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1、人 教 版 高 中 数 学 新 教 材 必 修 第 一 册 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质一：周期性与奇偶性类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？探 究根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式 中得到反映，即自变量 的值增加 整
2、数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当 取定义域内的每一个值时，都有1.周期性知 识 梳 理知 识 梳 理那么函数 就叫做周期函数.非零常数 叫做这个函数的周期.周期函数的周期不止一个.例如，以及 都是正弦函数的周期.事实上，且 常数 都是它的周期.如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是 类似地，余弦函数也是周期函数，都是它的周期，最小正周期是 正弦函数和余弦
3、函数的周期性，实质是由终边相同的角所具有的周期性所决定的分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式 ，而求出相应的周期对于（2），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出例2 求下列函数的周期：(1)(2)(3)解：（1）有 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 （2）令 由 得 且 的周期为 ，即 于是 所以 可知，原函数的周期为 （3）令 由 得 且 的周期为 ，即 于是 所以 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 例2 求下列函数的周期：(1)(2)(3)回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关
4、吗？思考函数 的周期为 由周期函数的定义可知，函数 的周期为 函数 的周期为 2.奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点 对称，余弦曲线关于 轴对称这个事实，也可由诱导公式得到.所以 知 识 梳 理知 识 梳 理正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？思考偶函数特点：（1）定义域对称 （2）图象关于 轴对称 （3）奇函数特点：（1）定义域对称 （2）图象关于原点对称 （3）我们知道正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，那么我们可以根据图象的对称性简化对它的研究.解：巩固练习练习练习1 1 求下列函数的周期 巩固练习练习练习2 2 求下列函数的奇偶性 所以，函数 是奇函数.解：（1）函数 的定义域为R.所以，函数 是奇函数.（2）函数 的定义域为R.课堂小结理 解 正 弦 函 数 是 奇 函 数、余 弦 函 数 是 偶函 数2掌握周期函数、周 期、最 小 正 周 期 的 定 义；会 求 函 数 及 的 周 期11