九年级中考数学专项突破——与圆相关的计算.docx

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1、中考数学专项突破与圆相关的计算一、综合题1如图，AB为O的直径，点D在O外，BAD的平分线与O交于点C，连接BC、CD，且D90.（1）求证：CD是O的切线； （2）若DCA60，BC3，求 的长. 2如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DEAB，垂足为E，DE交AC于点F（1）求AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留和根号）3在中，以AC为直径的与AB相交点D、E是BC的中点（1）判断ED与的位置关系，并说明理由；（2）若的半径为3，求的长4如图， 为 的外接圆， 为 的直径，点D为 的中点. （1）连接 .求证： . （2）设 交 于E，若 ， .求阴影

2、部分面积. 5如图1，在平面直角坐标系中，RtOAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点. （1）请直接写出点B的坐标；（2）若动点P满足POB=45，求此时点P的坐标；（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将APE折叠，点A的对应点为A，当PAOB时，求此时点P的坐标；（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积.6如图，四边形ABCD中，BC90，点E为BC中点，AEDE于点E.点O

3、是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG.（1）求证：ECDABE；（2）求证：O与AD相切；（3）若BC6，AB3 ，求O的半径和阴影部分的面积. 7ABC中，BCAC5，AB8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动ABC在平面上滑动.如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动.（1）当t0时，求点C的坐标；（2）当t4时，求OD的长及BAO的大小；（3）求从t0到t4这一时段点D运动路线的长；（4）当以点C为圆心，C

4、A为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值.8如图1，四边形ABCD是正方形，且AB8，点O与B重合，以O为圆心，作半径长为5的半圆O，交BC于点E，交AB于点F，交AB的延长线于点G（1）发现：M是半圆O上任意一点，连接AM，则AM的最大值为 ；（2）思考：如图2，将半圆O绕点F逆时针旋转，记旋转角为（0180）当90时，求半圆O落在正方形内部的弧长；（3）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切时，请直接写出此时点A到切点的距离（注：sin37 ，sin53 ，tan37 ）9如图，在四边形ABCD中，B=60，D=30，AB=BC（1）求A+C的度数。（2）连接BD，探究AD，BD，CD

5、三者之间的数量关系，并说明理由。（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足 ，求点E运动路径的长度。10如图，ABC内接于O，AC是直径，BC=BA，在ACB的内部作ACF=30，且CF=CA，过点F作FHAC于点H，连接BF（1）若CF交O于点G，O的半径是4，求 的长；（2）请判断直线BF与O的位置关系，并说明理由11如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EFDE交BC于点F（1）求证：ADEBEF； （2）设H是ED上一点，以EH为直径作O，DF与O相切于点G，若DHOH3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位， 1.73，3.14） 12如图，在AOB中，AO

6、B90，AO6，BO ，以点O为圆心，以2为半径作优弧 ，交AO于点D，交BO于点E点M在优弧 上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM （1）当AM与优弧 相切时，求线段AM的长； （2）当MOAB时，求点M在优弧 上移动的路线长及线段AM的长 13如图，PA是 的切线，切点为A，AC是 的直径，连接OP交 于D.过点C作 ，连接AB交OP于点E. （1）求证：PB是 的切线； （2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是 ，求阴影部分的面积； （3）若 且 ，求AB的长度. 14项目化学习：车轮的形状【问题提出】车轮为什么要做成圆形， 这里面有什么数学原理?（1）【合作探究】探究

7、 组：如图1，圆形车轮半径为 ，其车轮轴心 到地面的距离始终为 探究 组：如图2，正方形车轮的轴心为 ，若正方形的边长为 ，求车轮轴心 最高点与最低点的高度差探究 组：如图3， 有一个破损的圆形车轮， 半径为 ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 ，其车轮轴心为 ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 经过的路程探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定（2）【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 为圆心，以正三角形的边长为半径作 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”探究 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那

