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1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 1.2 排列排列与与组合组合在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、一、排列排列与与排列数排列数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 什么是分类计数原理？什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？什么是分步计数原理？应用这两个原理时应注意什么问题？应用这两个原理时应注意什么问题？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认
2、为浪费这一点点算不了什么排列排列在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许
3、你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素取出元素取出元素取出元素”；二是“按照一定顺序排列按照一定顺序排列按照一定顺序排列按照一定顺序排列”“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 根据排列的定义，两个排列相同两个排列相同两个排列相同两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同排列顺序也完全相同1、排列定义、排列定义 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就
4、可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列不同的排列不同的排列不同的排列 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素按照一定顺序按照一定顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对对“n“n取取m m的一个排列的一个排列”的认识：的认识：1 1、元素不能重复。、元素不能重复。n n个中不能重复，个中不能重复，m m个中也不能个中也不能重复。重复。2
5、2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。问题是否是排列问题的关键。3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4 4、m mn n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排时的排列叫全排列。列。5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用最好采用“树形图树形图”。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自
6、己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、排列数、排列数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都
7、可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.1.排列数公式的特点：第一个因数是排列数公式的特点：第一个因数是n,后面每一个因数后面每一个因数比它前面一个因数少比它前面一个因数少1,1,最后一个因数是最后一个因数是nm1,1,共有共有m个因数个因数3、排列数公式、排列数公式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许
8、你认为浪费这一点点算不了什么例例1.1.下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3 3）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除例题选讲例题选讲在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（5 5）2020位同学互通一次电话位同学互通一次电话（6 6）2020位同
9、学互通一封信位同学互通一封信（7 7）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦（8 8）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线过另一个点的射线（9 9）有）有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？（1010）有）有1010个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处
10、都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么()().算步乘法计数原理进行计只能用分,条件符合使用排列数公式的因此不,可能相同由于不同的人得到的书,中2而;属于求排列数问题,到的书的书各人得,名同学3本送3不同的书同的书本5是从1:中两两个问题的区别在3例在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点
11、算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例5.5.计算：计算：（1 1）（2 2）（3 3）例例6.6.解方程：解方程：例例7.7.求证：求证：例例8.8.求求 的个位数字的个位数字例例9.9.求求 的值的值在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么排列及排列数公式的应用排列及排列数公式的应用1、排列定义、排列定义一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不
12、同元素中取出m（mn）个元素）个元素按照一定顺序按照一定顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列，简称，简称“n取取m的一个排列的一个排列”。知识回顾知识回顾在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、排列数公式、排列数公式乘积式乘积式阶乘式阶乘式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么能力要求能力要求1、能分清楚排列和非排列问题、能分清楚排列和非排列问题2、能灵活应用排列数公式、能灵活应用排列数公式3、
13、能用排列知识解决简单的排列问题、能用排列知识解决简单的排列问题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例题讲解例题讲解1、排列的判断、排列的判断例例1.1.下列问题中哪些是排列问题？若是，下列问题中哪些是排列问题？若是，请用排列数公式写出答案。请用排列数公式写出答案。（1 1）从高二）从高二(9)(9)班班5050名同学中选出名同学中选出3 3人去人去参加劳动，有多少种选法？参加劳动，有多少种选法？（2 2）从高二）从高二(9)(9)班班5050名同学中选出名同学中选出3 3人去人去参加参加3 3项不同的劳动，有多少种选法？项不同
14、的劳动，有多少种选法？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（3 3）从）从0,1,2,30,1,2,3，9 9共共1010个数字中选个数字中选出两个作为元素组成集合，有多少个不同出两个作为元素组成集合，有多少个不同的集合？的集合？（4 4）从）从0,1,2,30,1,2,3，9 9共共1010个数字中选个数字中选出两个分别作为横纵坐标出两个分别作为横纵坐标(x,y),(x,y),有多少个有多少个不同的坐标？不同的坐标？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（5
15、5）5 5名同学争夺名同学争夺3 3个项目的冠军，有多个项目的冠军，有多少种不同的情况？少种不同的情况？（6 6）5 5名同学坐名同学坐3 3个座位，有多少种不同个座位，有多少种不同的情况？的情况？（7 7）5 5名同学坐名同学坐8 8个座位，有多少种不同个座位，有多少种不同的情况？的情况？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（8 8）中国足球甲级联赛实双循环赛制，）中国足球甲级联赛实双循环赛制，每两只球队都要分别在主场、客场打一场，每两只球队都要分别在主场、客场打一场，若有若有1616支球队，一共要打多少场比赛？支球队，一共
16、要打多少场比赛？（9 9）中国足协杯比赛实行淘汰制，两支）中国足协杯比赛实行淘汰制，两支球队打一场，胜者晋级，最后决出冠军。球队打一场，胜者晋级，最后决出冠军。若有若有1616支球队，一共要打多少场比赛？支球队，一共要打多少场比赛？（1010）中国象棋甲级联赛实行单循环制，）中国象棋甲级联赛实行单循环制，每两个队员比赛一场，最后按积分定出名每两个队员比赛一场，最后按积分定出名次。若有次。若有1616个队员，一共要进行多少场比个队员，一共要进行多少场比赛？赛？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、排列数公式、排列数公式例例2.
