y)|%2 +y2 42；(2) J. J4 _%22db, = (%,3；) | x2
16、 + y2 a2.解：(1)J+ y2)db,在几何上表示以D为底,以2轴为轴, 顶点的圆锥的体积，所以乩(。旧+ y2川b = J.侬3(3) ,2d-在几何上表示以原点(0, 0, 0)为圆心，以，求点P的坐标.，求点P的坐标.以(0, 0, )为为半径的上半球的体积，故J。以-x2-y2da = -na3.36.已知过去几年产量和利润的数据如下:产量x（ 1（）3件）4047557090100利润y（ IO?元）323443547285试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到120千件时工厂的利润。解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设6处0=+4 求
17、= Zy,（阴+砌 的最小值，即求解方程组/=1666i=li=li=lV66汇七+6 = 2%、z=li=l把（即,）代入方程组，得29834。+402 = 24003402a + 6b = 320解得。=0.884, 。二一5.894BP y=0.884x5.894,当 x=120 时，产 100.186（1（）3 元）.八y85 725443343237.选择坐标变换计算下列各题:3237.选择坐标变换计算下列各题:37.选择坐标变换计算下列各题:（尤,X z）40 47 557090 100 xz2122x y1- -+4b2x = sin qcos00 r 1解：（1）令v y =
18、Ursine sin。则积分区域。变为O： 0（pdv = JJ，er - abcr2 sin(pdrd(pd0=J。de。sinahcr2dr=2兀-cos o：- abc (e - 2) = 47i6z/?c(e - 2).38.设薄片所占的闭区域。如下，求均匀薄片的重心。由 y = J2px,x = %,y = 0所围成;22（2）。是半椭圆形闭区域：7 + 70;CT O（3）。是介于两个圆r=acos0, r=0cos。（0q酬=正严必.J：=|嬴=|%一、（3 3 A所求重心为一九o，-y（）.15 8 J(6)rx3dx4-3zy2dy + (-x2y)dz ,其中是从点(3,2
19、)到点(0,0,0)的一段直线;於ck-dy + yiz,其中为有向闭拆线ABCA,这里A, B, C依次为点(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)；L是抛物线尸%2上从点(T/)到点(1,1)的段弧.於ck-dy + yiz,其中为有向闭拆线ABCA,这里A, B, C依次为点(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)；L是抛物线尸%2上从点(T/)到点(1,1)的段弧.L是抛物线尸%2上从点(T/)到点(1,1)的段弧. 1/(“2 -2孙)dx + (y2 -2肛)dy ,其中解：(1)：尸V x从。变到2,(x2-/)dx = jo2(x2-x4)dx(x2-/)dx
20、= jo2(x2-x4)dxlx3-lx5 3556(2)如图 11-1 所示，L=U+L2.其中心的参数方程为015x = a + a cost0 W兀 y = asint上的方程为产0(03后2a)故心 xyx = xydx + xydx)dt + Odx故心 xyx = xydx + xydx)dt + Odx)dt + Odx)dt + Odx= a(l+cost)asin%(4 + a cost= a3 (-sin2 ,)(1 + cos/)d/=-a3=-a3 sin2 d +*n ？simdsim o ci 2n ydx + xdy = 2 /? sin ? (-/? sin Z
21、) + /? cos tR cos dtn=R? 2 cos 2d9 1=R2 sin 2/ 2=0(4)圆周的参数方程为：x=acost, y=asmt,广02兀.(x+ y)dx -(x- y)dya cos，- q sin r) a cos dr=(tzcos r + sin/) (一 sin ?)-(=一2兀因为闭区域。对称于y轴，所以元=0,又闭区域。的面积。A = -iiab.-xdx所以：歹= ：JL 2S = E 烟=H /2 b2 ( 21 3J 4/7=7 a x x=.nab 2a 3 ) n 3兀所求重心为0,竺.I 371J又又又71/ /J兀A = JJdxdy =
22、 2jJj rdr =- a2)cos2 0(X0 = (Z?2 -a2)故1 rr2 r- rhcos3 92 产 b? cc ax = xdxdy = 2d0 r2 cos Odr - - f2cos49d 9A,J a cos oA3_87r(/73 - a3) _a2 +ab + b2 兀(/)2(a + b)所求重心为 兀(/)2(a + b)所求重心为所求重心为所求重心为a2 +ab + b2 .、 、2( +。);.在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解:(x-2y)y = 2x- y, x2 -xy + y2 =C;证：方程V孙+产=。两端对工求导：2x-y-xyf