8、么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是 延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 并不稳定15如图，AB是O的直径，点D，E在O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作 交AE的延长线于点C. （1）求证：CD是O的切线.（2）若 ，求阴影部分的面积. 16如图， 为 的内接三角形， 为 的直径，将 沿 翻折得到 ，过点D作 的切线 ，与 的延长线交于点E，F为切点， 的半径为 ， （1）求 的长 （2）若 ，连接 求证：四边形 为菱形求 的长17如图，ABC内接于O，A=60，BEAC于

9、点E，延长线交O于点P。（1）如图，若ABC是等边三角形，求证：OE=PE； （2）如图，当点A在直线BC上方运动时，（包括点B、C）作CQAB交BE于点H， 求证：HE=PE若BC=3，求点H运动轨迹的长度。18如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转（090）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若 = 1，求 的值答案解析部分1【答案】（1）证明：连接OC， AC是

10、BAD的平分线，CADBAC，又OAOC，OACOCA，OCACAD，OCAD，OCDD90，CD是O的切线（2）解：ACD60， OCA30，AB为O的直径，ACB90，OCB60，OCOB，OCB是等边三角形，OBOCBC3，COB60， 的长： 2【答案】（1）解：连接OD，OC，C、D是半圆O上的三等分点， = = ，AOD=DOC=COB=60，CAB=30，DEAB，AEF=90，AFE=9030=60；（2）解：由（1）知，AOD=60，OA=OD，AB=4，AOD是等边三角形，OA=2，DEAO，DE= ，S阴影=S扇形AODSAOD= = 3【答案】（1）解：ED与O相切理由

11、：连接OD，CDAC是直径， ADC=90，在RtBDC中，E为BC的中点， DE=EC，3=2， 又OD=OC，1=4，1+2=90，ODE=3+4=90，ED与O相切；（2）解：A+1=90，1+2=90，A=2， DEC=A，2=3=DEC=60， A=60，DOC=2A=120 ， 弧DC的长=4【答案】（1）证明： 为 的直径， ，即 ， 点 为 的中点， 垂直平分BC， ；（2）解：设 的半径为 ，则 ， ， ，由（1）已证： 垂直平分BC， ，在 中， ，即 ，解得 ， ，在 中， ， ，又 ， ， ，则阴影部分面积为 .5【答案】（1）解：（8，6）（2）解：连接OP，过点P作

12、PQOB于点Q，如图，POB=45，OPQ=45，POB=OPQ，PQ=OQ，设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，在RtOAB中，在RtBPQ中，解得，在RtPOQ中，在RtAOP中，点P的坐标为（，6）（3）解：令PA交OB于点D，如图，点E为线段OB的中点，设，则，由折叠的性质，可得，在Rt中，即，解得，即，点P的坐标为（，6）（4）解：OG的最小值为4，线段FP扫过的面积为6【答案】（1）证明：BC90，AEDE于点E. EAB+AEB=90，DEC+AEB=90，EAB=DEC由BC90ECDABE（2）证明：过点O作OMAD，延长DE、AB交于N点 CD BNCDE=N点E为BC中点

13、CE=BE，又EBNC90DCENBEDE=NEAEDNAD=AN，ADE=ANEDAE=90-ADE，NAE=90-ANEDAE=NAEAG是O的切线OGABAMO=AGO=90OG=OM=rOM是O的切线（3）解：BC6， BE=3AB3 ，AE= =2BEEAB=30AO=2OG，即AO=2r，AE=AO+OE=3r=6r=2连接OFOEF=60，OE=OFOEF是等边三角形EOF=60，EF=OF=2，BF=3-2=1FOG=180-AOG-EOF=60在Rt AOG中，AG= BG=AB-AG= S阴=S梯形OFBG-S扇形FOG= = 7【答案】（1）解：如图1，BCAC，CDAB