17、2.求求 的值的值例例3.3.解下列方程：解下列方程：（1 1）（2 2）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、排列的应用、排列的应用例例4.4.用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5共共6 6个数字选个数字选4 4个组个组成五重复数字的四位数。成五重复数字的四位数。(1)(1)共有多少个不同的四位数；共有多少个不同的四位数；(2)(2)共有多少个不同的四位偶数；共有多少个不同的四位偶数；(3)(3)共有多少个比共有多少个比20412041大的四位数。大的四位数。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并
18、未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例5.5.在在7 7名运动员中选出名运动员中选出4 4名组成接力队参加名组成接力队参加41004100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方法有多少种？的安排方法有多少种？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例6.56.5人站成一排，（人站成一排，（1 1）其中甲、乙两人必）其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？须相邻，有多少种不同的排法？（2 2）其中甲、乙两人不能相邻，有多少种）其中甲、乙两人不能相邻，有多少种不同的排法？不同的
19、排法？（3 3）其中甲不站排头，有多少种不同的排）其中甲不站排头，有多少种不同的排法？法？（4 4）其中甲不站排头、乙不站排尾，有多）其中甲不站排头、乙不站排尾，有多少种不同的排法？少种不同的排法？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.1.若从若从6 6名志愿者中选出名志愿者中选出4 4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的方案有多少种？方案有多少种？2.2.从若干个元素中选出从若干个元素中选出2 2个进行排列，可得个进行排列，可得210210种不同的
20、排列，那么这些元素共有多少个？种不同的排列，那么这些元素共有多少个？3.53.5个班，有个班，有5 5名语文老师、名语文老师、5 5名数学老师、名数学老师、5 5名英语老师，每班配一名语文老师、一名数学名英语老师，每班配一名语文老师、一名数学老师、一名英语老师，问有多少种不同的搭配老师、一名英语老师，问有多少种不同的搭配方法？方法？跟踪练习跟踪练习在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4.4.计划展出计划展出1010幅不同的画，其中幅不同的画，其中1 1幅水彩画、幅水彩画、4 4幅油画、幅油画、5 5幅国画，排成一行陈列，要求同
21、幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有多少种？方式有多少种？5.5.（1 1）将）将1818个人排成一排，不同的排法有多个人排成一排，不同的排法有多少种？少种？（2 2）将）将1818个人排成两排，每排个人排成两排，每排9 9人，不同人，不同的排法有多少种？的排法有多少种？（3 3）将）将1818个人排成三排，每排个人排成三排，每排6 6人，不同人，不同的排法有多少种？的排法有多少种？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么6.56.5名学生和名学生和1 1名
22、老师照相，老师不能站排头，名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，共有多少种不同的站法？也不能站排尾，共有多少种不同的站法？7.47.4名学生和名学生和3 3名老师排成一排照相，老师不名老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须要排在一起的不同排能排两端，且老师必须要排在一起的不同排法有多少种？法有多少种？8.8.停车场有停车场有7 7个停车位，现在有个停车位，现在有4 4辆车要停放，辆车要停放，若要使若要使3 3个空位连在一起，则停放的方法有多个空位连在一起，则停放的方法有多少种？少种？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什
23、么9.9.一条铁路原有一条铁路原有n n个车站，为适应客运需要增个车站，为适应客运需要增加例加例m(m1)m(m1)个车站个车站,车票增加了车票增加了6262种，问原有种，问原有多少个车站？多少个车站？10.10.某天要排语文，数学，英语，物理，化学，某天要排语文，数学，英语，物理，化学，体育体育6 6节课，其中上午节课，其中上午4 4节，下午节，下午2 2节。节。（1 1）若第）若第1 1节不排体育，最后一节不排数学，有节不排体育，最后一节不排数学，有多少排法？多少排法？（2 2）若第）若第1 1节不排体育，下午不排数学，有多少节不排体育，下午不排数学，有多少排法？排法？（3 3）若语文、数
24、学排相邻，有多少排法？）若语文、数学排相邻，有多少排法？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、二、组合组合与与组合数组合数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲
25、、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3组合组合在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么从已知的从已知的3个个不同元素中每不同元素中每次取出次取出2个元个元素素,并成一组并成一组问题二问题二从已知的从已知的3 个不同元素个不同元素中每次取出中每次取出2个元素个元素,按照按照一定的顺序一定的顺序排成一列排成一列.问题一问题一排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序在日常生活中，随处都可以看到浪费
26、粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合.排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点同点与不同点？1、组合定义、组合定义在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不
27、同元素中取出m个元个元素的一个素的一个组合组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素，个元素，按照按照一定的顺序一定的顺序排成一列排成一列，叫做从，叫做从 n 个不个不同元素中取出同元素中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n n个不同元素中任取个不同元素中任取m m个元素个元素”不同点不同点:排列排列与元素的顺序有关与元素的顺序有关改变顺序不相同，改变顺序不相同，组合组合与元素的顺序无关与元素的顺序无关无顺序，或唯一顺序。无顺序，或唯一顺序。对对“排列、组合排列、组合”的认识：的认识：在日常生活中，随处都可
