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1、组组 合（合（1）组合的组合的概概念及组合数公式念及组合数公式问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3情境创设情境创设从已知的从已知的3个不同个不同元素中每
2、元素中每次取出次取出2个元素个元素 ,并成一并成一组组问题问题2从已知的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 ,按照一按照一定的顺序定的顺序排成一列排成一列.问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点同点与不同点？概念讲解概念讲解组合定义组合定义:组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出
3、m（mn）个个元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个个组合组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元个元素，素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素中个不同元素中取出取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素”不同点不同点:排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关，而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关.概念讲解概念讲解思考一思考一:ab b与与b ba是
4、相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合?为什么为什么?思考二思考二:两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢两个相同的组合呢?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同概念理解概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤组合就是其中一个步骤.思考三思考三:组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有个元
5、素的子集有多少个多少个?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有共有多少种分法多少种分法?组合问题组合问题(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手共需握手多少次多少次?组合问题组合问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览,有多少
6、种不同的方法有多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.1.1.从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是合分别是:ab,ac,bc 2.2.已知已知4 4个元素个元素a,b,c,d ,写出每次取出两个元素的写出每次取出两个元素的所有组合所有组合.ab c d b c d c
7、d ab,ac,ad,bc,bd,cd(3(3个个)(6(6个个)概念理解概念理解 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的个元素的所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.如如:从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是有组合个数是:如如:已知已知4 4个元素个元素a、b、c、d,写出每次取出两个写出每次取出两个元素的所有组合个数是：元素的所有组合个数是：概念讲解概念讲解组合数组合数:注意：注意：注意：注意：是一个数，应该把它与是一个
8、数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练练一练练一练练一练组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了你发现了什么什么?如何计算如何计算:组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们
9、又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此：一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下2步：步：第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数的组合数 第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 这里 ，且 ，这个公式叫做组合组合组合组合数公式数公式数公式数公式 概念讲解概念讲解组合数公式组合数公式:从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 概念讲解概念讲解
10、例例1 1、计计算：算：例题分析例题分析解：解：(2)(2)（3 3）得:例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，(1)(1)列出所有各场比赛的双方；列出所有各场比赛的双方；(2)(2)列出所有冠亚军的可能情况列出所有冠亚军的可能情况.(2)(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙(1)(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：例题分析例题分析例例1、一位教练的足球队共有、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照
11、足球名初级学员，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：人。问：（1）这位教练从这）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上名学员中可以形成多少种学员上场方案？场方案？（2）如果在选出）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？解：（解：（1）（2）或或例例2.(1)2.(1)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的线个点为端点的线段共有多少条？段共有多少条？(2)(2)平面内有平面内有1010