14、，D为AB的中点，ADAB4.在RtCAD中，CD3，点C的坐标为（3，4）；（2）解：如图2，当t4时，AO4，在RtABO中，D为AB的中点，ODAB4，OAODAD4，AOD为等边三角形，BAO60；（3）解：如图3，从t0到t4这一时段点D运动路线是弧DD1，其中，ODOD14，又D1OD906030，；（4）解：分两种情况：设AOt1时，C与x轴相切，A为切点，如图4.CAOA，CAy轴，CADABO.又CDAAOB90，RtCADRtABO，即，解得；设AOt2时，C与y轴相切，B为切点，如图5.同理可得，.综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为或.8【答

15、案】（1）13（2）解：如图，设半圆O交AD于点N，连接ON，过点O作OHAD于点H， 四边形ABCD是正方形， DAB90， 半圆O绕点F逆时针旋转90，OFA90， 四边形HAFO是矩形， AHOF5，OHAFABBF3，sinHNO HNO37，AHOF，NOFHNO37，半圆O落在正方形内部的 的长 （3）解：由（1）知，当90时，半圆O与AB相切，此时切点为点F， AF3； 如图2，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，AR，并延长RO交AB于点T，ORC90 DCAB，OTF90， 四边形RCBT是矩形， RTCB8， OT853， FT 4，ATABBTAB（BFFT）7，

16、AR ；如图3，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点F作FSPO于点S， 则四边形PAFS是矩形， PSAF3，APSF，SOPOPS532，SF APSF 综上所述，点A到切点的距离为3或 或 9【答案】（1）解：在四边形ABCD中，B=60，D=30，A+C=360-B-C=360-60-30=270。（2）解：如图，将BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAQ，连接DQ，BD=BQ，DBQ=60，BDQ是等边三角形，BD=DQ，BAD+C=270，BAD+BAQ=270，DAQ=360-270=90，DAQ是直角三角形AD2+AQ2=DQ2，即AD2+CD2=BD2（3）解：如图

17、，将BCE绕点B逆时针旋转60，得到BAF，连接EF，BE=BF，EBF=60，BEF是等边三角形，EF=BE，BFE=60，AE2=BE2+CE2AE2=EF2+AF2AFE=90BFA=BFE+AFE=60+90=150，BEC=150，则动点E在四边形ABCD内部运动，满足BEC=150，以BC为边向外作等边OBC，则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC，OB=AB=1，则BC= = 10【答案】（1）解：连接OG AOG=2ACF=60，OA=4， 的长= = （2）解：结论：BF是O的切线理由：连接OBAC是直径，CBA=90，BC=BA，OC=OA，OBAC，F

18、HAC，OBFH，在RtCFH中，FCH=30，FH= CF，CA=CF，FH= AC=OC=OA=OB，四边形BOHF是平行四边形，FHO=90，四边形BOHF是矩形，OBF=90，OBBF，BF是O的切线11【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形， AB90 EFDE， DEF90 AED90BEFEFB AB，AEDEFB，ADEBEF（2）解：DF与O相切于点G， OGDG DGO90 DHOHOG，sinODG ODG30GOE120 S扇形OEG 3 在RtDGO中，cosODG DG3 在RtDEF中， tanEDF EF3 SDEF ，SDGO S阴影SDEFSDGOS扇形O

19、EG 3 .9 3 91.7333.14 6.15 6.2 图中阴影部分的面积约为6.2 12【答案】（1）解： 与优弧DME相切 AMO90在RtAMO 中，AM ；（2）解：在 中，AO6， ， ，如图1所示，MO在直线AO的左侧，当MOAB时， ， ，过点M作MGAO于点G在 中， ， ，且OM2 ，MG ，OG1，AG5，在 中，根据勾股定理可知 ；如图 2所示，MO在直线AO的右侧；连接AM当MOAB时， ，优弧DM所对的圆心角为270-30=240， ，作MNAO交AO的延长线于点N，MOB30，NOM60，在RtOMN中， ， ，且OM2 ，ON1，MN ，在RtAMN中：AN7