28、以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么思考一思考一:a aB B与与B Ba a是相同的排列，还是相同的组合是相同的排列，还是相同的组合?为什么为什么?思考二思考二:两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点?两个相同两个相同的组合呢的组合呢?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同构造排列分成两步完成，先取后排；构造排列分成两步完成，先取后排；构造组合就是其中一个步骤构造组合就是其中一个步骤.思考三思考三:组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗?在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自
29、己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1.1.判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)(1)设集合设集合A=A=a a,b b,c c,d d,e e，则集合，则集合A A的含有的含有3 3个元素个元素的子集有多少个的子集有多少个?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合组合(3)10(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次共需握手多少次?组合组合组合组合
30、组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.排列排列在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.2.从从 a,b,ca,b,c三个不同的元素中取出两个三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是元素的所有组合分别是:ab,ac,bc 例例3.3.已知已知4 4个元素个元素a,b,c,d a,b,c,d,写出每次取写出每次取出两个元素的所有组合出两个元素的所有组合.ab c d b c d cd ab,ac,ad,bc,bd,cd(3(3个个)(6(6个个)在日常生活中，随处都可以看到浪
31、费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所）个元素的所有组合的个数，叫做从有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.如如:从从 a,b,ca,b,c三个不同的元素中取出两个三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是元素的所有组合个数是:如如:已知已知4 4个元素个元素a a、b b、c c、d,d,写出每次取写出每次取出两个元素的所有组合个数是：出两个元素的所有组合个数是：注意：注意：是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组
32、合”区别开来区别开来 2、组合数、组合数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么写出从写出从a,b,c,d a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所四个元素中任取三个元素的所有组合和排列，并探究二者的关系。有组合和排列，并探究二者的关系。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd探究探究在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd
33、 cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb（三个元素的）（三个元素的）1 1个组合，对应着个组合，对应着6 6个排列个排列你发现了你发现了什么什么?在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对于对于，我们可以按照以下步骤进行，我们可以按照以下步骤进行在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系 一般地，求从一般地，求从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m
34、个元素个元素的排列数，可以分为以下的排列数，可以分为以下2 2步：步：第第1 1步，先求出从这步，先求出从这n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个个元素的组合数元素的组合数 第第2 2步，求每一个组合中步，求每一个组合中m m个元素的全排列数个元素的全排列数 根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此：这里这里m,nm,n是自然数，且是自然数，且 m m n n，这个公式叫做，这个公式叫做组组组组合数公式合数公式合数公式合数公式 3、组合数公式、组合数公式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么组合数公式组
35、合数公式:从从 n n个不同元中取出个不同元中取出m m个元素的排列数个元素的排列数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么组合数公式组合数公式:排列数公式：排列数公式：规定：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1.1.计计算：算：例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，（1 1）列出所有各场比赛的双方；）列出所有各场比赛的双方；（2 2）列出所有冠亚军的可能情况）列出所有冠亚军的可能情况.（2 2）甲乙、甲丙
36、、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙（1 1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：（3 3）已知：）已知：，求，求n n的的值值。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例3.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.103.10名学生，名学生，7 7人人扫扫地，地，3 3人洒水，那么不同人洒水，那么不同 的分工方的分工方法有法有 种；种；1.
