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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2、1已知，则的大小关系是（ ）ABCD2如果直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（ ）A点M在圆C上B点M在圆C外C点M在圆C内D上述三种情况都有可能3在的展开式中，含的项的系数是（ ）A74B121CD4若复数满足，则（ ）ABCD5已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )ABCD6下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（ ）A深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B天津的往返机票平均价格变化最大C上海和广州的往返机票平均价格基本相当D相比于上一年同期，其中四个城市的往返
3、机票平均价格在增加7已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）ABCD48如图，内接于圆，是圆的直径，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD9已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（ ）A2B4C3D310双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（ ）A3BC6D11过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，若，则的最小值是（ ）A1B2C3D412已知集合，则元素个数为( )A1B2C3D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，则_.(填“”或“=”或“”).14已知实数，对任意，有，且，则_.15已知
4、集合，则_.16已知点M是曲线y2lnxx23x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图所示，在四棱锥中，点分别为的中点.（1）证明：面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.18（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.（1）求矩阵;（2）求矩阵的特征值19（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假设不合格的产品均可进行返工修复
5、为合格品，以（1）中确定的作为的值.已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.20（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生
6、素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立
7、的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，21（12分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点
8、，若，求直线l的斜率k.22（10分）椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上两动点使得四边形为平行四边形，且平行四边形的周长和最大面积分别为8和.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用函数与函数互为反函数，可得，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【详解】依题意，函数与函数关于直线对称，则，即，又，所以，.故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.2、B【解析】根据圆心到直线的距离小于半径
9、可得满足的条件，利用与圆心的距离判断即可.【详解】直线与圆相交，圆心到直线的距离，即也就是点到圆的圆心的距离大于半径即点与圆的位置关系是点在圆外故选：【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题3、D【解析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，4、B【解析】由题意得,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.5、B【解析】由于直线的斜
10、率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.6、D【解析】根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.故选：D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.7、D【解析
11、】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，则，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，则，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.8、B【解析】根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值【详解】因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，设，则，所以，所以.又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.故选：B【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数
12、关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值9、D【解析】设，设：，联立方程得到，计算得到答案.【详解】设，故.易知直线斜率不为，设：，联立方程，得到，故，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键 .10、A【解析】根据焦点到渐近线的距离，可得，然后根据，可得结果.【详解】由题可知：双曲线的渐近线方程为取右焦点，一条渐近线则点到的距离为，由所以，则又所以所以焦距为：故选：A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，以及之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为，属基础题.11、C【解析】设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，从而得到，
13、同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，代入得：.由根与系数的关系得，所以.又直线CD的方程为，同理，所以，所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得.所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.12、B【解析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合
14、B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】注意到，故只需比较与1的大小即可.【详解】由已知，故有.又由，故有.故答案为：.【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.14、-1【解析】由二项式定理及展开式系数的求法得，又，所以，令得：，所以，得解【详解】由，且，则，又，所以，
15、令得：，所以，故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平15、【解析】根据交集的定义即可写出答案。【详解】，故填【点睛】本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。16、【解析】先求导数可得切线斜率，利用基本不等式可得切点横坐标，从而可得切线方程.【详解】，1时有最小值1，此时M(1，2)，故切线方程为：，即故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根
16、据题意，连接交于，连接，利用三角形全等得，进而可得结论；（2）建立空间直角坐标系，利用向量求得平面的法向量，进而可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接交于，连接，且，面面，面，（2）取中点，连，.由，面面面，又由，以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，为面的一个法向量，设面的法向量为，依题意，即，令，解得，所以，平面的法向量，又因二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用，属于基础题.18、（1）（2）特征值为或【解析】（1）先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.（2）令矩
17、阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值【详解】解：（1）设矩阵由题意,因为,所以 ,即所以,（2）矩阵的特征多项式,令,解得或,所以矩阵的特征值为1或【点睛】本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.19、 (1) (2) 生产线上挽回的损失较多. 见解析【解析】(1)由题意得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值；(2).由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.【详解】（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，设
18、从，生产线上抽到合格品分别为事件，则，互为独立事件由已知有，则解得，则的最小值（2）由（1）知，生产线的合格率分别为和，即不合格率分别为和.设从，生产线上各抽检件产品，抽到不合格产品件数分别为，则有，所以，生产线上挽回损失的平均数分别为：，所以生产线上挽回的损失较多.由已知得的可能取值为，用样本估计总体，则有，所以的分布列为所以（元）故估算估算该厂产量件时利润的期望值为（元）【点睛】本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20、（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值为4.【解析】（1）设恰好经过2次
19、检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,则可求得,即可得到,进而由可得到p关于k的函数关系式；（ii）由可得,推导出,设（）,利用导函数判断的单调性,由单调性可求出的最大值【详解】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,则,恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,若,则,则,p关于k的函数关系式为（,且）（ii）由题意知,得,设（）,则,令,则,当时,即在上单调增减,又,又,k的最大值为4【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考
20、查利用导函数判断函数的单调性21、（1）（2）直线l的斜率为或【解析】(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;(2)设直线方程,与椭圆方程联立, 转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果.【详解】（1）由题意得解得故椭圆C的方程为.（2）直线l的方程为，设，则由方程组消去y得，所以，由，得，所以，又所以，即所以，因此，直线l的斜率为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般.22、（1）（2）或【解析】（1）根据题意计算得到，得到椭圆方程.（2）设，联立方程得到，根据，计算得到答案.【详解】（1）由平行四边形的周长为8，可知，即.由平行四边形的最大面积为，可知，又，解得.所以椭圆方程为.（2）注意到直线的斜率不为0，且过定点.设，由消得，所以，因为，所以.因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，所以直线的方程或.【点睛】本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线，将题目转化为是解题的关键.