20、， MN ， 13【答案】（1）证明：连接BO， PA是 的切线，APAO，PAO=90 ，AC是直径AEO=ABC=90OPAB，AOP=BOP又AO=BO，OP=OPAOPBOP，PBO =PAO=90，PB是 的切线（2）解：E是OD的中点 OEDE，ABOD，AEO=AED=90又AE=AEAEOAED（SAS）AOAD，OAOD，ADOAOD，AOD是等边三角形，AOD60，OAE=30设OEm，则AO=2m，AEBE m，AB=2 m，OA2m，APO=90-AOP=30OP4m，四边形OAPB的面积是16 ， OPAB16 ， 4m2 m16 ，m2或2（舍弃），OE2，AB4

21、，OA2m4，ODAB， ，AODBOD60，AOB2AOD120，S阴S扇形OABSAOB 4 2 .（3）解：在RtAOE中， ， 可以假设OEx，则OAOD3x，DE2x，AE x，在RtADE中，AD2AE2DE2，（ ）2（ x）2（2x）2，x1或1（舍弃），OE1，OA3，AE ，AB=2AE=4 .14【答案】（1）解：探究A组：4； 探究B组：如图所示： 由图可知：最低点到地面的距离为OA的长，最高点到地面的距离为BD的长，正方形的边长为4cm，OA=2cm，BD=BO=2，最高距离与最低距离的差为（2-2）cm； 探究C组：如图所示： 从图2至图3：绕点A旋转45，经过路程

22、L1=2r=cm， 从图3至图4：绕点B旋转45，经过路程L2=2r=cm， 从图4至图5：移动一个270的弧长，经过路程L3=2r=cm，一个周期完成，总路程为L1+L2+L3=+=2r=8cm；（2）A15【答案】（1）证明：连接OD，如图所示： 四边形BDEO是平行四边形， ，ODB是等边三角形，OBD=BOD=60，AOE=OBD=60，OE=OA，AEO也为等边三角形，EAO=DOB=60，AEOD，ODC+C=180，CDAE，C=90，ODC=90，OD是圆O的半径，CD是O的切线.（2）解：由（1）得EAO=AOE=OBD=BOD=60，EDAB， EAO=CED=60，AOE

23、+EOD+BOD=180，EOD=60，DEO为等边三角形， ED=OE=AE，CDAE，CED=60，CDE=30， ， ， ， ，设OED的高为h， ， ， .16【答案】（1）解：如图，连接 沿 翻折得到 ， ， ， 为 的中位线， ， ， 的长 （2）解：证明： 沿 翻折得到 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ，四边形 为平行四边形 为 的直径， ，即 ，四边形 是菱形如图，连接 交 于点G 为 的切线， 又 ， 在 中， ， ， ， ，在 中， 17【答案】（1）证明：如图所示，连接OC，PC， ABC是等边三角形，BAC=60BPC=BAC=60 ，圆O是ABC的外接圆，圆O是

24、ABCC三边的垂直平分线的交点，BAC是等边三角形，BEAC，BE 在线段AC的垂直平分线上，O在线段BP上， ， 是等边三角形， ，（2）解：如图所示，连接PC， 同理可得 ， =30，又 ， ， ， 是等边三角形， HE=PE ；由得 ，H是在以 B C为弦，圆周角 的圆上运动，如图所示，劣弧 即为H的运动轨迹，过点 作 于 ， ， ，.18【答案】（1）解：作A1HAB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形AD=HA1=n=1，在RtA1HB中，BA1=BA=m=2，BA1=2HA1，ABA1=30，旋转角为30，BD= ，D到点D1所经过路径的长度= （2）解：BCEBA2D2， ，CE= -1 ，A1C= ，BH=A1C= ，m2-n2=6 ，m4-m2n2=6n4，1- =6 ， （负根已经舍弃） 29 / 29学科网（北京）股份有限公司