23、+ 2yyf = 0得广受zx-2y代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.(2)(孙一 力) y + xy,2 + yyr-2yf = 0,y = ln(xy).证：方程y = ln(xy)两端对x求导:y=-+-y ()得了二 ()式两端对x再求导得y r 1 , 1y - y 止%2 x2(y-l)2将y,y代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.39 .求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：y = e2? y解：分离变量，得 edy = e2xck积分得 ev=ie2x+c.2以X = 0,y = 0代入上式得C = L2故方程特解为 ey=1(e2x + l).ysinx
24、=ylny, q二e. 2ylny sinxylny sinxylny sinx解：分离变量，得 -=ctan积分得 y = e 2IT将犬=,y = e代入上式得。=12故所求特解为y = e 2.41.设流速A=(-y,x,c) (c为常数)，求环流量:沿圆周x2 + y2 = l,z =0 ；解：2兀(2)沿圆周(x 5)2+V = 1* =0 .解：2兀42.求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在?区，户0,(l)/(x) = X， ，在 x = 0处；1 x = 0,x+2, x0/-2解： lim 于(x) = lim = lim = 1, lim f(
25、x) = lim = lim = -1x-0+x-0+ x x-0+ Xx-0-xf(T x x-。一 X因为 lim f(x) w lim /(x)Xf o+Xf(T所以lim /(x)不存在.xf0(2) lim /(x) = lim = +oo,-2+-2+ x-2lim /(x) = lim (x + 2) = 4x-2-xf 2一因为lim/。)不存在，所以lim/(x)不存在. xf2+1243.下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充 或改变函数的定义，使它连续：x2 -1 y = - = l,x = 2；/一3工 + 2(2)y = - tan
26、 x兀,x = kn,x = kn-,k = 0,l,2,2(3)y = cos-,x = 0;厂(4)y =x 1,x2-l解：.lim 7x2-3x + 2= lim(m+D = -2 7 (1)(% 2)r x2-lhm= oo2 %2 - 3% + 2二%=1是函数的可去间断点.因为函数在二1处无定义，若补充定义/=-2,则函数在x=l处连续；尸2是无穷间断点.(2) v lim= 1,tan xlim * =0m工 tan x2x当 Z W 0 时，lim= oo.e tan xIF.x = 0,x = E + _,Z = 0,L2,.为可去间断点，分别补充定义 2ITITA0)=
27、1 (E + ) = 0,可使函数在户0,及% = + E处连续.(左=0, 1, 2,)；x = E#wO/ = l,2,.为无穷间断点(3)V当x 0时，cos呈振荡无极限， 厂40是函数的振荡间断点.(第二类间断点).(4)lim y = lim(3-x) = 2.x-l+x-1+lim y = lim(x -1) = 0xfl -x一厂x=l是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)44 . x轴上的点的坐标有什么特点？ y轴上的点呢？ z轴上的点呢? 答：x轴上的点，j=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.45 .解：因为圆锥体的体积为V3彳)二30,Af = 0.1
28、,/%= 60, = 0.5而= 2 dr彳)二30,Af = 0.1,/%= 60, = 0.5而= 2 dr而= 2 dr而= 2 dr“ +处7 = 2万如“ + 万户3.dh 33与=30,at = 0.1, Aq = 60, = 0.5 时,1 9V-x3V-x33.14x30x60x0.1 + -ttx302x(-0.5)二-30(cm2)ooy146 .求由抛物线y = f及直线y= 1所围成的均匀薄片(面密度为常数夕)c对于直线y二- 1的转动惯量。y=x2-1图 10-65解：/=J。夕(y+i)2db二夕工户；(y +1)2 dy =可：(y +1)31dxX20,-i .