37、1.用用m m、n n表示表示2.2.从从8 8名乒乓球选手中选出名乒乓球选手中选出3 3名打团体赛，名打团体赛，共有共有 种不同的选法；种不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，有如果这三个选手又按照不同顺序安排，有 种方法种方法.练习练习在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1.1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查进行检查.现有现有100100件产品，其中件产品，其中3 3件次品，件次品，9797件件正品正品.要抽出要抽出5 5件进行检查，根据下列各种要求，件进行检查，根
38、据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；无任何限制条件；(2)全是正品；全是正品；(3)只有只有2件正品；件正品；(4)至少有至少有1件次品；件次品；(5)至多有至多有2件次品；件次品；(6)次品最多次品最多.解答：解答：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4），或，或（5 5）（6 6）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.1.有有1010道试题，从中选答道试题，从中选答8 8道，共有道，共有 种选种选法、又若其中法、又若其中6 6道必答，共有道必答，共有 不同的种不同的种选法选法
39、.2.2.某班有某班有5454位同学，正、副班长各位同学，正、副班长各1 1名，现选派名，现选派6 6名同学名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种，各有多少种不同的选法？不同的选法？（1 1）无任何限制条件；）无任何限制条件；（2 2）正、副班长必须入选；）正、副班长必须入选；（3 3）正、副班长只有一人入选；）正、副班长只有一人入选；（4 4）正、副班长都不入选；）正、副班长都不入选；（5 5）正、副班长至少有一人入选；）正、副班长至少有一人入选；（6 6）正、副班长至多有一人入选；）正、副班长至多有一人入选；练习练习在日常生活中，随处都可以
40、看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2.2.从数字从数字1,2,5,71,2,5,7中任选两个中任选两个 有不同的英文书有不同的英文书5 5本本,不同的中文书不同的中文书7 7本本,从中选出两本书从中选出两本书.(1)(1)若其中一本为中文书若其中一本为中文书,一本为英文书一本为英文书.问共有多少种选法问共有多少种选法?(1)(1)可以得到多少个不同的和可以得到多少个不同的和?(2)(2)可以得到多少个不同的差可以得到多少个不同的差?(2)(2)若不限条件若不限条件,问共有多少种选法问共有多少种选法?6个12个35种66种练习练习在日常生活中，随
41、处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例3.3.有有1212名划船运动员名划船运动员,其中其中3 3人只会划左舷人只会划左舷,4 4人只会划右舷人只会划右舷,其它其它5 5人既会划左舷人既会划左舷,又会划又会划右舷右舷,现要从这现要从这1212名运动员中选出名运动员中选出6 6人平均分人平均分在左右舷参加划船比赛在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法有多少种不同的选法?有有1010名同学，名同学，5 5名会唱歌，名会唱歌，7 7名会跳舞，名会跳舞，现选唱歌和跳舞的各一名，有多少种选法？现选唱歌和跳舞的各一名，有多少种选法？练习练习在日常生活
42、中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例4.4.在在MONMON的边的边ONON上有上有5 5个异于个异于O O点的点点的点,OMOM上有上有4 4个异于个异于O O点的点点的点,以这十个点以这十个点(含含O)O)为为顶点顶点,可以得到多少个三角形可以得到多少个三角形?NOMABCDEFG HI在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1 1、如图、如图,在以在以ABAB为直径的半圆周上有异于为直径的半圆周上有异于A A,B B的六个点的六个点C C1 1,C C2 2,C
43、C3 3,C C4 4,C C5 5 ,C C6 6 ,ABAB上有异于上有异于A A,B B的四个点的四个点D D1 1,D D2 2 ,D D3 3 ,D D4 4,问问(1)(1)以这以这1010个点中的个点中的3 3个点为顶点可作多少个三角形个点为顶点可作多少个三角形?(2)(2)以图中以图中1212个点个点(包括包括A A,B B)中的四个为顶点中的四个为顶点,可作多可作多少个四边形少个四边形?ABD1D2D3D4 C1C2C3C4C5C6练习练习在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2 2、如图两组平行直线有、如图两
