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1、 解直角三角形的应用考点精讲一、解直角三角形1定义由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形(直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即2个锐角和3条边)2直角三角形边角关系(1)三边关系:勾股定理:a2+b2=c2;(2)三角关系:A+B+C=180,A+B=C=90;(3)边角关系:sinA=,cosA=,tanA=3解法分类(1)已知两边解直角三角形(2)已知斜边和一个锐角解直角三角形;(3)已知一条直角边和一个锐角解直角三角形;4解直角三角形的几种类型及解法(1)已知一条直角边和一个锐角(如a,A),其解法为:B=90-A,(或b=);(2)已知两直角边
2、a,b,其解法为:c=,由tan A=,得A,B=90-A;(3)已知斜边和一个锐角(如c,A),其解法为:B=90-A,a=csinA,b=ccosA(或b=);(4)已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b=,由sin A=,求出A,B=90-A【提醒】解直角三角形中已知的两个元素应至少有一条边,当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决二、解直角三角形的应用1仰角与俯角在进行观察时,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角;从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角.2坡角与坡度坡角是坡面与水平面所成的角;坡度是斜坡上两点_与水平距离之比,常用i表示,也就是坡角的正切
3、值,坡角越大,坡度越大,坡面_利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤:(1)把实际问题抓化为数字问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);(2)根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形;(3)解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【提醒】在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决解直角三角形的应用:关键是把实际问题转化为数学问题来解决模型提炼:三角函数中的“塔高”模型“塔高”模型一 解直角三角形经常遇到求楼高、塔高的问题,这类题中是否存在什么比例和数量关系呢?当站在同意水平高度,在B点处看A处的仰角为,
4、在C处看A的仰角为(即同一水平的不同位置看同一高度),是存在着一定关系的,我们把这种关系称为“塔高”模型.证明:,,如图,若B、C处于不同高度,我们只需延长AB和CD,转化为上图的模型即可.“塔高”模型二 如图:因为,例1.(2020宜宾)如图,AB和CD两幢楼地面距离BC为303米,楼AB高30米,从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45(1)求CAD的大小;(2)求楼CD的高度(结果保留根号)例2.(2019宜宾)如图,为了测得某建筑物的高度AB,在C处用高为1米的测角仪CF,测得该建筑物顶端A的仰角为45,再向建筑物方向前进40米,又测得该建筑物顶端A的仰角为60求该建筑物的高
5、度AB(结果保留根号)例3.(2011宜宾)如图,飞机沿水平方向(A、B两点所在直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离 (因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离),请设计一个求距离MN的方案,要求:(1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤练习1.(2021鄞州区模拟)如图,小明家附近有一观光塔CD,他发现当光线角度发生变化时,观光塔的影子在地面上的长度也发生变化经测量发现,当小明站在点A处时,塔顶D的仰角为37,他继续往前再走5米到达点B(点A,
6、B,C在同一直线上),此时塔顶D的仰角为53,则观光塔CD的高度约为()(精确到0.1米,参考数值:tan3734,tan5343)A7.6米B7.8米C8.6米D8.8米5题图3题图1题图2题图2.(2021桥西区模拟)如图,一般客轮从小岛A沿东北方向航行,同时一艘补给船从小岛A正东方向相距(100+1003)海里的港口B出发沿北偏西60方向航行,与客轮同时到达C处给客轮进行补给,则客轮与补给船的速度之比为()A2:2B2:1C3:2D3:13.(2020秋商城县期末)下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容:题目测量树顶到地面的距离测量目标示意图相关数据AB30米,28,45设树顶到地面的高
7、度DCx米,根据以上条件,可以列出求树高的方程为()Ax(x30)tan28Bx(30+x)tan28Cx+30xtan28Dx30xtan284.(2021道里区模拟)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30,看这栋楼底部C处的俯角为60,热气球A处与楼的水平距离为30m,则这栋楼的高度为()A403mB303mC75mD402m5.(2021山西模拟)如图,为了测量某风景区内一座凉亭AB的高度,小亮分别在凉亭对面的高台CD的底部C和顶部D处分别测得凉亭顶部A的仰角为45和30,已知高台CD为2m,则凉亭AB的高度为()(结果保留一位小数,31.73)A4.7mB4
8、.8mC8.1mD8.2m6.(2021泰兴市模拟)如图,在一座建筑物CM上,挂着“美丽泰兴”的宣传条幅AC,在建筑物的A处测得地面上B处的俯角为30,测得D处的俯角为45,其中点A、B、C、D、E在同一铅垂面内,B、C、D在一条直线上,求宣传条幅AC长请你从下面的三个条件:BD50米;D到AB的距离为25米;AM20米选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上(填序号),并解决该问题(结果保留根号)7.(2021龙湾区模拟)如图,小叶与小高欲测量公园内一棵树DE的高度他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A处测得树顶端D仰角为30,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60
9、已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡比为1:3(即AB:BC1:3),且B、C、E三点在同一条直线上(1)求出台阶AC的长;(2)求出树DE的高度8.(2021张家川县模拟)如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后,选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度,他们先在A处测得建筑物顶端B的仰角为60,然后从A处后退40m到达D处,在D处测得建筑物顶端B的仰角是30,点D、A、C在同一水平线上,BCDC(1)求DBC的度数;(2)求建筑物BC的高(参考数据:21.414,31.732)9.(2018宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,点E在线段BD上,在C
10、点测得点A的仰角为30,点E的俯角也为30,测得B、E间距离为10米,立柱AB高30米求立柱CD的高(结果保留根号)10.(2017宜宾)如图,为了测量某条河的宽度,现在河边的一岸边任意取一点A,又在河的另一岸边取两点B、C测得30,45,量得BC长为100米求河的宽度(结果保留根号)11.(2015宜宾)如图,某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造供水站M在笔直公路AD上,测得供水站M在小区A的南偏东60方向,在小区B的西南方向,小区A、B之间的距离为300(3+1)米,求供水站M分别到小区A、B的距离(结果可保留根号)12.(2013宜宾)宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是标志性建筑之一(如图)喜爱数学实践活动的小伟查资料得知:大观楼始建于明代(一说是唐代韦皋所建),后毁于兵火,乾隆乙酉年(1765年)重建,它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度如图,他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45,又前进了12米到达A处,在A处测得P的仰角为60请你帮助小伟算算大观楼的高度(测角仪高度忽略不计,31.7,结果保留整数)学科网(北京)股份有限公司