12、个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的有向个点为端点的有向线段共有多少条？线段共有多少条？解：（解：（1）（2）或或例例3.(1)3.(1)凸五边形有多少条对角线？凸五边形有多少条对角线？(2)(2)凸凸n n（n3n3）边形有多少条对角线？）边形有多少条对角线？解：（解：（1）（2）例例4、在、在100件产品中有件产品中有98件合格品，件合格品，2件次品。产品件次品。产品检验时检验时,从从100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件。件。(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(3)抽出
13、的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？件中至多有一件是次品的抽法有多少种？解：（解：（1）（2）（3）（4）变式练习变式练习按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2
14、人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；例例5 5、某医院有内科医生、某医院有内科医生8 8名，外科医生名，外科医生6 6名，现要名，现要 派派4 4人参加支边医疗队，至少要有人参加支边医疗队，至少要有1 1名内科医生名内科医生 和和1 1名外科医生参加，有多少种选法？名外科医生参加，有多少种选法？解：方法解：方法1：方法方法2：例例6、平面内有平面内有9个点，其中个点，其中4个点在一条直线上，此个点在一条直线上，此 外没有外没有3个点在一条直线上，过这个点在一条直线上，过这9个点可确定个点可确定 多少条直线？可以作多少个三角形？多少条直线？可以作多少个三
15、角形？解：方法解：方法1：9个点分两类：共线的四点个点分两类：共线的四点A，B，C，D其他的五点其他的五点E，F，G，H，G第一种情况：两类点中各选一点有第一种情况：两类点中各选一点有第二种情况：不共线的五点中选两点有第二种情况：不共线的五点中选两点有第三种情况：四点确定的一条直线共第三种情况：四点确定的一条直线共1条；条；结论：结论：例例6、平面内有平面内有9个点，其中个点，其中4个点在一条直线上，此个点在一条直线上，此 外没有外没有3个点在一条直线上，过这个点在一条直线上，过这9个点可确定个点可确定 多少条直线？可以作多少个三角形？多少条直线？可以作多少个三角形？解：方法解：方法2：先先9
16、个点中任选两点有：个点中任选两点有：不满足条件不满足条件（共线的四点）（共线的四点）的有：的有：结论：结论：例例7 7、有翻译人员、有翻译人员1111名，其中名，其中5 5名仅通英语、名仅通英语、4 4名仅通名仅通 法语，还有法语，还有2 2名英、法语皆通。现欲从中选出名英、法语皆通。现欲从中选出8 8名，其名，其中中4 4名译英语，另外名译英语，另外4 4名译法语，一共可列多少张不同名译法语，一共可列多少张不同的名单？的名单？英语法语524解：如图，分三类，先选择英语翻译解：如图，分三类，先选择英语翻译第一类：只会英语的选第一类：只会英语的选4个有个有第二类：只会英语的选第二类：只会英语的选
17、3个有个有第三类：只会英语的选第三类：只会英语的选2个有个有结论：结论：排列排列组合组合组合的概念组合的概念组合数的概念组合数的概念组合是选择的组合是选择的结果，排列是结果，排列是选择后再排序选择后再排序的结果的结果联系联系小结小结组组 合（合（2）组合的性质组合的性质引例引例1 1：某小组有某小组有7 7人人:选出选出3 3人参加人参加植树劳动植树劳动植树劳动植树劳动,可以有多少种不同的选法可以有多少种不同的选法?选出选出4 4人参加人参加清扫校园劳动清扫校园劳动清扫校园劳动清扫校园劳动,可以有多少种不同的选法可以有多少种不同的选法?思考一思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同为何上面两
18、个不同的组合数其结果相同?这一结果这一结果的组合的意义是什么？的组合的意义是什么？即选出即选出3 3人参加植树劳动或选出人参加植树劳动或选出4 4人参加清扫校园劳动都有人参加清扫校园劳动都有3535种种不同的选法不同的选法.新课教学新课教学新课教学新课教学对应从从7 7位同学中位同学中选出选出3 3位同学位同学构成一个组合构成一个组合剩下的剩下的4 4位同位同学构成一个组学构成一个组合合从从7 7位同学中位同学中选出选出3 3位同学位同学的组合数的组合数即：从从7 7位同学中选位同学中选出出4 4位同学的组位同学的组合数合数思考二思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？：上述情况加以推广
19、可得组合数怎样的性质？一般地一般地,从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个不同元素后个不同元素后,剩下剩下n nm m个元素个元素,因此从因此从n n个不同元素中个不同元素中取出取出取出取出m m个个个个不同元素的每一个组合不同元素的每一个组合,与与剩下的剩下的剩下的剩下的n n n nm m m m个个个个元素的每一个组合一一对应元素的每一个组合一一对应,所以从所以从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个不同个不同元素的组合数元素的组合数,等于从这等于从这n n个元素中取出个元素中取出 n-mn-m个元素的组合数个元素的组合数.即即 这就是我们今天学习的组合数的第一个性质
20、这就是我们今天学习的组合数的第一个性质.性质性质1该性质又叫该性质又叫对偶法则对偶法则练习练习:（1 1）计算：）计算：（2 2）已知：）已知：,求求x x（3 3）已知：）已知：,求求解：解：解：解：或或得得或或解：解：引例引例2 2：一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7 7个白球和个白球和1 1个黑球个黑球（1 1）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球,共有多少种取法？共有多少种取法？（2 2）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球,使其中含有使其中含有1 1个黑球个黑球,有多有多 少种取法？少种取法？（3 3）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球,使其中不含黑球使
21、其中不含黑球,有多少种有多少种 取法？取法？解：解：我们发现：我们发现：这是为什么呢这是为什么呢?我们可以这样解释我们可以这样解释:从口袋内的从口袋内的8 8个球中所取出个球中所取出的的3 3个球个球,可以分为两类可以分为两类:一类一类含有含有1 1个个黑球黑球,一类一类不不含有含有黑球黑球.因此根据分类计数原理因此根据分类计数原理,上述等式成立上述等式成立.思考思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？性质性质2 公式特征：公式特征：下标相同而上标差下标相同而上标差1的两个组合数之和，的两个组合数之和，等于下标比原下标多等于下标比原下标多1而上标与原