44、组平行直线有1212个交点，平行线间距离相等个交点，平行线间距离相等(1)(1)以这些平行线为边能组成多少个平行四边形以这些平行线为边能组成多少个平行四边形?(2)(2)以这些交点为顶点能组成多少个三角形以这些交点为顶点能组成多少个三角形?在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3 3、平面、平面M/N,MM/N,M内有内有5 5个点，个点，N N内有内有4 4个点，任个点，任3 3点不共点不共线，无其他四点共面线，无其他四点共面.（1 1）能组成多少条直线）能组成多少条直线?（2 2）三棱锥？）三棱锥？（3 3）四棱锥？）四棱锥
45、？M MN N在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例题例题（1 1）求）求 的值的值 （2 2）求满足）求满足 的的x值值（3 3）求证：）求证：（4 4）求）求 的值的值1617005或2511两个组合数性质：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么701,或或3（5 5）求）求 的的值值。（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）练习练习在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、三、排列排列与与组
46、合综组合综合应用合应用在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么求证：求证：证明：证明：因为因为左边左边=注意阶乘的变形形式：注意阶乘的变形形式：=左边，左边，评注：评注：所以等式成立所以等式成立例1、一、公式的应用一、公式的应用在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（1 1）（2 2）练习练习在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例1 1、7 7个高矮不同的人站成一排，分别求下列的个高矮不同的人站成
47、一排，分别求下列的不同站法数。不同站法数。（1 1）甲必须站中间；）甲必须站中间；（2 2）甲站左端，乙站右端；）甲站左端，乙站右端；（3 3）甲站乙的左边；）甲站乙的左边；（4 4）甲不站左端，乙不站右端；）甲不站左端，乙不站右端；（5 5）甲、乙中间至少隔二人；）甲、乙中间至少隔二人；（6 6）最高的同学站中间，两边依次降低；）最高的同学站中间，两边依次降低；二、捆绑法、插空法、组合法、比例法二、捆绑法、插空法、组合法、比例法在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（7）甲、乙要相邻；）甲、乙要相邻；（8）甲、乙不相邻；）甲、
48、乙不相邻；（9）甲、乙、丙都不邻；）甲、乙、丙都不邻；（10）甲、乙要相邻，而与丙都不邻；）甲、乙要相邻，而与丙都不邻；（11）甲、乙要相邻，甲与丙都不邻；）甲、乙要相邻，甲与丙都不邻；（12)甲、乙、丙顺序只能从左到右甲、乙、丙顺序只能从左到右；（13）甲乙丙顺序从左到右，丁在戊的左边。）甲乙丙顺序从左到右，丁在戊的左边。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2 2、如图，每个小矩形全等，只能沿着矩形的、如图，每个小矩形全等，只能沿着矩形的边沿行走，则从边沿行走，则从A A到到B B的最短路径有多少条？的最短路径有多少条？
49、A AB BE EF FG GH H若菱形若菱形EFGHEFGH为一个水池，只能沿着其边缘沿行走，为一个水池，只能沿着其边缘沿行走，则从则从A A到到B B的最短路径有多少条？的最短路径有多少条？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例1、将如图的5个区域染色，要求相邻区域不同色，一个区域染一色，现有5种不同的颜色，有多少种方法？二、染色问题二、染色问题ABCDE在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例2 2、（重庆卷（重庆卷16)16)某人有某人有4 4种颜色
50、的灯泡种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（1616）图所示的）图所示的6 6个点个点A A、B B、C C、A A1 1、B B1 1、C C1 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有用一个的安装方法共有 种（用数种（用数字作答）字作答）.216在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例例例1 1 1 1、求由、求由、求由、求由0,1,2,3,4,50,1,2,