29、3688-(x-+l):dx = A47.研究下列函数的极值: z = 丁+),3(x2+y2);(3) z =)(4厂产)；(5) z = xy(axy),aQ.(2) z = e2v(x4-y2+2y);22(4) z = (f+V) e-(x +);解：(1)解方程组zr = 3x2 6% = 0zv = 3y2 _6y = 0得驻点为(0,0) ,(0,2),(2,0),(2,2).Zxr=6x 6,z.E)，=O, Zyy=6y6在点(0, 0)处，A= 6, 8=0, C=-6, B2-AC=-360,且A0,处，A=6, B=0, C= 6, B2AC=360,处，a=6, B=
30、0, C=6, B2-AC=-360,所以(0,2)点不是极值点.所以(2,0)点不是极值点.且A0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.解方程组zx=e2x(2x + 2y2+4y + l) = 0zy = 2e2x(y + l) = 0(1得驻点为-,-l122.，= 4e2A(x+j2 +2y + l)= 4e2(y + l)在点一,-1 处,A=2e,8=0,C=2eB-AC=-4e2) = 0得驻点为(3,2) ,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Z“= -2(4厂2),Zxy=4(3x)(2y)ZVv= -2(6%x2)在点(3, z(3,2)=36.2)处,A= 8
31、, 3=0, C=18,AC= 8X180,且 A0,所以(0,0)点不是极值点.B=-249 C=09 B2-ACQ,所以(0,4)不是极值点.8=-24, C=0, B2-AC0,所以(6,0)不是极值点.5=24, C=0, B2-ACQ9 所以(6,4)不是极值点.(l-x2-/) = 0(12/)=。2犹一（/+/）（4）解方程组0, 故函数z在点治处取得极小值z=0.再讨论函数z=e 11dzdz由上= e-(l )，令上=0得31, dududzdz当心1时，上0,dudu由此可知【，在满足的2+泗2=1的点（xo,yo）的邻域内，不论是一+）a1或/+丁21或/+丁21或/+丁
32、2,均有 z =（x2 + j2）e-（x2+/）+52 =屈|c|二J(-2+(1)2+22=3a = y/3ea, b y/3Seh, c = 3ec.(5)厂 x2dx + zdy - ydz=1o (/， + tzsin - tz(-sin 3)- acos3acos3d01T=-k363 - a20l_3Jo兀3 -Q.3x = 3t(6)直线厂的参数方程是(6)直线厂的参数方程是y = 2t t A 10.z = t故 J，/位+ 3zy2(jy+ (r2y)dz=27r3 + 3f4* 2 + (-9产2川山=J： 87/山1 0= 87/4 1876=而+就+ H(如图11-2
33、所示)图 11-2J而dx - dy + ydz = ：口 一 (一1)公=一2.BC:X = 0， z从 0-1y = i - z 1反心 一 + ydz = ；-(-1) + (1 - z)dz= J；(2 -z)dz1T=2z-z2L2Jov = 0CA:CA: 从 0一1z = l-x故 dx-dy + ydz= L+J+b )&S + ydz二(2)4- - + 1 =v 7 22(8) H -2xyjdx + (y2 -2盯)dy二(, -2xx2) + (x，-2x-x2)-2xjck=j J/ - 2x3 + 2x5 -4x4d1415.试求过点(3, 8)且与曲线y = /相切的直线方程.解：曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率为 = 2x.因此过(3, 8)且与曲线相切的直线方程f v-8 = 2x(x 一 3)为：y-8 = 2x(x-3),且与曲线的交点可由方程组解得9 y = x为(2, 4), (4, 16)即为切点.故切线方程为：y-4 = 4(x 2),y-16 = 8(x-4).71I.若/(；) = l,y = /(arccos),求3x解:= /(arccos)() (-)(bC