22、组合数上标较大的而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数相同的一个组合数 例、计算：例、计算：原式原式=原式原式=组组 合（合（3）组合的典型例题组合的典型例题一、等分组一、等分组（平均分组平均分组）与不等分组问题与不等分组问题问题问题1：把：把1,2,3,4四个数字平均分成两组，有几种分法？四个数字平均分成两组，有几种分法？对吗？对吗？第二排重复了！第二排重复了！分成的两组进行了全排分成的两组进行了全排.123413241423341224132314正确结果：正确结果：123413241423一、等分组一、等分组（平均分组平均分组）与不等分组问题与不等分组问题问题问题2：如果：如果6个元
23、素平均分成个元素平均分成3组呢？组呢？问题问题3：如果：如果8个元素平均分成个元素平均分成4组呢？组呢？结论：有结论：有m个个平均组平均组就除以就除以 .一、等分组（一、等分组（平均分组平均分组）与不等分组问题）与不等分组问题例例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分成三份，每份两本；）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本；本；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本；）分给甲、乙、丙三人，每人两本；一、等分组（一、等分组（平均分组平均分组）与不等分组问题）与不等分组问题例
24、例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（4）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本；（5）分给）分给5个人，每人至少一本；个人，每人至少一本；或或一、等分组与不等分组问题一、等分组与不等分组问题例例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（6）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；人，每人至少一本；分析：三种情况分析：三种情况 1+1+4,1+2+3,2+2+2第一种情况：第一种情况：第二种情况：第二种情况：第
25、三种情况：第三种情况：结论：结论：+=990(1)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分成三份件分成三份,二份各二份各1 件件,另一份另一份4件件,有多少种分法有多少种分法?(2)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分给甲乙丙三人件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法每人二件有多少种分法?解解:(1)(2)练习：练习：例例2、某城新建的一条道路上有、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电只路灯，为了节省用电 而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端 的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的灯不能熄灭
26、，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭 的方法共有（的方法共有（）（A）种（种（B）种种（C）种种 （D）种种二、不相邻问题插空法二、不相邻问题插空法8个空个空首尾正确答案：正确答案：A三、混合问题，先三、混合问题，先“组组”后后“排排”例例3、对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一一一 进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好 在第在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，次测到次品，且
27、第且第5次测试是次品，次测试是次品，则前则前4次测试次测试3次测到次品，次测到次品，1次测到正品，次测到正品，所以共有所以共有练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名男生和名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同人参加，则有不同参赛方法参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生体检所学校为学生体检,每每校分配校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方法共有多少种不同的分配方
28、法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士生和护士.四、分类组合四、分类组合,隔板处理隔板处理问题：问题：5个个相同相同的球分成的球分成4组，共有多少种不同的分法？组，共有多少种不同的分法？4种不同分法，相当于种不同分法，相当于4个空隙中插入个空隙中插入3块隔板，分成块隔板，分成4组，组，隔板法：隔板法：n个相同的元素分成个相同的元素分成m组，则共计组，则共计 方法方法.四、分类组合四、分类组合,隔板处理隔板处理例例4、把、把30个参加数学竞赛的名额分
29、给个参加数学竞赛的名额分给6个学校个学校,每校至每校至 少有少有 1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:问题相当于把个问题相当于把个30相同球相同球放入放入6个个不同盒子不同盒子(盒子不能空盒子不能空的的)有几种放法有几种放法?这类问可用这类问可用“隔板法隔板法”处理处理.（类似一根火腿（类似一根火腿分成分成6段段,需要切需要切5刀）刀）解解:29个空插入个空插入5块隔板，共分成块隔板，共分成6份，份，共计：共计：1、将、将8个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至个不同的班级，每班至 少分到少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？个名额，共有多少
30、种不同的分配方法？练习：练习：例例5、从一楼到二楼的楼梯有、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不步走完，则有多少种不 同的走法？同的走法？五、化归策略五、化归策略分析：分析：只能分只能分1级和级和2级走，而且必须级走，而且必须11步走完，步走完，所以所以2级走的有级走的有6次，次，1级走的有级走的有5次，次，即从即从11个位置中选择个位置中选择6个位置给个位置给2级，剩下的是级，剩下的是1级，级，共计：共计：1 1、某城市的街区由、某城市的街区由1212个全等的矩形区个全等的矩形区组组成其中成其中实线实线表示表示 马马路，从路，从A A走到走到B B的最短路径有多少种？的最短路径有多少种？练习题练习题: